Một số điều kiện để hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ HÀM LẶP THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN TẬP MỞ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ THỊ HỒNG THANH NGHỆ AN - 2014 MỤC LỤC Lời nói đầu 2 1 Hệ hàm lặp và điều kiện tập mở 5 1.1 Hệ hàm lặp và tập tự đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Độ đo Hausdorff, chiều Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Điều kiện tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Một số điều kiện để hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở 16 2.1 Sự tương đương giữa điều kiện tập mở và độ đo Hausdorff dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Sự tương đương giữa điều kiện tập mở và sự cô lập của ánh xạ đồng nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Một số điều kiện kéo theo điều kiện tập mở . . . . . . . . . 29 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 1 LỜI NÓI ĐẦU Hình học Fractal là một lĩnh vực mới mẻ và hấp dẫn do có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Vì thế, ngay từ khi ra đời hình học Fractal đã nhanh chóng thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học. Công cụ chính để nghiên cứu hình học Fractal là độ đo và chiều Hausdorff. Việc tính chiều Hausdorff là cần thiết nhưng lại rất khó. Đối với những tập fractal sinh bởi hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở (Open Set Condition - OSC) người ta đã thiết lập được công thức để tính chiều Hausdorff khá đơn giản. Do vậy, một câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên là điều kiện tập mở tương đương với điều kiện gì hoặc điều kiện gì sẽ kéo theo điều kiện tập mở. Bài toán này đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và bước đầu đã thu được một số kết quả. Để tính chiều Hausdorff của một tập, người ta phải nghiên cứu cấu trúc của tập đó, hay cụ thể hơn là phải dựa trên mối quan hệ giữa các ảnh của tập đó qua các ánh xạ sinh ra tập đó. Trong trường hợp các ảnh của tập đó qua các ánh xạ sinh ra nó rời nhau hay chỉ giao nhau rất "mỏng" ta gọi là điều kiện tập mở. Điều kiện tập mở được đưa ra đầu tiên bởi P. A. P. Moran vào năm 1946. Cho đến nay, có hai điều kiện tương đương với điều kiện tập mở, một điều kiện dựa trên độ đo Hausdorff và một điều kiện dựa trên sự tách biệt của ánh xạ đồng nhất đối với nhóm tất cả các ánh xạ đồng dạng. Dựa vào độ đo Hausdorff, năm 1946, P. A. P. Moran ([10]) đã chỉ ra là nếu hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở thì độ đo của tập sinh bởi hệ hàm lặp đó dương. Sau đó, năm 1994, A. Chief ([1]) đã chứng minh được mệnh đề đảo của P. A. P. Moran. Sử dụng nhóm tôpô các ánh xạ đồng dạng, năm 1992, C. Bandt và S. Graf ([3]) đã chỉ ra một điều kiện để hệ hàm lặp thỏa 2 mãn điều kiện tập mở. Năm 2005, C Bandt, N. V. Hung và H. Rao ([2]) đã đưa ra khái niệm tập mở trung tâm và chỉ ra mối quan hệ giữa nó với điều kiện tập mở. Sau đó, năm 2014, T. J. Ni và Z. Y. Wen ([12]) đã chỉ ra mối liên hệ giữa tính chất PCF và OSC của cấu trúc tự đồng dạng. Ngoài ra bài toán này còn được nghiên cứu bởi Y. Peres, M. Rams, K. Simon và B. Solomyak ([13]), K. S. Lau, H. Rao và Y. L. Ye ([9]). Vì vậy, để tập duyệt với NCKH và tìm hiểu về vấn đề này chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình là Một số điều kiện để hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở. Mục đích của luận văn là nghiên cứu về hệ hàm lặp, điều kiện tập mở và các điều kiện để một hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở. Với mục đích trên nội dung luận văn được trình bày thành hai chương. Chương 1. Hệ hàm lặp và điều kiện tập mở Trong chương này, chúng tôi trình bày các định nghĩa, các khái niệm cơ bản cần dùng trong toàn luận văn. Mục 1.1 trình bày định nghĩa ánh xạ đồng dạng, hệ hàm lặp, tập fractal và tập tự đồng dạng. Mục 1.2 trình bày định nghĩa, tính chất và ví dụ về độ đo Hausdorff, chiều Hausdorff. Điều kiện tập mở được trình bày trong Mục 1.3. Chương 2. Một số điều kiện để hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở Chương này, chúng tôi trình bày nội dung chính của luận văn. Trong Mục 2.1, chúng tôi trình bày sự tương đương giữa điều kiện tập mở và độ đo Hausdorff dương. Mục 2.2 trình bày sự tương đương giữa điều kiện tập mở và sự cô lập của ánh xạ đồng nhất. Mục 2.3 trình bày một số điều kiện dẫn đến một hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của cô giáo TS. Vũ Thị Hồng Thanh. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến Cô, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học. Tác giả xin chân 3 thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Phòng đào tạo Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm Toán học và quý Thầy giáo, Cô giáo trong tổ Giải tích của khoa Sư phạm Toán học - Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là bạn bè trong lớp Cao học 20 - chuyên ngành Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Kính mong quý Thầy, Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn. Nghệ An, tháng 10 năm 2014 Tác giả. 4 CHƯƠNG 1 HỆ HÀM LẶP VÀ ĐIỀU KIỆN TẬP MỞ Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở cần sử dụng trong luận văn như: các loại ánh xạ, hệ hàm lặp, tập bất biến, tập tự đồng dạng, độ đo, chiều và mêtric Hausdorff, sự phân bố khối lượng, điều kiện tập mở, tập mở mạnh và công thức tính chiều Hausdorff của tập fractal sinh bởi hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở. 1.1 Hệ hàm lặp và tập tự đồng dạng Trong phần này, chúng tôi trình bày định nghĩa ánh xạ co, ánh xạ đồng dạng, tập fractal, tập tự đồng dạng và hệ hàm lặp. 1.1.1 Định nghĩa ([8]). Giả sử D ⊂ R n , D = ∅ (thường lấy D = R n ). i) Ánh xạ f : D −→ D được gọi là một ánh xạ co trên D nếu tồn tại c ∈ [0, 1) sao cho |f(x) −f(y)| ≤ c|x − y| với mọi x, y ∈ D, c được gọi là tỷ số co. ii) Ánh xạ f : D −→ D được gọi là một ánh xạ đồng dạng trên D nếu tồn tại c > 0 sao cho |f(x) −f(y)| = c|x − y| với mọi x, y ∈ D, c được gọi là tỷ số đồng dạng. Mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ là ánh xạ đồng dạng. 1.1.2 Mệnh đề ([8]). Cho f : D −→ D. Khi đó, f là ánh xạ đồng dạng 5 khi và chỉ khi f có thể biểu diễn được dưới dạng f(x) = c × R × x + b, trong đó c ∈ (0, 1) là tỷ số co của f, b ∈ R n và R là ma trận trực giao cấp n. 1.1.3 Định nghĩa ([8]). Một họ hữu hạn các ánh xạ co {f 1 , . . . , f m } trên D được gọi là một hệ hàm lặp (IFS - Iterated Function System) trên D. Cho A là một tập trong không gian mêtric (X, d). Với mỗi điểm x ∈ X ta đặt d(x, A) = inf{d(x, y) : y ∈ A}, trong đó d(x, y) là khoảng cách từ x đến y với mọi y ∈ X. Cho trước một số thực dương δ, kí hiệu A δ = {x ∈ X : d(x, A) ≤ δ} được gọi là δ−bao của A. 1.1.4 Định lý ([8]). Cho D là tập compact khác rỗng trong R n . Gọi K là lớp các tập con compact, khác rỗng của D. Khi đó, hàm d H : K × K −→ R (A, B) −→ d H (A, B) = inf{δ > 0 : A ⊂ B δ , B ⊂ A δ } (1.1) thỏa mãn i) d H (A, B) = max{sup x∈A d(x, B); sup y∈B d(y, A)}. ii) d H là một mêtric trên K. Hơn nữa, không gian (K, d H ) là một không gian mêtric đầy đủ. 1.1.5 Định nghĩa ([8]). Mêtric d H trên K trong Định lý 1.1.4 được gọi là mêtric Hausdorff trên K. Mặc dù chưa có một định nghĩa chính thống nào về fractal nói chung, nhưng J. E. Hutchinson ([6]) đã đưa ra một khái niệm về một số tập fractal dựa trên họ hữu hạn các ánh xạ co như sau. 1.1.6 Mệnh đề ([6]). Cho hệ hàm lặp {f 1 , . . . , f m } trên D. Ta xác định 6 ánh xạ f : K −→ K E −→ f(E) = m  i=1 f i (E). (1.2) Khi đó, f là ánh xạ co. Từ Định lí 1.1.4 và Mệnh đề 1.1.6, ta có định lí sau. 1.1.7 Định lý ([6]). Cho hệ hàm lặp {f 1 , . . . , f m } và f là ánh xạ được xác định bởi công thức (1.2). Khi đó, tồn tại duy nhất tập F ∈ K sao cho f(F ) = F. Hơn nữa, nếu có tập E ∈ K sao cho f i (E) ⊂ E (1 ≤ i ≤ m) thì F = ∞  i=1 f i (E), với f i là sự lặp lại i lần ánh xạ f. 1.1.8 Định nghĩa ([6]). i) Tập F trong Định lý 1.1.7 được gọi là tập bất biến hay tập hút (attractor) của hệ hàm lặp {f 1 , . . . , f m }. ii) Nếu f i (1 ≤ i ≤ m) là các ánh xạ đồng dạng thì tập bất biến F được gọi là tập tự đồng dạng (self-similar set). iii) Các tập bất biến được xem là các tập Fractal. 1.1.9 Ví dụ.1. Tam giác Sierpinski trong R 2 Tam giác Sierpinski được xây dựng bằng cách xuất phát từ một hình tam giác đều, chia nó thành 4 tam giác đều nhỏ bởi các đường nối trung điểm của các cạnh, giữ lại 3 tam giác xung quanh và bỏ đi tam giác ở giữa, rồi lặp lại cách làm đó cho mỗi tam giác còn lại, cứ thế tiếp tục mãi. Khi đó, ta thu được tam giác Sierpinski. Ta chứng minh được tam giác Sierpinski là tập bất biến sinh bởi hệ hàm lặp {f 1 , f 2 , f 3 } trên R 2 có tỉ số đồng dạng 1 2 . Đó là 7 f 1 (x, y) =  1 2 x; 1 2 y  ; f 2 (x, y) =  1 2 x + 1 2 ; 1 2 y  ; f 3 (x, y) =  1 2 x + 1 4 ; 1 2 y + √ 3 4  . 2. Tập Cantor Tập Cantor được xây dựng bằng cách lấy đoạn thẳng [0, 1] chia làm ba đoạn bằng nhau, bỏ đi khoảng mở I 1 = ( 1 3 , 2 3 ) và giữ lại hai đoạn ở hai đầu, nghĩa là giữ lại tập F 1 = [0, 1 3 ] ∪[ 2 3 , 1]. Tiếp tục cách làm tương tự đối với tập F 1 , bỏ đi tập I 2 = [ 1 3 2 , 2 3 2 ] ∪ [ 7 3 2 , 8 3 2 ] và giữ lại tập F 2 = [0, 1 3 2 ∪ [ 2 3 2 , 3 3 2 ] ∪[ 6 3 2 , 7 3 2 ] ∪[ 8 3 2 , 1]. Lặp lại cách làm như vậy đối với mỗi đoạn còn lại của F 2 và cứ tiếp tục mãi. Tập còn lại sau cả quá trình đó là tập Cantor. Ta chứng minh được tập Cantor là tập bất biến sinh bởi hệ hàm lặp {f 1 , f 2 } trên R xác định bởi f 1 (x) = 1 3 x; f 2 (x) = 1 3 x + 2 3 . 3. Bụi Cantor Xuất phát từ hình vuông đơn vị, chia nó thành 16 hình vuông nhỏ có độ dài cạnh là 1 4 , giữ lại 4 hình vuông và bỏ đi 12 hình vuông khác. Cứ tiếp tục như thế cho đến bước thứ k ta có 4 k hình vuông cạnh là 1 4 k . Quá trình này được lặp lại vô hạn lần. Khi đó, ta thu được bụi Cantor. Ta cũng chứng minh được bụi Cantor là tập bất biến sinh bởi hệ hàm lặp 8 {f 1 , . . . , f 4 } trên R 2 xác định bởi f 1 (x, y) =  x 4 + 1 4 ; y 4  ; f 2 (x, y) =  x 4 + 3 4 ; y 4 + 1 4  ; f 3 (x, y) =  x 4 + 1 2 ; y 4 + 3 4  ; f 4 (x, y) =  x 4 ; y 4 + 1 2  . 1.2 Độ đo Hausdorff, chiều Hausdorff Phần này giới thiệu một số kiến thức cơ bản về độ đo, độ đo Hausdorff và chiều Hausdorff. 1.2.1 Định nghĩa ([8]). Cho X là một tập hợp tùy ý khác rỗng và C là một họ các tập con của X. Khi đó, C được gọi là một đại số trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau: i) X ∈ C và ∅ ∈ C; ii) Nếu A ∈ C thì A c = X\A ∈ C; iii) Nếu A 1 , . . . , A n ∈ C thì n  i=1 A i ∈ C. Nếu C thỏa mãn i), ii) và điều kiện iii’) Nếu A 1 , A 2 , . . . ∈ C thì ∞  i=1 A i ∈ C thì C được gọi là σ-đại số trên X. Cặp (X, C) với C là σ-đại số được gọi là không gian đo được. Tập A ∈ C được gọi là tập đo được. 1.2.2 Định nghĩa ([8]). Giả sử C là một σ - đại số trên X. Khi đó, hàm tập µ : C → R được gọi là độ đo nếu i) µ(A) ≥ 0 với mọi A ∈ C; ii) µ(∅) = 0; 9 [...]... Nếu hệ hàm lặp là các ánh xạ đồng dạng với các m tỉ số đồng dạng là ci , i = 1, 2, , m thì nghiệm của phương trình i=1 cs = 1 i được gọi là chiều tự đồng dạng của tập tự đồng dạng sinh ra từ hệ hàm lặp đó 15 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ HÀM LẶP THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN TẬP MỞ Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số điều kiện để một hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở và đưa ra ví dụ minh họa về hệ. .. ≥ Điều kiện tập mở 1.3.1 Định nghĩa ([8]) i) Ta nói rằng hệ hàm lặp {f1 , , fm } trên Rn thỏa mãn điều kiện tập mở (OSC – Open Set Condition) nếu tồn tại tập 14 mở V khác rỗng trong Rn sao cho m  f (V ) ⊂ V ;  i (1.4) i=1  f (V ) ∩ f (V ) = ∅, với mọi i = j i j ii) Cho hệ hàm lặp {f1 , , fm } và F là tập bất biến qua hệ hàm lặp đó Khi đó, ta nói {f1 , , fm } thỏa mãn điều kiện tập mở. .. một hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở và đưa ra ví dụ minh họa về hệ hàm lặp thỏa mãn các điều kiện đó 2.1 Sự tương đương giữa điều kiện tập mở và độ đo Hausdorff dương Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày điều kiện cần và đủ để một hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở dựa vào độ đo Hausdorff của tập bất biến sinh bởi hệ hàm lặp đó Các kết quả này do A Chief và K J Falconer đưa ra trong tài liệu... Vì vậy, cs ≤ (η − 1)cs Điều này cùng với (∗) ta có 2 − η ≤ η − 1, mâu i i thuẫn với cách chọn η Vậy, I ∈ / 2.3 Một số điều kiện kéo theo điều kiện tập mở Trong phần này, chúng tôi trình bày một số điều kiện kéo theo điều kiện tập mở và chỉ xét cho một số hệ hàm lặp 2.3.1 Các kí hiệu Với các kí hiệu như trong Mục 2.2, trong phần này ta bổ sung một số kí hiệu sau Cho hệ hàm lặp {f1 , , fm } gồm... điều kiện tập mở ta cần tìm một tập mở V thỏa mãn định nghĩa về nó Tuy nhiên, không dễ dàng để chỉ ra được một tập mở như vậy nên C Bandt, N V Hung và H Rao ([2]) đã đưa ra thuật toán tìm tập mở V bằng cách đưa ra khái niệm tập mở trung tâm như sau 2.3.2 Định nghĩa ([2]) Cho hệ hàm lặp {f1 , , fm } Khi đó, tập Vc = {x ∈ Rn : d(x, F ) < d(x, H)} được gọi là tập mở trung tâm đối với hệ hàm lặp {f1 ,... đối với hệ hàm lặp {f1 , , fm } 2.3.3 Định lý ([2]) Nếu hệ hàm lặp {f1 , , fm } thỏa mãn OSC thì Vc là tập mở thỏa mãn định nghĩa OSC Nếu hệ hàm lặp {f1 , , fm } không thỏa mãn OSC thì Vc = ∅ Chứng minh Ta sẽ chỉ ra rằng Vc là tập mở thỏa mãn định nghĩa OSC nếu nó khác rỗng Điều này cũng cho ta kết quả là nếu hệ hàm lặp không thỏa mãn OSC thì Vc bằng rỗng Trước hết, ta chứng minh fi (Vc )... tại một ma i=1 trận A sao cho Ai = Adi với số nguyên di nào đó, 1 ≤ i ≤ m Giả sử V là tập mở thỏa mãn định nghĩa OSC đối với hệ hàm lặp {f1 , , fm } Khi đó, x ∈ Rn được gọi là điểm cấm của tập F nếu không có tập mở V nào chứa x với V thỏa mãn OSC Kí hiệu N = {h = fi−1 ◦ fj : i, j ∈ ∗ , i1 = j1 }, H = ∪{h(F ) : h ∈ N }, 29 J = {x ∈ Rn | h(x) = x, h ∈ N } Để chứng minh một hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện. .. j = i Điều này cũng tương tự đối với các điểm của fj (Vc ) Suy ra fi (Vc ) ∩ fj (Vc ) = ∅ 31 (2) 2.3.4 Bổ đề [2] Tất cả các điểm của tập J là điểm cấm của tập F và H ⊆ J Từ Định lý 2.3.3 ta suy ra được hệ quả sau 2.3.5 Hệ quả ([2]) Hệ hàm lặp {f1 , , fm } thỏa mãn điều kiện tập mở nếu và chỉ nếu F không được chứa trong H Chứng minh Giả sử hệ hàm lặp {f1 , , fm } thỏa mãn điều kiện tập mở Khi... Dẫn đến, P là tập hữu hạn Do đó, hệ hàm lặp {f1 , , fm } thỏa mãn tính chất PCF Hai ví dụ sau đây đưa ra một trường hợp thỏa mãn giả thiết Mệnh đề 2.3.10 và một trường hợp không thỏa mãn giả thiết Mệnh đề 2.3.10 nhưng chúng đều là ví dụ về hệ hàm lặp thỏa mãn tính chất PCF 2.3.11 Ví dụ 1 Xét F là tập Cantor sinh bởi hệ hàm lặp gồm hai ánh xạ {f1 , f2 } (như ở Ví dụ 1.1.9) Hình 2.1: Tập Cantor Khi... tập mở V khác rỗng sao cho  m    fi (V ) ⊂ V ;    i=1  fi (V ) ∩ fj (V ) = ∅, với mọi i = j;      V ∩ F = ∅ 1.3.2 Nhận xét Nếu hệ hàm lặp {f1 , , fm } thỏa mãn SOSC thì nó cũng thỏa mãn OSC 1.3.3 Định lý ([8]) Cho hệ hàm lặp {f1 , , fm } trên Rn thỏa mãn OSC, gồm các ánh xạ đồng dạng với các tỷ số đồng dạng tương ứng là ci ∈ (0, 1), i = 1, , m và F là tập bất biến qua hệ hàm lặp . HỆ HÀM LẶP THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN TẬP MỞ Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số điều kiện để một hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở và đưa ra ví dụ minh họa về hệ hàm lặp thỏa mãn các điều. về hệ hàm lặp, điều kiện tập mở và các điều kiện để một hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở. Với mục đích trên nội dung luận văn được trình bày thành hai chương. Chương 1. Hệ hàm lặp và điều kiện. ra một điều kiện để hệ hàm lặp thỏa 2 mãn điều kiện tập mở. Năm 2005, C Bandt, N. V. Hung và H. Rao ([2]) đã đưa ra khái niệm tập mở trung tâm và chỉ ra mối quan hệ giữa nó với điều kiện tập mở.