Cấu trúc, độ đo và chiều hausdorff của lớp tập - cantor

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ HOÀI THƯƠNG CẤU TRÚC, ĐỘ ĐO VÀ CHIỀU HAUSDORFF CỦA LỚP TẬP λ - CANTOR Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ THỊ HỒNG THANH NGHỆ AN - 2014 Mục lục 1 Kiến thức cơ sở 5 1.1 Các loại ánh xạ và tập bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Độ đo và chiều Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Chiều Hausdorff của tập tự đồng dạng thỏa mãn điều kiện tập mở . . . . . 11 2 Cấu trúc, độ đo và chiều Hausdorff của tập λ - Cantor 13 2.1 Cấu trúc và chiều Hausdorff của tập λ - Cantor . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Phân loại cấu trúc phủ của tập λ - Cantor theo λ . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Độ đo và chiều Hausdorff của tập λ - Cantor với một số giá trị cụ thể của λ 29 Tài liệu tham khảo 34 1 LỜI NÓI ĐẦU Hình học Fractal là một lĩnh vực mới và hấp dẫn của toán học. Dù mới chỉ có hơn ba thập kỷ ra đời và phát triển nhưng hình học Fractal đã thu được nhiều thành tựu đáng kinh ngạc trong nhiều lĩnh vực và luôn thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học. Công cụ chính để nghiên cứu hình học Fractal là độ đo và chiều Hausdorff. Việc tính chiều Hausdorff là rất khó. Đối với những tập fractal sinh bởi hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở (Open Set Condition - OSC) người ta đã thiết lập được công thức đẹp để tính chiều Hausdorff. Tuy nhiên, đối với các tập sinh bởi hệ hàm lặp không thỏa mãn OSC thì việc tính chiều Hausdorff là rất khó. Điều này tựa như việc tính độ đo của hợp hai tập hợp có giao với nhau. Trong trường hợp này, bước đầu, các nhà toán học xét các tập fractal là mở rộng của các tập fractal quen thuộc thỏa mãn điều kiện tập mở. Tập λ - Cantor là một tập fractal không thỏa mãn OSC, nó là mở rộng của tập Cantor cổ điển quen thuộc. Nó được ngiên cứu bởi nhiều nhà toán học như H. Rao và Z. Y. Wen trong [2], M. Kean, M. Smorodinsky và B. Solomyak trong [7], M. Pollicot và K. Simon trong [8]. Từ việc nghiên cứu cấu trúc, độ đo và chiều Hausdorff của tập λ - Cantor ta có thể mở rộng nghiên cứu cho các tập là mở rộng của tam giác Sierpinsky, đường cong và hình bông tuyết Von Koch, rồng Hightway, Vì vậy, để tập duyệt với nghiên cứu khoa học và tìm hiểu về vấn đề này chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình là: “Cấu trúc, độ đo và chiều Hausdorff của lớp tập λ - Cantor”. Mục đích của luận văn là nghiên cứu độ đo và chiều Hausdorff. Từ đó, nghiên cứu cấu trúc, độ đo và chiều Hausdorff của lớp tập λ - Cantor, làm cơ sở để nghiên cứu về độ đo và chiều Hausdorff của một số fractal không thỏa mãn OSC. Ngoài Lời mở đầu, Mục lục và Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1. Kiến thức cơ sở. Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về tập tự đồng dạng, tập fractal, độ đo, độ đo Hausdorff và chiều Hausdorff. Chương 2. Cấu trúc, độ đo và chiều Hausdorff của lớp tập λ - Cantor. Trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu được về cấu trúc, độ đo và chiều Hausdorff của lớp tập λ- Cantor. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc của cô giáo TS. Vũ Thị Hồng Thanh. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn 2 sâu sắc nhất đến Cô, người đã chỉ bảo cho tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học, quý Thầy giáo - Cô giáo trong tổ Giải tích của khoa SP Toán học Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là bạn bè trong lớp Cao học 20 - chuyên ngành Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tâp và nghiên cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Kính mong quý Thầy Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn. Nghệ An, tháng 10 năm 2014 Tác giả 3 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về ánh xạ, hệ hàm lặp, tập bất biến, độ đo, độ đo Hausdorff và chiều Hausdorff. 1.1 CÁC LOẠI ÁNH XẠ VÀ TẬP BẤT BIẾN Mục này trình bày các khái niệm về các loại ánh xạ, hệ hàm lặp, tập bất biến qua một hệ hàm lặp, tập tự đồng dạng và tập fractal. Trong mục này, kí hiệu |x − y| được hiểu là khoảng cách thông thường giữa hai phần tử x và y trong R n . 1.1.1 Định nghĩa ([9]). Giả sử D ⊂ R n , D = ∅ (thường lấy D = R n ). i) Ánh xạ f : D −→ D được gọi là một ánh xạ co trên D nếu tồn tại c ∈ [0; 1) sao cho |f(x) − f(y)|  c|x − y| với ∀x, y ∈ D, c được gọi là tỷ số co. ii) Ánh xạ f : D −→ D được gọi là một ánh xạ đồng dạng trên D nếu tồn tại c > 0 sao cho |f(x) − f(y)| = c|x − y| với ∀x, y ∈ D, c được gọi là tỷ số đồng dạng. iii) Ánh xạ f : D −→ D được gọi là một ánh xạ đẳng cự trên D nếu |f(x) − f(y)| = |x − y| với ∀x, y ∈ D. iv) Ánh xạ f : D −→ D được gọi là một ánh xạ Lipschitz trên D nếu tồn tại c > 0 sao cho |f(x) − f(y)|  c|x − y| với ∀x, y ∈ D. v) Ánh xạ f : D −→ D được gọi là một ánh xạ Holder trên D nếu tồn tại c > 0 và α > 0 sao cho |f(x) − f(y)|  c|x − y| α với ∀x, y ∈ D. 4 1.1.2 Mệnh đề ([3]). Cho f : D −→ D. Khi đó, f là ánh xạ đồng dạng khi và chỉ khi f có thể biểu diễn được dưới dạng sau f(x) = ρ × R × x + b trong đó ρ ∈ (0; 1) là tỷ số đồng dạng của f, b ∈ R n và R là ma trận trực giao cỡ n × n. 1.1.3 Định nghĩa ([5]). Một họ hữu hạn ánh xạ co {f i } m i=1 với f i : D −→ D được gọi là một hệ hàm lặp (IFS - Iterated Function System) trên D. 1.1.4 Định nghĩa. Cho D là một tập con đóng trong không gian mêtric (R n , d) với d là mêtric được xác định bởi d(x, y) = |x − y| =     n  i=1 (x i − y i ) 2 , ∀x = (x 1 , . . . , x n ), y = (y 1 , . . . , y n ) ∈ R n . Với mỗi x ∈ R n và mỗi tập con A của D ta xác định khoảng cách từ x đến tập A như sau d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A}. Với mỗi số thực dương δ, ta đặt A δ = {x ∈ R n : d(x, A)  δ} là tập gồm những điểm cách tập A một khoảng cách không quá δ. Ta gọi A δ là δ−bao của A. Gọi K là lớp tất cả các tập con compact khác rỗng của D. Với hai tập A, B thuộc K, ta ký hiệu d H (A, B) = inf{δ > 0 : A ⊂ B δ và B ⊂ A δ }. (1.1) 1.1.5 Định lý ([5]). Với cách xác định d H như (1.1) thì d H là một mêtric trên K. Hơn nữa, (K, d H ) là không gian mêtric đầy đủ. 1.1.6 Mệnh đề ([5]). Cho N ánh xạ co {S i } N i=1 trên D. Ta xác định ánh xạ S : K −→ K E −→ S(E) = N  i=1 S i (E) (1.2) khi đó S là ánh xạ co. 5 Từ Mệnh đề 1.1.6 và Định lý 1.1.5 ta có định lý sau. 1.1.7 Định lý ([5]). Cho hệ hàm lặp {S i } m i=1 và S là ánh xạ được xác định như (1.2). Khi đó, luôn tồn tại duy nhất một tập F ∈ K sao cho S(F ) = F . Hơn nữa, nếu có tập E ∈ K sao cho S i (E) ⊂ E (1  i  m) thì với S k là sự lặp lại k lần ánh xạ S ta có F = ∞  k=1 S k (E). Từ Định lý 1.1.7 ta có định nghĩa sau. 1.1.8 Định nghĩa ([5]). Cho hệ hàm lặp {S i } m i=1 trên D. Khi đó, ta định nghĩa 1) Tập F ∈ K sao cho S(F ) = F được gọi là tập bất biến hay tập hút (attractor) của hệ hàm lặp {S i } m i=1 . 2) Nếu S i (1  i  m) là ánh xạ đồng dạng thì tập bất biến F được gọi là tập tự đồng dạng (self-similar set). 3) Các tập bất biến được xem là các tập Fractal. 1.1.9 Ví dụ. 1) Tập Cantor cổ điển F được xây dựng bằng cách lấy đoạn thẳng [0; 1] chia làm ba phần bằng nhau và bỏ đi khoảng mở I =  1 2 ; 3 2  được tập F 1 =  0; 1 3  ∪  2 3 ; 1  . Lặp lại bước trên cho hai đoạn của F 1 ta có tập F 2 . Tiếp tục tiến hành như vậy ta có dãy các tập F 0 = [0; 1] ⊃ F 1 ⊃ F 2 ⊃ . . . ⊃ ∞  i=0 F i = F. Hình 1.1: Tập Cantor Tập cantor F là một tập tự đồng dạng sinh bởi hệ hàm lặp {S i } 2 i=1 trên [0, 1] với S 1 (x) = 1 3 x, S 2 (x) = 1 3 x + 2 3 . 2) Tập được xây dựng bằng cách xuất phát từ hình vuông đơn vị, chia nó thành 16 hình vuông nhỏ có độ dài cạnh là 1 4 , giữ lại 4 hình vuông ở 4 góc và bỏ đi 12 hình vuông khác. Làm như thế cho 4 hình vuông được giữ lại và cứ tiếp tục mãi. Đến bước thứ k ta có 4 k hình vuông cạnh là 1 4 k . Quá trình này được lặp lại vô hạn lần, khi đó ta thu được bụi Cantor. Tương tự như tập Cantor, bụi Cantor là tập tự đồng dạng sinh bởi hệ hàm lặp {S i } 4 i=1 6 trên [0, 1]X[0, 1] với S 1 (x, y) =  x 4 + 1 4 , y 4  , S 2 (x, y) =  x + 3 4 , y + 1 4  , S 3 (x, y) =  x 4 + 1 2 , y + 3 4  , S 4 (x, y) =  x 4 , y 4 + 1 2  . 1.2 ĐỘ ĐO VÀ CHIỀU HAUSDORFF Phần này giới thiệu khái niệm và các tính chất cơ bản về độ đo, độ đo Hausdorff và chiều Hausdorff. 1.2.1 Định nghĩa ([5]). Cho X là tập khác ∅. Một đại số hay một trường là một lớp các tập con của X thỏa mãn 1) Chứa X và ∅. 2) Khép kín đối với mọi phép toán về tập hợp (hợp, giao, phần bù, trừ và trừ đối xứng AB = (A\B) ∪ (B\A)). 1.2.2 Định nghĩa ([5]). Cho X là một tập hợp tùy ý và C là đại số các tập con của X. 1. Hàm tập µ : C → R được gọi là một độ đo trên C nếu thỏa mãn các điều kiện sau i) µ (A)  0 với mọi A ∈ C; ii) µ (φ) = 0; iii) µ là σ - cộng tính, tức là nếu A i ∈ C (i = 1, 2, ), A i ∩ A j = ∅ (i = j), ∞  i=1 A i ∈ C thì µ( ∞  i=1 A i ) = ∞  i=1 µ(A i ). 2. Hàm µ được gọi là một độ đo ngoài trên C nếu µ thỏa mãn i), ii) và thay iii) bởi iii’) là iii’) Nếu A i ∈ C (i = 1, 2, ), ∞  i=1 A i ∈ C thì µ( ∞  i=1 A i ) ≤ ∞  i=1 µ(A i ). 1.2.3 Định lý ([5]). Giả sử µ ∗ là độ đo ngoài trên X. Kí hiệu L = { A ⊂ X : µ ∗ (E) = µ ∗ (E ∩ A) + µ ∗ (E \ A) }. Khi đó, L là một đại số và µ = µ ∗ /L là một độ đo trên L. µ được gọi là độ đo sinh bởi độ đo ngoài µ ∗ . 7 Tập A ∈ L được gọi là tập µ ∗ - đo được. 1.2.4 Định nghĩa ([5]). 1) Cho F ⊂ R n , F = ∅. Khi đó, đường kính của tập F được xác định bởi công thức |F | = sup {d(x, y) : x, y ∈ F}. 2) Cho {U i } là một họ đếm được các tập con trong R n . Nếu F ⊂ ∞  i=1 U i thì {U i } được gọi là một phủ của F . Nếu thêm điều kiện 0 < |U i |  δ với mọi i, trong đó δ > 0 cho trước thì {U i } được gọi là một δ−phủ F . 1.2.5 Nhận xét. Với F ⊂ R n , s  0 và δ > 0 ta đặt H s δ (F ) = inf  ∞  i=1 |U i | s : {U i } là δ − phủ F  . (1.3) Khi đó, H s δ (F ) là hàm nghịch biến theo δ. Do vậy, luôn tồn tại lim δ→0 H s δ (F ) (dù giới hạn này có thể là ∞). Ta ký hiệu H s (F ) = lim δ→0 H s δ (F ). 1.2.6 Định lý ([5]). Cho C là lớp các tập con của R n , với mỗi s  0 hàm tập H s : C −→ R n xác định bởi H s (F ) = lim δ→0 H s δ (F ) với F ∈ C là một độ đo ngoài trên C. Từ Định lý 1.2.6 ta đi đến định nghĩa sau. 1.2.7 Định nghĩa ([5]). Độ đo sinh bởi độ đo ngoài H s được gọi là độ đo Hausdorff trên σ−đại số L các tập con H s −đo được của R n . Tập F ⊂ R n thỏa mãn 0 < H s (F ) < +∞ được gọi là s−tập. Sau đây là một số tính chất của độ đo Hausdorff. 1.2.8 Định lý ([5]). Cho λ, s > 0 và F ⊂ R n . 1) Khi đó, H s (λF ) = λ s H s (F ) với λF = {λx: x ∈ F }. 2) Nếu f là ánh xạ đồng dạng với tỉ số đồng dạng là λ > 0 thì với F ⊂ R n , ta có H s (f(F )) = λ s H s (F ). 3) Nếu f là một ánh xạ đẳng cự trên F , thì H s (f(F )) = H s (F ). 4) Nếu f là một ánh xạ Lipschitz trên F, thì H s (f(F ))  c s H s (F ). 8 5) Nếu f là một ánh xạ Holder trên F, thì H s/α (f(F ))  c s/α H s (F ). 1.2.9 Mệnh đề ([5]). Nếu F là tập hữu hạn thì H s (F ) = 0 với mọi s > 0. 1.2.10 Mệnh đề ([5]). Với δ > 0 và t > s  0, F ⊂ R n ta luôn có H t δ (F )  δ t−s H s δ (F ). Từ mệnh đề trên ta có nhận xét sau mà nó là cơ sở dẫn đến khái niệm chiều Hausdorff. 1.2.11 Nhận xét. 1) Nếu H s (F ) < ∞ thì H t (F ) = 0 với mọi t > s  0. 2) Nếu H t (F ) > 0 thì H s (F ) = ∞ với mọi t > s  0. 1.2.12 Mệnh đề ([5]). Cho ∅ = F ⊂ R n là tập Borel. Khi đó, luôn tồn tại duy nhất một giá trị s F ∈ [0; +∞] để 1. H s (F ) = 0 với mọi s > s F . 2. H s (F ) = +∞ với mọi s < s F . 1.2.13 Định nghĩa ([5]). Cho F ⊂ R n . Số s F ∈ [0; +∞] được nói tới trong Mệnh đề 1.2.12 được gọi là chiều Hausdorff của F , ký hiệu dim H F . 1.2.14 Nhận xét. Nếu F ⊂ R n thì 1. dim H F = inf{s: H s (F ) = 0} = sup{s : H s (F ) = ∞}. 2. Nếu tồn tại s ∈ [0; +∞] để 0 < H s (F ) < ∞ thì dim H F = s. Sau đây là một số tính chất của chiều Hausdorff. 1.2.15 Mệnh đề ([5]). 1) Nếu E ⊂ F ⊂ R n thì dim H E  dim H F (tính đơn điệu). 2) dim H ∞  i=1 F i = sup i=1,2, {dim H F i } (tính ổn định đếm được). 3) dim H F = 0 với mọi tập đếm được F ⊂ R n . 4) Nếu F là tập mở trong R n , F = ∅ thì dim H F = n. 5) Nếu F là đa tạp con trơn m chiều trong R n thì dim H F = m. 6) dim H R n = n. 1.2.16 Mệnh đề ([5]). Giả sử f : F → R n . 1) Nếu f là ánh xạ Holder thì dim H f(F ) ≤ 1 α dim H F. 9 [...]... Hausdorff của lớp tập này CẤU TRÚC VÀ CHIỀU HAUSDORFF CỦA LỚP TẬP λ - CANTOR 2.1 2.1.1 Cấu trúc của lớp tập λ - Cantor 2.1.1.1 Định nghĩa([2]) Cho λ ∈ [0, 1] và hệ hàm lặp được xác định bởi 1 1 λ 1 2 S1 (x) = x, S2 (x) = x + và S3 (x) = x + 3 3 3 3 3 là ba ánh xạ đồng dạng trên [0, 1] Khi đó, tập tự đồng dạng được sinh bởi ba ánh xạ đồng dạng này, kí hiệu là Fλ và được gọi là tập λ - Cantor 2.1.1.2... chứng minh ĐỘ ĐO VÀ CHIỀU HAUSDORFF CỦA TẬP λ - CANTOR VỚI MỘT 2.3 SỐ GIÁ TRỊ CỤ THỂ CỦA λ Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày một số ví dụ về tính chiều Hausdorff của Fλ với một số giá trị cụ thể của λ dựa vào Định lí 2.1.3.14 Đặc biệt, chúng tôi sẽ xem xét đến ma trận truy hồi liên kết và giá trị riêng PF 2.3.1 Chiều Hausdorff của tập λ - Cantor trong trường hợp λ = 1 − 1/3n Theo các kết quả của phần... kiện tập mở Do đó, việc nghiên cứu cách tính chiều Hausdorff của các tập sinh bởi hệ hàm lặp có phủ là rất cần thiết Tập Cantor được sinh bởi hệ hàm lặp thỏa mãn OSC và có nhiều tính chất thú vị Người ta đã mở rộng tập Cantor thành tập λ - Cantor mà chúng sinh bởi hệ hàm lặp không thỏa mãn OSC Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả nghiên cứu được về cấu trúc, độ đo và chiều Hausdorff của. .. nghiệm của phương trình 1 3 s + 1 3 s = 1 hay s = 11 log 2 log 3 CHƯƠNG 2 CẤU TRÚC, ĐỘ ĐO VÀ CHIỀU HAUSDORFF CỦA LỚP TẬP λ - CANTOR Các tập tự đồng dạng được sinh bởi hệ hàm lặp thỏa mãn OSC, người ta đã chỉ ra công thức khá đơn giản để tính chiều Hausdorff như ở Định lí 1.3.2 Tuy nhiên, việc kiểm tra hệ hàm lặp có thỏa mãn điều kiện tập mở hay không là rất khó Có rất nhiều hệ hàm lặp quan trọng và phong... trên [0, 1] 2.1.3 Cấu trúc và chiều Hausdorff của tập λ - Cantor trong trường hợp có phủ hoàn toàn Trong phần trước, chúng ta đã thấy nếu λ ∈ Qnc thì |Fλ | > 0 và điều kiện tập mở thỏa mãn Nếu λ ∈ Qc thì |Fλ | = 0 Vì vậy, để xác định cụ thể chiều Hausdorff của tập λ Cantor, trong phần này chúng tôi sẽ xem xét cấu trúc của Fλ với λ ∈ Qc Ta sẽ thấy, Fλ là một tập A - hoàn hảo theo nghĩa Marion 2.1.3.1... nguyên thủy và có thể kiểm tra bằng phương pháp quy nạp rằng 1 + ω là một giá trị riêng PF liên kết với vec tơ riêng Vn của M Từ những kết quả trên ta có √ log(1 + 5)/2 log ω dimH Fλ = = = 0, 44 log 3 log 3 31 KẾT LUẬN Luận văn thu được các kết quả sau 1 Trình bày các kiến thức cơ sở về độ đo và chiều Hausdorff 2 Trình bày và chứng minh chi tiết về cấu trúc và chiều Hausdorff của tập λ - Cantor trong... niệm về chiều hộp, mối liên hệ giữa chiều hộp và chiều Hausdorff 1.2.17 Định nghĩa ([5]) Cho F ⊂ Rn , F = ∅ và bị chặn Kí hiệu Nδ (F ) là số tối thiểu các tập có đường kính không vượt quá δ và phủ F Chiều hộp trên và chiều hộp dưới của F lần lượt được định nghĩa bởi log Nδ (F ) δ→0 − log δ dimB (F ) = lim và dimB (F ) = limδ→0 log Nδ (F ) − log δ log Nδ (F ) = s, khi đó s được gọi là chiều hộp của δ→0... nhau, kí hiệu là I1 , , IV và mỗi khoảng phần tử của kiểu Ii cho ta aij khoảng của Fλ,k+1 với kiểu là Ii Hơn nữa, độ dài của của mỗi khoảng phần tử của Fλ,k với kiểu Ii gấp 3 lần độ dài của mỗi khoảng phần tử của Fλ,k+1 và cùng kiểu Lấy khoảng phần tử thứ k là Uj với kiểu là Ij và ta đặt Ej = Uj ∩ Fλ Khi đó, ta có {Ej }1≤j≤V là họ các tập A - hoàn hảo Từ các kết quả trên và Định lí 2.1.3.7 ta có định... PF 3 log 3 Hơn nữa, Fλ là một s - tập 2.2 PHÂN LOẠI CẤU TRÚC PHỦ CỦA TẬP λ - CANTOR THEO λ Trong kết quả đã chỉ ra ở phần trước, ta có dimH Fλ = 1 nếu λ ∈ Qnc và dimH Fλ < 1 nếu λ ∈ Qc Do vậy, việc tìm xem với điều kiện nào của a, b thì λ ∈ Qnc và với điều kiện nào của a, b thì λ ∈ Qc là cần thiết Từ cách xác định Qnc và Qc thì bài toán trên trở thành tìm điều kiện của a, b để Fλ có hay không có phủ... = S2 và Fλ chính là tập Cantor cổ điển Khi đó, dimH = log 2/ log 3 Tuy nhiên, nếu vẫn xem là ba ánh xạ thì hệ hàm lặp này không thỏa mãn OSC 2) Nếu λ = 1 thì Fλ = [0, 1] Khi đó, dimH = 1 và hệ hàm lặp này thỏa mãn OSC 3) Nếu 0 < λ < 1 thì cấu trúc của Fλ khá phức tạp và khi đó các câu hỏi sau được đặt ra một cách tự nhiên i) Hệ hàm lặp {S1 , S2 , S3 } có thỏa mãn OSC không? ii) Độ đo và chiều Hausdorff . 8 1.3 Chiều Hausdorff của tập tự đồng dạng thỏa mãn điều kiện tập mở . . . . . 11 2 Cấu trúc, độ đo và chiều Hausdorff của tập λ - Cantor 13 2.1 Cấu trúc và chiều Hausdorff của tập λ - Cantor. văn là nghiên cứu độ đo và chiều Hausdorff. Từ đó, nghiên cứu cấu trúc, độ đo và chiều Hausdorff của lớp tập λ - Cantor, làm cơ sở để nghiên cứu về độ đo và chiều Hausdorff của một số fractal. fractal, độ đo, độ đo Hausdorff và chiều Hausdorff. Chương 2. Cấu trúc, độ đo và chiều Hausdorff của lớp tập λ - Cantor. Trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu được về cấu trúc,