Rèn luyện kỹ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

Bài toán về cực trị khá đa dạng,trong đó bài toán liên quan đến viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại,cực tiểu của đồ thị hàm số bậc ba là một trong những bài toán hay gặ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM

SỐ BẬC BA.

Người thực hiện: Đỗ Thị Toàn

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

Mục lục

Trang

I MỞ ĐẦU

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận

2.1.1.Một số công thức và quy tắc tính đạo hàm 3 2.1.2.Một số định lí về cực trị của hàm số 3 2.1.3.Các kiến thức về đường thẳng trong mặt phẳng 3 2.1.4.Các kĩ năng biến đổi đại số, giải phương trình, bất

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN 4 2.3 Giải pháp

2.3.1 Giới thiệu dạng toán và phân tích 4 2.3.2 Các bước thực hiện bài toán 6

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Danh mục SKKN đạt giải cấp tỉnh 19

I MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình Toán lớp 12, cực trị của hàm số là nội dung quan trọng và thường xuyên gặp trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia môn Toán

Bài toán về cực trị khá đa dạng,trong đó bài toán liên quan đến viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại,cực tiểu của đồ thị hàm số bậc ba là một trong những bài toán hay gặp Với sự thay đổi lớn về hình thức thi

là chuyển từ tự luận sang trắc nghiệm,chúng ta cũng cần phải có sự thay đổi trong cách dạy và học, chúng ta không chỉ phải làm được mà còn phải làm nhanh.Trong quá trình giảng dạy cho đối tượng là học sinh trung bình và khá, tôi thấy rằng một trong những phương pháp hữu hiệu là cung cấp cho các em một

số cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba và cho các em rèn luyện kĩ năng đó qua các ví dụ Phương pháp này khá hữu hiệu với các em do các em không cần tư duy nhiều mà chỉ cần áp dụng công thức

Tuy nhiên để ghi nhớ lâu dài các công thức các em cần làm nhiều bài tập

liên quan đến công thức Chính vì lí do đó tôi đã chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ

năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm

số bậc ba qua một số ví dụ”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Góp phần giải quyết một lớp bài toán liên quan đến viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

Cung cấp thêm cho học sinh công cụ để rèn luyện kĩ năng giải toán về cực trị của hàm bậc ba.Qua đó các em tự tin hơn khi bước vào kỳ thi THPTQG

Đề tài nhằm nâng cao nghiệp vụ của bản thân, để trau đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp và đóng góp một phần nào đó vào việc nâng cao chất lượng dạy và học

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của tôi là những bài toán liên quan đến viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba và các bài toán liên quan

Đề tài được áp dụng cho học sinh trung bình và khá của lớp 12A5, 12A7, năm học 2016 - 2017

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liên quan ,SGK,tài liệu về cực trị

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp thực nghiệm

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận

Để sử dụng được phương pháp này học sinh phải nắm được một số vấn đề sau đây:

2.1.1 Một số công thức và quy tắc tính đạo hàm.

+  c  (với ' 0 c là hằng số)  3

+ x n ' n x n 1

  3

+kx n' nk.xn 1

  3

+u v w ' u' v' w '     3

+  

   

  '

1

   3

2.1.2 Một số định lí về cực trị của hàm số.

* Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lí 1

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x Khi đó ,nếu 0 f có đạo hàm tại x thì0

f '(x ) 00   2

* Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2

Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng a b chứa điểm ;  x và có đạo hàm trên 0

các khoảng a x và ; 0 x b Khi đó 0; 

a)Nếu f '(x) 0 với mọi xa x; 0 và f x '( ) 0 với mọi xx b0;  thì hàm

số f đạt cực tiểu tại điểm x 0  2

b)Nếu f '(x) 0 với mọi xa x; 0 và f x '( ) 0 với mọi xx b0; thì hàm

số f đạt cực đại tại điểm x 0  2

*Điều kiện để hàm số bậc ba y ax 3 bx2 cx d a ,( 0) có cực trị

y' 0  3ax2 2bx c 0 có hai nghiệm phân biệt  ' b2 3ac0  3

2.1.3 Các kiến thức về đường thẳng trong mặt phẳng.

Cho hai đường thẳng ( ) :1 y a x b 1  1;( ) :2 y a x b 2  2 Khi đó

+ 1 2 1 2





   





+    1 2 a a1 2 1 4

+ 1 2 1 2





   



  4 + 1 tạo với 2 một góc  thì 1 2  0

1 2

1

a a

+ 1 tạo với Ox một góc  thì tan a1  4

+ 1qua điểm M x y M; M khi y M a1 b x1 M  4

2.1.4 Các kĩ năng biến đổi đại số, giải phương trình, bất phương trình…

Kĩ năng chia đa thức đa thức cho đa thức,giải phương trình,bất phương trình bậc hai,phương trình quy về phương trình bậc hai,…

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN

Khi giảng dạy về cực trị của hàm số bậc ba cho học sinh thi THPTQG, tôi thấy các bài toán liên quan đến viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hoặc các bài toán liên quan đến điểm cực trị của hàm số bậc ba

đã làm cho các học sinh trung bình,thậm chí cả học sinh khá '' ngại" vì phải tính toán, biến đổi đại số khá nhiều và phức tạp, nhất là những bài toán có chứa tham

số làm mất nhiều thời gian mới cho ra kết quả Lí do là: Các em chưa có

phương pháp thích hợp, chưa có kĩ năng giải quyết bài toán Trước thực trạng đó tôi đã tìm tòi, tham khảo các phương pháp giải quyết nhanh bài toán trong đó có

cả phương pháp dùng máy tính cầm tay và đưa ra một số ví dụ dưới hình thức trắc nghiệm cho các em rèn luyện

2.3 Giải pháp

2.3.1 Giới thiệu dạng toán và phân tích.

Dạng toán: Cho hàm số y f x( )ax3 bx2 cx d a ,( 0)

Yêu cầu: Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ

thị hàm số

Phân tích: Với bài toán dạng này hiểu đơn giản là ta phải thực hiện tìm tọa độ

hai điểm cực trị của đồ thị hàm số, sau đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó Vấn đề đặt ra là khi phương trình

2

f'(x)' 0  3ax 2bx c 0 không có nghiệm " đẹp" thì việc ta tìm ra hai điểm cực trị và viết phương trình đi qua hai điểm cực trị đó sẽ khó khăn và tốn rất nhiều thời gian Chính vì vậy tôi đã đưa ra công thức áp dụng để thực hiện bài toán một cách nhanh chóng

Xây dựng công thức:

Công thức 1

+ Thực hiện phép chia f x( ) cho f x ta được :'( )

2 '

        



' '

( )



(Với  ' b2  3ac )

+ Gọi x x1; 2 là hai điểm cực trị của hàm số ,khi đó ta có:

' 1 ' 2

( ) 0 ( ) 0

f x

f x











Do

'

1

'

2

( ) 0

( ) 0

f x

f x











nên hai cực trị của hàm số là

'

'

2

2

bc

bc













 3

Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số thỏa mãn phương trình đường thẳng

'

2

bc



   nên phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

đồ thị hàm số là:

'

2

bc



Công thức 2.

+ Thực hiện phép chia f x( ) cho f x ta được :'( )

Trong đó g x( ) là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số

Xét ( ) 3 6 2 " "

h x

Với : "( ) 6f x  ax2 ;f'''(x) 6b  a

Như vậy:

 

f"(x).f'(x) '' '

3 '''(x) 3 '''

y y

Với công thức 2 chúng ta dùng máy tính cầm tay Casio Fx570 tìm

nhanh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số như sau:

+ Tính: y' 3ax2 2bx c y ; '' 6ax2 ;b y''' 6a

+ Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx-570ES PLUS hoặc fx-570VN PLUS

thực hiện theo các bước:

- Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức

' '' '''

3

y y y y

  1

- Bấm CALC, gán x i với i là đơn vị số phức (bấm ENG) được kết

quả dạng p qi  1

- Đường thẳng đi qua điểm cực đại,cực tiểu của đồ thị hàm số có phương trình là:

 1

y qx  p

+Trong trường hợp hàm số chứa tham số m ta thực hiện các bước tương tự:

- Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức

' '' '''

3

y y y y

 (mgán bằng M)

- Bấm CALC, gán x i M, 100 với i là đơn vị số phức (bấm ENG)

được kết quả dạng p qi với p q, là các hằng số được ở dạng lũy thừa của 100 Thế 100=m để được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại,cực tiểu của đồ thị hàm số phụ thuộc vào m  1

- Kết luận về đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm

số

2.3.2 Các bước thực hiện bài toán : " Viết phương trình đường thẳng đi qua

hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba y ax 3 bx2 cx d a ,( 0)"

Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

+ Tính đạo hàm:y' 3ax2 2bx c

+ Hàm số có hai cực trị khi y  có hai nghiệm phân biệt ' 0

 3ax2 2bx c  có hai nghiệm phân biệt 0

  ' b2  3ac 0

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại ,cực tiểu của

đồ thị hàm số.

Cách 1:

+ Tìm tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số A x y 1; 1,Bx y 2; 2

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ,A B

Phương trình đường thẳng : A A

AB



   4

Cách 2: Áp dụng công thức 1.

+Tính đạo hàm y' 3ax2 2bx c ; ' b2  3ac

+ Xác định: a b c d , , , , '

+ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

'

2

bc



Cách 3: Áp dụng công thức 2

+ Tính: y' 3ax2 2bx c y ; '' 6ax2 ;b y''' 6a

+ Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx-570ES PLUS hoặc fx-570VN PLUS

thực hiện theo các bước:

- Chuyển sang chế độ MODE 2,nhập biểu thức

' '' '''

3

y y y y

  1

- Bấm CALC, gán x i với i là đơn vị số phức (bấm ENG) được kết

quả dạng p qi  1

- Đường thẳng đi qua điểm cực đại,cực tiểu của đồ thị hàm số có phương trình là:

 1

y qx  p

+ Trong trường hợp hàm số chứa tham số m ta thực hiện các bước tương tự:

- Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức

' '' '''

3

y y y y

 (mgán bằng M)

- Bấm CALC, gán x i M, 100 với i là đơn vị số phức (bấm ENG)

được kết quả dạng p qi với p q, là các hằng số được ở dạng lũy thừa của 100 Thế 100=m để được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại,cực tiểu của đồ thị hàm số phụ thuộc vào m

- Kết luận về đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm

số

Nhận xét :

Tuy nhiên trong các đề thi ta lại thường gặp các bài toán liên quan đến phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số khi đó chúng ta phải thực hiện thêm bước 3

Bước 3: Giải các điều kiện liên quan

* Một số điều kiện thường gặp:

Giả sử đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là:

  : y p qx

Cho đường thẳng  ' : y k hx  Khi đó

q h





   







+    ' pk 1

q h





   



 +  tạo với '

 một góc  thì tan , 900

1

p k pk

    

 +  tạo với Ox một góc  thì tan p

+  qua điểm M x y M; M khi y M  p qx M

2.3.3 Ví dụ áp dụng.

Để giúp học sinh rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba bằng cách áp dụng các công thức, tôi đã đưa

ra 10 ví dụ và có hướng dẫn đi kèm để các em luyện tập

Ví dụ 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

A y 2x 1 B y  1 2x C y 2x1 D y 2x 1

Hướng dẫn:

+ Ta có : ' 2

' 2 1

1

x

x





      

 + Với x 1 y1

x 1 y 3

+ Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A1; 1 ;  B1;3

+ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:

2 1

1 1 3 1

Đáp án: B

Ví dụ 2: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y x  x  x  3 là:

A y 6x6 B y6x 6 C y 6x6 D y 6x 6

Hướng dẫn:

+ Ta có :y' 3x2  6x 6

y'  0 3x2  6x 6 0

+ Có  ' 27 0 ,hàm số có hai điểm cực trị

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Viết theo cách 2: Ta có a 1;b3;c6;d   8; ' 27

'

bc

+ Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là :

y 6x6

Đáp án: A

Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx-570ES PLUS hoặc fx-570VN PLUS thực hiện theo các bước:

- Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức

' ''

y y

- Bấm CALC, gán x i với i là đơn vị số phức (bấm ENG) được kết

quả: 6 6i

- Đường thẳng đi qua điểm cực đại,cực tiểu của đồ thị hàm số có phương trình là: y 6x6

Đáp án: A

Nhận xét 1:

Ở VD1 ta tính được '

 là số chính phương nên chúng ta có thể viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng cách một khá dễ dàng

Ở VD2 ta tính được '

 không phải là số chính phương nên việc chúng ta viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng cách 1 sẽ khó khăn hơn, khi đó chúng ta sử dụng cách 2 hoặc cách 3 sẽ thuận lợi hơn rất nhiều

Ví dụ 3: Giả sử đồ thị hàm sốy x 3  3mx2 3m6x1 có hai điểm cực trị Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A.y2x m 2 6m1 B y2m2 6m6x m 2 6m1

C y2x m 2 6m1 D Tất cả đều sai  1

(Trích đề thi thử THPT Phạm Văn Đồng-Phú Yên)

Hướng dẫn:

+ Ta có :y' 3x2  6mx3m6

 , 9m2  m 6

+ Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

Viết theo cách 2: Ta có a1;b3 ;m c 3m6 ; d 1;  , 9m2  m 6

2 '

1

m m

m m x m m

+ Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là :

y 2 m2 m6x m 2 6m1

Đáp án: B

Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx-570ES PLUS hoặc fx-570VN PLUS thực hiện theo các bước:

- Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức

2 ' ''

'''

y y

y

- Bấm CALC, gán x i m , 100 với i là đơn vị số phức (bấm ENG)

được kết quả : 10601 19788i

Ta có:

- Vậy đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có phương trình là: y2m2 m6x m 2 6m1

Đáp án: B

Nhận xét 2:

+ Đối với những hàm số có chứa tham số thì việc sử dụng cách 2 hoặc cách 3 là thuận lợi hơn rất nhiều so với cách 1

+ Cũng với hàm số này chúng ta cũng có thể gặp một số yêu cầu khác như:

- Tìm mđể đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng y 8x2017

- Tìm mđể đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số qua điểm M0;17

- Tìm mđể đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng x 12y2017 0

Tuy nhiên để giải những bài toán này trước khi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số ta còn phải tìm điều kiện của

m để hàm số có hai điểm cực trị

Ví dụ 4: Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3  x m đi qua điểm M 3; 1  khi m bằng:

A.m 1 B m 1 C m 0 D Một giá trị khác

(Trích đề thi thử tạp chí Toán học và Tuổi trẻ lần 7)

Hướng dẫn:

+Ta có :y' 3x2  1

   nên hàm số luôn có hai điểm cực trị., 3 0

+Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

Viết theo cách 2: Ta có a1;b0;c1;d m ;  , 3

2 ' 2.3 0 1  2

bc





+ Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx-570ES PLUS hoặc fx-570VN PLUS

thực hiện theo các bước:

- Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức

 2 

' ''

3 '''

3 1 6

y y

y



- Bấm CALC, gán x i m , 100với i là đơn vị số phức (bấm ENG)

được kết quả :

100

3i y m 3x

   

- Vậy đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có phương trình là:

2

3

+ Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số qua điểm M3; 1  khi:

1 2.3 1

Đáp án: A

Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị của m để đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm sốy x 3  3mx2 3m3 song song với đường thẳng( ) : y2x2017 ?

A 0 B 1 C 2 D 3

Hướng dẫn:

+ Ta có :y' 3x2  6mx

 , 9m2

+ Hàm số có hai điểm cực trị khi  , 9m2  0 m0

+ Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

y  m x m

+ Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng( ) : y 2x2017 khi:

2 3

1

m

m m









Đáp án: C

Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của mđể đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y2x3  3(m1)x2 6 1x  vuông góc với đường thẳng ( ) : x 5 y 2017 0?   

A m4;m2 B m 2 C m4;m2 D Đáp án khác

Hướng dẫn:

+ Ta có :y' 6x2  6(m1)x6

 , 9(m2 2m 3)