Nhóm compact địa phương thoả mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải được đóng

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh ===== ===== trịnh thị minh nhóm compact địa phơng thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đ- ợc đóng Chuyên ngành: đại số - lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: GS.TS. Nguyễn Quốc Thi Vinh - 2006 1 Mục lục Trang Mục lục 2 Lời Nói Đầu .2 Chơng 1 4 Nhóm tôpô giải đợc 4 1.1. Nhóm trừu tợng giải đợc .4 Chơng 2 13 nhóm compact địa phơng thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng .13 2.1. Nhóm con - mở rộng của nhóm - tích trực tiếp của nhóm con thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng .13 Tài Liệu Tham Khảo .24 Lời Nói Đầu Trong lý thuyết nhóm trừu tợng cũng nh trong lý thuyết nhóm tôpô, lớp nhóm thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với một lớp nhóm con nào đó giữ một vị trí hết sức quan trọng, vì thế mà đợc nhiều nhà toán học nghiên cứu. 2 Trong nhóm trừu tợng, lớp nhóm thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con đợc nghiên cứu bởi nhà toán học A.Curot. Trong nhóm tôpô, lớp nhóm tôpô thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con Aben đóng đợc nghiên cứu bởi các nhà toán học V.P.Platonov, PGS.TS. Lê Quốc Hán . Trong luận văn này, chúng tôi đặt vấn đề khảo sát lớp nhóm tôpô thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng, đó là "lớp nhóm tôpô mà mọi dãy nhóm con giải đợc đóng giảm đều hữu hạn". Lớp nhóm này rộng hơn "lớp nhóm thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con Aben đóng". Vì vậy, những kết quả của lớp nhóm tôpô thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng cũng thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con Aben đóng. Với những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài của luận văn Nhóm compact địa phơng thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng. Luận văn nghiên cứu một số tính chất quan trọng của lớp Nhóm compact thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng. Luận văn gồm 2 chơng: Chơng 1: Nhóm tôpô giải đợc 1.1. Nhóm trừu tợng giải đợc 1.2. Nhóm tôpô giải đợc Chơng 2: Nhóm compact địa phơng thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng Chơng này chúng tôi sẽ khảo sát cấu trúc, điều kiện cần và đủ của lớp nhóm tôpô thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng và nghiên cứu tính chất của nhóm Lie thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng, tính chất của thành phần liên thông của đơn vị, tính hữu hạn địa phơng của nhóm compact địa phơng thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng. Những kết quả đạt đợc trong chơng này cũng là kết quả chính của luận văn. 3 2.1. Nhóm con - Mở rộng của nhóm - Tích trực tiếp của nhóm con thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng. 2.2. Tính chất hữu hạn địa phơng tôpô và tính chất thành phần liên thông đơn vị của nhóm compact địa phơng thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng. Trong quá trình học tập và viết luận văn, tác giả đã nhận đợc sự dạy bảo tận tình, sự động viên giúp đỡ quý báu của các Thầy giáo - các nhà khoa học: GS.TS. Nguyễn Quốc Thi, PGS.TS. Nguyễn Quý Dy, PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, TS. Mai Văn T. PGS. TS. Lê Quốc Hán. Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến các Thầy. Tác giả xin đợc cảm ơn Khoa Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán - Trờng Đại học Vinh, Sở GD&ĐT Thanh Hoá, Trờng THPT Quảng Xơng 3, tập thể lớp Cao học 12 Đại số đã giúp đỡ và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn của mình. Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự góp ý của quý thầy cô và các bạn. Vinh, tháng 12 năm 2006. Tác giả Trịnh Thị Minh Chơng 1 Nhóm tôpô giải đợc 1.1. Nhóm trừu tợng giải đợc 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử G là nhóm trừu tợng, x và y là 2 phần tử bất kì của nhóm G. Phần tử z = x -1 y -1 xy đợc gọi là hoán tử của phần tử x và y. 4 Ký hiệu z = [x,y]. +) Nếu G là nhóm Aben thì mọi hoán tử đều bằng đơn vị e của G. +) Nhóm con G = {x -1 y -1 xy/ (x,y G) } đợc gọi là đạo nhóm của nhóm G. Ký hiệu: G = [G,G]. Nếu G là nhóm Aben thì G = {e} đơn vị của G. 1.1.2. Định lý. Đạo nhóm G của nhóm G là nhóm con hoàn toàn đặc trng Chứng minh. Giả sử là tự đồng cấu của nhóm G và x -1 y -1 xy là một hoán tử bất kỳ của G, khi đó: (x -1 y -1 xy) = (x) -1 (y) -1 (x) (y) = x -1 y -1 x y với x = (x), y = (y), cũng là hoán tử của nhóm G nên (G ) G. Vậy G là nhóm hoàn toàn đặc trng. 1.1.3. Định lý. Cho K là ớc chuẩn bất kỳ của nhóm G. Khi đó, nhóm thơng G K là nhóm Aben khi và chỉ khi K chứa G . Chứng minh. Ta xét đồng cấu tự nhiên : G G K x xK Ta có (x -1 y -1 xy) = K x -1 K y -1 KxKy = K(x -1 y -1 xy) = K, từ đó suy ra x -1 y -1 xy K hay G K. Vậy nếu G K là nhóm Aben thì suy ra G K. Giả sử ngợc lại nếu G K, ta xét hoán tử bất kỳ: K x -1 K y -1 KxKy = K(x -1 y -1 xy) = K vì x -1 y -1 xy K nên mọi hoán tử G K đều bằng đơn vị e G K . Vậy G K là nhóm Aben. 1.1.4. Định nghĩa. Ta ký hiệu G = [ G, G ] G (2) = [G', G] 5 . G (i) = [G (i-1) , G] Khi đó dãy các nhóm con hoàn toàn đặc trng G G . G (i) (1) đợc gọi là dãy đạo nhóm của nhóm G. 1.1.5. Định nghĩa. Nhóm G đợc gọi là nhóm giải đợc nếu nh dãy (1) sau một số hữu hạn bớc bị dừng tại đơn vị, nghĩa là tồn tại n sao cho G (n) = {e} 1.1.6. Định lý. Nhóm con, nhóm thơng của nhóm giải đợc là nhóm giải đợc. Tích trực tiếp của một số hữu hạn các nhóm giải đợc là nhóm giải đợc. Chứng minh. Giả sử G là nhóm giải đợc, dãy G G . G (n) = {e} là dãy đạo nhóm của nhóm G. Trớc hết ta chứng minh nhóm con của nhóm giải đợc là nhóm giải đợc. Giả sử H là nhóm con của nhóm G. Khi đó ta có H G nên H G và bằng phơng pháp qui nạp ta có H (n) G (n) = {e}. Vậy H H H (n) = {e}, nghĩa là H là nhóm giải đợc. Bây giờ ta chứng minh nhóm thơng của nhóm giải đợc là nhóm giải đợc. Giả sử Q = G K là nhóm trừu tợng của nhóm G theo ớc chuẩn K. Xét đồng cấu tự nhiên : G Q. Ta có (G ) = Q và tiếp tục quá trình trên ta có ( G (n) ) = Q (n) = { e} Vậy Q là nhóm giải đợc. Cuối cùng, ta chứng minh tích trực tiếp của một số nhóm hữu hạn giải đợc là nhóm giải đợc. Ta có thể áp dụng phơng pháp quy nạp, nên ta chỉ cần chứng minh cho tích trực tiếp của 2 nhóm G 1 và G 2 giải đợc. Giả sử G = G 1 ì G 2 = { (x,y) / x G 1 , y G 2 } 6 và 1 = (x 1, y 1 ) G; 2 = (x 2, y 2 ) G. Khi đó 1 -1 2 -1 1 2 = (x 1 -1 x 2 -1 x 1 x 2 , y 1 -1 y 2 -1 y 1 y 2 ) từ đó suy ra G = G 1 ì G 2 . Bằng phơng pháp qui nạp ta có G (m) = G 1 (m) ì G 2 (m) với m = max( m 1 , m 2 ) thì G 1 (m) = G 2 (m) = {e} Vậy G (m) = {(e,e)} nên G là nhóm giải đợc. 1.1.7. Bổ đề. Nhóm G giải đợc khi và chỉ khi trong G có dãy á chuẩn: G A 1 . A n = {e} (2) với A i+1 A i và i i+1 A A là nhóm Aben. Chứng minh. Nếu G là nhóm giải đợc, khi đó dãy đạo nhóm của nhóm G thỏa mãn điều kiện dãy (2). Ngợc lại, nếu trong G có dãy (2). Ta chứng minh G là nhóm giải đợc hay chứng minh dãy đạo nhóm của G bị dừng tại {e} sau một số hữu hạn bớc. Giả sử trong G có dãy : G A 1 . A n = {e} với A i+1 A i và i i+1 A A là nhóm Aben. Ta có 1 G A là nhóm Aben. Theo định lý 1.1.3 ta có G A 1 . Bằng qui nạp có G (n) A n = {e} nên G (n) = {e}. Vậy trong G có dãy giải đợc: G G . G (n) = {e} Vậy G là nhóm giải đợc. Bổ đề đợc chứng minh. 1.1.8. Định lý. Nếu nhóm G là mở rộng của nhóm giải đợc H nhờ nhóm giải đ- ợc K thì G là nhóm giải đợc. Định lý 1.1.8 tơng đơng định lý sau: 7 Nếu trong G tồn tại ớc chuẩn giải đợc K để nhóm thơng H = G K giải đợc thì G là nhóm giải đợc. Chứng minh. Vì nhóm G K = H giải đợc nên theo bổ đề trên ta có dãy á chuẩn. G K 1 A K . n A K = K K . Suy ra i A K là nhóm Aben và A i+1 A i nên ta có dãy á chuẩn G A 1 . A n = K, với A i+1 A i và i i+1 A A là nhóm Aben. Vì K là nhóm giải đợc nên trong K có dãy á chuẩn K K 1 . K n = e , với K i+1 K i và i i+1 K K là nhóm Aben. Cuối cùng ta có dãy á chuẩn: G A 1 . A n = K K 1 . K n = {e}, với A i+1 A i và i i+1 A A là nhóm Aben và K j+1 K j , j j+1 K K là nhóm Aben. Vậy G là nhóm giải đợc. 8 1.1.9. Định nghĩa. Nhóm trừu tợng G đợc gọi là nhóm hữu hạn địa phơng nếu nh mọi nhóm con hữu hạn sinh đều là nhóm hữu hạn. 1.1.10. Định lý. Mở rộng nhóm G của nhóm hữu hạn địa phơng A bởi nhóm hữu hạn địa phơng B là nhóm hữu hạn địa phơng. Chứng minh. Rõ ràng G là nhóm xoắn. Giả sử <x 1 , ., x n > là tập hữu hạn các phần tử của nhóm G. Vì B là nhóm hữu hạn địa phơng suy ra nhóm thơng G A là nhóm hữu hạn địa phơng. Ta có mỗi lớp ghép của G theo ớc chuẩn A chứa ít nhất một phần tử trong tập <x 1 , ., x n >. Điều này thực hiện đợc, vì tập <x 1 , ., x n > là tập hữu hạn, nên nếu cần ta bổ sung một số hữu hạn phần tử. Bất kì tích x i x j nằm trong lớp ghép của G theo ớc chuẩn A, nó đợc biểu diễn dới dạng tích một phần tử trong tập <x 1 , ., x n > và một phần tử trong A. Đối với mỗi cặp chỉ số i, j có một cách biểu diễn x i x j = x k a i j, a i j A. Vì G là nhóm xoắn nên bất kì phần tử trong nhóm con {x 1 , ., x n } có thể biểu diễn dới dạng tích các phần tử x i , do đó nó biểu diễn ở dạng tích các phần tử x 1 , ., x n với phần tử dạng tích các phần tử a i j của nhóm con sinh bởi các phần tử a i j . Nhóm con sinh bởi a i j là nhóm con của nhóm A hữu hạn địa phơng nên chỉ có một số phần tử a i j. Từ đó suy ra nhóm con { x 1 , ., x n } hữu hạn. Vậy G là nhóm hữu hạn địa phơng. 1.1.11. Định lý. Mọi nhóm xoắn Aben G đều là nhóm hữu hạn địa phơng. Chứng minh.Giả sử G là nhóm Aben xoắn và <x 1 , ., x n > là tập hữu hạn các phần tử G. Ta chứng minh nhóm con { x 1 , ., x n } là nhóm hữu hạn. Ta ký hiệu: X i = { x i } là nhóm con sinh bởi x i , i = 1,2,3, .,n vì nhóm G là nhóm Aben, nên H = x 1 . x n .Vậy H là nhóm hữu hạn. 9 1.1.12. Định lý. Nhóm xoắn giải đợc là nhóm hữu hạn địa phơng. Chứng minh.Vì G là nhóm giải đợc nên trong G có dãy giải đợc: G A 1 . A n-1 A n = {e} với A i+1 A i và i i+1 A A là nhóm Aben. Ta có A n-1 là nhóm Aben hữu hạn địa ph- ơng (theo định lý 1.1.11) và nhóm n-2 n-1 A A cũng là nhóm xoắn Aben (theo định lý 1.1.10). Khi đó (theo định lý 1.1.10) nhóm A n-2 là nhóm hữu hạn địa phơng. Tiếp tục quá trình trên ta có A 1 là nhóm hữu hạn địa phơng và 1 G A cũng là nhóm hữu hạn địa phơng (theo định lý 1.1.11). Vậy (theo định lý 1.1.10) G là nhóm hữu hạn địa phơng. Một số ví dụ về nhóm giải đợc trừu tợng 1) Mọi nhóm Aben G đều là nhóm giải đợc, vì G ={e} . 2) Nhóm đối xứng S 3 bậc 3 là nhóm giải đợc, vì trong S 3 có nhóm thay phiên A 3 là ớc chuẩn và nhóm thơng 3 3 S A là nhóm Xyclic cấp 2 Nên S 3 có dãy ớc chuẩn S 3 A 3 {e} với các thơng Aben. 3) Nhóm đối xứng S 4 bậc 4 cũng là nhóm giải đợc. Thật vậy ta có 0(S 4 ) = 24, 0( A 4 ) = 12, nên 4 4 S 0 A ữ =2. Trong A 4 ta có ớc chuẩn của S 4 là nhóm Kelie, K = <(12) (34), (13) (24), (14) (23), e> là nhóm thơng 4 A K là nhóm Xyclic cấp 3. Vậy trong S 4 có dãy ớc chuẩn S 4 A 4 K {e} với 4 4 S A là nhóm Aben. Vậy S 4 là nhóm giải đợc. 10