Vê mô đun thỏa mãn điều kiện (c2)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HƯƠNG VỀ MÔĐUN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN (C2) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HƯƠNG VỀ MÔĐUN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN (C2) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên nghành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 Người hướng dẫn khoa học TS HỒNG ĐÌNH HẢI PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG Nghệ An - 2017 MỤC LỤC Trang CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Môđun cốt yếu 1.2 Các điều kiện (Ci) mơđun 12 CHƯƠNG II MƠ ĐUN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN (C2) 14 2.1 Điều kiện (C2) mơđun 14 2.1.1 Định nghĩa 14 2.1.2 Ví dụ: 14 2.1.3 Mệnh đề: Nếu môđun M thỏa mãn điều kiện (C2) thỏa 14 mãn điều kiện (C3) 2.2 (1-C2)- môđun 15 2.3 Một mở rộng môđun thỏa mãn điều kiện (C2) 19 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN  : tập hợp số tự nhiên * : tập hợp số tự nhiên khác  : tập hợp số nguyên  : tập hợp số hữu tỉ A  M : A môđun môđun M A e M : A môđun cốt yếu môđun M A  M : A hạng tử trực tiếp M A  M : A tập hợp tập M  : tổng trực tiếp môđun N  M : môđun N đẳng cấu với M : kết thúc chứng minh LỜI NÓI ĐẦU Việc nghiên cứu lý thuyết môđun phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết vành Do vành R mơđun (mơ đun RR) nên người ta xác định cấu trúc, tính chất, đặc trưng vành R qua việc nghiên cứu lớp mơđun vành R Khi nghiên cứu mơđun người ta có đưa điều kiện (C1), (C2) (C3) môđun Lớp môđun thỏa mãn điều kiện (C1) gọi CS-môđun (hay Extending module) có nhiều cơng trình nghiên cứu lớp mơđun Năm 1994 N V Dung, D V Huynh, F Smith, R Wisbauer viết sách "Extending module" nhằm trình bày vấn đề liên quan đến mơđun với điều kiện (C1) Đã có số tác giả dành nhiều thời gian nghiên cứu lớp môđun thỏa mãn điều kiện (C2), nhiên kết đạt chưa nhiều Năm 2016 2017 có hai kết nghiên cứu lớp mơđun thỏa mãn điều kiện (C2) Le Van An, Nguyen Thi Hai Anh, Ngo Sy Tung nghiên cứu môđun thỏa mãn điều kiện (1- C2) (xem [2]) Phan The Hai nghiên cứu lớp môđun thỏa mãn điều kiện (C) (xem [4]) Dựa vào tài liệu [2] [4] chúng tơi nghiên cứu, tìm hiểu tường minh số kết lớp môđun thỏa mãn điều kiện (C2) môđun liên quan Vì đề tài luận văn chọn là: Về môđun thỏa mãn điều kiện (C2) Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Kiến thức sở Nội dung chương chủ yếu trình bày khái niệm, tính chất nhằm phục vụ nội dung chương Chương Môđun thỏa mãn điều kiện (C2) Nội dung chương trình bày ba phần: 2.1 Điều kiện (C2) môđun 2.2 (1-C2) môđun 2.3 Một mở rộng môđun thỏa mãn điều kiện (C2) Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS.TS Ngô Sỹ Tùng TS Hồng Đình Hải Nhân dịp tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, bảo nghiêm túc suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Trong trình học tập viết luận văn, tác giả nhận giúp đỡ tận tình thầy, cô giáo tổ Đại số trường Đại học Vinh Cũng dịp này, tác giả xin cảm ơn đến thầy, giáo Khoa Tốn, Khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh, bạn lớp cao học khoá 23 chuyên ngành Đại số lý thuyết số, gia đình bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Cuối cùng, khả cịn nhiều hạn chế nên khơng tránh khỏi sai sót, tác giả mong nhận góp ý q thầy giáo, giáo tất bạn Nghệ An, tháng năm 2017 Tác giả CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong suốt luận văn này, không thấy bổ sung thêm chúng tơi ln giả thiết R vành có đơn vị 1, mơđun Rmơđun phải unita 1.1 Môđun cốt yếu 1.1.1 Định nghĩa Cho vành R R-môđun M Môđun A M gọi môđun cốt yếu M với môđun B  0, B  M A  B  Ký hiệu A e M 1.1.2 Hệ A  e M với môđun B M mà A  B  B  1.1.3 Ví dụ 1) Với mơđun M M  e M Quy ước e M  M  2) Cho  vành số nguyên, xét  - mơđun  (mơđun  nó) Khi môđun khác  môđun cốt yếu  Chứng minh Trước hết ta biết môđun A    có dạng A  k  ( k   ) Ta chứng minh A cốt yếu   Lấy  B   Ta có B  n. , n   Khi kn  k   n kn  Do A  B  3) Xét  - mơđun  (tức nhóm cộng số hữu tỉ  ) Khi mơđun khác  cốt yếu  Chứng minh Lấy X môđun khác không  Ta cần chứng minh X e  Lấy  B môđun  Khi tồn 0 p a  A a, b   ,    B p, q   b q a b Ta có ap  pb  A; ap  aq p  B; ap  Chứng tỏ A  B  q 1.1.4 Định nghĩa Môđun U gọi môđun môđun khác không U cốt yếu U 1.1.5 Hệ U môđun với hai mô đun khác khơng có giao khác khơng 1.1.6 Ví dụ   môđun ( xét vành  ) 1.1.7 Định nghĩa Cho A môđun M ta nói A mơđun đóng M A khơng có mở rộng cốt yếu thực M Tức A  e K  M  A  K 1.1.8 Ví dụ A hạng tử trực tiếp M A đóng M 1.1.9 Chú ý A   M tồn B môđun M mà A ∩ B = A + B = M Khi ta viết A  B = M Chứng minh ví dụ 1.1.8 Cho K môđun thực M mà A  e K Ta chứng minh A = K Do A   M nên tồn môđun B M cho M = A  B (*) Vì A  K nên dùng luật module, giao vế (*) với K, ta có: K = A  (B ∩ K) Nếu tồn  x  B  K xR mơđun B  K Suy  xR  K Do A  e K nên xR ∩ A  Điều chứng tỏ tồn  r  R cho  xr  A mà  xr  xR mơđun B Do  xr  A  B (vô lý) Điều chứng tỏ x  B  K x  , hay A=K Nhắc lại luật module: Cho M, A, B, X cấu trúc đại số đó(nhóm, vành, trường, môđun, ) gọi thỏa mãn luật Module M  A  B X  M , A  X X  A  Tức X  M  X  A  B  X  A  X  B  X  B  1.1.10 Hệ Cấu trúc môđun thỏa mãn luật Module Tiếp theo trình bày số tính chất mơđun cốt yếu 1.1.11 Mệnh đề Cho môđun M Các mệnh đề sau xảy ra: (i) Cho A môđun M Khi A e M  với  x  M xR  A  (ii) Cho A  B  C mơđun M Khi A  e C A  e B B  e C (iii) Cho Ai  e M i i  1, n , n n i 1 i 1  Ai e  M i Chú ý: Nếu i  I vơ hạn nói chung khơng i  I (iv) Cho f : M → N đồng cấu môđun B  e N f 1 ( B) e M , tức tạo ảnh tồn phần mơđun cốt yếu môđun cốt yếu Chú ý: Ảnh môđun cốt yếu chưa môđun cốt yếu (v) Cho Ai  e M i  M , tồn tổng trực tiếp tổng trực tiếp M i I Ai tồn I Ai e M i I I Chứng minh (i) () Hiển nhiên () Giả sử  x  M ta có xR  A  Để chứng minh A e M ta cần chứng minh với môđun B  M A  B  Thật vậy, B  nên tồn  x  B xR môđun B Suy A  B  A  xR  Vậy A ∩ B  (ii) Hiển nhiên (iii) Sử dụng phương pháp quy nạp theo n Ta cần chứng minh cho n = Thật vậy, cho A1  e M1  M , A2  e M  M Cần chứng minh A1  A2 e M1  M Nếu M1  M  , dễ thấy A1  A2  Do lấy  B  M1  B  M1  M  A1  e M1 nên A1  B  X  B  M  Ta có X  B  X  M A2 e M suy X ∩ A2= Y  Khi đó: Y  A1  Y  A2 Suy Y  A1  A2 Do  Y  B  ( A1  A2 ) Chú ý : Giao vô hạn không Ta lấy ví dụ sau đây: 10 đơn nên B môđun C2 Vậy A B môđun thỏa mãn điều kiện (C)  2  2.3.5.Nhận xét: Ta có  2   2 =    2  0  Từ ví      dụ 2.3.4, ta có mơđun A B thỏa mãn điều kiện (C) môđun A  B lại không thỏa mãn điều kiện (C), điều chứng tỏ tổng trực tiếp hai môđun thỏa mãn điều kiện (C) không thiết môđun thỏa mãn điều kiện (C) Ví dụ sau môđun môđun thỏa mãn điều kiện (C) khơng thỏa mãn điều kiện (C) 2.3.6 Ví dụ Xét   - mơđun Khi S = End  (  )   Vì phần tử S đồng cấu không đẳng cấu nên  môđun thỏa mãn điều kiện (C) Bây ta xét môđun   xét f  x   x với x  Vì f  End () xác định     Ker f n    n Im f hạng tử trực tiếp  với số nguyên dương n nên  - môđun  môđun thỏa mãn điều kiện (C) Khi S  End R  M  vành địa phương chúng tơi nhận thấy môđun C2 môđun thỏa mãn điều kiện (C) trùng thể mệnh đề đây: 2.3.7 Mệnh đề Cho M R- mơđun phải có vành tự đồng cấu S  End R  M  vành địa phương Khi đó, mệnh đề sau tương đương: (1) M C2 (2) M thỏa mãn điều kiện (C) 25 Chứng minh (1) => (2) (2) => (1) Giả sử M môđun thỏa mãn điều kiện (C) s : M  M đơn cấu Nếu tồn n N cho sn  Ker(sn) hạng tử trực tiếp M sn(M) hạng tử trực tiếp n M Vì s đơn cấu nên s : M  M đơn cấu Giả sử M  s n  M   K với K  M Khi đó, với x  M x  s n  m   k với m  M k  K Xét đồng cấu g : M  M xác định sau: Với xM mà x  sn  m  k g  x  = m Hiển nhiên ta có gs  1M Vì S  Ss  Ss n n Mặt khác, với s  S s  s.1M  sgs n   sg  s n  Ss n , S  Ss n ta có S  Ss Ta suy M mơđun C2 Ví dụ sau giới thiệu mơđun có vành tự đồng cấu vành địa phương đồng thời mơđun C2 mơđun thỏa mãn điều kiện (C) 2.3.8 Ví dụ Xét  - mơđun  ,  có iđêan cực đại  nên  vành địa phương Mà   End  (  ) nên End  (  ) vành địa phương Vì  khơng phân tích nên f End  (  ) mà f n    Ker f n hạng tử trực tiếp    Im f n hạng tử trực tiếp  Do  môđun thỏa mãn điều kiện (C) Cách khác, End  (  ) vành địa phương nên  môđun C2 thỏa mãn điều kiện (C) 26 Tiếp theo, xem xét điều kiện tương đương với môđun thỏa mãn điều kiện (C), trước hết cần bổ đề sau đây: 2.3.9 Bổ đề Cho M R-môđun phải S = EndR(M) Khi đó: (1) Nếu s  S mà Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e  S n  N Im(sn) = Im(sne) (2) Nếu với  s  S, tồn n  N cho sn  Ssn  Se  ls(Ker(sn)) Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e  S Chứng minh: (1) Trước hết, ta có x Ker  e  e  x   , x – e  x   x hay (1  e)  x   x Vậy x Im 1 – e  Mặt khác, x Im 1 – e  tồn y  M để Do e  e nên 1 – e 2  1 2  y  – e  y  1 – e 1  e   y   x  e,  1  e   x   x hay e  x   Vậy x Ker  e  Tóm lại, ta có Ker  e   Im 1 – e   n Vì Ker s s n     Im  – e  , suy n n hay Im  s   Im  s e   Ker  e  nên Ker s n – e  M    (2) (=>) Giả sử với e  e S , ta có      Ss n  Se  lS Ker s n ta cần chứng minh Ker s n     { h  S h  Ker  s   Ker  s  , e  Ker  s   Thật vậy, Se  lS Ker s nên e lS  Ker  e  n n n n 27  0} hay   Ker s n  Ker  e  Mặt khác, Ss  Se nên s  Se Giả sử s n  s’e s’ với n  S s n  x   s’e  x   s’         n  x Ker(e) Ker(sn) hay  Ker  e  ta cần     n  n Thật vậy, Ker s    x  Ker  e  với e2  e S chứng minh Ss  Se  lS Ker s Im s n nên Ker  e   Ker s n Vậy Ker s n ( môđun thỏa mãn điều kiện (1 - C2) Môđun thỏa mãn điều kiện (C2) => mơđun thỏa mãn điều kiện (C) Cịn chiều ngược lại câu hỏi mở mối liên hệ (1 - C2) môđun môđun thỏa mãn điều kiện (C) tiếp tục nghiên cứu 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F.W Anderson and K.R Fuller (1974), Rings and Categories of Modules, springer - Verlag, New York - Heidelberg Berlin [2] Le Van An, Nguyen Hai Anh, Ngo Sy Tung (2017), On the 1  C2  condition, Math J of Okayama Uni., 51, 141-147 [3] F Kasch (1982), Modules and Rings, No 17, Academic Press, London - New York [4] Hải, P.T (2016), On modules and rings satisfy condition (C), Asian-European journal of Mathematics, Vol.9, No (45-58) [5] Quynh, T C., Hai, P T and Thuyet, L V (2016), Mutually essentially pseudo injective modules, The Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, 39 (2), 795-803 39 ... m? ?đun  thỏa mãn điều kiện (C2)  - mô? ?un  không thỏa mãn điều kiện (C2) 2.1.3 Chứng minh mô? ?un thỏa mãn điều kiện (C2) => (C3) Mệnh đề: Nếu mô? ?un M thỏa mãn điều kiện (C2) thỏa mãn điều kiện. .. chất m? ?đun (1 - C2) mô? ?un thỏa mãn điều kiện C2 điều kiện C Các mối quan hệ mô? ?un C2 (1-C2) mô? ?un, mô? ?un thỏa mãn điều kiện (C) Ta có, m? ?đun thỏa mãn điều kiện (C2) => m? ?đun thỏa mãn điều kiện. .. tiếp mô? ?un thỏa mãn điều kiện (C) mô? ?un thỏa mãn điều kiện (C) 2.3.12 Định lý Nếu mô? ?un M thỏa mãn điều kiện (C) hạng tử trực tiếp M mô? ?un thỏa mãn điều kiện (C) Chứng minh Giả sử M mô? ?un thỏa mãn