Chiều Hausdorff của các tập tự đồng dạng thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu có phủ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - NGUYỄN QUÝ DƯƠNG CHIỀU HAUSDORFF CỦA CÁC TẬP TỰ ĐỒNG DẠNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN KIỂU CĨ PHỦ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN QUÝ DƯƠNG CHIỀU HAUSDORFF CỦA CÁC TẬP TỰ ĐỒNG DẠNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN KIỂU CĨ PHỦ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ THỊ HỒNG THANH NGHỆ AN - 2014 MỤC LỤC Lời nói đầu Tập tự đồng dạng 1.1 Hệ hàm lặp tập bất biến 1.2 Độ đo Hausdorff chiều Hausdorff 1.3 Sự phân bố khối lượng 13 1.4 Chiều Hausdorff tập tự đồng dạng sinh hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở 15 Chiều Hausdorff tập tự đồng dạng sinh hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu có phủ 2.1 20 Chiều Hausdorff tập tự đồng dạng sinh hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu có phủ 20 2.2 Đặc trưng hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu có phủ 30 2.3 Một số ví dụ minh họa 36 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 LỜI NĨI ĐẦU Hình học Euclid có nhiều tác dụng to lớn tốn học đời sống Tuy nhiên, qua hình học Euclid ta nhìn vật dạng “đều đặn”, “trơn nhẵn” "lí tưởng" Với vật “xù xì”, “gồ ghề” núi, bờ biển, đám mây, hoa xúp lơ, dương xỉ, tượng khác thường toán học nhiều vật thể quen thuộc xung quanh ta, hình học Euclid khơng thể mơ tả đầy đủ xác Sự xuất hình học Fractal tất yếu để giúp giải vấn đề Dù có ba thập kỷ đời phát triển hình học Fractal nhanh chóng thu nhiều thành tựu đáng kinh ngạc nhiều lĩnh vực Cơng cụ để nghiên cứu hình học Fractal chiều Hausdorff, việc tính chiều Hausdorff lại khó Đối với tập fractal sinh hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở (Open Set Condition - OSC), người ta thiết lập cơng thức để tính chiều Hausdorff Tuy nhiên, có nhiều hệ hàm lặp quan trọng cần phải nghiên cứu không thỏa mãn điều kiện tập mở Trong trường hợp ta gọi hệ hàm lặp có phủ (Overlap) Khi đó, việc tính chiều Hausdorff lại khó Bước đầu, nhà tốn học đặt điều kiện cho hệ hàm lặp nghiên cứu việc tính chiều cho tập sinh hệ hàm lặp Chẳng hạn điều kiện hữu hạn kiểu (finite type condition - FTC), điều kiện tách yếu (weak separation property - WSP), điều kiện tách yếu * (weak separation property * - WSP*) điều kiện hữu hạn kiểu suy rộng (genaralized finite type condition - GFTC) Người ta thu số kết việc tính chiều, nghiên cứu cấu trúc tập tự đồng dạng sinh hệ hàm lặp kiểu mối quan hệ loại điều kiện với với điều kiện tập mở Trong điều kiện đưa điều kiện kiểu hữu hạn quan tâm nhiều có nhiều mối quan hệ với loại điều kiện khác, đồng thời có nhiều hệ hàm lặp quan trọng thỏa mãn điều kiện Bài toán nghiên cứu chiều, độ đo Hausdorff cấu trúc tập sinh hệ ánh xạ đồng dạng thỏa mãn FTC đưa S M Ngai Y Wang vào năm 2001 (xem [8]) nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu C T Bandt, S M Ngai, Y Wang, Nguyen To Nhu, Q R Deng, K S Lau, H Rao, R D Maulddin, S C Williams, Cho đến nay, toán thu số kết Vì vậy, để tập duyệt với NCKH tìm hiểu vấn đề chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Chiều Hausdorff tập tự đồng dạng thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu có phủ” Luận văn chia làm hai chương Chương Tập tự đồng dạng Chương trình bày số kiến thức hệ hàm lặp, tập Fractal, tập tự đồng dạng, độ đo Hausdorff số khái niệm chiều Fractal Cơng thức tính chiều Hausdorff hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở số ví dụ minh họa chọn đưa vào kết đẹp nỗ lực tính chiều Hausdorff tập Fractal Chương Chiều Hausdorff tập tự đồng dạng sinh hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu có phủ Chương trình bày trường hợp để tính chiều Hausdorff tập Fractal sinh hệ hàm lặp có phủ, hệ hàm lặp thỏa mãn hữu hạn kiểu Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc cô giáo TS Vũ Thị Hồng Thanh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người dạy tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Vinh Tác giả xin cảm ơn q Thầy giáo, Cơ giáo tổ Giải tích khoa Toán - Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn bè lớp Cao học 20 - chuyên ngành Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Kính mong q Thầy bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn hồn thiện Vinh, Ngày 24 tháng năm 2014 Tác giả CHƯƠNG TẬP TỰ ĐỒNG DẠNG Chương trình bày số kiến thức hệ hàm lặp, tập Fractal, tập tự đồng dạng, độ đo Hausdorff số khái niệm chiều Fractal 1.1 HỆ HÀM LẶP VÀ TẬP BẤT BIẾN Mục trình bày khái niệm loại ánh xạ, hệ hàm lặp, mêtric Hausdorff, tập bất biến qua hệ hàm lặp tập tự đồng dạng Cũng mục này, ta giả sử D ⊂ Rn , D = ∅ (thường lấy D = Rn ) ký hiệu |a − b| khoảng cách hai điểm a, b Rn 1.1.1 Định nghĩa ([3]) 1) Ánh xạ f : D −→ D gọi ánh xạ co D tồn c ∈ [0; 1) cho |f (x) − f (y)| c|x − y| ∀x, y ∈ D, c gọi tỷ số co 2) Ánh xạ f : D −→ D gọi ánh xạ đồng dạng D tồn c > cho |f (x) − f (y)| = c|x − y| ∀x, y ∈ D, c gọi tỷ số đồng dạng 3) Ánh xạ f : D −→ D gọi ánh xạ Lipschitz D tồn c > cho |f (x) − f (y)| c|x − y| ∀x, y ∈ D 4) Ánh xạ f : D −→ D gọi ánh xạ Holder D tồn c > α > cho |f (x) − f (y)| c|x − y|α ∀x, y ∈ D 5) Ánh xạ f : D −→ D gọi ánh xạ đẳng cự D |f (x) − f (y)| = |x − y| ∀x, y ∈ D 6) Ánh xạ f : D −→ D gọi ánh xạ song Lipschitz D tồn c1 , c2 > cho c2 |x − y| |f (x) − f (y)| c1 |x − y| ∀x, y ∈ D 1.1.2 Mệnh đề ([3]) Cho φ : D −→ D, đó, φ ánh xạ đồng dạng φ biểu diễn dạng sau φ(x) = ρ × R × x + b, x∈D (1.1) ρ ∈ (0; 1) tỷ số co φ, b ∈ Rn R ma trận trực giao cỡ n × n Chứng minh Rõ ràng φ(x) = ρ × R × x + b φ ánh xạ đồng dạng Ta chứng minh điều ngược lại Giả sử φ phép đồng dạng với tỉ số đồng dạng ρ > đó, ánh xạ g(x) = (φ(x) − φ(0)) ρ phép đẳng cự Hơn nữa, (1.2) x|y = ( x|x + y|y + x − y|x − y ) = (|x|2 + |y|2 + |x − y|2 ) nên g(x)|g(y) = x|y hay g bảo tồn tích vô hướng Giả sử {ei }n sở trực chuẩn Rn Khi đó, g bảo tồn tích vơ i=1 hướng nên {g(ei )}n sở trực chuẩn Rn , suy i=1 n g(x) = g(x)|g(ei ) g(ei ) i=1 n = (1.3) x|ei g(ei ) (Do g bảo tồn tích vô hướng) i=1 Từ (1.3) dễ dàng chứng minh g tuyến tính nhờ tuyến tính tích vơ hướng, g phép biến đổi trực giao nên g(x) = Ax với A ma trận trực giao cỡ n × n Từ (1.2) suy φ(x) = ρ × g(x) + φ(0) với φ(0) = b ∈ D Vậy, φ(x) = ρ × A × x + b 1.1.3 Định nghĩa ([3]) Một họ hữu hạn ánh xạ co {φj }q với φj : D −→ D j=1 gọi hệ hàm lặp (IFS - Iterated Function System) D 1.1.4 Định nghĩa ([3]) Cho D tập đóng khơng gian mêtric (Rn , d) với d mêtric xác định n |xi − yi |2 d(x, y) = |x − y| = i=1 với x = (x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) ∈ Rn Với x ∈ Rn tập A D ta xác định khoảng cách từ x đến tập A sau d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A} Với số thực dương δ, ta đặt Aδ = {x ∈ Rn : d(x, A) δ} tập gồm điểm cách tập A khoảng cách không δ Ta gọi Aδ δ−bao A Gọi K lớp tất tập compact khác rỗng D Với hai tập A, B thuộc K, ta ký hiệu dH (A, B) = inf{δ > : A ⊂ Bδ B ⊂ Aδ } (1.4) Nhận xét Công thức (1.4) tương đương với công thức dH (A, B) = max{sup{d(a, B)}, sup{d(b, A)} : a ∈ A, b ∈ B} 1.1.5 Định lý ([3]) Với cách xác định dH (1.4) dH mêtric K Hơn nữa, (K, dH ) không gian mêtric đầy đủ 1.1.6 Mệnh đề ([3]) Cho N ánh xạ co {Si }N D Ta xác định ánh xạ i=1 S : K −→ K N E −→ S(E) = Si (E) i=1 S ánh xạ co (1.5) Từ định lý 1.1.5 Mệnh đề 1.1.6 ta có kết sau 1.1.7 Định lý ([3]) Cho hệ hàm lặp {Si }m S ánh xạ xác định (1.5) i=1 Khi đó, ln tồn tập F ∈ K cho S(F ) = F Hơn nữa, có tập E ∈ K cho Si (E) ⊂ E (1 ∞ lặp lại k lần ánh xạ S, ta có F = i m) với S k S k (E) k=1 1.1.8 Định nghĩa ([3]) Cho hệ hàm lặp {Si }m i=1 1) Tập F xác định Định lý 1.1.7 gọi tập bất biến hay tập hút (attractor) hệ hàm lặp {Si }m i=1 2) Nếu Si (1 i m) ánh xạ đồng dạng tập bất biến F gọi tập tự đồng dạng (self-similar set) 3) Các tập bất biến qua hệ hàm lặp xem tập Fractal 1.1.9 Ví dụ 1) Đệm Sierpinski F tập xây dựng cách xuất phát từ hình vng đơn vị F0 = [0; 1] × [0; 1], chia thành hình vng nhỏ có độ dài cạnh , giữ lại hình vng xung quanh bỏ hình vng ta F1 Tiếp tục cho hình vuông F1 ta F2 Cứ tiếp tục đến bước thứ k ta Fk gồm 8k hình vng cạnh ∞ vơ hạn lần, ta F0 ⊃ F1 ⊃ ⊃ 3k Quá trình lặp lại Fj = F j=1 Hình 1.1: Tập Cantor Hình 1.2: Đệm Sierpinski 2.2.2 Định lý ([8]) Cho {φj (x)}q hệ hàm lặp xác định (2.1) Giả j=1 sử hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu Khi đó, với F tập bất biến hệ hàm lặp s = dimH F ta có < Hs (F ) < ∞ Chứng minh Theo [4] với tập tự đồng dạng F , ta có Hs (F ) < ∞ Do vậy, để chứng minh định lý, ta cần Hs (F ) > Ta điều cách xây dựng phân bố khối lượng B sử dụng nhánh đồ thị thu gọn GR Giả sử hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu tập mở bất biến bị chặn Ω Ta nhắc lại T1 , , TN kiểu lân cận hệ hàm lặp với T1 kiểu − log λ với λ = λ(S) lân cận [Ω(vroot )], S ma trận liên thuộc tương ứng s = log ρ bán kính phổ S Vì tất đỉnh GR sinh từ vroot tất kiểu lân cận sinh T1 nên ta tìm vectơ riêng x = [b1 , , bN ]T ma trận S ứng với vectơ riêng λ = λ(S) thỏa mãn b1 > bj với j N bj Lấy vectơ x∗ = [a1 , , aN ]T với aj = Khi đó, ta có aj với j = 1, 2, , N b1 a1 = Sx∗ = λx∗ Ta xác định phân bố khối lượng µ B sau Với nhánh Ivk với vk ∈ Vk thỏa mãn [Ω(vk )] = Ti , đặt µ(Ivk ) = λ−k (2.10) Ta chứng minh µ thực phân bố khối lượng B Thật vậy, để ý hai nhánh Iv Iv với v ∈ Vk v ∈ Vl , k l giao v = v với k = l v sinh từ v với k < l Trong hai trường hợp Iv ⊆ Iv Do đó, để µ phân bố khối lượng ta với v ∈ V µ(Iu ) = µ(Iv ) u∈D với D tập đỉnh v 31 (2.11) Giả sử v ∈ Vk [Ω(v)] = Ti Khi đó, từ (2.12) cách xác định S, ta có N µ(Iu ) = λ −k−1 sij aj = λ−k−1 λai = λ−k , j=1 u∈D hay (2.11) thỏa mãn Hơn nữa, ta có µ(B) = µ(Ivroot ) = nên µ phân bố khối lượng B Để chứng minh định lý, ta cần chuyển µ thành phân bố khối lượng tập bất biến F Để ý với k 1, ta có F = φj (F ) = φv (F ) (2.12) v∈Vk j∈Λk Vì φv (F ) ⊆ φv (F ) v sinh từ v ∈ GR đường (v0 , v1 , v2 , ) B tương ứng với điểm x ∈ F điểm φvk (F ) có k nhiều đường (v0 , v1 , v2 , ) B tương ứng với điểm x ∈ F Có nghĩa ta thiết lập ánh xạ từ T : B → F xác định bởi: với tập U ⊂ Rd , đặt C(U ) = T −1 (F ∩ U ) tất đường B tương ứng với điểm F ∩ U đặt µ∗ (U ) = µ(C(U )) Khi đó, rõ ràng µ∗ phân bố khối lượng F Cuối cùng, với sử ρk+1 δ ρ với tập U ⊂ Rd đường kính |U | δ giả ρk Theo Bổ đề 2.1.11, ta có U giao với không M tập |U | φv (F ), v ∈ Vk với M > số cho trước không phụ thuộc k Với l M, lấy v1 , , vl đỉnh Vk cho U ∩ φvj (F ) = ∅ Khi l ∗ µ (U ∩ F ) µ(Ivk ) M λ−k max {ai } i N j=1 Từ cơng thức tính s ta có λ−1 = ρs nên λ−k = ρks = ρ−s ρ(k+1)s ρ−s |U |s kéo theo µ(U ∩ F ) c|U |s với c = M ρ−s max{ai } Theo nguyên lý phân bố khối lượng (Định lý 1.3.3) ta i có Hs (F ) µ(F ) > Định lý chứng minh c 32 Nhận xét Tính chất hữu hạn kiểu nói chung bị phá vỡ thay đổi nhỏ hệ hàm lặp Dễ thấy điều từ ví dụ sau Chiều Hausdorff hệ hàm lặp φ1 (x) = x, φ2 (x) = (x + 1), φ3 (x) = (x + a) với hầu hết a Với số vô tỉ a, tập bất biến có độ đo Lesbegue H1 Vì vậy, hệ hàm lặp khơng có hữu hạn kiểu với hầu hết số vô tỉ a Nhưng hệ hàm lặp có hữu hạn kiểu với số hữu tỉ a Vì vậy, nói chung thay đổi nhỏ hệ hàm lặp phá vỡ tính chất hữu hạn kiểu Hơn nữa, hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu với tập mở bất biến bị chặn không thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu với tập mở bất biến bị chặn khác 2.2.3 Định lý ([8]) Cho {φj (x)}q hệ hàm lặp Rd xác định j=1 (2.1) Giả sử hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu tập bất biến F có chiều Hausdorff d Khi đó, F o = ∅ F o = F với F o ký hiệu phần phần F F ký hiệu bao đóng F Chứng minh Theo Định lý 2.2.2, ta có m(F ) = Hd (F ) > với m(·) ký hiệu độ đo Lesbegue Rd Vì vậy, tồn điểm x∗ ∈ F cn = m(F ∩ Bρn (x∗ )) −→ n → ∞ m(Bρn (x∗ )) (2.13) với ρ = minj ρj Chú ý F = φj (F ) Ta đặt j∈Λn Jn = {j ∈ Λn | ϕj (F ) ∩ Bρn (x∗ ) = ∅} Khi đó, |Jn | M với M độc lập với n Đặt ϕj (x) = ρ−n φj (x) − ρ−n x∗ Ta có Jn = {j ∈ Λn | ϕj (F ) ∩ B1 (0) = ∅} Đặt En = ϕj (F ) theo (2.13), ta có j∈Jn m(E ∩ B1 (0)) = cn m(B1 (0)) 33 Chọn dãy {nk } ⊂ {n} cho Enk hội tụ đến tập compact E theo mêtric Hausdorff Khi đó, dãy tập Enk ∩ B1 (0) hội tụ đến E ∩ B1 (0) theo Mêtric Hausdorff Điều dẫn đến m(E ∩ B1 (0)) lim m(Enk ∩ B1 (0)) = m(B1 (0)) k→∞ Suy E ∩ B1 (0) = B1 (0) Để ý ϕj phép tịnh tiến, phép quay hay phép vị tự, tỉ số vị tự số có giá trị nằm ρ−1 Mỗi Enk phủ {ϕj (F )}j∈Jnk với |Jnk | M Đường kính ϕj (F ) bị chặn Theo tính compact khơng gian mêtric phủ có phủ hữu hạn nên L E= Fj j=1 với L M Fj giới hạn {ϕjk (F )} Vì thế, Fj = τj (F ) với τj ánh xạ đồng dạng Rd Từ E0 = ∅ ta có Fjo = ∅ nên F o = ∅ Cuối cùng, với F := F o tập bất biến qua hệ hàm lặp (2.1) tập compact không rỗng nên F = F 2.2.4 Định lý ([8]) Giả sử hệ hàm lặp {φj (x)}q xác định (2.1) thỏa j=1 mãn điều kiện tập mở với tập mở Ω ρ1 , , ρq tỉ số đồng dạng ánh xạ hệ hàm lặp Giả sử thêm log ρ1 , , log ρq thông ước, nghĩa tỷ số chúng số hữu tỉ Khi đó, hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu Ω Chứng minh Đặt ρ = minj ρj Vì {log ρj }q thơng ước nên tập {ρ−k ρj | j ∈ j=1 Λk , k 0} hữu hạn Từ điều kiện tập mở, với k cho trước, tất φj (Ω), j ∈ Λk không giao nên lân cận Ω(v), v ∈ V gồm đỉnh v Vì vậy, với j ∈ Λk j ∈ Λk ta tìm τ (x) = ρk −k U x + c với U ma trận trực giao c ∈ Rd thỏa mãn φj = τ ◦ φj ρ−k ρj = ρ−k ρj Do đó, có hữu hạn lớp tương đương v ∈ V Vậy, hệ hàm lặp cho thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu 34 Ký hiệu M (Rd ) ma trận cỡ d × d với phần tử thuộc R Md (Z) ma trận cỡ d × d với phần tử thuộc Z 2.2.5 Định lý ([8]) Cho {φj (x)}q hệ hàm lặp Rd có dạng j=1 φj (x) = Anj x + bj , j q (2.14) với A phép biến đổi đồng dạng M (Rd ), nj ∈ N, bj ∈ Rd Giả sử A−1 ∈ Md (Z) bj ∈ Zd với j hệ hàm lặp thỏa mãn hữu hạn kiểu tập mở bất biến bị chặn hệ hàm lặp 2.2.6 Định nghĩa [7] Nghiệm α đa thức bất khả quy P (x) bậc n với hệ số nguyên gọi số nguyên đại số bậc n, nghiệm khác P (x) gọi thành phần liên hợp α Nếu α > tất nghiệm khác P (x) số thực phức có modul nhỏ 1, α gọi số Pisot 2.2.7 Định lý ([8]) Cho {φj (x)}q hệ hàm lặp Rd có dạng j=1 φj (x) = ω −nj Rj x + bj , với ω > số Pisot với j j q q, nj ∈ N, bj ∈ Rd Rj ma trận trực giao Giả sử {Rj }q sinh nhóm hữu hạn ma trận G j=1 G{bj | j q} ⊆ r1 Z[ω] × · · · × rd Z[ω] với r1 , , rn ∈ R hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu tập mở bất biến bị chặn Ω hệ hàm lặp Chứng minh Một tính chất qua trọng số Pisot ω với tập hữu hạn D ⊆ Z, tồn số ε0 > cho với đa thức h(x), g(x) ∈ D[x] ta có h(ω) = g(ω) |h(ω) − g(ω)| ε0 Một hệ trực tiếp tính chất cịn bảo tồn giả sử D tập hữu hạn rZ[ω] Giả sử E = G{bj | j q} ∆E := E − E · ∆E tập hợp hữu hạn Rd mà thành phần thứ i thuộc ri Z[ω] Khi đó, tồn ε0 > cho vectơ hệ số đa thức h(x), g(x) ∈ ∆E[x] ta có h(ω) = g(ω) |h(ω) − g(ω)| 35 ε0 Suy với bán kính R cho trước, có số bị chặn tập hợp phép biến đổi không tương đương tất {f (ω) | f (x) ∈ E[x]} ∩ BR (y), y ∈ Rd Đặt ρj = ω −nj ρ = ω −N với N = max nj Giả sử Ω tập bất biến bị j q chặn hệ hàm lặp với |Ω| = C Với đỉnh v ∈ Vk , ta xem xét lân cận ρ−k Ω(v) := ρ−k ρj Rj , ρ−k (0) Chú ý ρ−k ρj Rj ∈ {ω −i S | j ∈ Λk , π(j) ∈ Ω(v) i < M, S ∈ G}, xảy không N |G| giá trị dương Và ρ−k φj (0) ∈ E[ω] với j ∈ Λk Hơn nữa, ρ−k φj (Ω) tập mở với đường kính khơng lớn C Vì vậy, từ chỗ có số bị chặn phép biến đổi không tương đương {f (ω) | f (x) ∈ E[x]}∩BR (y) suy có số bị chặn tập hợp phép biến đổi không tương đương {ρ−k φj (0) | π(j) ∈ Ω(v)} tất đỉnh v ∈ Vk với k j ∈ Λk với k Cùng với hữu hạn ρ−k ρj Rj tất 0, ta suy có hữu hạn lớp tương đương tất Ω(v), v ∈ V 2.2.8 Mệnh đề ([2]) Hệ hàm lặp {φi }q hữu hạn kiểu Ω i=1 tập hợp ΦΩ hữu hạn log ρi , i=1,2, ,q, thông ước, đó, ∞ ΦΩ := {φ−1 φj : φi (Ω) ∩ φj (Ω) = ∅, i, j ∈ Λk } i k=1 2.3 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Mục trình bày ví dụ tìm chiều Hausdorff hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu trường hợp hệ số đồng dạng khơng hệ số đồng dạng 2.3.1 Ví dụ Tìm chiều Hausdorff tập tự đồng dạng F sinh hệ hàm lặp có phủ {φ1 , φ2 , φ3 } với φ1 (x) = x, φ2 (x) = x + , 27 φ3 (x) = x + 3 Theo Định lý 2.2, hệ hàm lặp {φ1 , φ2 , φ3 } hữu hạn kiểu với tập điều kiện hữu hạn kiểu Ω = (0; 1) Đặt T1 lớp kiểu lân cận vroot Khi đó, ta có Λ1 = {(11), (12), (13), (2), (31), (32), (33)} 36 V1 = 1 8 62 ( , 0, 1), ( , , 1), ( , , 1), ( , , 1), ( , , 1), ( , , 1), ( , , 1) 27 81 9 27 27 81 9 Ta thấy đỉnh v1 v5 có kiểu lân cận, v2 v6 có kiểu lân cận, Hình 2.2: Biểu diễn φj (Ω) với j ∈ Λ1 đỉnh v3 , v4 v7 có kiểu lân cận Từ đó, ta phân lớp kiểu lân cận đỉnh V1 bảng 2.1 Đỉnh Kiểu lân cận v7 = ( , , 1) T1 v1 = ( , 0, 1), v5 = ( , , 1) 9 T2 v2 = ( 27 , 81 , 1), v6 = ( 27 , 62 , 1) 81 T3 v3 = ( , , 1) T4 v4 = ( , 27 , 1) T5 Bảng 2.1: Phân lớp đỉnh V1 Từ kết này, ta thấy đỉnh (vroot ) có kiểu lân cận T1 sinh đỉnh đồ thị G gồm đỉnh có kiểu lân cận T1 , T4 , T5 , đỉnh có kiểu lân cận T2 đỉnh cịn lại có kiểu lân cận T3 Các đỉnh thuộc GR Nghĩa T1 −→ T1 + 2T2 + 2T3 + T4 + T5 Đỉnh v1 = ( , 0, 1) xác định j = (1, 1) ∈ Λ1 có kiểu lân cận T2 Nó sinh đỉnh G ứng với {(1111), (1112), (1113), (112), (1131), (1132), (1133)} ⊂ Λ2 37 đỉnh {( 1 8 62 , 0, 2), ( , , 2), ( , , 2), ( , , 2), ( , , 2),( , , 2), 81 243 729 81 81 81 243 81 27 243 729 ( , , 2)} ⊂ V2 81 81 với kiểu lân cận tương ứng T2 , T3 , T4 , T5 , T2 , T3 T1 Đỉnh v2 = ( 27 , 81 , 1) xác định j = (1, 2) ∈ Λ1 có kiểu lân cận T3 Nó sinh đỉnh G ứng với (121), (122), (123) ⊂ Λ2 đỉnh 80 ( 81 , 81 , 2), ( 243 , 729 , 2), ( 81 , 10 , 2) với kiểu lân cận tương ứng T1 , T2 , T3 81 Vì φ(1133) = φ(121) (1) < (33) nên bỏ cung k = (33) xây dựng đồ thị thu gọn GR Tóm lại đây, ta có T2 −→2T2 + 2T3 + T4 + T5 T3 −→T1 + T2 + T3 Tính tốn tương tự ta có T4 −→T2 + T3 + T4 + T5 T5 −→T1 + 2T2 + 2T3 + T4 + T5 Từ ta có ma trận liên thuộc hệ  0  S = 1  0 hàm lặp  2 1 2 1  1 0  1 1 2 1 Bán kính phổ ma trận S λ = λ(S) = 5.04891734 suy từ đa thức đặc trưng x3 − 6x2 + 5x − ma trận S ρ = mini ρi = min{ , } = Theo (2.8) 9 ta có dimH F = log λ log 5.04891734 = = 0.73691776 − log ρ log 2.3.2 Ví dụ Tìm chiều Hausdorff tập λ−Cantor F , λ = − 3n với n = Khi n = 1, tập λ−Cantor F tập tự đồng dạng F sinh hệ hàm lặp có phủ {φ1 , φ2 , φ3 } với φ1 (x) = x, φ2 (x) = x + , 38 φ3 (x) = x + 3 Theo Định lý 2.2, hệ hàm lặp {φ1 , φ2 , φ3 } hữu hạn kiểu với tập điều kiện hữu hạn kiểu Ω = (0; 1) Đặt T1 lớp kiểu lân cận vroot Khi Λ1 = {(1), (2), (3)} V1 = 2 ( , 0, 1), ( , , 1), ( , , 1) 3 3 Ta thấy đỉnh v1 có kiểu lân cận, v2 có kiểu lân cận v3 kiểu lân Hình 2.3: Biểu diễn φj (Ω) với j ∈ Λ1 cận Từ đó, ta phân lớp kiểu lân cận đỉnh V1 bảng 2.3 Đỉnh Kiểu lân cận v3 = (( , , 1) 3 T1 v1 = ( , 0, 1) T2 v2 = ( , , 1) T3 Bảng 2.2: Phân lớp đỉnh V1 Từ kết này, ta thấy đỉnh (vroot ) có kiểu lân cận T1 sinh đỉnh đồ thị G có kiểu lân cận T2 , T3 , T1 Các đỉnh thuộc GR Nghĩa T1 −→ T1 + T2 + T3 Đỉnh v1 = ( , 0, 1) xác định j = (1) ∈ Λ1 có kiểu lân cận T2 Nó sinh 3 đỉnh G ứng với {(11), (12), (13)} ⊂ Λ2 39 đỉnh 1 2 {( , 0, 2), ( , , 2), ( , , 2)} ⊂ V2 9 27 9 với kiểu lân cận tương ứng T2 , T3 , T1 Đỉnh v2 = ( , , 1) xác định j = (12) ∈ Λ1 có kiểu lân cận T3 Nó sinh đỉnh G ứng với {(21), (22), (23)} ⊂ Λ2 đỉnh 1 ( , , 2), ( , 27 , 2), ( , , 2) với kiểu lân cận tương ứng T1 , T2 , T3 9 Vì φ(13) = φ(21) (1) < (3) nên bỏ cung k = (3) xây dựng đồ thị thu gọn GR Tóm lại đây, ta có T2 −→T1 + T2 T3 −→T1 + T2 + T3 Từ ta có ma trận liên thuộc hệ hàm lặp   1 S = 1 0 1 Bán kính phổ λ = λ(S) = √ 3+ suy từ việc giải phương trình đặc trưng x3 − 3x2 + x = ma trận S ρ = mini ρi = Theo (2.8) ta có dimH F = √ 3+ log log λ = − log ρ log = 0.876035897 2.3.3 Ví dụ Tìm chiều Hausdorff tập bất biến sinh hệ hàm lặp gồm ba ánh xạ đồng dạng R2 φ1 (x, y) = (kx, ky), với k = φ2 (x, y) = (kx + k , ky), φ3 (x, y) = (k x, k y + k) √ 5−1 Theo Định lý 2.2, hệ hàm lặp {φ1 , φ2 , φ3 } hữu hạn kiểu với tập điều kiện hữu hạn kiểu Ω tam giác có đỉnh (0, 0), (0, 1), (1, 0) k −1 số Pisot {(0, 0), (k , 0), (0, k)} ⊆ Z[k] × Z[k] Đặt T1 lớp kiểu lân cận vroot Khi Λ1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3)}, V1 = { (k , (0, 0), 1), (k , (k , 0), 1), (k , (0, k ), 1), (k , (k , 0), 1), (k , (k, 0), 1), k , (k , k ), 1), (k , (0, k), 1) 40 Hình 2.4: Biểu diễn φj (Ω) với j ∈ Λ1 Vì k = √ 5−1 nên k + k = k Do v5 = (k , (k + k , 0), 1) = (k , (k, 0), 1) Các đỉnh V1 phân lớp bảng 2.3 Đỉnh Kiểu lân cận v7 = (k , (0, k), 1) T1 v3 = (k , (0, k ), 1), v6 = (k , (k , k ), 1) T2 v1 = (k , (0, 0), 1) T3 v2 = (k , (k , 0), 1) T4 v4 = (k , (k , 0), 1) T5 v5 = (k , (k, 0), 1) T6 Bảng 2.3: Phân lớp đỉnh V1 Vì vậy, T1 −→ T1 + 2T2 + T3 + T4 + T5 + T6 Đỉnh v3 = (k , (0, k ), 1) xác định j = (1, 3) ∈ Λ1 có kiểu lân cận T2 Nó sinh đỉnh G ứng với (131), 132, (133) ⊂ Λ2 đỉnh {(k , (0, k ), 2), (k , (k , k ), 2), (k , (0, k + k ), 2)} ⊂ V2 41 với kiểu lân cận tương ứng T2 , T3 T6 Vì vậy, T2 −→ T2 + T3 + T6 Đỉnh v1 = (k , (0, 0), 1) xác định j = (11) ∈ Λ1 có kiểu lân cận T3 Nó sinh đỉnh G ứng với (1111), (1112), (1113), (1121), (1122), (1123), (113) ⊂ Λ2 đỉnh {(k , (0, 0), 2), (k , (k , 0), 2), (k , (0, k ), 2),(k , (k , 0), 2), (k , (k , 0), 2), (k , (k , k ), 2), (k , (0, k ), 2)}, với kiểu lân cận tương ứng T3 , T4 , T2 , T5 , T7 , T2 , T1 Hình 2.5: Biểu diễn φj (Ω) với j = (11) j = (12) Đỉnh v2 = (k , (k , 0), 1) xác định j = (12) ∈ Λ1 có kiểu lân cận T4 Nó sinh đỉnh G ứng với (1211), (1212), (1213), (1221), (1222), (1223), (123) ⊂ Λ2 đỉnh {(k , (k , 0), 2), (k , (k + k , 0), 2), (k , (k , k ), 2),(k , (k , 0), 2), (k , (2k , 0), 2), (k , (k , k ), 2), (k , (k , k ), 2)} 42 với kiểu lân cận tương ứng T7 , T4 , T2 , T5 , T6 , T2 , T1 Vì φ(11) = φ(22) (11) < (22) nên bỏ cung k = (22) xây dựng đồ thị thu gọn GR Do T3 −→T1 + 2T2 + T3 + T4 + T5 Lý luận tương tự ta T4 −→T1 + T2 + T4 + T7 , T5 −→T1 + 2T2 + T4 + 2T5 , T6 −→T1 + 2T2 + T4 + T5 + T6 + T7 , T7 −→T1 + 2T2 + T4 + T5 + T7 Từ ta có ma trận liên thuộc  0  1   S = 0  1  1 2 hệ hàm lặp  1 1 0 0  1 0   0 1  0 0  2 1 1 Bán kính phổ λ = λ(S) = 5.04891734 giải từ phương trình đặc trưng x3 − 6x2 + 5x − = ma trận S ρ = mini ρi = min{k, k } = k Theo (2.8) ta có dimH F = log 5.04891734 log λ = = 1.6823919 − log ρ −2 log k 43 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau Tìm hiểu trình bày lại cách hệ thống phân bố khối lượng, độ đo chiều Hausdorff Chứng minh chi tiết cơng thức tính chiều Hausdorff tập fractal sinh hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở Tìm hiểu tính chất hệ hàm lặp có phủ Trình bày chi tiết cụ thể khái niệm, điều kiện cần đủ để hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu có phủ cơng thức tính chiều tập fractal sinh hệ hàm lặp Chứng minh chi tiết kết có tài liệu chưa chứng minh chi tiết chứng minh cịn vắn tắt, Mệnh đề 1.1.2, Định lí 1.4.3, Mệnh đề 2.1.7, Bổ đề 2.1.12, Định lí 2.1.16, Định lí 2.2.2 Trình bày chi tiết ba ví dụ ứng dụng cơng thức tính chiều trình bày hệ hàm lặp R R2 thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu có phủ cho hai trường hợp tỉ số đồng dạng không tỉ số đồng dạng 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] C Bandt and N.V Hung (2008), Self-similar sets with open set condition and great variety of overlaps, Proc Amer Math Soc., 136, 3895 – 3903 [2] Q R Deng, K S Lau, and S M Ngai, On the finite type condition, Preprint [3] K J Falconer (1990), Fractal Geometry- Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Sons, Ltd., Chichester [4] J E Hutchinson (1981), Fractals and self similarity, Indiana Univ Math J., 30, 713 – 747 [5] K S Lau, S M Ngai and H Rao (2001), Iterated Function System with Overlaps and Self-similar Measure, J London Math Soc., 63, 99 – 116 [6] K S Lau and S M Ngai and H Rao (2007), A generalized finite type condition for iterated function systems, Adv Math., 63, 647 – 671 [7] S P Lalley (1997), β− expansions with deleted digits for Pisot numbers, Tran Amer Math Soc., 349, 4355 – 4365 [8] S M Ngai and Y Wang (2001), Hausdorff dimension of self-similar sets with overlaps, J London Math Soc., 63, 655 – 672 [9] N Nguyen (2002), Iterated function systems of finite type and the weak separation property, Proc Amer Math Soc., 130, 483 – 487 [10] Tian-jia Ni and Zhi-ying Wen (2014), Open set condition for graph directed self-similar structure,Math Z., 276, 243 – 260 [11] H Rao and Z Y Wen (1998), A class of self-similar fractals with overlap structure, Adv In appl Math., 20, 50 – 72 45 ... Hausdorff tập tự đồng dạng sinh hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở 15 Chiều Hausdorff tập tự đồng dạng sinh hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu có phủ 2.1 20 Chiều. .. hàm lặp thỏa mãn hữu hạn kiểu Hình 2.1: Hình minh họa Fractal thỏa mãn OSC Fractal có phủ 2.1 CHIỀU HAUSDORFF CỦA TẬP TỰ ĐỒNG DẠNG SINH BỞI HỆ HÀM LẶP THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN KIỂU CĨ PHỦ Mục... 2.1 20 Chiều Hausdorff tập tự đồng dạng sinh hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu có phủ 20 2.2 Đặc trưng hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu có phủ 30 2.3