Một số tính chất của không gian lorentz và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM THÀNH PHố Hồ CHÍ MINH Bùi Hồi Nhân MỘT Số TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN LORENTZ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM THÀNH PHố Hồ CHÍ MINH Bùi Hồi Nhân MỘT Số TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN LORENTZ VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành : Tốn Giải Tích Mã số: 846 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thành Nhân Các nội dung nghiên cứu kết tham khảo luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng năm 2020 Bùi Hoài Nhân Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy TS NGUYÊN THÀNH NHÂN, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn đọc góp ý giúp cho luận văn hồn chỉnh Xin chân thành cảm ơn q thầy Khoa Tốn - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt cho tơi kiến thức quý báu suốt năm học vừa qua, tạo cho tảng vững để thực luận văn Cuối cùng, gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè tập thể lớp Tốn Giải tích K28 hết lịng ủng hộ động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập trình thực luận văn Tuy nhiên, thời gian có hạn nên luận văn cịn nhiều hạn chế khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cám ơn Tp.HCM, ngày 30 tháng năm 2020 Tác giả Bùi Hoài Nhân Mục lục 1.1 Tài liệu tham khảo 52 Lời nói đầu Khơng gian Lorentz đưa từ năm 1950 nhà toán học George Lorentz có nhiều ứng dụng lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt toán tồn tính quy nghiệm Gần đây, nhiều kết đánh giá gradient nghiệm phương trình elliptic dạng divergence thu không gian Lorentz, không gian L yếu (không gian p Marcinkiewicz), thường xem trường hợp đặc biệt không gian Lorentz Nhờ vào đánh giá này, tồn nghiệm số lớp phương trình đạo hàm riêng phương trình p-Laplace, phương trình dạng Ricatti, chứng minh Nội dung luận văn tập trung khảo sát số tính chất khơng gian Lorentz, định nghĩa chuẩn nửa chuẩn không gian Ngoài luận văn khảo sát mối liên hệ tương đương chuẩn nửa chuẩn không gian Lorentz Các kết công cụ hữu ích để chứng minh tồn nghiệm phương trình dạng Riccati khơng gian Lorentz Cụ thể, luận văn xét tồn nghiệm renormalized (tham khảo [8]) phương trình dạng p-Laplace —A u = \Vu\ + g X; p q u = @X; không gian Lorentz Ls,t Các kết tham khảo chủ yếu báo [14], [16], [17] (1) Nội dung luận văn “Một số tính chất khơng gian Lorentzvà ứng dụng” tìm hiểu số tính chất quan trọng không gian Lorentz tồn nghiệm renormalized phương trình pLaplace không gian Lorentz Nội dung luận văn bao gồm chương: Chương 1: Khơng gian Marcinkiewicz Nội dung phần hệ thống lại số kiến thức liên quan đến không gian L không gian L yếu tham khảo p p sách L Grafakos [4] [3] Chương 2: Không gian Lorentz Nội dung chương gồm định nghĩa không gian Lorentz chuẩn không gian Lorentz với tài liệu tham khảo [7] sách [13] F L Santos Chúng tơi trình bày lại khái niệm không gian Lorentz trường hợp khái quát không gian L không p gian L yếu Đồng thời trình bày hai chuẩn tương đương không p gian Lorentz để thuận tiện chương Chương 3: ững dụng tồn nghiệm phương trình p- Laplace Nội dung chương trình bày lại kết tồn nghiệm phương trình dạng p- Laplace khơng gian Lorentz Chúng chứng minh kết cách áp dụng định lý điểm bất động Schauder toán tử liên tục xác định tập lồi, đóng có ảnh tập compact Nội dung chương tham khảo báo ,[16],[15] [17] tác giả M.-P Tran T.-N Nguyen Bảng ký hiệu Lp Không gian Lebesgue Lp’1 Không gian Marcinkiewicz L Không gian Lorentz p,q ||.||LP(X» Tựa chuẩn không gian L (X; ự) với < p < p III ||| P,1 Chuẩn khơng gian L yếu với p > ||.||LP.« Tựa chuẩn không gian Lorentz L , L p p,q chuẩn trường hợp < q < p p = q = ự(E) Độ đo ự tập E III.|||LP>« Chuẩn tương đương khơng gian Lorentz L ’ p q với < p < < q < df Hàm phân phối hàm f với độ đo ự mf Hàm phân phối hàm f với độ đo m f* Hàm hoán vị giảm hàm f f ** Hàm cực đại hàm f Xu Gradient hàm u xp Tốn tử p-Laplace MQ(X) Khơng gian độ đo có biến phân bị chặn liên tục tuyệt đối Chương Không gian Marcinkiewicz 1.1 Không gian Lebesgue Định nghĩa 1.1.1 ([3]) Cho X không gian độ đo, p độ đo dương không thiết phải hữu hạn X Cho < p < 1, L (X, p) tập p hàm đo X định nghĩa L (X, p) = I f đo X :/ \f | dp < 11 p p Tập L1 (X, p) tập tất hàm f đo X cho tồn B > để tập fx : f (x) > Bg có độ đo Hai hàm gọi L (X, p) chúng hầu khắp nơi X, nghĩa hai hàm p X, ngoại trừ tập có độ đo Kí hiệu L (R ) nghĩa khơng gian L (R , \-\), \-\ độ đo Lebesgue p n p n n chiều Độ đo Lebesgue R kí hiệu dx Nếu khơng có n nhầm lẫn, ta viết L (X, p) đơn giản L Không gian L (Z) trang p p p bị độ đo kí hiệu ' (Z) đơn giản ' p p Cho < p < 1, ta định nghĩa tựa chuẩn hàm f L p (\ X / p Ị \f(x)\Pdp(x)A , (1.1) p = (i) Nếu pj hữu hạn, với j = 1;k dấu đẳng thức (i) xảy trường hợp c |f | = = c |f \Pk hầu khắp nơi với Cj > 1 P1 k k (ii) Cho < q < Với r < g > hầu với f > = ||g_ IIT^M khắp nơi, ||g|| r L Khi 0; g > hầu khắp nơi ta có \\fg\\Li >llf IL Mlt; (1.4) q với q = ——- liên hợp Holder q q-1 Chứng minh Ta chứng minh (i) phương pháp quy nạp Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức với trường hợp k = Nghĩa với 1 p =p1- + - p2 Ilf1 f2I\ < \If1\Iv1 H/SIILPS Khơng tính tổng qt ta giả sử p = 1, ta chứng minh -1 + -1 = kf1f2\Li < ||f1\LPi ||f2\LP2 p1 p2 Lr Vì IIAMLI < llf1\LPi llf2\Li kf f k Li < \Z1\L~ 11f2\LP2 hợp p = 1; p = p = 1; p = dược chứng minh 2 với 111,11 x nên trườn g a + p\q q —T— —p M,q (a + p\q otq — —I— q Từ ta suy p < < ,l+ < y < a, ta có ; < 2p Từ đánh giá ta suy «’ + 2ỉ- pq < (" 'y + 2p-*f y 22 Lấy a = fa, p, 0, } b = fp, a, } ta có Iia+biiLP,ỉ = ỘH + p )q+ (1+p )q) > 2^aq + 2ỉ-1pq} p1 = ll LP’ỉ + ll LP’ỉ a| b| Như ta hoàn thành chứng minh trường hợp Ta tiếp tục chứng minh trường hợp Giả sử < q < < p < Lấy a = a, 0, b = 0,1, với a = 21-ỉ — Khi với a > ta có z IIII 11-111 lla|LP>ỉ + llb|LP>ỉ 4.11 = 1+a lla í rt III +b llLP-ỉ = ( ^q + 2p - ỉ —1 \ q ) Ta chứng minh ||a + b|| P,g > ||a|| P j + I |b|| LP,ỉ với < p < Nghĩa L L i( a + 2? > (a + 1) hay (21-ỉ - 1) q + q q _ -ỉ- P1 _ - 21-ỉ > Vì > với < p < 1, ta có P1 q _\ q _\ 1 1-ỉ - 1J +2P - 1-ỉ > (^2 1-ỉ - 1J 21-ỉ - - 1-ỉ \q-1 21-ỉ - 1 Từ ta thấy bất đẳng thức tam giác không với < q < < p < Vậy ta hoàn thành chứng minh định lí Ngồi chuẩn trên, khơng gian Lorentz với < p < 1, < q < ta định nghĩa _1 \\\f IIIL- := v _Jo ~í / \qdt q / (t f** (t)) d 't 1 với < t < 1, \\\f IIILP.1 := supt f**(t) t>0 chuẩn không gian Lorentz Thật vậy, từ định nghĩa \\\ \\\ P,q định nghĩa hàm cực đại ta L cần kiểm tra bất đẳng thức tam giác Áp dụng Định lí 2.2.3 bất đẳng thức Minkowski ta suy điều phải chứng minh Định lý 2.3.4 ([4]) Lấy < p < < q < 1, hàm f Lp,q ||.|| P,q \\\.\\\ p,q hai chuẩn tương đương Hơn L L llfIIL~ < l\lf\l\L < -TTkfIU (2.10) pq p Chứng minh Trường hợp q = chứng minh Mệnh đề 1.3.7 Ta cần chứng minh trường hợp < q < Áp dụng bất đẳng thức Hblder với - 4—7 = ta có qq (2.11) 1- ! q-1 t'q-i’(i-1) (f • (À))q X - dX p 1 p/ với t > Dễ thấy dấu đẳng thức (2.11) xảy q =1 Áp dụng Định lý Fubini ta /o t ~ ~1{L f*(A) dx)dt p \\\f IIIL- = q = v _ kf kL • p,q p1 Để hồn thành chứng minh, ta áp dụng Mệnh đề 2.2.2(ii) f *(t) < f **(t) với t > 0, ta suy \\f\\ p;q < \\\f \\\ p,q• L L Chương ứng dụng tồn nghiệm phương trình p-Laplace chương chúng tơi trình bày lại kết tồn nghiệm renormalized phương trình dạng p-Laplace —ApU = \Vu\q + p X; u =0 @X; (3.1) không gian Lorentz L Trong X c R , (n > 2) tập bị chặn phần bù thỏa điều kiện p-capacity uniform thickness [8] p độ đo , /3n — \ (n(p — 1) \ Mo(X) , p — ; n , q ;p 2n n1 s,t n Phương trình biết đến phương trình Kardar-Parisi-Zhang [6] vật lý dạng ổn định thời gian phương trình JacobiHamilton Để chứng minh kết chúng tơi sử dụng định lí điểm bất động Schauder cách xây dựng ánh xạ T : V ! V liên tục với V tập lồi, đóngvà T(V) tập compact topo mạnh W (X) 1,1 Để thuận tiện nhắc lại định lý điểm bất động Schauder Các định lý tham khảo [2] Định lý 3.0.1 ([2]) Cho A tập lồi, compact khác rỗng không gian Banach X Nếu ánh xạ T : A ! A liên tục T có điểm bất động Hệ 3.0.2 ([2]) Cho A tập lồi, đóng, bị chặn khác rỗng không gian Banach X Nếu T : A ! A tốn tử compact T có điểm bất động 3.1 Xây dựng ánh xạ T Trong mục chúng tơi trình bày cách xây dựng tập V lồi, đóng ánh xạ T liên tục thơng qua bổ đề sau Bổ đề 3.1.1 ([16]) Tập V" = Iu W (X) : |||Vu||| s.t < "I với e > 0, s, t thỏa IJ L max I—/' 1) ;P - + M < q < p [——1 nJ (3.2) Và q < t < max < 1; Ị| Do giá trị nhỏ hàm g [0,1) g (y*) = (cy* +ca) e J - y* ce : Vì ta suy tồn y (0, y*] thỏa (3.6) TTrĩ.1,irx Đặt Ễ = y0, theo định nghĩa T với v V , u = T(v) W(0 (X) £0 nghiệm renormalized phương trình (3.1) Áp dụng (3.5) Định lý 2.3.4 ta có < (IIWL„.«■ + II^IL-.■) s — y qs — 1J Cs í as \p~1 , (\llvvii\Ls qt + \\g\\L,t) s1qs < -CM XẼT Chú ý \\Vvk\Lqs qt < y với y thỏa (3.6) c = y 0 ta viết (3.9) thành |||VU|\Ỉ" qt < y(p;1 = "0; T(v) = u E V Vậy ánh xạ T định nghĩa tốt £0 □ BỔ đề 3.1.3 ([16]) Ánh xạ T liên tục T(Vo) tập compact topo mạnh W (X) 1,1 Chứng minh Lấy {vk} keN dây V £o cho v ! v V" theo k topo mạnh W (X) Với k N ta kí hiệu Uk = T(vk) nghiệm renormalized 1,1 phương trình < -Apuk = |Vvk |q + g X, u (3.10) @X, =0 k với |lVvk ||L« -«‘ < €0 (3.11) \\VVk ||L < €0, (3.12) S Với q < r < qs ta có Do tồn dây {v }j2 dây {v } cho Vv hội tụ Vv kj k N k N kj hầu khắp nơi X Khi từ (3.12) Định lý hội tụ Vitali Vv hội tụ k Vv L (X) q Theo kết nghiệm renormalized Định lý 3.4 tài liệu [8] tồn dây u kj j cho {u }j hội tụ u hầu khắp nơi X, với u kj nghiệm renormalized phương trình —Apu = |Vv|q + g X, u =0 @X, Hơn Vu hội tụ Vu hầu khắp nơi X nên tương tự trên, k ta tiếp tục áp dụng Định lý hội tụ Vitali trường hợp qs > ||Vukj ||L« -«‘ < €0 S Từ u hội tụ u W (X) Vậy T ánh xạ liên tục 1,1 k Chứng minh T ) tập compact theo topo mạnh W (X) thực (Vo 1,1 tương tự Ta lấy {u } = {T (v )}meN dây T(V ) với m m Ễũ {v } c V ta có (3.10) (3.11) Áp dụng Định lý 3.4 tài liệu [8] £ũ m tồn dây {u } hàm u W (X) cho ru ! ru hầu khắp 1,1 mj mj nơi X Cuối áp dụng Định lý hội tụ Vitali ta kết luận dây {umJ hội tụ u W (X) 1,1 □ 3.2 Sự tồn nghiệm renormalized phương trình (3.1) Trong mục cuối chúng tơi trình bày kết chương, tồn nghiệm renormalized phương trình (3.1) thơng qua định lý sau (3n-2 \ —7, _ n n 1, ụ M (X) X 2nc R1làì tập bị chặn phần bù thỏa điều kiện p-capacity uniform thickness Giả sử max In/' 1) ,p - + n < q < p (n—1 nJ Và q < t < max 11, cho ||ụ|| s,t với ỡ = < Ớ0 phương trình (3.1) L có nghiệm renormalized u thỏa HVullUt < OỔ0 -\lg,\lL';t Chứng minh ([16]) Theo Bổ đề 3.1.1, Bổ đề 3.1.2 Bổ đề 3.1.3, tồn số ố > e > cho, 0 (3.13) II^IILS, t < Ỏ0,thì ánh xạ T : V ! V liên tục, tập T(V ) compact theo topo mạnh W (X) tập V lồi, đóng Áp dụng Định lý điểm bất động Schauder T có điểm bất động u V Do u nghiệm phương trình (3.1) Hơn áp dụng Định lý 2.3.4 Bổ đề 3.1.2 ta có đánh giá sau eo 1,1 eo e0 ỄŨ £Ũ Iivu|iỉ„,, < nivuin,.ô < y < "' - HMHLô ã Vy ta hoàn thành chứng minh Kết luận Trong luận văn tác giả trình bày lại kết chứng minh tồn nghiệm phương trình dạng p-Laplace khơng gian khái qt khơng gian Lebesgue cổ điển, khơng gian Lorentz Cần ý kết cho định nghĩa loại nghiệm khác với nghiệm yếu, gọi nghiệm renormalized Ngoài luận văn tác giả xét trường 3n -2 A.K * , hợp - < p < n miên xác định thoa mãn điêu kiện p-capacity 2n — Phương pháp chứng minh dựa kỹ thuật good-A đưa tác giả Q.-H Nguyen gần Cuối chúng tơi trình bày lại chứng minh tồn nghiệm renormalized phương trình dạng p-Laplace khơng gian Lorentz trường hợp Tuy kết luận văn chưa phải kết mới, trình thực luận văn địi hỏi kiên trì nổ lực tác giả Các kết trình bày lại luận văn tác giả tham khảo nhiều báo mới, có độ khó cao tác giả trình xếp cách chặt chẽ để mang lại kết cuối luận văn Tài liệu tham khảo [1] R E Castillo, F A Vallejo Narvaez and J C Ramos Fernández, Multiplication and Composition Operators on Weak L Spaces,Bull Malays Math Sci p Soc 38, 927-973 (2015), DOI: https://doi.org/1Q.1QQ7/s4Q84Q-G14-GG811 [2] D Gilbarg, N.S Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag, Berlin, 2QQ1 [3] L Grafakos, Classical Fourier Analysis, Second edition, vol 249, Springer, New York (2QQ8) [4] L Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson/Prentice Hall, 2QQ4 [5] Roy A Johnson, Atomic and Nonatomic Measures, American Mathematical Society, Vol 25, No (Jul., 197Q), pp 65Q-655, DOI: https://www.jstor.org/stable/2Q36664 [6] M Kardar, G Parisi, Y.-C Zhang, Dynamic scaling of growing interfaces, Phys Rev Lett 56 (1986) 889-892 [7] E.Kristiansson, Decreasing Rearrangement and Lorentz L(p,q) Space, 2QQ2, 5-71 G D Maso, F Murat, L Orsina and A Prignet, Renormalized solutions of elliptic equations with general measure data, Ann Scuola Norm Super Pisa (IV) 28 (1999), 741-8Q8 [8] Q.-H Nguyen, Gradient estimates for singular quasilinear elliptic equations with measure data, arXiv: 1705.07440v2 (submitted for publication) [9] N C Phuc, Nonlinear Muckenhoupt-Wheeden type bounds on Reifenberg flat domains, with applications to quasilinear Riccati type equations, Adv Math 250 (2014), 387-419 [10] N C Phuc, Global integral gradient bounds for quasilinear equations below or near the natural exponent, Ark Mat 52 (2014), 329-354 [11] N C Phuc, Morrey global bounds and quasilinear Riccati type equations below the natural exponent, J Math Pures Appl (9) 102 (2014), 99-123 [12] F L Safont (15-jun-2012) Introduction to Lorentz space, DOI: http://hdl.handle.net/2445/32389 [13] M.-P Tran, Good-X type bounds of quasilinear elliptic equations for the sin- gular case, Nonlinear Anal 178 (2019), 266-281 [14] M.-P Tran, T.-N Nguyen, An application of global gradient estimates in Lorentz-Morrey Spaces for the existence of stationary solutions to degenerate diffusive Hamilton-Jacobi equations, to appear in Electronic Journal of Differential Equations, vol 2019 (2019), No 118,pp 1-12, DOI: http://ejde.math.unt.edu [15] M.-P Tran, T.-N Nguyen, Existence of a renormalized solution to the quasilinear Riccati type equation in Lorentz spaces, C R Acad Sci Paris, Ser.I 357 (2019), 59-65 [16] M.-P Tran, T.-N Nguyen; Lorentz-Morrey global bounds for sin- gular quasilinear elliptic equations with measure data, to appear in Communications in Contemporary https://doi.org/10.1142/S0219199719500330 Mathematics (2019), DOI: ... @X; không gian Lorentz Ls,t Các kết tham khảo chủ yếu báo [14], [16], [17] (1) Nội dung luận văn ? ?Một số tính chất khơng gian Lorentzvà ứng dụng? ?? tìm hiểu số tính chất quan trọng không gian Lorentz. .. dạng divergence thu không gian Lorentz, không gian L yếu (không gian p Marcinkiewicz), thường xem trường hợp đặc biệt không gian Lorentz Nhờ vào đánh giá này, tồn nghiệm số lớp phương trình đạo...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM THÀNH PHố Hồ CHÍ MINH Bùi Hồi Nhân MỘT Số TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN LORENTZ VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành : Tốn Giải Tích Mã số: 846 01 02 LUẬN VĂN