Một số tính chất hữu hạn của đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Thảo MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Thảo MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN Chuyên : Đại số lí thuyết số ngành Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu độc lập riêng tơi Mọi kế thừa phát huy kết nhà khoa học trích dẫn rõ ràng quy định Các kết nghiên cứu luận văn tơi tự tìm hiểu, phân tích cách trung thực, khách quan, phù hợp với nội dung yêu cầu đề tài cần nghiên cứu, chưa công bố nghiên cứu khác Học viên Trần Thị Thanh Thảo LỜI CẢM ƠN Để hồn thành chương trình cao học viết luận văn này, tơi nhận hướng dẫn nhiệt tình quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, động viên giúp đỡ từ gia đình bạn bè Trước hết, tơi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS TS Trần Tuấn Nam Thầy quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian công sức hướng dẫn để giúp hồn thành luận văn thạc sĩ Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô dạy bảo tơi suốt q trình học tập Xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi Xn Hải, thầy Nguyễn Tự Cường, Phạm Thị Thu Thủy, q thầy tận tình dạy bảo mở mang cho nhiều kiến thức Toán học, đặc biệt kiến thức chuyên ngành Đại số, làm tảng vững để học tập nghiên cứu Xin cảm ơn bạn học lớp Đại số Lí thuyết số Khóa 27 bạn bè người thân hết lịng động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tơi Gia đình tơi ln nguồn động viên tinh thần to lớn giúp tơi hồn thành khóa học luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2018 Trần Thị Thanh Thảo Ass Spec  R SuppR M  Ann H BẢNG KÍ HIỆU Tập tất iđêan nguyên tố R H Giá M Tập iđêan nguyên tố liên kết M Ext Linh hóa tử M Tor Mơđun đối đồng điều địa phương thứ i   I  I,J   Môđun đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan Tích mở rộng n  chiều R Tích xoắn n  chiều R Hàm tử I  xoắn Hàm tử I , J   xoắn MỤC LỤC Trang LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức 1.2 Hàm tử đối đồng điều địa phương theo iđêan I 1.3 Hàm tử đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan I , J  11 1.4 Bao nội xạ 14 1.5 Dãy phổ - Dãy phổ Grothendieck 14 Chương Môđun Lasker yếu môđun  I , J   Cofinite .18 2.1 Môđun Lasker yếu môđun  I , J   cofinite yếu 18    .24 2.2 Sự hữu hạn tập Ass HomR R / I ; H Is,J M   2.3 Sự hữu hạn tập Ass H s R 2.4 Tính cofinite yếu H s I,J I,J  M   28  M 31 Chương Phạm trù Serre .34 3.1 Định nghĩa 34 3.2 Tính chất H i Mtrong phạm trù Serre 34 I,J KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO .41 MỞ ĐẦU Đối đồng điều địa phương chiếm vị trí quan trọng Đại số đại nói chung Đại số giao hốn Hình học đại số nói riêng, tiếp tục nghiên cứu mở rộng theo nhiều hướng khác Trong luận văn Ass R H s I,J M  môđun đối đồng điều địa phương H Serre  theo quan điểm phạm trù M Trong toàn luận văn này, ta ln giả thiết R vành Noether giao hốn I , J iđêan vành R Trong [1], nhà toán học Takahashi, Yoshino Yoshizawa giới thiệu khái niệm môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan môđun đối đồng điều địa phương theo iđêan I Grothendieck Cho R mơđun, mơđun I , J   xoắn M Vì tồn hàm tử hiệp biến R mơđun vào Hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i iđêan J I , J , kí hiệu HI , J , hàm tử dẫn xuất ph H Grothendieck Trong [2], Grothendieck đưa giả thuyết: vành R với R môđun hữu hạn sinh hữu hạn sinh với i Một năm sau Hartshorne đưa phản ví dụ cho giả thuyết Grothendieck Ơng định nghĩa mơđun I  cofinite đặt câu hỏi: “Với vành R iđêan I mơđun H Ii M  môđun I  cofinite với môđun hữu hạn sinh M ?” Vấn đề đặt tương tự cho cặp iđêan I , J , môđun H Luận văn trình bày làm ba chương Chương trình bày mà khơng chứng minh số kiến thức đại số giao hoán đối đồng điều địa phương báo [1] Trọng tâm luận văn nằm chương hai chương ba trình bày lại cách rõ ràng chi tiết kết báo khoa học Some results on local cohomology modules with respect to a pair of ideals [3] PGS TS Trần Tuấn Nam Nguyễn Minh Trí Trong chương hai giới thiệu môđun Lasker yếu môđun I , J   cofinite yếu, từ rút số kết quan trọng đặc biệt tập iđêan nguyên tố liên kết âm cho trước Chương ba giới thiệu phạm trù Serre, cung cấp cho ta nhìn khác mơđun phạm trù xét Cụ thể sau: Phần (2.1.1) (2.1.2), ta tìm hiểu định nghĩa tính chất mơđun Lasker yếu dựa kết hai tác giả K Divaani- Aazar A Mafi báo [4] Dựa vào định nghĩa môđun I , J   cofinite (2.1.3) mà A Tehranian A Pour Eshmanan Talemi đề cập đến báo [5], kết hợp với định nghĩa môđun I  cofinite yếu K Divaani- Aazar A Mafi báo [6], ta định nghĩa hoàn chỉnh số tính chất mơđun I , J   cofinite yếu (2.1.4) (2.1.5) Tiếp đến phần (2.1.6) (2.1.7), ta thu kết tính Lasker yếu môđun Ext Ri R I , M  với i  s , s số nguyên không âm cho trước I,M 0, R 0qs 35 Ta có dãy đồng cấu dãy phổ với p  0,0   s i  2, k E p  i , k  i 1 i Ta có E i E với l  Suy i Kerd p , k  p  E p , k  p  k2 với p  Khi ta có lọc  H  Ext k i , k i thỏa 0  E i Theo chứng minh ta có i , k i E2 Bằng k Ext R R i,k E2 quy nạp theo I,M Bổ đề 3.2.2 Cho có độ dài hữu hạn Chứng minh:Tham khảo [8, 2.11] Định lý 3.2.3 Cho M môđun hữu hạn sinh vành địa phương s số nguyên không âm Nếu H HomR R / m , H Is, J M  Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo s 36  Khi s  , M hữu hạn sinh, H M   có độ dài hữu hạn nên Hom M R hữu hạn sinh Vì M  Hom , R (do Bổ đề 3.2.2) Với s  , ta có H I , J M   H I , J M I , J M  thay M M I , J M , ta giả sử, I M I,J phần tử x  I cảm sinh dãy khớp H Is,J1 M  H Is,J1 Vì Hom is, theo HomR R m,  vào dãy khớp ngắn  Im f  H s 1 I ,J  M  Im g  ta có dãy khớp dài    Hom  HomR R m ,Im f   HomR R m , H Is,J1 M R R m ,Im g   Ext 1R R m , Im f   Vì Ext , HomR R m, Im g  Bây từ dãy khớp x  Im g  H I , J M H Is, J M  s 37 ta có dãy khớp  HomR R m , Im g  R m,H  Hom R  Dễ thấy Im Hom R R m Vì HomR R m , H  s I , J   M 0 s ,HI,J M M   HomR R m,Im g  Mệnh đề 3.2.4 Lớp R môđun hữu hạn sinh phạm trù Serre phạm trù R môđun Chứng minh: Thật từ dãy khớp 0M1M M M10 Nếu M môđun hữu hạn sinh M1 M sinh Mặt khác từ dãy khớp với M , M môđun hữu hạn sinh K nhờ M1 M hữu hạn sinh Như vậy, lớp R môđun hữu hạn sinh phạm trù Serre phạm trù R môđun Từ Mệnh đề 1.1.17, ta thấy , M môđun hữu hạn sinh vành địa phương R m với SuppR M  m M Artin Sau kết Định lý 3.2.3 Hệ 3.2.5 Cho M môđun hữu hạn sinh vành địa phương  s số nguyên không âm Nếu H i Mlà hữu hạn sinh với mọiI , J HomR R m , HIs, J M có độ dài hữu hạn R, m is, 38 Chứng minh: Theo Định lý 3.2.3 ta có Hom R  Supp R HomR R m , H  M  hữu hạn sinh Hơn nữa,    m Vì vậy, Hom M Artin có độ dài hữu hạn R  M  39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết liên quan đến môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan I , J , cụ thể sau: Trình bày lại định nghĩa mơđun Lasker yếu mơđun cofinite yếu nghiên cứu tính Lasker yếu cofinite yếu môđun   I,M môđun H Ext M   s số nguyên không âm, tập Ass HomR R / I ; H Với hạn M R môđun    ,J I cofinite yếu với i Lasker yếu H s  M   hữu môđun M môđun Lasker yếu Tập với M R   V mơđun Lasker yếu thỏa I,J a, với a iđêan vành R Bên cạnh ta M  Ext thuộc phạm trù Serre dựa vào tính chất mơđun H is R R m, H Hom H  M hữu hạn sinh Như vậy, tính Lasker yếu cofinite yếu mơđun Đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan mang lại cho ta số kết hay 40  hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết Ass HomR R / I ; H   Ngoài ra, đối đồng điều địa phương Ass R M H    M theo cặp M iđêan giữ vai trò quan trọng để ta nghiên cứu số tính chất theo quan điểm phạm trù Serre 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R Takahashi, Y Yoshino and T Yoshizawa, “Local cohomology based on a nonclosed support defined by a pair of ideals”, J Pure Appl Algebra, vol 213, no 4, pp 582–600, 2009 http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.09.008 [2] A Grothendieck, “Cohomologie local des faisceaux coherents et theorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA2)”, North-Holland, Amsterdam, vol 2, 1968 [3] T T Nam and N M Tri, “Some Results on Local Cohomology Modules with Respect to a Pair of Ideals”, Taiwanese J Math, vol 20, no 4, pp 743–753, 2016 doi:10.11650/tjm.20.2016.5805 https://projecteuclid.org/euclid.twjm/1498874488 [4] K Divaani-Aazar and A Mafi, “Associated primes of local cohomology modules”, Proc Amer Math Soc, vol 133, no.3, pp 655–660, 2005 https://doi.org/10.1090/S0002-9939-04-07728-7 [5] A Tehranian and A Pour Eshmanan Talemi, “Cofiniteness of local cohomology based on a non-closed support defined by a pair of ideals”, Bull Iranian Math Soc, vol 36, no 2, pp 145–155, 2010 [6] K Divaani-Aazar and A Mafi, “Associated primes of local cohomology modules of weakly Laskerian modules,” Commun Algebr., vol 34, no 2, pp 681–690, 2006 http://dx.doi.org/10.1080/00927870500387945 [7] J J Rotman, “An Introduction to Homological Algebra”, Second edition, Universitext,Springer, New York, 2009 http://dx.doi.org/10.1007/978-0-387-68324-9 [8] M Asgharzadeh and M Tousi, “A Unified Approach to Local Cohomology Modules Using Serre Classes”, Canad Math Bull, vol 53, 42 no 4, pp 577-586, 2010 http://dx.doi.org/10.4153/cmb-2010-064-0 [9] C Huneke, “Problems on local cohomology, Free Resolutions in commutative algebra and algebraic geometry, (Sundance, Utah, 1990),” Res Notes Math 2, Boston, MA, Jones Bartlett Publ, pp 93–108, 1994 ... THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Thảo MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN Chuyên : Đại số lí thuyết số ngành Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức 1.2 Hàm tử đối đồng điều địa phương theo iđêan I 1.3 Hàm tử đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan I , J  11 1.4 Bao nội... hốn I , J iđêan vành R Trong [1], nhà toán học Takahashi, Yoshino Yoshizawa giới thiệu khái niệm môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan môđun đối đồng điều địa phương theo iđêan I Grothendieck