MỘT số TÍNH CHẤT về điểm cực TRỊ của đồ THỊ hàm số bậc bốn TRÙNG PHƯƠNG và ỨNG DỤNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG Người thực hiện: Hồ Thị Bình Chức vụ: Giáo viên SKKN (thuộc lĩnh vực mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2021 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Việc đổi phương pháp, hình thức dạy học kiểm tra, đánh giá theo định hướng phát triển lực học sinh triển khai từ 30 năm qua Hầu hết giáo viên trang bị lí luận phương pháp kĩ thuật dạy học tích cực q trình đào tạo trường sư phạm trình bồi dưỡng, tập huấn năm Tuy nhiên, việc thực phương pháp dạy học tích cực thực tiễn chưa thường xuyên chưa hiệu Hàm số bậc trùng phương dạng toán tất đề thi đại học học sinh phổ thông, kể học sinh giỏi Trong đề thi THPT quốc gia đề thi Học sinh giỏi tỉnh thành, toán ứng dụng hàm số Bậc trùng phương xuất ngày nhiều Mặc dù đa phần tập quy nghiệm đẹp tính chất hàm trùng phương, song với thời gian giải đề thi trắc nghiệm nay, việc sử dụng kết sẵn có giúp học sinh tiết kiệm nhiều thời gian Chính vậy, tơi chọn đề tài “Một số tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương ứng dụng” làm đề tài nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu Ghi nhớ tính chất hàm bậc bốn trùng phương nhằm giúp học sinh bớt thời gian giải toán liên quan tới hàm số bậc bốn trình học thi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh khối 12 qua năm giảng dạy từ trước đến 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết, thống kê đưa toán tổng quát NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Xét hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ ) ¡ x = Ta có y′ = 4ax + 2bx = x ( 2ax + b ) Suy y′ = ⇔   2ax + b = (1) Ở xét trường hợp hay gặp đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị phân biệt Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị phân biệt y′ = có ba nghiệm phân biệt hay phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ ab < (*) x =  Với điều kiện (*) ta có y′ = ⇔  b Suy đồ thị hàm số có ba điểm x=± −  2a   b b  b b2  cực trị A ( 0; c ) , B  − − ; c − ÷ C  − ; c − ÷ 2a 4a  2a 4a    2b b − 8ab BC = − Khi ta có AB = AC = a 16a +) Tam giác ABC cân A +) B, C đối xứng qua Oy x B = − x C , y B = yC = yH uuur uuur +) Để tam giác ABC vuông A: AB.AC = +) Tam giác ABC đều: AB = BC +) Tam giác ABC có diện tích S: S= 1 AH.BC = x B − x C y A − y B 2 Trường hợp thường gặp: Cho hàm số y = x − 2bx + c +) Hàm số có cực trị b > +) A, B, C điểm cực trị A ( 0;c ) , B ( ) ( b, c − b , C − b;c − b ) +) Tam giác ABC vuông A b = +) Tam giác ABC b = 3 µ = 1200 b = +) Tam giác ABC có A 3 +) Tam giác ABC có diện tích S0 S0 = b b +) Tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp R 2R = +) Tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp r0 r0 = b3 + b b2 b3 + + 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Với thay đổi kì thi THPT Quốc Gia kể từ năm 2017, tốn hàm số chiếm tỉ lệ 20% đưa vào đề thi Như đề thi minh họa lần lần Bộ Giáo Dục Đào tạo có tốn hàm số trùng phương Trước thực đề tài nhiều học sinh xử lý toán hàm số trùng phương khoảng phút bài, dạng toán quen thuộc học sinh chăm chịu khó rút thời lượng xuống phút – mong ước thực chuyên đề 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 1) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác vng Vì AB = AC nên tam giác ABC tam giác cân A Suy tam giác ABC · tam giác vuông BAC = 900 hay tam giác ABC vng cân A Khi BC = AB ⇔ BC = AB ⇔ − 2b b − 8ab = ⇔ b + 8a = a 16a Tính chất 1: Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị tạo thành ba ab < đỉnh tam giác vuông  b + 8a = 2) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác Ta có tam giác ABC tam giác AB = AC = BC ⇔ AB = BC b − 8ab 2b ⇔ =− ⇔ b3 + 24a = 16a a Tính chất 2: Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị tạo thành ba ab < đỉnh tam giác  b + 24a = 3) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác cân có góc α cho trước Có ba trường hợp xảy Trường hợp 1: α > 900 Khi tam giác ABC tam giác tù Vì tam giác ABC cân A nên tam giác · ABC có góc α > 900 BAC =α Áp dụng định lý côsin vào tam giác ABC ta có · BC = AB + AC − AB AC.cos BAC 2b b − 8ab ⇔ BC = AB ( − cos α ) ⇔ − = ( − cos α ) a 16a ⇔ −16a = ( b3 − 8a ) ( − cos α ) ⇔ b3 + 8a − ( b3 − 8a ) cos α = Trường hợp 2: α = 900 ( ta xét tính chất 1) Trường hợp 3: α < 900 µ =C µ = α µA = 1800 − 2α , suy cos A = cos ( 1800 − 2α ) = − cos 2α + Nếu B Áp dụng định lý cơsin vào tam giác ABC ta có · BC = AB + AC − AB AC.cos BAC 2b b − 8ab ⇔ BC = AB ( + cos 2α ) ⇔ − = ( + cos 2α ) a 16a ⇔ −16a = ( b3 − 8a ) ( + cos 2α ) ⇔ b3 + 8a + ( b3 − 8a ) cos 2α = 3 + Nếu µA = α tương tự trường hợp 1, ta có b + 8a − ( b − 8a ) cos α = Tính chất Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác cân có góc α cho trước ab < 3 b + 8a − ( b − 8a ) cos α = α > 900 b3 + 8a = α = 900 3 µ =C µ = α < 900 b + 8a + ( b − 8a ) cos 2α = B 3 b + 8a − ( b − 8a ) cos α = µA = α < 900 4) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn BC = OA (với O gốc tọa độ) Ta có BC = OA ⇔ BC = OA2 ⇔ − 2b = c ⇔ ac + 2b = a Tính chất Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị A, B, C thỏa ab < mãn điều kiện BC = OA (với O gốc tọa độ)  ac + 2b = 5) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác tính diện tích tam giác Gọi H giao điểm BC với trục Oy AH đường cao tam giác ABC  b2  b2 b2 = Khi H có tọa độ H  0; c − ÷ Suy AH = − 4a  4a a  2b b b5 Vậy diện tích tam giác ABC S ABC = BC AH = − = − a 4a 32a Tính chất Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác có diện tích S cho trước ab <   b5 S = −  32a  6) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC H giao điểm  b2  b2 b2 H 0; c − AH = − = BC với trục Oy Khi H có tọa độ  ÷ 4a  4a a  Từ tam giác vng AHC, ta có sin ·ACH = Áp 2R = dụng định lý sin vào AB AB b − 8ab a = = × 16a b sin ·ACH AH AH AH = AC AB tam Suy R = giác ABC ta b − 8a 8ab Tính chất Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp R ab <  b3 − 8a  R =  8ab  Trên sở vận dụng tương tự tơi có đưa 22 cơng thức tính nhanh cực trị hàm số trùng phương sau: CƠNG THỨC TÍNH NHANH Ba điểm cực trị tạo thành tam giác ABC thỏa mãn kiện Công thức thỏa STT Dữ kiện ab < Tam giác ABC vuông cân Tam giác ABC Tam giác ABC · có góc BAC =a Tam giác ABC có diện tích SDABC = S0 Tam giác ABC có diện tích max(S0) Tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp ABC có độ dài cạnh BC = m0 có độ dài AB = AC = n0 có cực trị B,C Ỵ Ox có góc nhọn có trọng tâm O có trực tâm O có bán kính đường trịn ngoại tiếp 10 11 12 13 14 15 16 17 A rD ABC = r0 Tam giác Tam giác Tam giác Tam giác Tam giác Tam giác Tam giác ABC ABC ABC ABC ABC ABC RDABC = R0 Tam giác Tam giác Tam giác Tam giác ABC ABC ABC ABC điểm O tạo hình thoi có O tâm đường trịn nội tiếp có O tâm đường trịn ngoại tiếp có cạnh BC = k.AB = k.AC b3 +1= 8a b3 +3= 8a b3 a + cot2 = 8a 32a (S0) + b5 = S0 = r0 = b5 32a3 b2 ổ b3 ữ ỗ ữ aỗ + ữ ỗ ữ ỗ ữ a ỗ ố ø a.m02 + 2b = 16a2n02 - b4 + 8ab = b2 - 4ac = b(8a + b3) > b2 - 6ac = b3 + 8a - 4ac = R= b3 - 8a 8ab b2 - 2ac = b3 - 8a - 4abc = b3 - 8a - 8abc = b3.k2 - 8a(k2 - 4) = 100 Đồ thị hàm số ( C ) : y = ax + bx + c cắt trục Ox b2 = ac điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Định tham số để hình phẳng giới hạn đồ thị 36 b2 = ac ( C ) : y = ax4 + bx2 + c trục hồnh có diện tích phần phần Trục hồnh chia VABC thành hai phần có diện b2 = ac tích Tam giác ABC có điểm cực trị cách trục b2 - 8ac = hồnh D ABC Phương trình đường trịn ngoại tiếp 18 19 20 21 22 là: ỉ ổ D Dử ữ ữ ỗ ữ ữ x2 + y2 - ỗ + c y + c =0 ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗb 4a ỗb 4a ứ ố ứ ố 2.4 Bi ứng dụng Ví dụ (Câu đề thi TSĐH năm 2012 khối A khối A1) 2 Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + m (1), với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vng Lời giải Áp dụng tính chất 1, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh −  ( m + 1) < ⇔  3 b + 8a = −8 ( m + 1) + = ab < tam giác vuông  m > −1 m > −1 ⇔ ⇔ ⇔m=0 m = ( m + 1) = Ví dụ (Câu đề thi TSĐH năm 2011 khối B) Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + m (1), m tham số Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC ; O gốc tọa độ , A điểm cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại Lời giải Áp dụng tính chất 4, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho − ab < m > −1  ( m + 1) < ⇔ ⇔ OA = BC  ac + 2b = m − ( m + 1) =  m − 4m − = ⇔ m = 2±2 Ví dụ Cho hàm số y = x − 2mx − (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tạo điểm cực trị đạt giá trị nhỏ Lời giải Áp dụng tính chất 6, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị bán kính đường ab <  b3 − 8a tròn ngoại tiếp tam giác tạo điểm cực trị R   R = 8ab  −2m <  ⇔ −2m ) − (  R = ( −2m )  m > 1   ⇔ m3 + Suy R =  m + ÷ 2 m R = 2m  Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta có 1 1  1 3 R =  m2 + + = = ÷ ≥ m 2 2m 2m  2m 2m 4 1 ⇔ m3 = ⇔ m = Vậy R = ⇔ m = 2 2m Ví dụ Cho hàm số y = x − 2mx + (1) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị đường trịn qua ba điểm có bán kính Lời giải Áp dụng tính chất 6, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị đường trịn qua −2m < ab <   b3 − 8a hay  −2m ) − ba điểm có bán kính R  (  R = −2m R = a b ( )   m >  ⇔ m3 + R = 2m  m3 + R = , suy 1= Theo đề ta có ⇔ m3 − 2m + = 2m ⇔ ( m − 1) ( m + m − 1) = m = −1 + ⇔  m = −1 ± Đối chiếu với điều kiện m > ta m = , m =  Ví dụ Cho hàm số y = x + ( m − ) x + m − 5m + ( Cm ) Với giá trị m đồ thị ( Cm ) có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cực đại điểm cực tiểu lập thành tam giác 2 Lời giải Áp dụng tính chất 2, đồ thị ( Cm ) có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cực đại điểm cực tiểu lập thành tam giác ab <  b + 24a = 2 ( m − ) < ⇔ 8 ( m − ) + 24 = m < ⇔ ( m − ) = −3 m < ⇔ m = − 3 ⇔ m = 2− 3 Ví dụ Cho hàm số y = − x + 2mx + Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có góc 1200 Lời giải Theo tính chất 3, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam ab < giác có góc α = 120  3 b + 8a − ( b − 8a ) cos α = m > −2m <  ⇔ ⇔  1 3 8m − − ( 8m + ) cos120 = 8m − − ( 8m + )  − ÷ =    m > m > m >   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔m= 3 12m − = m = m = 3  Ví dụ Cho hàm số y = x − 2mx + m + Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có diện tích 32 Lời giải Theo tính chất 5, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam ab <  giác có diện tích S = 32  b5 S = − 32a  m > ⇔ 32 = m m > m > ⇔ ⇔ ⇔ m =  5 32 = m m = 32  −2m <  ⇔ −2m ) ( 32 = − 32.13  Ví dụ Cho hàm số y = x + 2mx + m − Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có góc 300 Lời giải Bài tập Cho hàm số y = x − ( m + 3) x + m + (1), m tham số Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC ; O gốc tọa độ , A điểm cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại ĐS: m = ± Bài tập Cho hàm số y = − x − ( m − 1) x + m + Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có diện tích 32 ĐS: m = −3 Bài tập (THPT CHU VĂN AN HÀ NỘI NĂM 2018) Để đồ thị hàm số y = x − 2mx + m − có ba điểm cực trị nhận gốc tọa độ O làm trực tâm giá trị tham số m A B 2 C D Lời giải Chọn A Ta có y′ = x − 4mx = x ( x − m ) Khi m > đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A ( 0; m − 1) , B ( −m; −m + m − 1) , C ( m; −m + m − 1) uuu r uuur AB = ( −m; − m ) , OC = ( m; −m + m − 1) Vì hàm số cho hàm trùng phương nên hiển nhiên AO ⊥ BC Để O trực uuur uuur 2 tâm ∆ABC CO ⊥ AB ⇔ AB.OC = ⇔ −m − m ( −m + m − 1) = ⇔ − m ( −m + m ) = ⇔ m = m = Bài tập (THPT NGUYỄN KHUYẾN HCM NĂM 2018) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ 32 A m > B < m < C < m < D < m < Lời giải Chọn C x = y′ = x3 − 4mx = ⇔  Đồ thị hàm số có điểm cực trị ⇔ m > ( 1) x = m 2 Khi đó, toạ độ điểm cực trị là: O ( 0;0 ) , A ( − m ; −m ) , B ( m ; −m ) Gọi I trung điểm AB ⇒ I ( 0; −m ) Theo đề bài: 1 OI AB < 32 ⇔ m2 m < 32 ⇔ 2 Từ ( 1) ( ) suy ra: < m < SOAB < 32 ⇔ ( m) < 32 ⇔ m < ⇔ m < ( ) Bài tập (THPT CỔ LOA HÀ NỘI LẦN 01 NĂM 2018) Gọi S tập hợp 3m tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x + 2mx − có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị với gốc tọa độ O tạo thành bốn đỉnh tứ giác nội tiếp Tính tổng tất phần tử S A − B −2 − C −1 D Lời giải Chọn B Ta có y′ = x + 4mx = x ( x + m ) 3m có ba điểm cực trị m <   3m  m −m − 3m  m −m2 − 3m   A 0; − B − ; C − − ; ÷ ÷ Khi ba điểm cực trị  ÷ ,  ÷  ÷  2 2      · · Ta có AO đường trung trực BC nên ABO = ACO Do để tứ giác ABOC nội tiếp ·ABO = ·ACO = 90° hay AB ⊥ OB Đồ thị hàm số y = x + 2mx − uuu r uuu r  m = −1 m m  m + 3m  ⇔ AB.OB = ⇔ − +  ÷= ⇔  2    m = −1 ± Đối chiếu điều kiện ta S = { −1; −1 − 3} nên tổng cần tìm −2 − Bài tập (THPT ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN LẦN 03 NĂM 2018) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + m có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp lớn A m < −1 B m > m < −1 C m > D m > Lời giải Chọn C y ' = x3 − 4mx ; x = y' = ⇔  Để hàm số có ba cực trị m > x = m 2 Khi điểm cực trị A ( 0; m ) , B ( m ; −m + m ) ,B ( − m ; −m + m ) AI BC = m m , với I trung điểm BC S m2 AB + BC + CA PABC = = m + m+m ; r = = p + + m3 2 m > m > ⇔ ⇔ ⇔m>2 r > ⇔ m > 1+ 1+ m  m ( m − ) ( m + 1) > m − 2m + > + m S ABC = Bài tập 10 (THPT CỘNG HIỀN HẢI PHÒNG LẦN 01 NĂM 2018) Cho hàm số y = x − 2mx + Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm Giá trị m tìm thuộc khoảng sau đây? A ( 1; ) B ( 2; ) C ( −2; −1) D ( −1; ) Lời giải: Chọn A x = + y′ = x − 4mx = ⇔  x = m nghiệm phân biệt ⇔ m > Đồ thị hàm số có điểm cực trị ⇔ y ' = có ba 2 +Ba điểm cực trị A ( 0;2 ) , B ( m ; −m + ) , C ( − m ; − m + ) ba đỉnh tam giác x + x + xC  x0 = A B   ⇔ m2 = ⇔ m = ± nhận gốc O trọng tâm ⇔   y = y A + yB + yC   Vậy m = ∈ ( 1; ) Bài tập 11 (CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 01 MĐ 903 NĂM 2018) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ A m < B < m < C < m < D m > Lời giải Chọn B x = Hàm số y = x − 2mx có TXĐ : D = ¡ Ta có y′ = x3 − 4mx ; y′ = ⇔  x = m Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị m > Khi ba điểm cực trị O ( 0;0 ) , ( ) B − m ; − m2 , C ( ) m ; − m2 Tam giác OBC cân O , với I ( 0; − m2 ) trung điểm BC Theo u cầu tốn, ta có: S ABC = OI BC = −m 2 m < ⇔ < m < Bài tập 12 (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 01 NĂM 2018) Cho hàm số y = ( m + 1) x − ( m − 1) x + Số giá trị nguyên m để hàm số có điểm cực đại mà khơng có điểm cực tiểu là: A B C D Lời giải Chọn B Trường hợp m = −1 , suy y = x + ⇒ Hàm số có điểm cực tiểu mà khơng có điểm cực đại nên loại m = −1 Trường hợp m ≠ −1 Ta có: y′ = ( m + 1) x − ( m − 1) x = x  ( m + 1) x − ( m − 1)  x = Xét y′ = ⇔   g ( x ) = ( m + 1) x − ( m − 1) = ( *) Vì hàm trùng phương ln đạt cực trị điểm x = nên để hàm số có điểm m + <  m < −1 ⇔ , suy không tồn −m + ≤ m ≥ cực đại mà khơng có điểm cực tiểu  m thỏa u cầu toán Bài tập 13 (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 01 NĂM 2018) Tìm m đề đồ thị hàm số y = x − 2mx + có ba điểm cực trị A ( 0; 1) , B, C thỏa mãn BC = 4? B m = A m = C m = ±4 Lời giải D m = ± Chọn B x = Tập xác định: D = ¡ y ' = x − 4mx = ⇔  x = m Hàm số cho có ba điểm cực trị ⇔ m > 2 Tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số: A ( 0;1) , B ( m ; − m + 1) , C ( − m ; − m + 1) BC = ⇔ 4m = 16 ⇔ m = Bài tập 14 (CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018) Tìm tất giá trị 2 thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x − ( m + 1) x + m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân A m = B m = − 1; m = C m = D m = 1; m = Lời giải Chọn A Cách 1: Điều kiện để đồ thị hàm trùng phương y = ax + bx + c có ba điểm cực trị ab < ⇔ m > −1 ⇒ loại B Khi ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân b3 + 8a = ⇔ −8 ( m + 1) + = ⇔ m = Cách 2: Ta có y′ = x ( x − m − 1) x = Xét y′ = ⇔  x = m +1 Để đồ thị số có ba điểm cực trị m > −1 ( *) Tọa độ ba điểm cực trị A ( 0; m ) , B ( m + 1; − 2m − 1) , C ( − m + 1; − 2m − 1) Gọi H trung điểm đoạn thẳng BC H ( 0; − 2m − 1) Khi ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân AH = BH ⇔ ( m + 1) = m + ⇔ m = : T / m ( *) Bài tập 15 (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 01 NĂM 2018) Tìm tập hợp S tất giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y = x − 2m x + m + có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị với gốc tọa độ O tạo thành tứ giác nội tiếp   −1 ;0;  3  B S = { −1;1} A S =   −1  ;   3 C S =   −1  ;   2 D S =  Lời giải Chọn C x = y ′ = x − 4m x ; y ′ = ⇔   x = ± m Để hàm số có cực trị phương trình y′ = có nghiệm, hay m ≠ Khơng tính tổng quát giả sử điểm cực trị có tọa độ A ( 0; m + 3) ; B ( m;3) ; C ( − m;3) uuur uuur  AB = AC OB = OC Ta có AC ( −m; −m ) ; OC ( −m;3) ; Tứ giác OBAC có  Suy OA đường trung trực BC Để tứ giác OBAC nội tiếp đường trịn điểm B , C phải nhìn cạnh OA góc 90° m = : L uuur uuur  Khi AC.OC = ⇔ m − 3m = ⇔  m=± :T / m  Bài tập 16 (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG LẦN 01 NĂM 2018) Giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + m4 + 2m có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có diện tích thoả mãn điều kiện đây? A m < −3 B m > C −3 < m < D < m < Lời giải Chọn D Ta có y′ = x − 4mx Do y′ = ⇔ x3 − 4mx = ⇔ x = ∨ x = m Để hàm số có ba điểm cực trị m > 4 Gọi ba điểm cực trị đồ thị hàm số A ( 0; m + 2m ) , B ( − m ; m − m + 2m ) , B ( ) m ; m − m + 2m Do hàm số trùng phương hàm số chẵn, có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng nên tam giác ABC cân A Gọi H trung điểm BC ta có H ( 0; m − m + 2m ) , từ AH = m2 BC = m Vậy ta có diện tích tam giác ABC S= 1 AH BC = m 2 m = ⇔ m m = ⇔ m = Vậy thỏa mãn < m < 2 Bài tập 17 (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ LẦN 01 NĂM 2018) 2 Cho hàm số y = x − ( − m ) x + m + Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số có cực đại cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn 2 B m = A m = C m = − D m = Lời giải Chọn A 2 Ta có y′ = x − ( − m ) x = x ( x − + m ) Để hàm số có cực đại cực tiểu − m > ⇔ −1 < m < Với điều kiện đồ thị hàm số có điểm cực trị A ( 0; m + 1) , B ( ) ( ) − m ; −m + 2m + m , C − − m ; − m + m + m Tam giác ABC cân A nên có diện tích 1 BC.d ( A, BC ) = − m ( m − 2m + 1) = − m ( − m ) ≤ 1, ∀m ∈ ( −1;1) 2 Vậy diện tích tam giác ABC lớn m = S ABC = Bài tập 18 (CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 05 NĂM 2018) Cho hàm số y = x − 2mx + m4 + 2m Tìm tất giá trị m để điểm cực trị đồ thị hàm số lập thành tam giác A m = 2 B m = 3 Lời giải D m = C m = Chọn B x = Ta có y′ = x3 − 4mx y′ = ⇔  Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị x = m m > Ba ( điểm ) cực B − m ; m − m + 2m Để m = ( l ) ⇔  m = 3 A ( 0; m + 2m ) , B ( ) m ; m − m + 2m , trị ABC tam giác AB = BC ⇔ m + m = 4m Bài tập 19 (Đề minh họa Bộ GD&ĐT)Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x + 2mx + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân A m = − C m = B m = −1 D m = Lờigiải ChọnB Cách 1: Sử dụng công thức giải nhanh Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác vuông cân: 8a + b3 = ⇔ + ( 2m ) = ⇔ 2m = −2 ⇔ m = −1 ⇒ Đáp án B Cách 2: Giải thường x = Ta có y ' = x + 4mx = x ( x + m ) ; y ' = ⇔   x = −m Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị y ' = có ba nghiệm phân biệt ⇒ − m > ⇔ m < ⇒ Loại C,D Cách 2.1:(Chiều xuôi) x = ⇒ y = y' = ⇔  ⇒ A ( 0;1) , B − −m ; −m + , C  x = ± −m ⇒ y = −m + ( điểm cực trị uuu r uuu r ⇒ AB = − − m ; − m ; AC = ( ) ( ) ( ) −m ; − m + ba ) − m ; − m Do AB = AC nên tam giác ABC vuông A uuu r uuu r m = m