Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương có đối chiều bé​

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Lê Đình Nghĩa IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CĨ ĐỐI CHIỀU BÉ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Lê Đình Nghĩa IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MƠ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CĨ ĐỐI CHIỀU BÉ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 Mục Lục Lời cảm ơn Phần mở đầu Bảng kí hiệu Chương 1: Kiến thức sở 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết .9 1.2 Độ cao iđêan 10 1.3 Chiều iđêan 10 1.4 Độ sâu mô đun .11 1.5 Vành Cohen – Macaulay 13 1.6 Vành phân bậc 13 1.7 Hàm tử xoắn .14 1.8 Mô đun đối đồng điều địa phương .16 1.9 Tính khơng xoắn mô đun đối đồng điều địa phương 18 Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mô đun đối đồng điều địa phương có đối chiều bé 20 2.1 Khái niệm ổn định tiệm cận 20 2.2 Sự ổn định tiệm cận iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mô đun đối đồng điều địa phương 21 2.3 Iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc có đối chiều 21 2.4 Iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mơ đun đối đồng điều nửa địa phương có số chiều .28 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 Lời cảm ơn Sau hai năm học tập nghiên cứu Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh hướng dẫn hỗ trợ tận tình PGS TS Trần Tuấn Nam luận văn tốt nghiệp tơi hồn thành Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, T.S Trần Huyên, PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải, quý thầy Khoa Toán – Tin Trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Cuối xin gởi lời cám ơn đến người thân, bạn bè tất người giúp đỡ hỗ trợ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Học viên Lê Đình Nghĩa Mở đầu Lý chọn đề tài Cho R = ⊕ Rn họ (R n )n ≥0 họ vành Noether, R+ = n≥0 ⊕ Rn iđêan R M R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh n >0 H iR+ (M) mô đun đối đồng điều địa phương thứ i M R+ trang bị tính phân bậc tự nhiên Với n ∈ ta có H iR+ (M)n thành phần ( phân bậc thứ n mô đun H iR+ (M) , tập hợp Ass R H iR+ (M)n ) tập hợp iđêan nguyên tố liên kết H iR+ (M n ) Trong trình nghiên cứu tìm hiểu mô đun đối đồng điều địa phương H iR+ (M) nhà toán học thu nhiều kết thú vị đặc biệt mơ đun H iR+ (M) tính chất thú vị tính ổn định tiệm cận tập hợp Ass R (H iR (M)n ) Đi đầu việc nghiên cứu ổn định tiệm cận Ass R (H iR (M)n ) nhà toán học M Brodmann, M Brodmann chứng minh + 0 + số kết quan trọng: (1) [2.2.1] “ Nếu R – mô đun H Rj+ (M) hữu hạn sinh với j < i, ta có ( ) ổn định tiệm cận thứ i Ass R H iR+ (M)n ” (2) [2.2.2] “ Nếu R0 vành (nửa địa phương) địa phương có dim(R0) ≤ ( có tập hợp Ass R H iR+ (M)n ) ổn định tiệm cận i”, Vấn đề đặt kết (2) mở rộng thêm giả thiết ( ổn định tiệm cận Ass R H iR+ (M)n ) thay đổi nào? Trong trường hợp R0 không địa phương có ổn định tiệm cận hay không cần bổ sung điều kiện để tính ổn định tiệm cận cịn? Trong trường hợp khơng có điều kiện địa phương cần điều ( kiện R0 Ass R H iR+ (M)n ) ổn định tiệm cận? Năm 2003 báo M Bordmann, S Fumasoli, C.S Lim trả lời cho câu hỏi cách xác Kết thể định lý sau Để mở rộng (2) trường hợp bỏ tính địa phương R 0, cần thêm số điều kiện nhỏ thể kết sau: (3) [2.3.3] Giả sử R0 mở rộng nguyên hữu hạn miền nguyên A0 cho q0 ∩ A = với iđêan tối tiểu q0 R0 Thì với i∈ (i) Τi = Τi (M) := { p∈Ass R (H iR+ (M)) | ht( p∩ R) ≤1}là hữu hạn i i (ii) Τ n = Τ n (M) := { (4) p0 ∈Ass R (H iR+ (M) n ) | ht( p0 ) ≤1} ổn định tiệm cận [2.3.6] Giả sử R0 chủ yếu hữu hạn trường Thì với i∈ (i) Τi = Τi (M) := { p∈Ass R (H iR+ (M)) | ht( p∩ R) ≤1} hữu hạn i i (ii) Τ n = Τ n (M) := { p0 ∈Ass R (H iR+ (M) n ) | ht( p0 ) ≤1} ổn định tiệm cận Trong trường hợp đặc biệt, dim(R ) ≤1 ta có kết quả: (5) [2.3.9] Giả sử dim(R ) ≤1 R0 vành đơn mở rộng miền nguyên loại chủ yếu hữu hạn trường Thì với i∈ (i) (ii) Ass R (H iR+ (M )) hữu hạn Ass R (H iR+ (M )n ) ổn định tiệm cận Ngồi cịn có hướng mở rộng (2) trường hợp dim (R )=2 giữ ngun tính địa phương R0, ta có kết yếu hơn: (6) H [2.4.7] Giả sử R0 vành nửa địa phương với dim (R0 ) = Với i∈ Thì i R+ (M) hóa Đặc biệt, thêm vài điều kiện nhỏ ta có kết quả: (7) [2.4.8] Giả sử R0 vành nửa địa phương với dimR ≤ Nếu R0 mở rộng nguyên hữu hạn miền nguyên loại chủ yếu hữu hạn ( ) trường Thì với i∈ tập hợp Ass R H iR+ (M)n ổn định tiệm cận Những vấn đề có vai quan trọng chuyên ngành đại số, đại số giao hoán đại số đồng điều, thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học Mục đích đề tài Mục đích luận văn hệ thống lại số kiến thức cần thiết đại số giao hốn, đại số đồng điều có liên quan đến vấn đề tìm hiểu nghiên cứu, sau trình bày lại chi tiết chứng minh cho kết (3), (4) Bên cạnh trình bày cách hệ thống bổ đề tính chất để đến kết (6), (7) Đối tượng phương pháp nghiên cứu Bài nghiên cứu trình bày vài khái niệm kiến thức hỗ trợ tập trung làm việc tập hợp iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mô đun đối đồng điều địa phương Ass (M)n R ( H iR + ) để thấy rõ tính chất ổn định tiệm cận tính chất khác Đặc biệt nghiên cứu dừng mức độ số chiều R thấp 0,1,2 thêm vào R0 điều kiện nhỏ cần thiết Luận văn chia làm hai chương: Chương trình bày lại kiến thức sở đại số giao hoán, đại số đồng điều nhằm phục vụ việc chứng minh kết chương sau Chương gồm hai phần, phần phần luận văn, phần trình bày bổ đề liên quan sau trình bày chi tiết chứng minh kết (3), (4) với hệ liên quan Phần trình bày bổ đề liên quan sau dẫn đến kết (6), (7) Bảng kí hiệu ={0,1,2 } - tập hợp số tự nhiên ={ ,-1,0,1,2 } - tập hợp số nguyên ⊕ Rn - tổng trực tiếp họ vành Rn n ≥0 R/p – vành thương R theo p Spec(R) - tập hợp iđêan nguyên tố R V(a) - tập hợp iđêan nguyên tố chứa a −1 S R - vành thương vành R theo tập nhân S Rp - vành địa phương p SuppR0 (M) = {p∈ Spec(R0 )| Mp ≠ 0} Var( m) = Supp (R m) Ann(M) - linh hóa tử M dim(R0 ) - số chiều vành R0 R [l1 ,l , ,l r ] - vành đa thức lấy hệ số R0 inf{i ∈ } - cận tập hợp sup{i ∈ } - cận tập hợp Hom (A,B) - tập hợp tất đồng cấu từ A đến B Chương 1: Kiến thức sở 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành Noether M R – mô đun Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M thỏa hai điều kiện tương đương sau: (i) Tồn phần tử x∈M cho Ann(x) = p (ii) M chứa mô đun đẳng cấu với R/ p Tập hợp iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR(M) Tính chất 1.1.2 Cho R vành, giả sử p phần tử tối đại {Ann(x) | x∈M, x ≠ 0} Thì p ∈AssR(M) Hệ 1.1.3 AssR(M) = ⇔ M = −1 −1 Hệ 1.1.4 Giả sử S tập nhân R Đặt R ' = S R , M ' = S M Thì Ass R (M ') = f (Ass R ' (M ')) = Ass R (M) ∩ {p | p∩ S = ∅} Trong f :Spec(R ') → Spec(R) đồng cấu Đặc biệt, Ass R p (M p )= {qR p | q ∈ Ass R (M),q ⊆ p} Định lý 1.1.5 Cho R vành Noether M R – mơ đun Thì AssR(M) ⊆ SuppR(M), với phần tử tối tiểu SuppR(M) nằm AssR(M) Hệ 1.1.6 Giả sử I iđêan vành R Thì iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu R- mô đun R/I iđêan nguyên tố tối tiểu I Ta có p∈Ass Trong trường hợp đặc biệt, ta có p ∈ Supp(Γq0R (M)) ⊆ Var(q0R)và q0 ⊆ p0 t −1 q0(j) ⊆ p0 Khi p0 phải iđêan nguyên tố tối tiểu Trường hợp j=1 t −1 iđêan q0(j) + p0 j=1 Điều khẳng định ta chọn hữu hạn p0 p = p0 + R+ t −1 Trường hợp q0(j) ⊄ p0 j=1 Nếu (0 :R0 M) ⊆ p0 p0 chứa iđêan nguyên tố tối tiểu τ0 (0 :R0 M) Khi τ ≠ q0(j) với j = 1, t −1 τ ≠ q0 điều dẫn đến τ0 không tối tiểu R0 Do τ0 = p0 Lặp lại q trình ta có hữu hạn p = p + R+ Nếu (0 :R0 M) ⊄ p0 M p0 = Suy H iR−+1 (M) p0 = H iR+ (M) p0 = ⇒ H iR−+1 (M) = H iR+ (M) = Khi δ i →H R + (Γq0R (M)) → H i R+ (M) → Suy H iR + (Γq0R (M)) ≅ H iR+ (M) Nhưng p∈ Ass R (H iR + (Γq0R (M))) p∈Τi (Γq0R (M )) hữu hạn Định lý 2.3.6 Giả sử R0 loại chủ yếu hữu hạn trường với i∈ ta có: (i) (ii) Τi (M) hữu hạn Tni (M) ổn định tiệm cận Chứng minh Ta cần chứng minh (i) đủ Tồn vành A0 R0 tập nhân S0 A0 cho A0 hữu hạn trường Và R0 = S0−1A0 Giả sử l ,l1 , l r ∈R1sao cho R = R [l ,l1 , l r ] ta đặt A = A [l ,l1 , l r −1 ] A vành Noether R cho R = S0 A s Giả sử m1 ,m2, ms ∈M phần tử cho M = ∑Rmj j=1 s ta đặt N = ∑Amj N A – mô đun hữu hạn sinh thỏa S0−1N = M j=1 Ta có H i R+ Nên Τi (M) = {S0−1q | q∈Τi (N)} ta cần chứng minh Τi (N) hữu hạn Giả sử q0(1) ,q0(2) , ,q0(t) iđêan nguyên tố tối tiểu khác R0 chứa (0 :R0 M),(t ∈ ) Nếu t = ta có height(0:R0 M) > height( p∩ R ) ≤1 (0:R0 M) ⊆ p∩ R0 với p∈Τi (M) Nếu t > đặt q0 = q0(t) M := M Γq0R (M) Thì AssR (M) = AssR (M) \ Var(q0R) Khi q0(1) ,q0(2) , ,q0(t −1) iđêan nguyên tố tối tiểu khác R0 chứa (0 :R0 M) Do Τi (M) hữu hạn Theo bổ đề 2.3.5 ta cần chứng minh Τi (Γq0R (M)) hữu hạn Do ta thay M Γq0R (M) Ta có tồn n ∈ N cho q0nM = Do M trở thành mô đun phân bậc R hữu hạn sinh q0nR Ta có H iR+ iđêan nguyên tố tối tiểu R0 Theo bổ đề Noether R0 mở rộng nguyên hữu hạn miền Noether A0 ta có q0 iđêan nguyên tố tối tiểu R q0 ∩ A = Theo tính chất Τi (M) hữu hạn Chú ý 2.3.7 Giả sử R0 có chiều hữu hạn d Với i∈ ta đặt Si = Si (M) = { p∈Ass R (H iR+ (M)) | dim( R0 p∩ R0 ) ≥ d −1} Hơn với n ∈ ta đặt Sin = Sin (M) = { p0 ∈Ass R (H iR+ (M)) | dim( R0 p0 ) ≥ d −1} Rõ ràng với kí hiệu Si ⊆ Τi Sn i (M) = { p0 ∈Τin | p0 + R+ ∈Si} với n nguyên Tính chất 2.3.8 Giả sử dim(R0) < ∞ R0 mở rộng nguyên hữu hạn miền nguyên A0 với i∈ ta có: (i) (ii) Si (M) hữu hạn Sin (M) ổn định tiệm cận Chứng minh Theo ý 2.3.7 bổ đề 2.3.2 ta cần chứng minh (i) đủ cách chứng minh giống tính chất 2.3.3 Bằng cách thay bất đẳng thức dim R Hệ 2.3.9 Giả sử dim(R ) ≤1 R0 vành nửa địa phương mở rộng miền nguyên loại chủ yếu hữu hạn trường với i∈ ta có: (i) (ii) Ass R (H iR+ (M )) hữu hạn Ass R (H iR+ (M )n ) ổn định tiệm cận Chứng minh Khi dim(R ) ≤1 Ass R (H iR+ (M)) = Si (M) = T i (M) Ass R (H iR+ (M) n ) = Sn i (M) = Tni (M) Nếu R0 vành địa phương ta sử dụng định lý 2.2.3 kết hợp bổ đề 2.3.2 Nếu R0 mở rộng hữu hạn miền nguyên ta sử dụng tính chất 2.3.8 Nếu R0 loại chủ yếu hữu hạn trường ta sử dụng định lý 2.3.6 Trong phần tìm hiểu hướng mở rộng số chiều R0 trường hợp dim R ≤ giữ nguyên tính địa phương R0 Tuy nhiên tìm hiểu số kết yếu hướng mở rộng trường hợp đặc biệt 2.4 Iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mô đun đối đồng điều nửa địa phương có số chiều Bổ đề 2.4.1 Cho (R0 ,m0 )là vành địa phương với số chiều nhỏ Giả sử x ∈m i∈ ta có R – mô đun phân bậc Γm R phần tử HR + artin Chứng minh Giả sử M = M / Γm0R (M) M Xét dãy khớp ngắn → M x → M → M / x0 M → 0 Lấy đối đồng điều dãy khớp ta → H Ri+ (M ) x → H Ri (M ) → H Ri (M / x0 M ) → + + Tác động hàm tử Γ m0R (−) ta dãy khớp ( i ) i → Γ m R H R + ( M ) / x0 H R + ( M ) ( ) →Γm0R H Ri+ (M / x0 M ) Mặt khác ta có Hi (M R Vì ( R / x0 R0 ) ≅ R0 / x0 R0 dim + R0 ( ) Nên theo định lý 1.8.9 ta có Γm0R H Ri+ (M / x0 M ) R – mô đun Artin ( i ) i Do Γm0R H R + ( M ) / x0 H R + ( M ) mơ đun Artin Theo tính chất 1.8.8 j ta lại có HR + ( Γm0R (M )) mô đun Artin với j∈ Chúng ta có hai dãy khớp R – mơ đun phân bậc 0→A→Hi (M)→U→0 R+ Trong A B mơ đun Artin Do ta xây dựng hai dãy khớp R – mô đun phân bậc → A → H i (M ) / x H i (M ) →U / x U , R+ 0R+ Trong A ảnh đồng cấu A, B ảnh đồng cấu R – mô đun Artin T or1R (B , R / x0 R) Do A, B mơ đun Artin Tác động hàm tử Γ m0R (−) vào hai dãy khớp ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2.4.2 Cho (R0 , m0 )là vành địa phương với số chiều d > Giả sử phần tử tùy ý R0 i∈ Nếu với số nguyên n mà x ∈m i H dim R+ R0 Thì tồn p ∈Spec(R n vô nhỏ Chứng minh Theo giả thiết tồn q nguyên tố tối tiểu x0R0 cho dim( R q ) = d −1 q∈Supp H iR+ (M) n = 0, Ta có Hi( Rq)+ (Mq)n ≅ ( Hi R+ (M)n )q ≠ với n < Do (Rq )0 = (R0 )q vành địa phương có số chiều bé Nên tồn s ∈Spec ((R q)0 ) cho s∈Ass ( R q )0 (H i( Rq)+ (Mq) n ) với n đủ nhỏ Đặt p0 = s ∩ R0 Thì p0 thỏa tốn Bổ đề 2.4.3 Cho (R0 ,m0 ) vành địa phương với dim R ≤ Giả sử i∈ H iR+ (M )n = với n < H iR+ (M )n = với n đủ nhỏ Chứng minh Ta có H iR+ (M )n = ⇔ Ass R (H iR+ (M )n ) = ∅ Khi dim(R ) ≤1 theo hệ 2.3.9 khẳng định Khi dim(R ) = Chọn x0 ∈m0 cho x0 không thuộc iđêan nguyên tố tối tiểu R0 không thuộc phần tử tập Ass R (M) \ Var( m0R) Thì dim( R0 x0R0 ) =1 x0 M Γm0R (M) - quy Theo 2.4.1 Γ i Giả sử H R+ với n < Nếu dim H R+ R Theo 2.4.2 H iR+ (M )n ≠ với n đủ nhỏ (Mâu thuẫn) Do dim Suy Γ m0R H Vì Γm R Nên Γ m HR + i ( ) Suy H R+ M n ≠ với n đủ nhỏ ( Mâu thuẫn) R+ Bổ đề 2.4.4 Cho (R0 , m0 ) vành địa phương Giả sử i∈ m0 ∈Ass R (H iR+ (M)n ) Giả sử x ∈m 0 phần tử i H iR+ (M)n ,n∈ Γm0 (H i iR+ (M) n i )-chính quy Thì Γ m0R (H R+ (M)) n = Γ m0 (H R+ (M) n ) ⊄ x 0H R+ (M)n Chứng minh Đặt H = H iR+ (M)n Thì m0 ∈AssR0 (H) có nghĩa Γ m0 (H) ≠ Ta có x0 phần tử H Γm0 (H) - quy Ta có Γ m0 (H) = Γx R0 (H) Γ (H) ∩ x H = Γ m0 m0 R (H) ∩ x H = x Γ 0 m0 R0 (H) = x Γ (H) m0 Theo Nakayama Γ m0 (H) ⊂ x 0Γm0 (H)và Γ m0 (H) ⊄ x 0H Bổ đề 2.4.5 Cho (R0 , m0 )là vành địa phương với số chiều nhỏ Giả sử i i∈ S (M) hữu hạn với m Thì m ∈Ass Khi dim(R ) ≤1 theo hệ 2.3.9 ta có điều cần chứng minh Khi dim(R ) = Si (M) hữu hạn i Đặt S = Sn (M) = n∈Z Chọn x0 ∈m0 cho x0 không thuộc phần tử S, không thuộc iđêan nguyên tố tối tiểu R0 không thuộc phần tử tập Ass R quy Hơn x0 Theo bổ đề 2.4.1 Đặt = U (M) H i R+ x 0H iR+ (M) U mô đun Γ Theo bổ đề 2.4.4 ta có Γ m Do thành phần phân bậc thứ n U không bị triệt tiêu với n < Do U Atin nên Un ≠ với n đủ nhỏ Điều có nghĩa Γ m0R (H i R+ (M)) n = Γ m0 (H i R+ (M) n ) ≠ với n đủ nhỏ Định lý 2.4.6 Giả sử R0 vành nửa địa phương với dim (R0 ) ≤ Với i∈ Thì H iR+ (M) hóa (i) ( (ii) Nếu Si (M) hữu hạn Ass R H iR+ (M)n Giả sử m (1) , m (2) i Ta có H R ) ổn định tiệm cận ( Γ m R HiR+ (M Do ta làm việc vành địa phương đủ (i) Dễ dàng dựa vào bổ đề 2.4.3 (ii) Đặt Κ in (M) = { m0} ∩ Ass R (H iR+ (M) n ) Khi Ass R (H iR+ (M) n ) = Si (M) ∪ Κin (M) với n nguyên dương Ta có Si (M) hữu hạn nên Sin (M) ổn định tiệm cận Theo bổ đề 2.4.5 Κin (M) ổn định tiệm cận Hệ 2.4.7 Giả sử R0 vành nửa địa phương với dim R0 ≤ Nếu R0 mở rộng nguyên hữu hạn miền nguyên chủ yếu hữu hạn ( trường Thì với i∈ tập hợp Ass R H iR+ (M)n ) ổn định tiệm cận KẾT LUẬN Tóm lại, tồn luận văn chúng tơi trình bày hệ thống lại nội dung báo: “Low – codimensional associated primes of graded components of local cohomology modules” M.Brodmann, S Fumasoli C.S.Lim Kết luận văn gồm phần sau: Hệ thống lại kiến thức sở iđêan nguyên tố liên kết, chiều độ sâu iđêan, mô đun phân bậc, mô đun đối đồng điều địa phương Chứng minh lại kết báo ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mô đun đối đồng điều địa phương trường hợp mở rộng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.K Singh, p-torsion elements in local cohomology modules, in: Math Res Lett., vol 7, 2000, pp 165– 176 [2] A.K Singh, I Swanson, Associated primes of local cohomology modules and Frobenius powers, Internat Math Res Notices, in press [3] C.S Lim, Graded local cohomology modules and their associated primes: the Cohen–Macaulay case, preprint [4] C.S Lim, Graded local cohomology modules and their associated primes, Comm Algebra, in press [5] C.S Lim, Graded local cohomology and its associated primes, PhD Thesis, Michigan State University, 2002 [6] D Eisenbud, Commutative Algebra with a View Towards Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York, 1996 [7] M Brodmann, S Fumasoli, C S Lim, Low – codimensional associated primes of graded components of local cohomology modules, Proc Journal of Algebra 275 (2004) 867–882 [8] M Brodmann, S Fumasoli, R Tajarod, Local cohomology over homogeneous rings with one-dimensional local base ring, Proc Amer Math Soc 131 (2003) 2977–2985 [9] M Brodmann, M Hellus, Cohomological patterns of coherent sheaves over projective schemes, J Pure Appl Algebra 172 (2002) 165–182 [10] M Brodmann, M Katzman, R.Y Sharp, Associated primes of graded components of local cohomology modules, Trans Amer Math Soc 354 (11) (2002) 4261–4283 [11] M Brodmann, R.Y Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, in: Cambridge Stud Adv Math., vol 60, Cambridge Univ Press, 1998 [12] M Brodmann and A.L Faghani, A finiteness result for associated primes of local cohomology modules, Proc Amer Math Soc., (10) 128(2000), 2851 2853 [13] M Brodmann, The asymptotic nature of the analytic spread, Math Proc Camb Phil Soc., 86 (1979), 35 - 39 [14] M Katzman, An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J Algebra 252 (2002) 161–166 [15] M Katzman, R.Y Sharp, Some properties of top graded local cohomology modules, J Algebra 259 (2003) 599–612 [16] T Marley, The associated primes of local cohomology modules of small dimension, Manuscripta Math 104 (2001) 519–525 ... iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mô đun đối đồng điều địa phương 21 2.3 Iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc có đối chiều 21 2.4 Iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân. .. đối đồng điều địa phương .16 1.9 Tính khơng xoắn mơ đun đối đồng điều địa phương 18 Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mô đun đối đồng điều địa phương có đối chiều bé... số kết có tính ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết mô đun đối đồng điều địa phương mà nhà toán học nghiên cứu 2.2 Sự ổn định tiệm cận iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mô đun