Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian oxyz thỏa mãn điều kiện cực trị học cho học sinh lớp 12 THPT

MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU PHẦN II: NỘI DUNG Chương I CƠ SỞ LÍ THUYẾT CHƯƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN VIẾT PT MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ ……… I VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ II VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ Chương III: KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM I Tiến hành thử nghiệm II Kết luận chung thử nghiệm III Bài học kinh nghiệm TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/20 Trang Trang Trang Trang Trang Trang 12 Trang 16 Trang 16 Trang 17 Trang 18 Trang 19 PHẦN I: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Qua thực tiễn, nhiều học sinh lớp 12 Trường THPT cịn lúng túng giải tốn hình học không gian phương pháp tọa độ Nhiều em giải tốn biết tốn đó, chưa có kĩ vận dụng, phát huy kiến thức học nhiều trường hợp chưa biết cách phát biểu toán dạng khác, giải toán nhiều cách… Vì làm tập trắc nghiệm khách quan nhiều thời gian kết kiểm tra thi không cao Để giúp học sinh lớp 12 khắc sâu kiến thức phương pháp tọa độ nói chung có kỹ giải nhanh số tốn Hình học giải tích khơng gian có yếu tố cực trị nói riêng, năm học 2017 – 2018 viết sáng kiến kinh nghiệm “Rèn luyện kỹ tìm điểm khơng gian Oxyz thỏa mãn điều kiện cực trị cho học sinh lớp 12 THPT” Để tiếp tục phát triển chuyên đề này, năm học 2018 – 2019 viết sáng kiến kinh nghiệm “Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng không gian Oxyz thỏa mãn điều kiện cực trị học cho học sinh lớp 12 THPT” II Mục đích; đối tượng; phạm vi nhiên cứu thời gian thực đề tài 1) Mục đích nghiên cứu: Rèn luyện lực giải toán cho học sinh lớp 12 THPT thơng qua tốn Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng khơng gian Oxyz có yếu tố cực trị câu hỏi trắc nghiệm 2) Đối tượng nghiên cứu: Trên sở lí luận lực giải toán, áp dụng vào dạy học giải tốn Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng khơng gian Oxyz có yếu tố cực trị cho học sinh lớp 12 trung học phổ thơng Từ phân loại phát triển hệ thống tập Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng khơng gian Oxyz có yếu tố cực trị cho học sinh lớp 12, đặc biệt học sinh khá, giỏi 3) Phạm vi nghiên cứu: Quá trình tổ chức dạy học Rèn luyện kỹ Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng khơng gian Oxyz có yếu tố cực trị cho học sinh lớp 12 THPT tập tổng quát sau thực ví dụ dạng câu hỏi trắc nghiệm 4) Thời gian thực hiện: Sáng kiến kinh nghiệm thực năm học 2018 – 2019 Đề tài đăng kí với tổ tổ duyệt, thông qua kế hoạch thực đề tài Trong trình thực đề tài tổ dự khẳng định đề tài có chất lượng, đồng nghiệp áp dụng giảng dạy III Nhiệm vụ nghiên cứu: Nhiệm vụ nghiên cứu SKKN bao gồm: + Đưa sở lý thuyết Hình học giải tích khơng gian Oxyz 2/20 + Đưa số tốn viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng khơng gian Oxyz có yếu tố cực trị + Rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh thông qua tập tự luyện IV Dự kiến cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm: Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, SKKN gồm chương Chương I Cơ sở lí thuyết Chương II Một số tốn Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng khơng gian Oxyz có yếu tố cực trị Chương III Kết Bài học kinh nghiệm ====================== 3/20 PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT I Tọa độ vectơ, tọa độ điểm tính chất 1) Định nghĩa tính chất: r r r r r  Véc tơ u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk uuuu r r r r  Điểm M = ( x; y; z ) ⇔ OM = xi + y j + zk r  Vectơ = (0; 0;0)  Điểm A = ( x A ; y A ; z A ) ; B = ( xB ; y B ; z B ) ; C = ( xC ; yC ; zC ) thì: uuur uuur AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) AB = AB =  Tọa độ trung điểm I AB: xI = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A ) 2 x A + xB y + yB z +z ; yI = A ; zI = A B 2  Tọa độ trọng tâm G tâm giác ABC: x A + xB + xC y + yB + yC z +z +z ; yG = A ; zG = A B C 3 r r ' ' ' 2) Các phép toán: Cho u = ( x; y; z ) ; v = ( x ; y ; z ) thì: xG =   x = x' r r r r r  u ± v = ( x ± x ' ; y ± y ' ; z ± z ' ) ; ku = ( kx; ky; kz ) ; u = v ⇔  y = y ' z = z'    x = kx ' r r r  r x y z ' ' ' ' u phương với v ⇔ u = kv ⇔  y = ky ⇔ ' = ' = ' ( x y z ≠ ) x y z  z = kz '  3) Tích vơ hướng tích có hướng hai vectơ: Trong không gian Oxyz cho r r u = ( x; y; z ) ; v = ( x ' ; y ' ; z ' ) 3.1 Tích vô hướng hai véc tơ r r r Định nghĩa: Cho hai vectơ u, v khác vectơ Tích vơ hướng hai r r rr r r r r r r r r rr vectơ u, v số: u.v = u v cos ( u , v ) Nếu u = v = qui ước u.v = rr r r rr Biểu thức tọa độ: u v = x.x ' + y y ' + z.z ' ; u ⊥ v ⇔ u.v = ⇔ x.x ' + y y ' + z.z ' = r Độ dài vectơ: u = x + y + z r r r Góc hai vectơ u, v khác vectơ : rr r r u.v cos u , v = r r = u.v ( ) x.x ' + y y ' + z.z ' x + y + z x '2 + y '2 + z '2 u ⊥ v ⇔ x.x’+ y.y’ + z.z’ = 4/20 3.2 Tích có hướng hai véc tơ Định nghĩa: Tích có hướng hai vectơ vectơ tính r r y x x z z y ' ' ' ' ' ' sau: u, v  =  ' ' ; ' ' ; ÷÷ ' ' = ( yz − y z; zx − z x; xy − x y ) y z z x x y r r r r r r Tính chất: u, v  ⊥ u; u , v  ⊥ v II Phương trình mặt phẳng 1) Véc tơ pháp tuyến r r - Vectơ n ≠ có giá vng góc với mặt phẳng (α) gọi VTPT mặt phẳng (α) r r - Nếu u, v hai vectơ khơng phương có giá song song nằm mặt r r r phẳng (α) u, v  = n VTPT mặt phẳng (α) uuu r uuur r - Nếu ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng  AB, AC  = n VTPT mặt phẳng (ABC) r - Mặt phẳng (α) qua điểm Mo(x0; y0; z0) có VTPT n = ( A; B; C ) có phương trình: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = (∗∗) Chú ý: Trong khơng gian Oxyz, phương trình: Ax + By + Cz + D = với điều kiện A2 + B2 + C2 > phương trình mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là: n = (A; B; C) 2) Các cách viết phương trình mặt phẳng Cách 1: Mặt phẳng (α) qua điểm Mo(x0; y0; z0) có vectơ pháp tuyến n = (A, B, C) có phương trình là: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = ⇔ Ax + By + Cz + D = Cách 2: Mặt phẳng (α) qua điểm Mo(x0; y0; z0) có hai vectơ khơng phương u1 ,u2 có giá song song chứa (α) (α) có vectơ pháp tuyến n = [u1; u2 ] Cách 3: Từ phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = (A + B2 + C2 > 0), thường dùng giả thiết có khoảng cách, góc Cách 4: Mặt phẳng (α) qua ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0), C(0; 0; c) với abc ≠ (α) có phương trình: x y z + + =1 a b c III Phương trình đường thẳng 1) Véc tơ phương r r - Vectơ u ≠ có giá song song trùng với đường thẳng ∆ gọi VTCP đường thẳng ∆ r - Đường thẳng ∆ qua điểm Mo(x0; y0; z0) có VTCP u = ( a; b; c ) , 5/20  x = x0 + at  +) Phương trình tham số ∆ là:  y = y0 + bt ;(t ∈ R) , t gọi tham số  z = z + ct  +) Phương trình tắc ∆ là: x − x0 y − y0 z − z0 = = ( abc ≠ 0) a b c 2) Các cách viết phương trình đường thẳng Cách 1: Đường thẳng d qua Mo(x0; y0; z0) có vectơ phương u = (a; b; c):  x = x0 + at  - Có phương trình tham số là:  y = y0 + bt (t tham số)  z = z + ct  x − x0 y − y z − z = = - Nếu abc ≠ d có phương trình tắc là: a b c Cách 2: Từ giả thiết tìm hai điểm phân biệt A, B mà đường thẳng d qua Cách 3: Đường thẳng d giao hai mặt phẳng Nếu đường thẳng d thuộc hai mặt phẳng phân biệt (α), (β) có vectơ pháp tuyến n1 , n có phương trình là: Ax + By + Cz + D = 0; A’x + B’y + C’z + D’ = d gồm điểm  Ax + By + Cz + D = M(x; y; z) thỏa mãn hệ phương trình:  Đường thẳng d có  A' x + B ' y + C ' z + D ' = vectơ phương là: u = [n1 , n ] IV Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho điểm M0(x0; y0; z0) Ax0 + By0 + Cz0 + D mp(α): Ax + By + Cz + D = thì: d ( M ; ( α ) ) = A2 + B + C V Góc khơng gian r VI.1 Góc hai đường thẳng: Nếu đường thẳng ∆ có VTCP u = (a; b; c) r đường thẳng ∆ ' có VTCP u ' = (a ' ; b' ; c ' ) thì: r ur u.u ' cos ( ∆, ∆' ) = r ur = u u' aa ' + bb ' + cc ' a +b +c a +b +c 2 '2 '2 '2 ( ; 00 ≤ ( ∆, ∆ ' ) ≤ 900 ) VI.2 Góc đường thẳng mặt phẳng: Đường thẳng ∆ có VTCP r r u = (a; b; c ) mặt phẳng (α) có VTPT n = ( A; B; C ) thì: sin ( ∆, ( α ) ) rr u.n r r = cos u, n = r r = u.n ( ) Aa + Bb + Cc A + B +C a +b +c 2 2 2 ; ( 0 ≤ ( ∆, α ) ≤ 90 ) r VI.3 Góc hai mặt phẳng: Nếu mặt phẳng (α) có VTPT n = ( A; B; C ) ur mặt phẳng (β) có VTPT n' = ( A' ; B' ; C ' ) thì: cos ( ( α ) , ( β ) ) r ur n.n' r ur' = cos n, n = r ur = n n' ( ) AA' + BB ' + CC ' A + B +C A + B +C 2 6/20 '2 '2 '2 ; ( 0 ≤ ( α , β ) ≤ 90 ) VI Một số bất đẳng thức Để giải nhanh tốn cực trị hình học tọa độ khơng gian, ta cần tìm vị trí đặc biệt nghiệm hình đề cực trị xảy Khi ta cần khai thác đại lượng không đổi (Đoạn thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng,…) để áp dụng bất đẳng thức hình học cho phù hợp với tốn 7/20 CHƯƠNG II MỘT SỐ BÀI TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ I VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ Bài Tốn 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm A cho trước cách M cho trước khoảng lớn Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi MA, theo bước: Bước 1: Gọi H hình chiếu vng góc M (α) Bước 2: Ta có d(M, (α)) = MH ≤ MA (không đổi) Vậy d(M, (α)) lớn MA H ≡ A hay (α) mặt phẳng qua A vng góc với MA Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A vng góc với MA Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz Phương trình mặt phẳng (α): ax + by + cz + = qua điểm A(1; 0; -2) cách điểm M(2; 1; 1) khoảng lớn Khi a + b + c nhỏ bằng? A -7 B -3 C D Bài giải: uuur +) Ta có MA = ( −1; −1; −3) +) Gọi H hình chiếu vng góc M (α) +) Ta có d(M, (α)) = MH ≤ MA = 11 Vậy d(M, (α)) lớn 11 H ≡ A hay (α) mặt phẳng qua A vng góc với MA r +) Mặt phẳng (α) qua A(1; 0; -2), có véctơ pháp tuyến n = (1;1;3) có phương trình là: x + y + 3z + = ⇒ Chọn đáp án D Bài Tốn 2: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d cách M cho trước khoảng lớn Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi khoảng cách từ M đến d, theo bước: 8/20 Bước 1: Gọi N hình chiếu vng góc M d, H hình chiếu vng góc M (α) Bước 2: Ta có d(M, (α)) = MH ≤ MN (không đổi) Vậy d(M, (α)) lớn MN H ≡ N hay (α) mặt phẳng qua N vng góc với MN Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua N vng góc với MN Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm M(2; 5; 3) đường thẳng d: x −1 y z − = = Gọi (α) mặt phẳng chứa d cho khoảng cách từ M đến (α) 2 lớn Khi (α) qua điểm nào? A A(1; 1; 0)B B(1; 1; 1) C C(-1; 1; 0) D D(0; 1; 1) Bài giải: uuuu r +) Gọi N(2a + 1; a; 2a + 2) thuộc d ⇒ MN = (2a − 1; a − 5;2a − 1) N hình chiếu uuuu r uu r vng góc M d MN ⊥ ud = (2;1;2) ⇔ 2(2a – 1) + a – + 2(2a – 1) = ⇔ a = ⇒ N(3; 1; 4) +) Gọi H hình chiếu vng góc M (α) Ta có d(M, (α)) = MH ≤ MN = Vậy d(M, (α)) lớn H ≡ N hay (α) mặt phẳng qua N vng góc với MN r +) Mặt phẳng (α) qua N(3; 1; 4), có véctơ pháp tuyến n = (1; −4;1) có phương trình là: x – 4y + z – = ⇒ Chọn đáp án A Bài Tốn 3: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M, song với d cách d khoảng lớn Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi khoảng cách từ M đến d, theo bước: Bước 1: Tìm N hình chiếu vng góc M d, gọi H hình chiếu vng góc N (α) Ta có d(d, (α)) = d(N, (α)) = NH ≤ MN (không đổi) Bước 2: Vậy d(d, (α)) lớn MN H ≡ M hay (α) mặt phẳng qua M vng góc với MN Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M vng góc với MN Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; -1; 4) đường thẳng ∆ : x −1 y + z = = Biết mặt phẳng (P) có phương trình x + ay + bz + c = −1 mặt phẳng qua M cách ∆ khoảng lớn Tính T = a + b + c? A T = B T = C T = -8 D T = -5 Bài giải: 9/20 uuuu r +) Gọi N(a + 1; -a - 2; 3a) thuộc d ⇒ MN = (a; −a − 1;3a − 4) N hình chiếu uuuu r uu r vng góc M d MN ⊥ ud = (1; −1;3) ⇔ a + a + + 3(3a – 4) = ⇔ a = ⇒ N(2; -3; 3) +) Gọi H hình chiếu vng góc M (α) Ta có d(d, (α)) = d(N, (α)) = NH ≤ MN = Vậy d(d, (α)) lớn H ≡ M hay (α) mặt phẳng qua M vng góc với MN r +) Mặt phẳng (α) qua N(2; -3; 3), có véctơ pháp tuyến n = (1; −2; −1) có phương trình là: x – 2y – z – = ⇒ Chọn đáp án C Bài Toán 4: Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ Hướng dẫn: Cách 1: Khai thác đại lượng không đổi, theo bước Bước 1: Gọi ∆ = (Q)∩(P), A = d∩(P), lấy điểm B d khác A Bước 2: Gọi H hình chiếu vng góc B (P), M hình chiếu vng góc H ∆ BH BH ≥ (khơng đổi) Vậy góc (Q) (P) HM HA ˆ ˆ góc BMH nhỏ tan BMH nhỏ M ≡ A hay (Q) mặt phẳng có r uu r uu r uur uu r uu r VTPT n = u∆ ; ud  =   nP ; ud  ; ud  uur uur nP nQ Cách 2: Dùng cơng thức góc hai mặt phẳng: cos(( P ),(Q )) = uur uur nP nQ ˆ = Bước 3: Ta có: tan BMH Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz Cho đường thẳng d: x −1 y + z = = Gọi (Q) −1 mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng (Oxy) góc nhỏ Khi mặt phẳng (Q) qua điểm nào? A (1; -1; 1) B (1; 1; -1) C (-1; 1; -1) D (-1; -1; 0) Bài giải: +) Lấy hai điểm d là: A(1; -2; 0), B(0; -1; 2) r +) Giả sử mặt phẳng (Q) chứa d có VTPT là: n = ( A; B; C ) , với A2 + B2 + C2 > Vì mặt phẳng (Q) qua A(1; -2; 0) nên (Q): Ax + By + Cz – A + 2B = 0, mặt r khác qua B(0; -1; 2) nên A = B + 2C ⇒ n = ( B + 2C; B; C ) +) Gọi ϕ góc (Q) (Oxy), đó: 10/20 rr 1 = = n.k C 2 cos ϕ = r r = 2t + 4t + B B 2 ÷ + + n.k B + BC + 5C C C Khi ϕ nhỏ ⇔ cosϕ lớn ⇔ f(t) = 2t2 + 4t + nhỏ ⇔ t = -1 ⇔ B = -C, ta chọn B = -1, C = ⇒A = Vậy (Q): x – y + z – = ⇒ Chọn đáp án A Bài Tốn 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d’ (d’ khơng song song với d) góc lớn Hướng dẫn: Cách 1: Khai thác đại lượng không đổi, theo bước Bước 1: Lấy điểm A cố định d, kẻ đường thẳng ∆ qua A song song với d’, lấy điểm B cố định ∆ khác A Bước 2: Gọi H, M hình chiếu vng góc B (P), d BH BM ˆ = ˆ : sin BAH ≤ Bước 3: Ta góc d’ (P) góc BAH (không đổi) AB AB ˆ lớn H ≡ M ˆ Vậy góc d’ (P) góc BAH lớn sin BAH hay (P) mặt phẳng qua M vng góc với BM Cách 2: Dùng cơng thức góc hai mặt phẳng uur uur ud ' nP uur uur sin( d ',( P)) = cos( ud ' , nP ) = uur uu r ud ' nP Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz Mặt phẳng (P): ax + by + cz – = chứa đường thẳng d: x −1 y +1 z − = = 2 tạo với đường thẳng d’: x +1 y z −1 = = góc lớn Tính a + b + c? A B -2 C -4 D -3 Bài giải: Bài giải: +) Lấy hai điểm d là: A(1; -1; 2), B(3; 0; 4) r +) Giả sử mặt phẳng (P) chứa d có VTPT là: n = ( A; B; C ) , với A2 + B2 + C2 > Vì mặt phẳng (P) qua A(1; -1; 2) nên (P): Ax + By + Cz – A + B - 2C = 0, mặt r khác qua B(3; 0; 4) nên B = -2A - 2C ⇒ n = (A; −2 A− 2C; C ) +) Gọi ϕ góc (P) d’, đó: 11/20 r ur n.u ' A + 3C A + 3C sin ϕ = r ur = = n u' A2 + AC + 5C 5( A + C ) − 2( A + C ).C + 2C = 5−2 C  C  + 2 ÷ A+C  A+C  = 2t − 2t + Khi ϕ lớn ⇔ sinϕ lớn ⇔ f(t) = 2t2 - 2t + nhỏ ⇔ t = 1/2 ⇔ A = C, ta chọn A = 1, C = ⇒ B = -4 Vậy (Q): x – 4y + z – = ⇒ Chọn đáp án B Bài tập tự luyện Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 1; 1) đường thẳng d: x −1 y z + = = −1 Phương trình mặt phẳng (α): ax + by + cz + d = chứa d cho khoảng cách từ M đến (α) lớn Với a, b, c, d số nguyên dương, a + b + c nhỏ bằng? A B C D Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; -2; 1) đường thẳng d: x y −1 z = = 2 Phương trình mặt phẳng (α): ax + by + cz – 53 = qua A, song song với d cách gốc tọa độ O khoảng lớn Khi a + b + c nhỏ bằng? A -2 B C -4 D Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x – y + z – = Phương trình mặt phẳng (P): x + by + cz = qua gốc tọa độ O, vng góc với (Q) cách điểm M(1/2; 0; 2) khoảng lớn Khi b + c bằng? A Đáp án khác B C -4 D -5 Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; -2; 0), đường thẳng ∆: x +1 y z − = = Biết mặt phẳng (P) có phương trình ax + by + cz + d = −1 qua A, song song với ∆ khoảng cách từ ∆ tới mặt phẳng (P) lớn Biết a, b số nguyên dương có ước chung lớn Hỏi tổng a + b + c + d bao nhiêu? A B C -1 D Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; -1), B(0; 4; 0) mặt phẳng (P) có phương trình: 2x – y – 2z + 2019 = Mặt phẳng (Q): ax + by + cz – = qua hai điểm A, B tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ Tính a + b + c? A -2 B C D Câu 6: Trong không gian Oxyz Mặt phẳng (Q): 12x + by + cz = qua gốc tọa độ O, song song với đường thẳng d: x −1 y z − = = x + 2y – z + = góc nhỏ Tính b + c? A 10 B -12 C -14 12/20 tạo với mặt phẳng (P): D -13 Câu 7: Trong không gian Oxyz Mặt phẳng (P): ax + by + cz – 23 = qua hai điểm A(1; 2; -1), B(2; 1; 3) tạo với trục Ox góc lớn Tính a + 4b + c? A B -16 C -9 D 17 Câu 8: Trong không gian Oxyz Mặt phẳng (P): 2x + by + cz = qua gốc tọa độ O, vng góc với mặt phẳng (Q): 2x + y – z – = tạo với trục Oy góc lớn Tính b + c? A B -6 C -7 D II VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ Bài Toán 6: Viết phương trình đường thẳng d chứa (P), qua A cách B cho trước khoảng lớn Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi, theo bước Bước 1: Gọi K hình chiếu vng góc B d, H hình chiếu vng góc B (P) Bước 2: Ta có d(B, d) = BK ≤ BA (không đổi) Vậy d(B, d) lớn BA r uur uuu r K ≡ A hay d đường thẳng qua A có VTCP u =  nP ; AB  r uur uuu r Bước 3: Viết phương trình đường thẳng qua A có VTCP u = nP ; AB  Ví dụ 6: Đường thẳng d qua điểm A(1; 1; -1), nằm mặt phẳng (P): 2x – y – z = cách điểm B(0; 2; 1) khoảng lớn Biết đường thẳng d qua điểm E(2; b; c) Tính b + c? A -2 B C D Bài giải: uuur +) Ta có: AB = (−1;1; 2) +) Gọi K hình chiếu vng góc B d, H hình chiếu vng góc B (P) +) Ta có d(B, d) = BK ≤ BA = Vậy d(B, d) lớn K ≡ A hay d r uur uuu r đường thẳng qua A có VTCP u =  nP ; AB  = (−1; −3;1) ⇒ Phương trình x = 1− t  tham số d là:  y = − 3t ⇒ E(2; 4; -2)  z = −1 + t  ⇒ Chọn đáp án C 13/20 Bài Tốn 7: Viết phương trình đường thẳng d chứa (P), qua A cách B cho trước khoảng nhỏ Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi, theo bước: Bước 1: Gọi K hình chiếu vng góc B d, H hình chiếu vng góc B (P) Bước 2: Ta có d(B, d) = BK ≥ BH (khơng đổi) Vậy d(B, d) nhỏ BH K ≡ H hay d đường thẳng AH Bước 3: Viết phương trình đường thẳng qua A, H Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + z = điểm M(1; -3; 1) Đường thẳng (d) qua gốc tọa độ O, nằmrtrong mặt phẳng (P) khoảng cách từ M đến đường thẳng nhỏ Gọi u = (1; a; b) véc tơ phương đường thẳng (d) Tính a + b? A -3 B C D -2 Bài giải: +) Gọi ∆ đường thẳng qua M vng góc với (P) ⇒ ∆ có hương trình tham  x = + 2t  số là:  y = − − t Gọi H hình chiếu vng góc M (P) ⇒ H(-1; -2; 0)  z = 1+ t  +) Gọi K hình chiếu vng góc M d Ta có d(M, d) = MK ≥ MH (không đổi) Vậy d(M, d) nhỏ MH K ≡ H hay d đường thẳng OH  x = −t  ⇒ d qua O, H có phương trình tham số là:  y = −2t ⇒ E(2; 4; -2) z =  ⇒ Chọn đáp án C Bài Tốn 8: Viết phương trình đường thẳng d qua A, nằm mặt phẳng (P) tạo với đường thẳng d’ cho trước góc nhỏ Hướng dẫn: Cách 1: Khai thác đại lượng không đổi 14/20 Bước 1: Gọi ∆ đường thẳng qua A song song với d’, lấy điểm M cố định ∆ khác A Bước 2: Gọi H, I hình chiếu vng góc M (P), d Ta góc ˆ = ˆ : sin MAI d d’ góc MAI MI MH ≥ (khơng đổi) Vậy góc d d’ nhỏ MA MA ˆ nhỏ I ≡ H hay d đường thẳng qua A, H sin MAI Bước 3: Viết phương trình đường thẳng qua A, H Cách 2: Dùng cơng thức góc hai mặt phẳng: uu r uur ud ud ' uu r uur cos(d , d ') = cos( ud , ud ' ) = uu r uur ud ud ' Ví dụ 8: Đường thẳng d qua gốc tọa độ O, nằm mặt phẳng (P): 2x + y – z = tạo với đường thẳng d’: x y −1 z +1 = = góc nhỏ Biết đường −1 thẳng (d) qua điểm E(a; b; 13) Tính a + b? A -2 B -5 C D Bài giải: +) Gọi ∆ đường thẳng qua O song song với d’ ⇒ ∆ có hương trình tham số là:  x = 2t   y = − t Lấy điểm M (2; -1; 2) ∆  z = 2t  +) Gọi ∆’ đường thẳng qua M vuông góc với (P) ⇒ ∆’ có hương trình tham  x = + 2t  số là:  y = − + t Gọi H hình chiếu vng góc M (P) ⇒ H(5/3; -7/6; z = − t  13/6) +) Gọi I hình chiếu vng góc M d Ta góc d d’ MI MH · · = ≥ góc MOI : sin MOI (khơng đổi) Vậy góc d d’ nhỏ MO MO · nhỏ I ≡ H hay d đường thẳng qua O, H sin MOI  x = 10t  ⇒ d qua O, H có phương trình tham số là:  y = −7t ⇒ E(10; -7; 13)  z = 13t  ⇒ Chọn đáp án C Bài tập tự luyện Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = hai điểm A(-3; 0; 1), B(1; -1; 3) Đường thẳng (d) qua A, song song với mặt r phẳng (P) khoảng cách từ B đến đường thẳng lớn Gọi u = (-2; a; b) véc tơ phương đường thẳng (d) Tính a + b? A B C 11 D 13 15/20 y −1 z = hai điểm M ( 1; −1;0 ) , B ( 2; −1;3) Viết −1 phương trình đường thẳng d qua điểm M , vng góc với đường thẳng ∆ x Câu 2: Cho đường thẳng ∆ : = cách N khoảng lớn x −1 = x +1 = C A y +1 z = −2 −1 y −1 z = −2 −1 x −1 = x +1 = D B y −1 z = −2 −1 y −1 z = −2 Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = hai điểm A(-3; 0; 1), B(1; -1; 3) Đường thẳng (d) qua A, song song với mặt phẳng (P) khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ Khi đường thẳng (d) qua điểm nào? A (0; 1; 0) B (23; 11; -1) C (-29; -11; 2) D (1; 3; -2) Câu 4: Cho mặt phẳng (P): 2x + y + z – = 0, điểm A(0; 2; 1) đường thẳng ∆: x −1 y z = = Đường thẳng d qua A, nằm (P) khoảng cách d d’ lớn Biết d qua điểm E(1; b; c) Tính b + c? A -3 B C D -1 Câu 5: Cho hai điểm A(0; -1; -1), B(-1; -3; 1) Giả sử C, D hai điểm di động thuộc mặt phẳng (P): 2x + y – 2z – = cho CD = A, C, D thẳng hàng Gọi S1, S2 diện tích lớn nhỏ ∆BCD Khi S1 + S2 bằng: A 34 B 17 C 11 D 37 Câu 6: Đường thẳng (d) qua gốc tọa độ O, vng góc với đường thẳng d’: x −1 y −1 z +1 = = tạo với mặt phẳng (P): x – y + 2z – = góc lớn 2 Biết đường thẳng (d) qua điểm E(a; b; 16) Tính a + b? A 10 B 14 C x = + t  Câu 7: Cho hai đường thẳng chéo nhau: d1:  y = d2:  z = −5 + t  D Đáp án khác x =   y = − 2t Gọi (S): x2  z = + 3t  + y2 + z2 - 4x - 6y + d = mặt cầu đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng d d2 có bán kính nhỏ Khi d bằng? A B -4 C D -3 Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1; 2; 3) cắt cấc trục Ox, Oy, Oz ba điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O cho biểu thức T = 1 + + có giá trị nhỏ 2 OA OB OC2 B ( P ) : 6x − 3y + 2z − = A ( P ) : x + 2y + 3z − 14 = C ( P ) : 6x + 3y + 2z − 18 = D ( P ) : 3x + 2y + 3z − 10 = Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; -3) mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + = Đường thẳng qua A có vectơ phương r u = ( 3; 4; −4 ) cắt (P) B Điểm M thay đổi (P) cho M ln nhìn đoạn 16/20 AB góc 900 độ dài MB lớn Đường thẳng MB qua điểm điểm sau? A J ( −3; 2; ) B H ( −2; −1;3) C K ( 3; 0;15 ) D I ( −1; −2;3) Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(3; -4; 0) mặt cầu (S) có phương trình ( x − 1)2 + ( y + 2)2 + ( z − 3) = 25 Viết phương trình tham số đường thẳng d qua M nằm mặt phẳng Oxy cắt (S) theo dây cung dài x = + t  A  y = −4 − t z =  x = + t  B  y = −4 + t z =  x = − t  C  y = −4 − t z =   x = − 2t  D  y = −4 − t z =  CHƯƠNG III: KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM I Tiến hành thử nghiệm - Tiến hành dạy tiết tự chọn: 27, 28, 29 - Để tiến hành thực nghiệm đạt kết chọn lớp thực nghiệm lớp đối chứng, tơi vào tiêu chí sau: Học lực học sinh hai lớp Điều kiện sở vật chất Sĩ số hai lớp Trình độ giảng dạy giáo viên Cụ thể tiến hành thử nghiệm chọn lớp 12A1 có sĩ số 42 dạy thực nghiệm lớp 12A2 có sĩ số 41 khơng thực nghiệm làm lớp đối chứng Việc lựa chọn hai lớp hồn tồn phù hợp với tiêu chí đặt ra, hai giáo viên có kinh nghiệm giảng dạy Để đánh giá, nhận xét kết cách khách quan Trong q trình thử nghiệm, đối chứng tơi mời đồng chí tổ trưởng, đồng chí giáo viên tổ Tốn - Tin đồng chí mơn khác quan tâm đến dự nhằm mục đích đánh giá, nhận xét so sánh dạy - Trong đợt thử nghiệm, tiến hành thu thập kết học sinh hai lớp thử nghiệm đối chứng trước tiến hành giảng dạy thử nghiệm - Sau dạy thử nghiệm kết thúc, đề kiểm tra chung để kiểm tra kết học tập em học sinh hai lớp nhằm mục đích: Xác định trình độ tiếp nhận kiến thức em sau thử nghiệm, so sánh kết hai lớp đối chứng thử nghiệm Bảng 1: Kết kiểm tra trước thử nghiệm hai lớp thực nghiệm (TN) đối chứng (ĐC) Giỏi Khá Trung bình Yếu Kết số số số số % % % % Lớp lượng lượng lượng lượng 12A1(TN) 15 36% 14 33% 11 26% 5% 17/20 12A2(ĐC) 15% 25 61% 12% 12% Bảng 2: Kết kiểm tra sau thử nghiệm học sinh hai lớp thực nghiệm (TN) đối chứng (ĐC) Giỏi Khá Trung bình Yếu Kết số số số số % % % % Lớp lượng lượng lượng lượng 12A1(TN) 20 48% 18 43% 9% 0% 12A2(ĐC) 17% 26 63% 10% 10% II Kết luận chung thử nghiệm Hiệu thử nghiệm Căn vào kết kiểm tra trước sau thử nghiệm hai lớp chúng tơi có nhận xét sau: Sau thử nghiệm kết hai lớp thử nghiệm đối chứng có thay đổi Bài làm lớp thử nghiệm phần trăm giỏi tăng lên 13%, tỉ lệ học sinh yếu giảm 7% khơng cịn học sinh yếu nữa, số lượng học sinh trung bình khơng thay đổi Kết lớp đối chứng sau thử nghiệm tỉ lệ học sinh giỏi tăng lên em chiếm 2% tỉ lệ học sinh tăng lên 2% số lượng học sinh trung bình, yếu giảm 2% Qua kết cho thấy nội dung học không dễ nên học sinh lớp đối chứng có tỉ lệ học sinh giỏi thấp Còn lớp thử nghiệm khơng cịn điểm yếu nghĩa tồn học sinh hiểu tốt Tỉ lệ học sinh giỏi tăng chứng tỏ dạy học theo hướng tăng cường rèn luyện lực giải toán phát huy lực tư sáng tạo, khả linh hoạt học sinh Học sinh phát huy hết khả tiềm ẩn mình, học sinh học tập tự tin hơn, mạnh dạn hơn, khơng khí lớp học sơi Tóm lại việc dạy học Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng khơng gian Oxyz thảo mãn điều kiện cực trị hình học cho học sinh lớp 12 THPT câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh hồn tồn có khả góp phần nâng cao chất lượng dạy học, giúp học sinh hoc tập cách chủ động, tích cực, tự chiếm lĩnh tri thức, tự xây dựng tri thức cho thân, phát huy lực tạo niềm tin, hứng thú q trình học tốn Hạn chế thử nghiệm - Do thời gian tiến hành thử nghiệm không dài nên khẳng định hiệu cách xác hồn tồn - Việc thử nghiệm khơng thí điểm với quy mơ lớn, thực lớp nên tỉ lệ khơng thể khẳng định xác Do khơng thể lấy làm số liệu để khẳng định tính hiệu việc dạy học Rèn luyện kỹ 18/20 giải tốn cho học sinh lớp 12 thơng qua tốn Hình học giải tích khơng gian Oxyz có yếu tố cực trị câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh Khả vận dụng dạy học Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh lớp 12 thơng qua tốn viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng khơng gian Oxyz có yếu tố cực trị câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh Từ việc dạy thử, phân tích số liệu thử nghiệm, đánh giá kết thử nghiệm, bước đầu khẳng định việc dạy học Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh lớp 12 thơng qua tốn viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng khơng gian Oxyz có yếu tố cực trị câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh góp phần nâng cao chất lượng dạy học III Bài học kinh nghiệm Qua trình thực đề tài, SKKN thu kết sau: - Tìm hiểu số quan điểm đổi phương pháp dạy học, kiểm tra đánh giá phương pháp đề thi trắc nghiệm khách quan - SKKN xây dựng dạng toán tổng quát tập trắc nghiệm dạy học khơng gian Oxyz có yếu tố cực trị Trong q trình hồn thành sáng kiến kinh nghiệm, nhận giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo, giáo nhóm Tốn Do thời gian hạn chế nên chắn sáng kiến kinh nghiệm cịn nhiều thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn đọc để sáng kiến kinh nghiệm hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 03 năm 2019 XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KH Tôi xin cam đoan SKKN CẤP CƠ SỞ viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Bình Long 19/20 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Gia Đức (Chủ biên), Bùi Huy Ngọc, Phạm Đức Quang (2007), Giáo trình phương pháp dạy học nội dung mơn tốn, NXB ĐHSP Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)-Khu Quốc AnhTrần Đức Huyên (2008), Hình học 12, Nxb Giáo dục Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)-Khu Quốc AnhTrần Đức Huyên (2008), Hình học 12-Sách giáo viên, Nxb Giáo dục Tạp chí tốn học tuổi trẻ, Nxb Giáo dục Việt Nam Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)-Khu Quốc Anh-Trần Đức Huyên (2008), Bài tập hình học 12, Nxb Giáo dục Nguyễn Bá Kim (2009), Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nxb Đại học Sư phạm Đào Tam, Phương pháp dạy học hình học trường trung học phổ thơng, NXB ĐHSP Các đề thi Minh họa, thử nghiệm, tham khảo, thức mơn Tốn từ năm 2017 đến 2019 Các đề thi, đề thi thử, tài liệu khai thác số trang Website như: hocmai.vn, moon.vn, k2pi.net.vn, dethi.violet.vn, 20/20 ... này, năm học 2018 – 2019 viết sáng kiến kinh nghiệm ? ?Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng không gian Oxyz thỏa mãn điều kiện cực trị học cho học sinh lớp 12 THPT? ?? II Mục đích; đối... phẳng, đường thẳng khơng gian Oxyz có yếu tố cực trị cho học sinh lớp 12, đặc biệt học sinh khá, giỏi 3) Phạm vi nghiên cứu: Quá trình tổ chức dạy học Rèn luyện kỹ Viết phương trình mặt phẳng, đường. .. hình học cho phù hợp với tốn 7/20 CHƯƠNG II MỘT SỐ BÀI TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ I VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ