MÃN ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN KIỂU CÓ PHỦ
2.2. ĐẶC TRƯNG CỦA HỆ HÀM LẶP THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN KIỂU CÓ PHỦ
HẠN KIỂU CÓ PHỦ
Trong Mục 2.1 chúng tôi đã trình bày công thức khá đơn giản để tính chiều Hausdorff của các tập sinh bởi hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu. Đồng thời, nếu một hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu thì ngoài việc cho ta biết công thức tính chiều ta còn biết thêm được gì về cấu trúc, độ đo Hausdorff, ... của tập bất biến tương ứng. Vậy, vấn đề đặt ra là làm sao để biết một hệ hàm lặp như thế nào thì thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu. Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số đặc trưng của hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu.
Để đơn giản, nếu u,v là hai đỉnh mà u là đỉnh ngọn của vtrong đồ thị thu gọn
GR thì ta ký hiệu v 7−→Ru. Trong phần này, ta vẫn sử dụng các ký hiệu như trong Mục 2.1. Trước hết ta cần định nghĩa sau.
2.2.1 Định nghĩa ([8]). i) Một đường đi trong GR là dãy vô hạn (v0,v1,v2. . .)
các đỉnhvj ∈ Vj và vj 7−→ Rvj+1 với mọi j > 0và v0 =vroot =π(∅). Ký hiệu B là tập hợp tất cả các đường đi của GR.
ii) Một nhánh trong GR là tập hợp
Iv0,v1,...,vk :={(u0,u1,u2, . . .) ∈ B | uj = vj,06j 6k},
trong đó v0 = vroot, vj ∈ Vj và vj 7−→ Rvj+1.
Nhận xét. Theo Mệnh đề 2.1.10.(i), ta có đường đi từ v0 tới vk là duy nhất. Vì vậy, để đơn giản ta ký hiệu
2.2.2 Định lý ([8]). Cho {φj(x)}qj=1 là hệ hàm lặp được xác định như (2.1). Giả sử rằng hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu. Khi đó, với F là tập bất biến của hệ hàm lặp và s = dimHF ta có
0<Hs(F) <∞.
Chứng minh. Theo [4] thì với tập tự đồng dạng F, ta có Hs(F) < ∞. Do vậy, để chứng minh định lý, ta chỉ cần chỉ ra Hs(F) > 0. Ta sẽ chỉ ra điều này bằng cách xây dựng một sự phân bố khối lượng trên B và sử dụng nhánh trong đồ thị thu gọn
GR.
Giả sử hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu đối với tập mở bất biến bị chặnΩ. Ta nhắc lại rằng T1, . . . ,TN là các kiểu lân cận của hệ hàm lặp với T1 là kiểu lân cận [Ω(vroot)], S là ma trận liên thuộc tương ứng và s = −logλ
logρ với λ = λ(S)
là bán kính phổ của S.
Vì tất cả các đỉnh của GR đều được sinh từ vroot và tất cả các kiểu lân cận đều được sinh ra bởiT1 nên ta có thể tìm được một vectơ riêngx= [b1, . . . , bN]T của ma trận S ứng với vectơ riêng λ =λ(S) thỏa mãn b1 >0 và bj > 0với mọi 26j 6N.
Lấy vectơ x∗ = [a1, . . . , aN]T với aj = bj
b1. Khi đó, ta cóaj >0 với j = 1,2, ..., N a1 = 1 và Sx∗ = λx∗.
Ta xác định một sự phân bố khối lượng µ trên B như sau. Với mỗi nhánh Ivk với vk ∈ Vk thỏa mãn [Ω(vk)] =Ti, đặt
µ(Ivk) =λ−kai. (2.10)
Ta chứng minh µ quả thực là một phân bố khối lượng trên B.
Thật vậy, để ý rằng hai nhánh Iv và Iv0 với v ∈ Vk và v0 ∈ Vl, k6 l giao nhau khi và chỉ khi v0 =v với k =l và v0 được sinh từ v với k < l. Trong cả hai trường hợp thìIv0 ⊆ Iv. Do đó, để chỉ ra µ là một sự phân bố khối lượng thì ta chỉ ra rằng với mọi v∈ V thì
X
u∈D
µ(Iu) =µ(Iv) (2.11)
Giả sử rằng v∈ Vk và [Ω(v)] =Ti. Khi đó, từ (2.12) và cách xác định của S, ta có X u∈D µ(Iu) =λ−k−1 N X j=1 sijaj= λ−k−1λai =λ−kai,
hay (2.11) được thỏa mãn. Hơn nữa, ta có µ(B) =µ(Ivroot) = 1 nên µ đúng là một phân bố khối lượng trên B.
Để chứng minh định lý, ta cần chuyển µ thành một phân bố khối lượng trên tập bất biến F. Để ý rằng với mọi k >1, ta có
F = [
j∈Λk
φj(F) = [
v∈Vk
φv(F). (2.12)
Vì φv0(F) ⊆ φv(F) nếu v0 sinh ra từ v ∈ GR và mỗi đường đi (v0,v1,v2, . . .)
trong B tương ứng với một điểm x ∈ F là điểm duy nhất T
k
φvk(F) và có thể có nhiều đường đi (v0,v1,v2, . . .) trong B cùng tương ứng với một điểm x ∈ F. Có nghĩa là ta đã thiết lập được một ánh xạ từ T: B → F được xác định bởi: với tập con bất kỳ U ⊂ Rd, đặt C(U) = T−1(F ∩U) là tất cả các đường đi trong B tương ứng với các điểm của F ∩U và đặt µ∗(U) = µ(C(U)). Khi đó, rõ ràng µ∗ là một phân bố khối lượng trên F.
Cuối cùng, với 0 6 δ 6 ρ và với bất kỳ tập U ⊂ Rd đường kính |U| 6 δ và giả sử rằng ρk+1 6 |U| 6 ρk. Theo Bổ đề 2.1.11, ta có U giao với không quá M tập
φv(F),v∈ Vk với M >0 là một hằng số cho trước không phụ thuộc k. Với l6 M, lấy v1, . . . ,vl là các đỉnh trong Vk sao cho U ∩φvj(F)6= ∅. Khi đó
µ∗(U ∩F) 6 l X j=1 µ(Ivk) 6 M λ−k max 16i6N{ai}. Từ công thức tính s ta có λ−1 =ρs nên λ−k =ρks =ρ−sρ(k+1)s 6 ρ−s|U|s kéo theo µ(U ∩F) 6c|U|s với c= M ρ−smax
i {ai}. Theo nguyên lý về sự phân bố khối lượng (Định lý 1.3.3) ta có Hs(F) > µ(F)
Nhận xét. Tính chất hữu hạn kiểu nói chung là bị phá vỡ bởi một sự thay đổi nhỏ của hệ hàm lặp. Dễ thấy điều này từ ví dụ sau.
Chiều Hausdorff của hệ hàm lặp
φ1(x) = 1 3x, φ2(x) = 1 3(x+ 1), φ3(x) = 1 3(x+a)
bằng 1 với hầu hết mọi a. Với bất kỳ số vô tỉ a, tập bất biến có độ đo Lesbegue H1 bằng 0. Vì vậy, hệ hàm lặp không có hữu hạn kiểu với hầu hết các số vô tỉa. Nhưng hệ hàm lặp có hữu hạn kiểu với mọi số hữu tỉ a. Vì vậy, nói chung là một sự thay đổi nhỏ của hệ hàm lặp cũng phá vỡ tính chất hữu hạn kiểu.
Hơn nữa, một hệ hàm lặp có thể thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu với tập mở bất biến bị chặn này nhưng không thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu với tập mở bất biến bị chặn khác.
2.2.3 Định lý ([8]). Cho {φj(x)}qj=1 là hệ hàm lặp trên Rd được xác định như ở
(2.1). Giả sử rằng hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu và tập bất biến F
có chiều Hausdorff là d. Khi đó, Fo 6=∅ và Fo =F với Fo ký hiệu phần phần trong của F và F ký hiệu bao đóng của F.
Chứng minh. Theo Định lý 2.2.2, ta có m(F) = Hd(F) >0 với m(·) ký hiệu độ đo Lesbegue trên Rd. Vì vậy, tồn tại một điểm x∗ ∈ F và
cn = m(F ∩Bρn(x∗)) m(Bρn(x∗)) −→ 1 khi n → ∞ (2.13) với ρ= minjρj. Chú ý rằng F = S j∈Λn φj(F). Ta đặt Jn ={j∈Λn | ϕj(F)∩Bρn(x∗)6= ∅}.
Khi đó,|Jn|6 M với M nào đó độc lập vớin. Đặt ϕj(x) =ρ−nφj(x)−ρ−nx∗. Ta có
Jn ={j ∈Λn | ϕj(F)∩B1(0) 6=∅}.
Đặt En = S j∈Jn
ϕj(F) thì theo (2.13), ta có
Chọn dãy con {nk} ⊂ {n} sao cho Enk hội tụ đến tập compact E theo mêtric Hausdorff. Khi đó, dãy các tập Enk ∩ B1(0) hội tụ đến E ∩ B1(0) theo Mêtric Hausdorff. Điều đó dẫn đến
m(E ∩B1(0))> lim
k→∞m(Enk ∩B1(0)) =m(B1(0)).
Suy ra E ∩B1(0) =B1(0).
Để ý rằng mỗi ϕj có thể là phép tịnh tiến, phép quay hay phép vị tự, nhưng tỉ số vị tự là một số có giá trị nằm giữa 1và ρ−1. Mỗi Enk được phủ bởi{ϕj(F)}j∈Jnk
với |Jnk| 6 M. Đường kính của các ϕj(F) đều bị chặn. Theo tính compact trong không gian mêtric thì mọi phủ đều có phủ con hữu hạn nên
E =
L
[
j=1
Fj
với L 6M và mỗi Fj là giới hạn của các {ϕjk(F)}. Vì thế, Fj = τj(F) với τj là ánh xạ đồng dạng trong Rd.
Từ E0 6=∅ ta có Fjo 6=∅ nên Fo 6=∅.
Cuối cùng, với Fe:= Fo là tập bất biến qua hệ hàm lặp (2.1) và là tập compact không rỗng nên F =Fe
2.2.4 Định lý ([8]). Giả sử rằng hệ hàm lặp {φj(x)}qj=1 xác định bởi (2.1) thỏa mãn điều kiện tập mở với tập mở Ω và ρ1, . . . , ρq là các tỉ số đồng dạng của các ánh xạ trong hệ hàm lặp. Giả sử thêm rằng logρ1, . . . ,logρq là thông ước, nghĩa là tỷ số giữa chúng là một số hữu tỉ. Khi đó, hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu đối với Ω.
Chứng minh. Đặt ρ = minjρj. Vì {logρj}qj=1 là thông ước nên tập {ρ−kρj | j ∈ Λk, k >0}là hữu hạn. Từ điều kiện tập mở, vớik cho trước, tất cả cácφj(Ω),j∈Λk
là không giao nhau nên mỗi lân cận Ω(v),v ∈ V chỉ gồm một đỉnh v. Vì vậy, với
j∈Λk và j0 ∈Λk0 ta có thể tìm được τ(x) =ρk0−kU x+c với U là ma trận trực giao và c ∈ Rd thỏa mãn φj0 = τ ◦φj khi và chỉ khi ρ−kρj = ρ−k0ρj0. Do đó, có hữu hạn các lớp tương đương giữa v∈ V.
Ký hiệu M(Rd) là các ma trận cỡ d×d với các phần tử thuộc R và Md(Z) là các ma trận cỡ d×d với các phần tử thuộc Z.
2.2.5 Định lý ([8]). Cho {φj(x)}qj=1 là hệ hàm lặp trong Rd có dạng
φj(x) =Anjx+bj, 16 j 6 q (2.14)
với A là phép biến đổi đồng dạng trên M(Rd), nj ∈ N, bj ∈Rd.
Giả sử rằng A−1 ∈ Md(Z) và bj ∈ Zd với mọi j thì hệ hàm lặp thỏa mãn hữu hạn kiểu đối với tập mở bất biến bị chặn bất kỳ của hệ hàm lặp.
2.2.6 Định nghĩa. [7] Nghiệm α của một đa thức bất khả quy P(x) bậc n với hệ số nguyên được gọi là mộtsố nguyên đại số bậcn, các nghiệm khác của P(x) được gọi là cácthành phần liên hợp củaα. Nếu α > 1 nhưng tất cả các nghiệm khác của
P(x) là các số thực hoặc phức có modul nhỏ hơn 1, khi đó α được gọi là số Pisot.
2.2.7 Định lý ([8]). Cho {φj(x)}qj=1 là hệ hàm lặp trong Rd có dạng
φj(x) =ω−njRjx+bj, 16 j 6 q
với ω >0 là số Pisot và với 16 j 6 q, nj ∈ N, bj ∈Rd và Rj là ma trận trực giao. Giả sử rằng {Rj}qj=1 sinh ra nhóm hữu hạn ma trận G và
G{bj | 16j 6 q} ⊆ r1Z[ω]× · · · ×rdZ[ω]
với r1, . . . , rn ∈R thì hệ hàm lặp là thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu đối với tập mở bất biến bị chặn Ω bất kỳ của hệ hàm lặp.
Chứng minh. Một tính chất rất qua trọng của số Pisot ω là với mọi tập hữu hạn
D ⊆ Z, tồn tại một số ε0 > 0 sao cho với các đa thức h(x), g(x) ∈ D[x] ta có hoặc
h(ω) =g(ω) hoặc |h(ω)−g(ω)| > ε0. Một hệ quả trực tiếp là tính chất trên vẫn còn được bảo tồn nếu chúng ta giả sử rằng D là một tập con hữu hạn của rZ[ω].
Giả sửE =G{bj | 16j 6q}và ∆E := E−E·∆E là tập hợp hữu hạn trongRd mà thành phần thứicủa nó thuộcriZ[ω]. Khi đó, tồn tạiε0 > 0sao cho bất kỳ vectơ hệ số đa thức h(x), g(x) ∈ ∆E[x] ta có hoặc h(ω) = g(ω) hoặc |h(ω)−g(ω)| > ε0.
Suy ra với bất kỳ bán kínhR cho trước, chỉ có một số bị chặn các tập hợp các phép biến đổi không tương đương giữa tất cả các {f(ω) | f(x) ∈E[x]} ∩BR(y), y ∈Rd.
Đặt ρj = ω−nj và ρ = ω−N với N = max
16j6qnj. Giả sử rằng Ω là tập bất biến bị chặn của hệ hàm lặp với |Ω| =C. Với đỉnh v∈ Vk, ta xem xét các lân cận
ρ−kΩ(v) :=n ρ−kρjRj, ρ−k(0)
j∈Λk, π(j) ∈Ω(v)o.
Chú ý rằng ρ−kρjRj ∈ {ω−iS | 0 6 i < M, S ∈ G}, vì vậy nó chỉ có thể xảy ra trên không quá N|G| giá trị dương. Và ρ−kφj(0) ∈ E[ω] với j ∈ Λk. Hơn nữa,
ρ−kφj(Ω)là tập mở với đường kính không lớn hơnC. Vì vậy, từ chỗ có một số bị chặn các phép biến đổi không tương đương{f(ω) |f(x) ∈E[x]}∩BR(y) suy ra chỉ có một số bị chặn các tập hợp phép biến đổi không tương đương {ρ−kφj(0) | π(j) ∈ Ω(v)}
giữa tất cả các đỉnh v ∈ Vk với k > 0. Cùng với sự hữu hạn của ρ−kρjRj giữa tất cả các j∈Λk với k> 0, ta suy ra được chỉ có hữu hạn các lớp tương đương giữa tất cả các Ω(v),v∈ V.
2.2.8 Mệnh đề ([2]). Hệ hàm lặp {φi}qi=1 là hữu hạn kiểu đối với Ω khi và chỉ khi tập hợp ΦΩ là hữu hạn và logρi, i=1,2,. . . ,q, là thông ước, trong đó,
ΦΩ := ∞ [ k=1 {φ−i1φj: φi(Ω)∩φj(Ω)6=∅, i, j ∈Λk}. 2.3. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Mục này trình bày các ví dụ tìm chiều Hausdorff của hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu trong các trường hợp cùng hệ số đồng dạng và không cùng hệ số đồng dạng.
2.3.1 Ví dụ. Tìm chiều Hausdorff của tập tự đồng dạng F sinh bởi hệ hàm lặp có phủ {φ1, φ2, φ3} với φ1(x) = 1 3x, φ2(x) = 1 9x+ 8 27, φ3(x) = 1 3x+ 2 3.
Theo Định lý 2.2, hệ hàm lặp {φ1, φ2, φ3}là hữu hạn kiểu với tập điều kiện hữu hạn kiểu là Ω = (0; 1). Đặt T1 là lớp kiểu lân cận của vroot. Khi đó, ta có
và V1 = (1 9,0,1),( 1 27, 8 81,1),( 1 9, 2 9,1),( 1 9, 8 27,1),( 1 9, 2 3,1),( 1 27, 62 81,1),( 1 9, 8 9,1) .
Ta thấy các đỉnh v1 và v5 có cùng kiểu lân cận, v2 và v6 có cùng kiểu lân cận, mỗi
Hình 2.2: Biểu diễn của φj(Ω) với j∈ Λ1
đỉnhv3,v4 và v7 có một kiểu lân cận. Từ đó, ta phân lớp kiểu lân cận của các đỉnh trong V1 như bảng 2.1. Đỉnh Kiểu lân cận v7 = (19,89,1) T1 v1 = (19,0,1),v5 = (19,23,1) T2 v2 = (271 ,818 ,1),v6 = (271 ,6281,1) T3 v3 = (19,29,1) T4 v4 = (19,278 ,1) T5 Bảng 2.1: Phân lớp các đỉnh trong V1
Từ kết quả này, ta thấy một đỉnh (vroot) có kiểu lân cận T1 sinh ra 7 đỉnh ngọn trong đồ thị G gồm 3 đỉnh ngọn lần lượt có các kiểu lân cận T1,T4,T5, 2 đỉnh ngọn có kiểu lân cận T2 và 2 đỉnh ngọn còn lại có kiểu lân cận T3. Các đỉnh trên đều thuộc GR. Nghĩa là
T1 −→ T1+ 2T2+ 2T3+T4+T5.
Đỉnh v1 = (19,0,1) được xác định bởi j= (1,1) ∈Λ1 có kiểu lân cận là T2. Nó sinh ra 7 đỉnh ngọn trong G ứng với các bộ
là các đỉnh {( 1 81,0,2),( 1 243, 8 729,2),( 1 81, 2 81,2),( 1 81, 8 243,2),( 1 81, 2 27,2),( 1 243, 62 729,2), ( 1 81, 8 81,2)} ⊂ V2
với các kiểu lân cận tương ứng là T2,T3,T4,T5,T2,T3 và T1.
Đỉnh v2 = (271,818,1) được xác định bởi j = (1,2) ∈ Λ1 có kiểu lân cận là T3. Nó sinh ra 3 đỉnh ngọn trong G ứng với các bộ (121),(122),(123) ⊂ Λ2 là các đỉnh
(811,818,2),(2431 ,72980,2),(811,1081,2) với các kiểu lân cận tương ứng là T1,T2,T3. Vì φ(1133) = φ(121) và (1) < (33) nên bỏ đi cung k = (33) khi xây dựng đồ thị thu gọn GR. Tóm lại là ở đây, ta có
T2 −→2T2+ 2T3+T4+T5 T3 −→T1+T2+T3.
Tính toán tương tự ta có
T4 −→T2 +T3+T4+T5
T5 −→T1 + 2T2+ 2T3+T4+T5.
Từ đó ta có ma trận liên thuộc của hệ hàm lặp là
S = 1 2 2 1 1 0 2 2 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 1 1 .
Bán kính phổ của ma trận S là λ = λ(S) = 5.04891734. . . suy ra từ đa thức đặc trưng x3−6x2+ 5x−1 của ma trận S và ρ = miniρi = min{13, 19} = 19. Theo (2.8) ta có
dimHF = logλ −logρ =
log 5.04891734. . .
log 9 = 0.73691776. . .
2.3.2 Ví dụ. Tìm chiều Hausdorff của tập λ−Cantor F, λ = 1− 1
3n với n = 1. Khi n = 1, tập λ−Cantor F là tập tự đồng dạng F sinh bởi hệ hàm lặp có phủ
{φ1, φ2, φ3} với