Một số tính chất tôpô của các tập fractal sinh bởi hệ hàm lặp hữu hạn trên không gian mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG VĂN QUÝ MỘT SỐ TÍNH CHẤT TÔPÔ CỦA CÁC TẬP FRACTAL SINH BỞI HỆ HÀM LẶP HỮU HẠN TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG VĂN QUÝ MỘT SỐ TÍNH CHẤT TÔPÔ CỦA CÁC TẬP FRACTAL SINH BỞI HỆ HÀM LẶP HỮU HẠN TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ THỊ HỒNG THANH Nghệ An - 2015 Mục lục Lời mở đầu Chương Hệ hàm lặp mêtric tập Fractal 1.1.Một số kiến thức sở 1.2.Hệ hàm lặp mêtric tập Fractal 1.3.Không gian dịch chuyển phép chiếu tắc 14 Chương Một số tính chất tôpô tập Fractal 20 2.1.Tính liên thông liên thông đường 20 2.2.Tính liên thông đường địa phương hoàn toàn không liên thông 27 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Lời mở đầu Hình học Fractal lĩnh vực mẻ hấp dẫn Nó khởi xướng vào năm 70 kỷ XX mà người tiên phong lĩnh vực B Mandelbrot Đối tượng nghiên cứu tập fractal Năm 1981, J E Hutchinson ([9]) đưa cách tập fractal đơn giản Ông có họ hữu hạn ánh xạ co Rn sinh tập fractal Ta gọi họ hệ hàm lặp (Iterated Function System - IFS) tập bất biến qua ánh xạ sinh hệ hàm lặp người ta gọi tập fractal Năm 1993, M F Barnsley ([8]) phát triển sử dụng cách rộng rãi ý tưởng cổ điển J E Hutchinson Đã có nhiều nỗ lực để mở rộng ý tưởng khởi đầu lên không gian tổng quát Rn chẳng hạn không gian mêtric nói chung hay không gian tôpô, hay mở rộng họ hữu hạn ánh xạ thành họ vô hạn ánh xạ, mở rộng việc nghiên cứu chiều độ đo Hausdorff sang nghiên cứu tính chất tôpô (tính liên thông, liên thông đường, liên thông địa phương, ) tập fractal Năm 2010, [4], D Dumitru khởi xướng nghiên cứu số điều kiện cần, điều kiện cần đủ để tập bất biến qua hệ hữu hạn ánh xạ hệ vô hạn ánh xạ không gian mêtric có tính chất liên thông, liên thông địa phương, liên thông đường Sau đó, số nhà toán học tập trung nghiên cứu theo hướng Vì thế, để tập duyệt với NCKH nghiên cứu tính chất tôpô tập bất biến qua họ hữu hán ánh xạ co không gian mêtric với tên đề tài là: “Một số tính chất tôpô tập fractal sinh hệ hàm lặp hữu hạn không gian mêtric” Mục đích luận văn thông qua tài liệu tìm hiểu trình bày cách có hệ thống kết chứng minh cần thiết tồn tập Fractal sinh hệ hàm lặp hữu hạn không gian mêtric, đồng thời tìm hiểu tính chất tôpô tập Fractal sinh hệ hàm lặp tìm ví dụ minh họa cho tính chất tôpô Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn viết hai chương • Chương 1: Hệ hàm lặp mêtric tập fractal Trong chương trình bày số kiến thức sở cần dùng cho toàn luận văn như, trình bày hệ hàm lặp mêtric, không gian dịch chuyển phép chiếu tắc • Chương 2: Một số tính chất tôpô tập fractal Trong chương trình bày số tính chất tôpô tập fractal: Tính liên thông, liên thông đường, liên thông đường địa phương hoàn toàn không liên thông Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Vũ Thị Hồng Thanh Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể Thầy, Cô giáo tổ Giải tích khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại Học Vinh dạy bảo em tận tình suốt trình học tập trường Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Mặc dù em cố gắng luận văn không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý bảo quý Thầy, Cô bạn bè Vinh, ngày 20 tháng năm 2015 Học viên Hoàng Văn Quý Chương Hệ hàm lặp mêtric tập Fractal Trong chương trình bày kiến thức sở cần dùng toàn luận văn như: Khái niệm liên thông, liên thông đường, liên thông đường địa phương, thành phần liên thông, tập hoàn toàn không liên thông Ngoài ra, trình bày chi tiết khái niệm liên quan đến hệ hàm lặp mêtric, tâp fractal, không gian dịch chuyển phép chiếu tắc 1.1 Một số kiến thức sở Trong mục trình bày khái niệm tập liên thông, liên thông địa phương, liên thông đường, liên thông đường địa phương, thành phần liên thông, họ liên thông số ví dụ minh họa 1.1.1 Định nghĩa [6] Cho ( X, d) không gian mêtric Khi i) Họ { Gi : i ∈ I } tập X gọi phủ tập A ⊂ X A ⊂ i∈ I Gi Nếu I tập hữu hạn ta nói phủ hữu hạn Nếu Gi tập mở ta nói phủ phủ mở ii) Tập A ⊂ X gọi tập compact từ phủ mở A tồn phủ hữu hạn iii) Tập A ⊂ X gọi compact tương đối bao đóng A tập compact iv) Không gian mêtric ( X, d) gọi tách (hay tách) tồn tập đếm trù mật X, nghĩa tồn A ⊂ X mà A đếm A = X 1.1.2 Định nghĩa ([4]) Không gian mêtric ( X, d) gọi liên thông X biểu điễn dạng hợp hai tập mở khác rỗng rời Ngược lại, ( X, d) gọi không liên thông 1.1.3 Ví dụ Các tập lồi không gian liên thông 1.1.4 Định nghĩa ([3]) Không gian mêtric ( X, d) đượng gọi liên thông địa phương với x ∈ X, lân cận U x có lân cân liên thông V x cho U ⊂ V 1.1.5 Ví dụ i) Mỗi khoảng tia đường thẳng thực liên thông địa phương ii) Không gian [−1, 0) ∪ (0, 1] R không liên thông liên thông địa phương 1.1.6 Định nghĩa ([2]) Không gian mêtric ( X, d) gọi liên thông đường với x, y ∈ X tồn hàm liên tục ϕ : [0, 1] → X cho ϕ(0) = x, ϕ(1) = y 1.1.7 Ví dụ Rn với khoảng cách Euclide liên thông đường; Các hình cầu, tập mở Rn tập liên thông đường 1.1.8 Nhận xét i) Nếu X liên thông đường X liên thông ii)Tồn tập liên thông không liên thông đường Chứng minh: i) Giả sử X liên thông đường không liên thông Khi tồn hai thành phần liên thông rời A, B Lấy x ∈ A y ∈ B Do X liên thông đường nên tồn ánh xạ liên tục f : [0, 1] → X với f (0) = x, f (1) = y Vì [0, 1] liên thông f liên tục nên f([0, 1]) liên thông X Do f([0, 1]) ⊂ A f([0, 1]) ⊂ B Dẫn đến x, y ∈ A x, y ∈ B Điều mâu thuẫn với x ∈ A, y ∈ B, A ∩ B = ∅ Vậy, X liên thông Chương Một số tính chất tôpô tập Fractal Trong chương này, trình bày số kết đạt việc nghiên cứu số điều kiện cần điều kiện cần đủ để tập fratal sinh từ hệ hàm lặp hữu hạn không gian mêtric có số tính chất tôpô ví dụ minh họa 2.1 Tính liên thông liên thông đường 2.1.1 Định lí ([4]) Cho ( X, d) không gian mêtric đầy đủ, A tập bất biến IFS S = ( X, ( f k )k=1,n ) Khi đó, khẳng định sau tương đương Ai = f i ( A) liên thông đường với i ∈ {1, 2, , n} Ai = f i ( A) liên thông với i ∈ {1, 2, , n} Aω = f i1 ◦ f i2 ◦ ◦ f im ( A) liên thông đường với m ∈ N∗ Aω = f i1 ◦ f i2 ◦ ◦ f im ( A) liên thông với m ∈ N∗ Chứng minh Từ Nhận xét 1.1.8(i) ta có 1) ⇒ 2) 3) ⇒ 4) Rõ ràng ta có 3) ⇒ 1) 4) ⇒ 2) 20 Do ta cần chứng minh 1) ⇒ 3) 2) ⇒ 1) Trước hết, ta chứng minh 1) ⇒ 3) Ta chứng minh Ai liên thông đường với i = 1, n Aω liên thông đường với m ∈ N ∗ , ω = ω1 ω2 ωm Aω = f ω1 ◦ f ω2 ◦ ◦ f ωm ( A) Ta chứng minh quy nạp theo m +) Với m = có 1) 3) +) Với m ≥ 2, giả sử ω = i1 i2 im Khi đó, Aω = f ω ( A) = f i1 i2 im−1 ( f im ( A)) = f i1 i2 im−1 ( Aim ) Vì Aim liên thông đường theo 1) f i1 i2 im−1 liên tục nên Aω liên thông đường n Ta chứng minh 2) ⇒ 1) Ta có A = j =1 n Ai = f i ( A ) = f i ( A j nên n Aj) = j =1 n fi ( Aj ) = j =1 Ai j j =1 Vì A j liên thông f i liên tục nên Ai j = f i ( A j ) liên thông Đặt P ={ f : A × A × [0, 1] → A : f ( Ai × Ai × [0, 1]) ⊂ Ai , f ( p, q, 0) = p; f ( p, q, 1) = q với ( p, q) ∈ Ai × Ai i ∈ {1, , n}} Trên P ta xác định mêtric sau: Với f , g ∈ P ta có d P ( f , g) = {d( f ( x, y, t), g( x, y, t))} sup ( x,y,t)∈ A× A×[0,1] Suy ( P, d P ) không gian mêtric đầy đủ Lấy i ∈ {1, 2, , n} cố định, với ( p, q) ∈ Ai × Ai tồn n p,q ∈ p,q p,q {1, 2, , n} {ik }k=0,n p,q −1 ⊂ {1, 2, , n} { xk }k=0,n p,q ⊂ Ai 21 p,q p,q p,q p,q cho p = x0 ; q = xn p,q xk , xk+1 ∈ Aii p,q , ∀k ∈ {0, 1, , n p,q − 1} k Bây giờ, với f ∈ P ta xác định hàm T f ∈ P sau: p,q p,q T f ( p, q, t) = f i ( f (yk , zk , n p,q t − k)) p,q k∈ {0, 1, , n p,q p,q p,q ∈ f i−1 ( xk ) ∈ Ai p,q ; zk với ∀t ∈ [ n kp,q ; kn+p,q1 ]; yk k p,q ∈ f i−1 ( xk+1 ) với − 1} Ta kí hiệu T fo = f ; T fm = T f ◦ T f ◦ ◦ T f với m ∈ N ∗ Khi đó, d P ( T f , Tg ) ≤ c.d P ( f , g) quy nạp ta chứng minh d P ( T fm , Tgm ) ≤ cm d P ( f , g) → n → ∞ với f , g ∈ P Suy tồn f ∗ ∈ P để T fm → f ∗ m → ∞ (vì dãy Cauchy không gian mêtric đầy đủ) Kí hiêu: ωt ( f ) = lim sup ε→0 x,y∈(t−ε;t+ε) d( f ( x, f (y)) giao độ f ∈ P t ∈ [0; 1]; f p,q (t) = f ( p, q, t) với ( p, q, t) ∈ Ai × Ai × [0, 1]; Ω( T f ) = sup ( p,q,t)∈ Ai × Ai ×[0,1] ωt ( T f p,q ) Từ ta có Ω( T f ) ≤ Lip( f i ) sup ωt ( f p,q ) ≤ c.Ω( f ) ( p,q,t)∈ Ai × Ai ×[0,1] Bằng quy nạp ta có: Ω( T fm ) ≤ cm Ω( f ) → m → ∞ Suy Ω( f ∗ ) = f ∗ liên tục theo t Do f ∗ liên tục gữa p q Vậy Ai liên thông đường 2.1.2 Nhận xét Cho ( X, d) không gian mêtric đầy đủ, S = ( X, ( f i )i=1,n ) IFS A tập bất biến S Với i ∈ {1, , n} Ai liên thông A = n i =1 f i ( A) = n i =1 Ai nên A có hữu hạn thành phần liên thông Sau số ví dụ 2.1.3 Bổ đề ([4]) Cho không gian mêtric đầy đủ ( X, d), S = ( X, ( f k )k=1,n ) 22 IFS X, A tập bất biến qua IFS Giả sử ánh xạ u : [0, 1] → A(s) t ∈ [0, 1] Ta đặt D(u, t) = sup{ lim supd(u(tn ), u(sn )) : lim tn = lim sn = t} n→∞ n→∞ n→∞ Nếu fn : [0, 1] → A hội tụ tới f : [0, 1] → A n → ∞ lim D (fn , s) = n→∞ f liên tục s Chứng minh: Lấy d mêtric A Nếu tn → s sn → s n → ∞ d( f (tn ), f (sn )) ≤ d( f (tn ), f m (tn )) + d( f m (tn ), f m (sn )) + d( f m (sn ), f (sn ))(∗) Đặt rm = sup{d( f m (t), f (t)) : t ∈ [0, 1]} Khi đó, từ bất đẳng thức (∗), ta có D ( f , s) ≤ 2rm + D ( f m , s) Cho m → ∞ ta có D ( f , s) = Điều chứng tỏ f liên tục s 2.1.4 Định lí ([8]) Cho ( X, d) không gian mêtric đầy đủ, S = ( X, ( f k )k=1,n ) IFS X A tập bất biến IFS S Khi đó, khẳng định sau tương đương ( f i ( A))i=1,n = ( Ai )i=1,n liên thông; A liên thông đường; A liên thông Chứng minh Theo Nhận xét 1.1.8(i) (2) ⇒ (3) Bây ta chứng minh (3) ⇒ (1) Thất vậy, với i ∈ {1, , m} xác định tập J ⊂ {1, , m} J = {i ∈ {1, , m} : tồn {ik }k∈{0,1, ,n−1} ⊂ {1, , m} mà i0 = i, in = j Aik ∩ Aik+1 = ∅ với k = 0, 1, , m − 1} Đặt U = j∈ J A j V = j/ ∈J A j U ∩ V = ∅ U ∪ V = A Cả U lẫn V tập đóng A đóng, f i liên tục J tập hữu hạn 23 Vậy, U vừa mở vừa đóng Do đó, U = A hay U = ∅ A liên thông Hiển nhiên Ai ⊂ U, U = A Điều kéo theo V = ∅ nên J = {1, , m} Vậy, họ { Ai } liên thông, tức có (3) suy (1) Tiếp theo ta chứng minh (1) ⇒ (2) Đặt P = { f : A2 × [0, 1] → A : f ( p, q, 0) = p, f ( p, q, 1) = q với ( p, q) ∈ A2 } Do đó, với f , g ∈ P, ta đặt d P ( f , g) = sup{d( f ( p, q, t), g( p, q, t, )) : ( p, q, t) ∈ A2 × [0, 1]} Dễ chứng minh d P mêtric P Hơn nữa, ( P, d P ) không gian mêtric đầy đủ Từ (1), với ( p, q) ∈ A2 , ta chọn n( p, q), dãy {ik ( p, q)}0≤k≤n( p,q)−1 ⊂ {1, , m} { xk ( p, q)}0≤k≤n( p,q) ⊂ A cho x0 ( p, q) = p; xn(,q) ( p, q) = q xk ( p, q); xk+1 ( p, q) ∈ Aik ( p,q) với k = 0, 1, , n( p, q) − Với f ∈ P, ta xác định G f ∈ P k với t ∈ [ n( p,q , k+1 ] ) n( p,q) G f ( p, q, t) = Fik ( p,q) ( f (yk ( p, q), zk ( p, q), n( p, q)t − k), yk ( p, q) = Fi−(1p,q) ( xk ( p, q)) zk ( p, q) = Fi−(1p,q) ( xk+1 ( p, q)) k k Do đó, ta suy m dP (Gm f , Gg ) ≤ rm = max d ( Aω ) ω ∈Λm Vì rm → m → ∞ nên tồn f ∗ ∈ P cho G m f → f ∗ ∈ P m → ∞ Ta có, D ( f ) = sup{ D ( f ( p, q, t) : ( p, q, t) ∈ A2 × [0, 1])} với f ∈ P Khi 24 đó, ta có D ( G m f ) ≤ rm D ( f ) Theo Bổ đề 2.1.5 f ∗ ( p, q, t ) liên tục ( p, q) Do vậy, A liên thông đường Ta có khẳng định 2) Sau số ví dụ 2.1.5 Ví dụ Xét X = R f , f : R → R xác định f ( x ) = 13 x f ( x ) = 31 x + 23 Suy S = ( R, { f , f }) A = [0, 1] tập Cantor bất biến S Ta có A1 = f ( A) = f ([0, 1]) = [0, 31 ] A2 = f ( A) = f ([0, 1]) = [ 32 , 1] Do đó, A1 ∩ A2 = ∅ nên {A1 ,A2 } họ không liên thông Do A không liên thông hoàn toàn không liên thông 2.1.6 Ví dụ Xét hàm Φ : [0, 1] → [0, 1] xác định  x  x ∈ [0, 14 ]   Φ( x ) = x ∈ [ 14 , 34 ]    x 1 − x ∈ [ , 1] Suy Lip(Φ) = 12 Xét hàm Ψ : [0, 1] → [0, 1] xác định Ψ( x ) = − Φ(1 − x ) |Φ( x ) − Φ(y)| |Φ(1 − x ) − Φ(1 − x )| = nên | x − y| |(1 − x ) − (1 − y)| Xét IFS S = ([0, 1], {Φ, Ψ}) ⇒ A = [0, 41 ] ∪ [ 34 , 1] Lip(Φ) = Lip(Ψ) = 1 1 Φ( A) = [0, ] ∪ [ , ] = [0, ] 8 4 3 Ψ( A) = (1 − Φ(1 − [0, ])) ∪ (1 − Φ(1 − [ , 1])) = [ , 1] 4 Suy Φ( A) ∪ Ψ( A) = A Ta có A1 = Φ( A) = [0, 41 ] A2 = Ψ( A) = [ 34 , 1] Xét f = Φ; f = Ψ 25 1 7 A11 = [0, ]; A12 = [ , ]; A21 = [ , ]; A22 = [ , 1] 8 4 8 Ta có A1 ∩ A2 = ∅; A11 ∩ A12 = { 18 }; A21 ∩ A22 = { 78 } Dễ thấy { A11 , A12 }; { A11 , A12 } họ liên thông A1 , A2 tập liên thông A không liên thông 2.1.7 Ví dụ Xét X = R f , f : R → R xác định 1 f ( x ) = x f ( x ) = x + 2 Ta có IFS S = (R, { f , f }) hệ hàm lặp A = [0, 1] tập bất biến S Thật vây, ta có A1 = f ( A) = f ([0, 1])=[0, ] A2 = f ( A) = f ([0, 1])=[ , 1] Vậy, A = A1 ∪ A2 = f ( A) ∪ f ( A) Ta có A1 ∩ A2 = { 21 } nên {A1 ,A2 } họ liên thông Vậy, ví dụ ta dựa vào Định lí 1.2.5 ta có A liên thông đường liên thông 2.1.8 Ví dụ Xét X = R2 với khoảng cách Euclide, f , f , f : R2 → R2 xác định y f ( x, y) = ( 2x , ); y f ( x, y) = ( 2x + 12 , ); y f ( x, y) = ( 2x + 14 , + 21 ) hệ hàm lặp S = (R2 , { f , f , f }) Các hàm f , f , f ánh xạ đồng dạng với tỉ số đồng dạng 12 Tập bất biến A gọi tam giác Sierpinski Ta có f (0, 0) = (0, 0); f (1, 0) = (1, 0) f (0, 1) = (0, 1) Như 26 (0, 0); (1, 0); (1, 0) ∈ A Hơn nữa: f (1, 0) = f (0, 0) = ( 12 , 0) ∈ A1 ∩ A2 f (0, 1) = f (0, 0) = (0, 21 ) ∈ A1 ∩ A3 f (0, 1) = f (1, 0) = ( 12 , 12 ) ∈ A2 ∩ A3 Như họ { A1 , A2 , A3 } liên thông Do đó, theo Định lí 2.1.5 tam giác Sierpinski A liên thông liên thông đường Trong trường hợp tập bất biến A gồm nhiều thành phần liên thông ta có kết sau 2.1.9 Định lí ([6]) Cho ( X, d) không gian mêtric đầy đủ, p ∈ N∗ , S = ( X, ( f k )k=1,n , c = max Lip( f k ) < A tập bất biến IFS S Khi k =1,n khẳng định sau tương đương Với ω ∈ Λ p = Λ p ( N ∗ ) họ ( Aωi )i=1,n liên thông; Aω liên thông đường với ω ∈ Λ p ; Aω liên thông với ω ∈ Λ p ; Aω liên thông đường với ω ∈ Λm (m ≥ p); Aω liên thông với ω ∈ Λm (m ≥ p) 2.2 Tính liên thông đường địa phương hoàn toàn không liên thông Trong mục trình bày kiến thức liên quan đến liên thông đường địa phương, hoàn toàn không liên thông ví dụ minh họa 2.2.1 Định lí ([5]) Cho ( X, d) không gian mêtric đầy đủ, S = ( X, ( f k )k=1,n ) IFS X, c = max Lip( f k ) < Giả sử A tập bất biến IFS Kí k =1,n 27 n hiệu Ai = f i ( A) Nếu ∑ Lip( f i ) < A hoàn toàn không liên thông i =1 2.2.2 Chú ý Kết Định lí 2.2.1 không ta thay hệ hàm lặp hữu hạn hệ hàm lặp vô hạn Chẳng hạn ví dụ sau Xét f i : [0, 1] → [0, 1] x → f i ( x ) = i với i ∈ Q ∩ [0, 1] = I Dễ kiểm tra tập bất biến hệ hàm lặp S = ([0, 1], {fi }i∈ I ) [0, 1] {i} = Q ∩ [0, 1]=[0, 1] f ([0, 1]) = i∈ I i∈ I Lai có Lip(fi ) = với i ∈ I nên ∑ Lip( f i ) = < i∈ I Nhưng [0, 1] lại không hoàn toàn không liên thông Tức kết Định lí 2.2.1 không trường hợp 2.2.3 Ví dụ Tập Cantor C xác định hai ánh xạ đồng dạng f ( x ) = 13 x, f ( x ) = 31 x + 23 Khi đó, Lip( f ) = Lip( f ) = Nên ∑ Lip( f i ) = i =1 3 < Vây, tập Cantor hoàn toàn không liên thông 2.2.4 Định lí ([7]) Cho ( X, d) không gian mêtric đầy đủ, S = ( X, ( f k )k=1,n ) IFS X, c = max Lip( f k ) < A tập bất biến IFS S Nếu A k=1,n có hữu hạn thành phần liên thông thành phần liên thông tập liên thông đường Chứng minh Lấy K1 , K2 , , Kn thành phần liên thông A Vì Ki ⊂ A, ∀i = 1, n tập đóng không gian compact nên Ki compact 28 Xét j Fi :K j → X j x → Fi ( x ) = f i ( x ), i ∈ {1, 2, , n}, j ∈ {1, 2, , m} j Vì fi liên tục nên Fi liên tục K j liên thông suy ảnh liên tục j tập liên thông Fi (K j ) tập liên thông nên chứa thành phần liên thông m Xét không gian tích K = ∏ Ki Ta xác định mêtric K i =1 dmax ( x, y) = max {d( xi , y j ) xi ,y j ∈Ki m Suy (K, dmax ) không gian mêtric Do Ki compact nên K = ∏ Ki i =1 compact Suy (K, dmax ) không gian mêtric compact Do (K, dmax ) không gian mêtric đầy đủ Bây ta đưa số kí hiệu sau p1 : {1, 2, ,n} × {1, 2, , m} → {1, 2, , n} ( x, y) → p1 ( x, y) = x; p2 : {1, 2, ,n} × {1, 2, , m} → {1, 2, , n} ( x, y) → p1 ( x, y) = y phép chiếu J = { ϕ : {1, 2, , m} → {1, 2, , n} × {1, 2, , m}} j cho θ ( ϕ( j)) = j Fi (K j ) = f i (K j ) ⊂ Kθ (i,j) với θ : {1, 2, ,n} × {1, 2, , m} → {1, 2, , m} (i, j) → θ (i, j) = t 29 ϕ : {1, 2, ,m} → {1, 2, , n} × {1, 2, , m} j → ϕ( j) = (t, l ) Như θ = ϕ−1 hay ϕ = θ −1 Mr = {(i, j) ∈ {1, 2, , n} × {1, 2, , m} : r = θ (i, j)} với r ∈ {1, 2, , m} Suy Mr = θ −1 (r ) Với ϕ ∈ J ta xác định hàm Fϕ :K → K ( x1 , x2 , , xm ) → Fϕ ( x1 , x2 , , xm ) với p ( ϕ(1)) p ( ϕ(m)) Fϕ ( x1 , x2 , , xm ) = ( Fp 2( ϕ(1)) ( x p2 ( ϕ(1))); ; Fp 2( ϕ(m)) ( x p2 ( ϕ(m)))) 1 = ( f p1 ( ϕ(1))( x p2 ( ϕ(1))); ; f p1 ( ϕ(m))( x p2 ( ϕ(m)))) Với kí hiệu trên, ta có: Lip( Fϕ ) ≤ max Lip( f i ) = c < suy Fϕ ánh xạ co với ϕ ∈ J i =1,n Xét IFS S1 = (K, ( Fϕ ) ϕ∈ J ) Ta chứng minh K bất biến qua S1 +) Ta có: Fϕ (K ) ⊂ K với ϕ ∈ J nên ϕ∈ J Fϕ (K ) ⊂ K m +) Mặt khác, lấy x = ( x j ) j=1,m ∈ K ta có Fϕ (K ) = ∏ f p1 ( ϕ( j)) (K p2 ( ϕ( j)) ) j =1 Suy m j =1 Kj = A = n i =1 n m f i ( A) = ∪ ∪ f i (K j ) i =1 j =1 f i (K j ) với r ∈ {1, 2, , m} ∃ir , jr ∈ {1, 2, , n} Nên Kr = (i,j)∈ Mr cho xr ∈ f ir (K jr ), ∀r ∈ {1, 2, , m} Xét ϕ x : {1, 2, ,m} → {1, 2, , n} × {1, 2, , m} r → (ir , jr ) 30 Khi x ∈ Fϕr (K ) nên K ⊂ Vậy K = ϕ∈ J ϕ∈ J Fϕ (K ) Fϕ (K ) Vì K liên thông nên theo Định lí 2.1.1 K liên thông đường Ki liên thông đường với i ∈ {1, 2, , m} 2.2.5 Ví dụ Lấy n ∈ N, n ≥ xét hàm f : [0, 1] → [0, 1] xác định  x  x ∈ [1, n1 ]   1 f (x) = x ∈ [ n1 , n− 3n n ]    nx−n+2 x ∈ [ n− 3n n , 1] Ta có Lip( f ) = 31 Xét hàm g : [0, 1] → [0, 1] x → − f (1 − x ) Ta có Lip( g) = Lip( f ) = 31 Xét X = [0, 1] IFS S = ( X, { f , g}) Ta có 2 A = [0, 3n ] ∪ [1− 3n , 1] tập bất biến S Khi A không liên thông A có hai thành phần liên thông Mỗi thành phần liên thông liên thông đường 2.2.6 Định lí ([6]) Cho ( X, d) không gian mêtric đầy đủ, p ∈ N∗ , S = ( X, ( f k )k=1,n ) , c = max Lip( f k ) < A tập bất biến IFS S Nếu A k =1,n thỏa mãn khẳng định Định lí 2.1.11 khẳng định sau tương đương A có n p thành phần liên thông, A có số thành phần liên thông họ ( Aω )ω ∈Λ p Mỗi thành phần liên thông A liên thông đường A liên thông đường địa phương 31 Kết luận Luận văn thu kết sau: Trình bày khái niệm hệ hàm lặp hữu hạn không gian mêtric Chứng minh tồn cấu trúc tập bất biến qua hệ hàm lặp ví dụ minh họa Chứng minh chi tiết kết điều kiện cần, điều kiện cần đủ để tập bất biến qua hệ hàm lặp có tính chất liên thông, liên thông đường, liên thông địa phương, hoàn toàn không liên thông mà tài liệu chứng minh vắn tắt chưa chứng minh (Mệnh đề 1.3.2, Mệnh đề 1.3.5, Định li 2.1.1, Định lí 2.1.5 Định lí 2.2.3) Trình bày đưa ví dụ minh họa cho tập có tính chất tôpô liên thông, liên thông đường, liên thông địa phương (Ví dị 2.1.6, Ví dụ 2.1.7, Ví dụ 2.2.2, Ví dụ 2.2.5) Thông qua việc thực luận văn, thấy lí thuyết tôpô, viêc tìm phản thí dụ hay chứng minh số tính chất tôpô tập khó Chẳng hạn tìm ví dụ tập liên thông không liên thông đường, chứng minh tập liên thông đường, chứng minh tập hoàn toàn không liên thông Nhưng kết trình bày luận văn làm đơn giản nhiều vấn đề nói ta nghiên cứu hình học Fractal Tài liệu tham khảo [1] Dumitru D (2011), Topological properties of attractors of iterated funtion system, An St Univ, Ovidius Constanta, Seria Matematical, Vol 19(3), 117- 126 [2] Dumitru D and Mihail A (2008), The shift space of an iterated function system containing Meir-Keeler functions An Stiint Univ Bucuresti, Matematica, LVII (1), 75-89 [3] Dumitru D (2014), Arcwise connected attractors of infinite iterated function systems, An S¸t University of Ovidius, Constant¸a, Seria Matematică vol 22(2), 91-98 [4] Edgar G (2008), Measure, Topology and fractal Geometry, Springer [5] Kigami J (2001), Analysis on fractals, Cambridge Univ Press [6] Mihail A (2009), On the connectivity of attractors of iterated multifunction systems, Real Analysis Exchange, 34, 195 - 206 [7] Mihail A (2010), On the connectivity of attractors of iterated function systems, Rocly Mountain Joural of Mathematics, 40(6), 1949 - 1964 [8] Mihail A (2010), A necessary and sufficient condition for the connectivity of the attractor of an infinite iterated function system, Rev Roumaine Math Pures Appl , 55(2), 147 - 157 33 [9] MF Barnsley(1993), fractals everywhere, Academic Press Professional, Boston [10] J.Hutchinson(1981), Fractals and self- semilarity, Indiana Univ J Math 30, 1981 34 [...]... văn thu được các kết quả sau: 1 Trình bày khái niệm hệ hàm lặp hữu hạn trên không gian mêtric Chứng minh sự tồn tại và cấu trúc của tập bất biến qua hệ hàm lặp này và các ví dụ minh họa 2 Chứng minh chi tiết các kết quả về điều kiện cần, điều kiện cần và đủ để một tập bất biến qua hệ hàm lặp có tính chất liên thông, liên thông đường, liên thông địa phương, hoàn toàn không liên thông mà các tài liệu... việc nghiên cứu một số điều kiện cần và điều kiện cần và đủ để tập fratal sinh ra từ hệ hàm lặp hữu hạn trên không gian mêtric có một số tính chất tôpô nào đó và các ví dụ minh họa 2.1 Tính liên thông và liên thông đường 2.1.1 Định lí ([4]) Cho ( X, d) là không gian mêtric đầy đủ, A là tập bất biến của IFS S = ( X, ( f k )k=1,n ) Khi đó, các khẳng định sau là tương đương 1 Ai = f i ( A) liên thông đường... Vậy dS là một mêtric trên ∧ 1.3.3 Nhận xét (Λ, ds ) là không gian mêtric, compact 1.3.4 Định nghĩa ([4]) Bộ (Λ, ds ) được gọi là không gian dịch chuyển (shift space hoặc code space) Mệnh đề sau cho ta thấy chi tiết cách xây dựng và sự tồn tại của tập bất biến qua hệ hàm lặp hữu hạn trên không gian mêtric 1.3.5 Mệnh đề ([4]) Cho ( X, d) là không gian mêtric đầy đủ S = ( X, ( f k )k=1,n ) là IFS trên X... mêtric và tập Fractal Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm: ánh xạ co, ánh xạ Lipschits, hệ hàm lặp hữu hạn trên không gian metric, sự tồn tại và cách xây dựng tập bất biến qua hệ hữu hạn ánh xạ co và các ví dụ 1.2.1 Định nghĩa ([5]) Cho ( X, d) là không gian mêtric, A = ∅, A ⊂ X, với mỗi x ∈ X ta đặt 1 d( x, A) = in f {d( x, y) : y ∈ A} và được gọi là khoảng cách từ phần tử x đến tập A 2... ([4]) Cho ( X, d) là không gian mêtric đầy đủ S = ( X, ( f k )k=1,n ) là IFS trên X và A là tập bất biến qua S Khi đó, hàm Π : Λ → A được xác định như trong Định lí 1.3.6 được gọi là phép chiếu chính tắc từ không gian dịch chuyển Λ lên tập bất biến A 19 Chương 2 Một số tính chất tôpô của các tập Fractal Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả đạt được về việc nghiên cứu một số điều kiện cần... ảnh liên tục của j tập liên thông là Fi (K j ) là tập liên thông nên nó được chứa trong một thành phần liên thông m Xét không gian tích K = ∏ Ki Ta xác định một mêtric trên K bởi i =1 dmax ( x, y) = max {d( xi , y j ) xi ,y j ∈Ki m Suy ra (K, dmax ) là không gian mêtric Do Ki compact nên K = ∏ Ki i =1 compact Suy ra (K, dmax ) là không gian mêtric compact Do đó (K, dmax ) là không gian mêtric đầy đủ... Kí k =1,n 27 n hiệu Ai = f i ( A) Nếu ∑ Lip( f i ) < 1 thì A hoàn toàn không liên thông i =1 2.2.2 Chú ý Kết quả của Định lí 2.2.1 không còn đúng nếu ta thay hệ hàm lặp hữu hạn bởi hệ hàm lặp vô hạn Chẳng hạn như ở ví dụ sau Xét f i : [0, 1] → [0, 1] x → f i ( x ) = i với i ∈ Q ∩ [0, 1] = I Dễ kiểm tra được tập bất biến của hệ hàm lặp S = ([0, 1], {fi }i∈ I ) là [0, 1] vì {i} = Q ∩ [0, 1]=[0, 1] f ([0,... Trình bày và đưa ra các ví dụ minh họa cho các tập có tính chất tôpô như liên thông, liên thông đường, liên thông địa phương (Ví dị 2.1.6, Ví dụ 2.1.7, Ví dụ 2.2.2, Ví dụ 2.2.5) Thông qua việc thực hiện luận văn, chúng tôi thấy rằng trong lí thuyết tôpô, viêc tìm ra các phản thí dụ hay chứng minh một số tính chất tôpô của các tập là rất khó Chẳng hạn như tìm ví dụ về tập liên thông nhưng không liên thông... là một mêtric trên K( X ) 1.2.3 Nhận xét: i) Nếu thay K( X ) bởi P ( X ) thì h chỉ là nửa mêtric, nghĩa là tồn tại A, B ∈ P ( X ), A, B = ∅ mà h( A, B) = 0 nhưng A = B ii) Nếu ( X, d) là không gian mêtric đầy đủ thì (K( X ), h) là không gian mêtric đầy đủ iii) Nếu ( X, d) là không gian mêtric compact và tách thì (K( X ), h) là không gian mêtric compact và tách 1.2.4 Định nghĩa ([5]) Cho ( X, d) là không. .. là không gian mêtric đầy đủ và S = ( X, ( f k )k=1,n ) là IFS Tập A trong Định lí 1.2.10 được gọi là tập bất biến (tập hút, tập Fractal) của hệ hàm lặp S = ( X, ( f k )k=1,n ) 1.2.12 Định lí ([6]) Cho ( X, d) là không gian mêtric đầy đủ và S = ( X, ( f k )k=1,n ) là IFS với c = max Lip( f k ) < 1 Lấy A0 ∈ K( X ), Am = FSm ( A0 ) sao cho k =1,n A0 ⊂ FS ( A0 ) Khi đó Am ⊂ Am+1 và A = 1.3 m ≥1 Am Không ... HỌC VINH HOÀNG VĂN QUÝ MỘT SỐ TÍNH CHẤT TÔPÔ CỦA CÁC TẬP FRACTAL SINH BỞI HỆ HÀM LẶP HỮU HẠN TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 Người... fractal sinh hệ hàm lặp hữu hạn không gian mêtric” Mục đích luận văn thông qua tài liệu tìm hiểu trình bày cách có hệ thống kết chứng minh cần thiết tồn tập Fractal sinh hệ hàm lặp hữu hạn không gian. .. Chương Một số tính chất tôpô tập Fractal Trong chương này, trình bày số kết đạt việc nghiên cứu số điều kiện cần điều kiện cần đủ để tập fratal sinh từ hệ hàm lặp hữu hạn không gian mêtric có số tính