TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SINH VIÊN NĂM HỌC: 2017 - 2018 TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC Sinh viên thực hiện: DƯƠNG LAN PHƯƠNG Người hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN HOÀNG Thái Nguyên, tháng năm 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SINH VIÊN NĂM HỌC: 2017 - 2018 TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC Xác nhận Sinh viên thực người hướng dẫn Thái Nguyên, tháng năm 2018 Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức sở 1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan tối đại 1.2 Vành Noether 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết 1.4 Phân tích nguyên sơ 1.5 Vành môđun phân bậc 2 iđêan nguyên sơ Iđêan nguyên tố liên kết môđun phân bậc 12 2.1 Iđêan nguyên tố liên kết môđun phân bậc 12 2.2 Phân tích ngun sơ mơđun phân bậc 16 Kết luận 20 Tài liệu tham khảo 21 Mở đầu Trong vài thập niên gần đây, lý thuyết vành mơđun có bước phát triển rực rỡ Đã có hướng phát triển lý thuyết vành môđun mang lại ứng dụng khác Nhìn nhận vành mơđun dạng tổng trực tiếp nhóm mở cho ta hướng nghiên cứu thú vị dẫn đến lý thuyết vành mơđun phân bậc Do đó, với mong muốn tìm hiểu thêm hiểu sâu định nghĩa, cách chứng minh định lý tính chất liên quan đến lý thuyết vành môđun phân bậc, cụ thể tập iđêan nguyên tố liên kết, phân tích ngun sơ mơđun phân bậc, tơi lựa chọn thực đề tài "Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun phân bậc" Dựa kiến thức iđêan, iđêan nguyên tố liên kết, phân tích nguyên sơ, kiến thức vành môđun, mong muốn giới thiệu cho người đọc biết phân tích ngun sơ mơđun phân bậc, iđêan nguyên tố liên kết môđun phân bậc Nội dung đề tài chia thành chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương tơi trình bày kiến thức sở định nghĩa tính chất iđêan nguyên tố, iđêan tối đại, iđêan nguyên sơ, vành noether Đặt biệt chương iđêan nguyên tố liên kết, phân tích nguyên sơ, vành phân bậc môđun phân bậc Đây công cụ mạnh hỗ trợ cho nghiên cứu trình bày chương Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết môđun phân bậc Chương nghiên cứu phân tích nguyên sơ iđêan nguyên tố liên kết môđun phân bậc bao gồm: định nghĩa iđêan phân bậc với ví dụ liên quan; từ đưa định lí iđêan ngun tố liên kết môđun phân bậc Các bổ đề định lí mơđun phân bậc, mơđun ngun sơ; từ đến định lí phân tích ngun sơ mơđun phân bậc Các kết chương là: Định lí 2.1.3 định lí 2.2.5 Chương Kiến thức sở 1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan tối đại iđêan nguyên sơ Định nghĩa 1.1.1 Cho p iđêan vành giao hoán A có đơn vị Khi i) p gọi iđêan nguyên tố thỏa mãn p = A x, y ∈ A cho xy ∈ p x ∈ p y ∈ p ii) p gọi iđêan tối đại thỏa mãn p = A không tồn iđêan q cho p q A (hay iđêan A chứa p A p) Tập iđêan nguyên tố A kí hiệu Spec(A) Tập iđêan tối đại A kí hiệu M ax(A) Ví dụ 1.1.2 (i) Trong vành số nguyên Z, iđêan nZ nguyên tố n số nguyên tố Thật vậy, n = rs(1 < r, s < n) ta có rs ∈ nZ r ∈ / nZ s ∈ / nZ, theo định nghĩa nZ khơng phải iđêan nguyên tố Ngược lại, n = p số nguyên tố giả sử ab ∈ nZ Suy ab chia hết cho p, p số nguyên tố nên a chia hết cho p, b chia hết cho p Điều tương đương với a ∈ pZ b ∈ pZ Vậy pZ iđêan nguyên tố (ii) Iđêan {0} iđêan nguyên tố vành Z (iii) Vành Z6 có hai iđêan tối đại, 2Z6 = {¯ 0, ¯2, ¯4} 3Z6 = {¯0, ¯3} Định nghĩa 1.1.3 Giả sử I, J iđêan vành R (i) Giao I J iđêan R, kí hiệu I ∩ J , xác định I ∩ J = {x ∈ R | x ∈ I, x ∈ J} (ii) Tổng I J, kí hiệu I + J , iđêan R sinh I ∪ J Từ I + J = {x + y | x ∈ I, y ∈ J} (iii) Tích I J, kí hiệu IJ iđêan R sinh tập n {xy | x ∈ I, y ∈ J} Tức IJ = { xi yi | n ∈ N, xi ∈ I, yi ∈ J} Đặc biệt i=1 xJ = {xa | a ∈ J} x ∈ R Định nghĩa 1.1.4 Cho I J hai iđêan R Khi ta gọi iđêan thương I J tập hợp tất phần tử x ∈ R cho xJ ⊆ I, kí hiệu (I : J) Như (I : J) = {x ∈ R | xJ ⊆ I} Ta có (I : J) iđêan R Khi I = ta có (0 : J) = {x ∈ R | xJ = 0} gọi linh hóa tử J, kí hiệu AnnR J Nếu J = (x) ta viết AnnR (x) thay AnnR ((x)) Mệnh đề 1.1.5 Trong vành giao hoán A iđêan tối đại iđêan nguyên tố Chứng minh Giả sử A vành giao hoán p iđêan tối đại A Ta chứng minh p iđêan nguyên tố Thật vậy, p iđêan tối đại A nên p = A Giả sử có x, y ∈ A cho xy ∈ p x ∈ / p, (x) p Suy (x) + p = A Vì ∈ A nên ∈ (x) + p Vì tồn phần tử a ∈ A, b ∈ p cho = ax + b , suy y = 1y = (ax + b)y = axy + by ∈ p Vậy p iđêan nguyên tố Định nghĩa 1.1.6 Cho A vành giao hốn có đơn vị, p iđêan vành A Iđêan p gọi iđêan nguyên sơ p = A có x, y ∈ A mà xy ∈ p x ∈ / p ∃n ∈ N cho y n ∈ p Ví dụ, vành số nguyên Z, iđêan mZ nguyên sơ m = pk (trong p số nguyên tố m ∈ N∗ ) m = Định lý 1.1.7 Cho A vành giao hốn có đơn vị, p iđêan vành A Khi (i) p iđêan nguyên tố A vành thương A/p miền nguyên (ii) p iđêan tối đại A vành thương A/p trường Từ định lý 1.1.5, suy p iđêan tối đại p iđêan nguyên tố; p iđêan nguyên tố p iđêan nguyên sơ 4 1.2 Vành Noether Định nghĩa 1.2.1 Vành R gọi vành Noether dãy tăng iđêan dừng Tức I0 ⊆ I1 ⊆ ⊆ In ⊆ dãy tăng iđêan R tồn n0 ∈ N cho In = In0 Bổ đề 1.2.2 (Bổ đề Zorn) Cho X tập khác ∅ thứ tự ≤ Nếu tập khác ∅ X thứ tự tồn phần ≤ có cận X X chứa phần tử tối đại Mệnh đề 1.2.3 Cho R vành Khi mệnh đề sau tương đương (i) R vành Noether; (ii) Mọi tập khác rỗng iđêan R có phần tử tối đại; (iii) Trong R iđêan hữu hạn sinh Chứng minh (i ⇒ ii) Gọi Σ tập khác rỗng iđêan R Giả sử (αi )i ∈ I dãy tăng iđêan R thuộc Σ, tức I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ In ⊆ Do R vành Noether nên dãy dừng Tức tồn n ∈ N cho In = In+1 = Điều chứng tỏ In phần tử chặn dãy(αi )i ∈ I thứ tự tuyến tính (αi )i ∈ I Khi áp dụng bổ đề Zorn Σ tồn phần tử cực đại (ii⇒ iii) Gọi I iđêan R Chọn x1 ∈ I (x1 ) = I I hữu hạn sinh, (x1 ) = I đặt I1 = (x1 ), chọn x2 ∈ I \I1 Nếu (x1 , x2 ) = I I hữu hạn sinh Ngược lại đặt I2 = (x1 , x2 ) chọn x3 ∈ I \ I2 Cứ tiếp tục trình Ta khẳng định trình phải dừng Vì giả sử ngược lại ta có dãy khơng dừng Tức I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ Ii = Ij với i = j Đặt Σ = I1 , I2 , , In , tập vơ hạn theo (ii) tồn phần tử đại J ∈ Σ Vì J ∈ Σ nên tồn n số tự nhiên để J = Jn Vì Im ⊂ In Im = In với m > n Vì J cực đại nên Im ⊂ J Điều mâu thuẫn Vậy R iđêan hữu hạn sinh (iii⇒ i) Giả sử I0 ⊆ I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ In ⊆ In+1 dãy tăng tùy ý ∞ iđêan R Đặt J = In Ta có J iđêan R Theo (iii) J hữu n=0 hạn sinh Giả sử J = (x1 , x2 , , xn )R Khi với x1 , x2 , , xt ∈ In0 Suy J ⊆ In0 ⊆ J Điều chứng tỏ tồn n số tự nhiên cho In = In+1 = Vậy R vành Noether 5 Mệnh đề 1.2.4 Cho R, R hai vành, f : R −→ R toàn cấu vành Khi R vành Noether R vành Noether Hơn I iđêan vành R R vành Noether R/I vành Noether Chứng minh Lấy dãy tăng iđêan R/I có dạng I1 /I ⊆ I2 /I ⊆ ⊆ In /I ⊆ Trong I1 /I ⊆ I2 /I ⊆ ⊆ In /I ⊆ dãy iđêan R Vì R Noether nên ∃k ∈ N cho Ik = Ik+i , ∀i ∈ N Do Ik /I = Ik+i , ∀i ∈ N Vì R/I Noether Từ mệnh đề ta thấy vành thương vành Noether vành Noether Tuy nhiên vành vành Noether lại chưa vành Noether Chẳng hạn vành chuỗi lũy thừa hình thức vơ hạn biến Z[[X1 , , Xn , ]] vành Noether vành Z[X1 , X2 , , Xn , ] lại vành Noether 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết Ta đặt A kí hiệu vành M A-môđun Định nghĩa 1.3.1 Một iđêan nguyên tố p A gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn x ∈ M , x = cho p = (0 : x), (0 : x) = {a ∈ A | ax = 0} = Ann(x) Tập iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssA (M ) hay đơn giản ta kí hiệu Ass(M ) Các phần tử tối tiểu Ass(M ) gọi nguyên tố tối tiểu M phần tử lại gọi nguyên tố nhúng M Bổ đề 1.3.2 Phần tử tối đại tập {(0 : y) | y ∈ M, y = 0} iđêan nguyên tố Chứng minh Giả sử (0 : x) phần tử tối đại {(0 : y) : y ∈ M, y = 0} Khi (0 : x) = A x = Hơn nữa, a, b ∈ A cho ab ∈ (0 : x) a ∈ / (0 : x) ax = b ∈ (0 : ax) Chú ý (0 : ax) ⊇ (0 : x) Vì (0 : x) tối đại nên (0 : ax) = (0 : x) Do b ∈ (0 : x) Vậy (0 : x) iđêan nguyên tố 6 Định nghĩa 1.3.3 Một phần tử a ∈ A gọi ước không M (0 : a)M = 0, hay nói cách khác có có phần tử x ∈ M mà x = cho ax = Tập tất ước không M kí hiệu Z(M ) Bổ đề 1.3.4 Cho mơđun N M, ta có Ass (N ) ⊆ Ass (M ) ⊆ Ass (N ) ∪ Ass (M/N ) Hay tổng quát hơn, = M0 ⊆ M1 ⊆ ⊆ Mn = M chuỗi môđun M Ass(M ) ⊆ ni=1 Ass(Mi /Mi−1 ) Chứng minh Bao hàm Ass(N ) ⊆ Ass(M ) hiển nhiên Gọi x ∈ M cho (0 : x) ∈ Ass(M ) Nếu (0 : x) ∈ / Ass(N ) ta (0 : x) = (0 : x¯) ∈ Ass(M/N ), x¯ kí hiệu ảnh x M/N Để thấy rõ điều này, ý (0 : x) ⊆ (0 : x ¯) a ∈ A cho a¯ x = = ax ax ∈ N a ∈ / (0 : x), (0 : x) nguyên tố nên có b ∈ (0 : ax) ⇔ ba ∈ (0 : x) ⇔ b ∈ (0 : x) Do (0 : x) = (0 : ax) ∈ Ass(N ), điều mâu thuẫn Vậy Ass(M ) ⊆ Ass(N ) ∪ Ass(M/N ) Khẳng định cuối quy nạp theo n Hệ 1.3.5 Cho M1 , M2 , , Mh A-môđun cho M = Khi Ass(M ) = ∪hi=1 Ass(Mi ) h i=1 Mi Chứng minh Sử dụng chứng minh quy nạp theo h, lưu ý trường hợp h = kết khẳng định bổ đề 1.3.4 Định nghĩa 1.3.6 Ta nói tập S vành giao hốn R tập nhân đóng (i) ∈ S ; (ii) Với s1 , s2 ∈ S s1 s2 ∈ S Định nghĩa 1.3.7 Cho S tập nhân đóng vành A Khi đó, địa phương hóa A với tương ứng tới S , kí hiệu S −1 A AS , vành a S −1 A = | a ∈ A, s ∈ S s xác định a a = ⇔ ∃s ∈ S : s (s a − sa ) = s s phép cộng, phép trừ xác định dạng thông thường phân số Bổ đề 1.3.8 Giả sử A vành Noether S tập nhân đóng A Khi AssS −1 A (S −1 M ) = S −1 p : p ∈ Ass(M ), p ∩ S = ∅ Chứng minh Nếu p ∈ Ass(M ) S ∩ p = ∅ ta có phép nhúng A/p → M Khi đó, kéo theo phép nhúng S −1 A/S −1 p → S −1 M S −1 p ∈ Spec(S −1 A) S ∩ p = ∅ Vì thế, S −1 p ∈ AssS −1 A (S −1 M ) Ngược lại, p ∈ Asss−1 A (S −1 M ) p = S −1 p với p ∈ Spec(A) với p ∩ S = ∅ p = (0 : xs ) với x ∈ M Ta viết p = (a1 , a2 , , an ) a1i xs = S −1 M với ≤ i ≤ n Do ∃t ∈ S cho tai x = với ≤ i ≤ n Suy p ⊆ (0 : tx) Hơn nữa, a ∈ (0 : tx) a x −1 ∈ (0 : s ) = S p Do tồn s ∈ S để s a ∈ p a ∈ p Như p = (0 : tx) ∈ Ass(M ) Chú ý, theo kết kéo theo p ∈ Ass(M ) pAp ∈ AssAp (Mp ) Do Mp = Định nghĩa 1.3.9 Tập {p ∈ Spec(A) : Mp = 0} gọi giá trị M kí hiệu Supp(M ) Bổ đề 1.3.10 Tập Supp(M ) ⊆ {p ∈ Spec(A) : p ⊇ Ann(M )} Hơn nữa, M hữu hạn sinh Supp(M ) = {p ∈ Spec(A) : p ⊇ Ann(M )} Chứng minh Nếu p ∈ SpecA Mp = ta có x ∈ M cho x1 = Mp Thế a ∈ Ann(M ) ⇒ ax = ⇒ a ∈ p Do đó, p ⊇ Ann(M ) Giả sử M hữu hạn sinh p ∈ SpecA chứa Ann(M ) Ta viết M = Ax1 + + Axn Nếu Mp = ta tìm a ∈ A \ p cho axi = với ≤ i ≤ n Do aM = hay nói cách khác a ∈ Ann(M ), điều mâu thuẫn Định lý 1.3.11 Giả sử A vành Noether M hữu hạn sinh Khi tồn chuỗi = M0 ⊆ M1 ⊆ ⊆ Mn = M môđun M cho Mi /Mi−1 (A/pi ), với số pi ∈ Spec(A) (1 ≤ i ≤ n) Ngoài ra, cho chuỗi vậy, ta có Ass(M ) ⊆ {p1 , , pn } ⊆ Supp(M ) Hơn thế, phần tử tối tiểu ba trùng Chứng minh Trường hợp M = tầm thường Nếu M = tồn p1 ∈ Spec(A) cho A/p1 đẳng cấu với môđun M1 M Nếu M1 = M , ta áp dụng lập luận cho M/M1 để tìm p2 ∈ Spec(A) mơđun M2 M cho M2 ⊇ M1 A/p2 M2 /M1 Vì M Noether nên M khơng có dãy tăng nghiêm ngặt vô hạn môđun con, q trình phải chấm dứt Điều cho ta khẳng định Ngoài ra, Ass(Mi /Mi−1 ) = Ass(A/pi ) = {pi } nên, ta thấy Ass(M ) ⊆ {p1 , , pn } Thêm nữa, ta có (Mi /Mi−1 )pi (Api /pi ), Api = Vì thế, (Mi )pi = Do {p1 , , pn } ⊆ Supp(M ) Cuối cùng, p ∈ Supp(M ) Mp = ∅ nên AssAp (Mp ) = Từ 1.3.8 tồn q ∈ Ass(M ) với q ∩ (A \ p) = ∅ tức q ⊆ p Điều kéo đến khẳng định cuối 1.4 Phân tích nguyên sơ Ta tiếp tục đặt A kí hiệu vành M A-môđun Định nghĩa 1.4.1 Cho Q môđun M Ta nói Q nguyên sơ Q = M với a ∈ A, x ∈ M ax ∈ Q x ∈ / Q ta suy am M ⊆ Q với số m ≥ Ta nói Q bất khả quy Q = M với mơđun N1 N2 M , Q = N1 ∩ N2 , suy Q = N1 Q = N2 Rõ ràng môđun Q M nguyên sơ với ước của M/Q lũy linh cho M/Q (tức phần tử a ∈ M gọi lũy linh M am M = với số n ≥ 1; nói cách khác, a lũy linh M a ∈ Ann(M )) Nếu Q môđun nguyên sơ M p = Ann(M/Q) ta nói Q p-ngun sơ Ví dụ 1.4.2 Cho mơđun Q M , ta thấy: (i) Nếu A vành Noether M hữu hạn sinh Q nguyên sơ ⇔ Ass(M/Q) có phần tử (ii) Nếu A vành Noether M hữu hạn sinh Q p-nguyên sơ ⇔ Ass(M/Q) = p Bổ đề 1.4.3 Giả sử A vành Noether, M hữu hạn sinh Q1 , Q2 , , Qr p-ngun sơ mơđun M r số nguyên dương Khi Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qr p-nguyên sơ 9 Chứng minh Rõ ràng Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qr = M Hơn có đồng cấu tự nhiên M/(Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qr ) → M/Q1 M/Q2 M/Qr Do ta có r ∅ = Ass(M/(Q1 ∩Q2 ∩ ∩Qr )) ⊆ Ass( r Ass(M/Qi ) = {p} (M/Qi ) = i=1 i=1 Khi suy Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qr p-nguyên sơ Bổ đề 1.4.4 Giả sử A vành Noether, M hữu hạn sinh, Q mơđun p-ngun sơ M Khi đó, ảnh ngược Qp ánh xạ tự nhiên M → Mp (cho x → x1 ) Q Chứng minh Giả sử x ∈ M thỏa mãn x1 ∈ Qp Khi tx ∈ Q với số t ∈ A \ p Nếu x ∈ / Q x¯, ảnh x M/Q khác khơng t ∈ Z(M/Q) = p , điều mâu thuẫn Chú ý: Cho p ∈ Spec(A) môđun Q Mp , ảnh ngược Q ánh xạ tự nhiên M → Mp thường kí hiệu Q ∩M Khi từ bồ đề phát biểu Q p-môđun nguyên sơ M Qp ∩ M = Q Định lý 1.4.5 Giả sử A vành Noether, M hữu hạn sinh N mơđun M Khi ta có (i) Tồn mơđun nguyên sơ Q1 , Q2 , , Qh M cho N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qh (ii) Từ i) trên, Q1 ∩Q2 ∩ ∩Qh chọn cho Qi j=i Qj với ≤ i ≤ h p1 , , ph phân biệt, pi = Ann(M/Qi ) (iii) Nếu Qi p cho ii), p1 , , ph (cụ thể {p1 , , ph } = Ass(M/N )) Hơn nữa, pi tối tiểu {p1 , , ph } mơđun nguyên sơ tương ứng Qi xác định (cụ thể Qi = Npi ∩ M ) Định nghĩa 1.4.6 Một phân tích N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qh (i) trên, gọi phân tích nguyên sơ N Nếu Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qh thỏa mãn điều kiện (ii) gọi phân tích nguyên sơ thu gọn N 1.5 Vành môđun phân bậc Ta xét G vị nhóm cộng (chẳng hạn G = Z, G = N) 10 Định nghĩa 1.5.1 Cho R vành giao hốn có đơn vị Ta nói R vành phân bậc R phân tích dạng R = d∈G Rd (như nhóm abel cộng) thỏa mãn tính chất Ri Rj ⊆ Ri+j với i, j ∈ G Phần tử x ∈ Rd gọi phần tử bậc d R Định nghĩa 1.5.2 Cho R = d∈G Rd vành phân bậc Một R-môđun M gọi R-môđun phân bậc (hoặc M môđun phân bậc vành phân bậc R) M phân tích thành M = d∈G Md (như nhóm abel cộng) thỏa mãn tính chất Ri Mj ⊆ Mi+j với i, j ∈ G Cho d ∈ G M = i∈G Mi R-môđun phân bậc Ta xét tập hợp M (d) mặt tập hợp M (d) M bậc xác định M (d)i = Mi+d với i ∈ G Khi M (d) R-mơđun phân bậc, gọi M dịch chuyển d Nếu M môđun phân bậc R với G = Z tập bậc nó, đó: i) Phần tử x ∈ M gọi phần tử tồn d ∈ Z để x ∈ Md Trong trường hợp x ∈ Md , ta nói x phần tử bậc d, kí hiệu deg(x) = d ii) Quy ước phần tử phần tử bất kỳ, ∈ Md với d iii) Từ định nghĩa ta suy phần tử x ∈ M biểu diễn cách dạng x = d∈Z xd xd bậc d có hữu hạn xd khác Trong biểu diễn x = d∈Z xd , xd gọi thành phần bậc d phần tử x Định nghĩa 1.5.3 Giả sử M = n∈G Mn R-môđun phân bậc N R-môđun M Ta nói N R-mơđun phân bậc M N = i∈G N ∩ Mi Mệnh đề 1.5.4 Cho N môđun môđun phân bậc M vành phân bậc R Khi N môđun phân bậc với x ∈ N ta có phần tử x thuộc N Chứng minh (⇒) Giả sử N môđun M , N = i∈G (N ∩ Mi ) (*) Lấy tùy ý x ∈ N , (*), nên x = i∈G xi xi ∈ N ∩ Mi với i ∈ G có hữu hạn xi = Khi rõ ràng thành phần xi thuộc N 11 (⇐) Giả sử với x ∈ N có tính chất thành phần x thuộc N Ta chứng minh N nhất, tức N = j∈G (N ∩ Mj ) Thật vậy, ta có j∈G (N ∩ Mj ) ⊆ N Ngược lại, lấy x ∈ N x ∈ M suy x = i∈G xi với xi ∈ Mi với i ∈ G có hữu hạn xi = Theo thành phần xj ∈ N , xj ∈ N ∩ Mj với j ∈ G Vậy x ∈ j∈G (N ∩ Mj ) hay N = j∈G (N ∩ Mj ) Ví dụ 1.5.5 Ở xét tập bậc G = N Khi Một vành R vành phân bậc với phân bậc tầm thường R = n∈N Rn R0 = R Rn = với n > Một R-môđun M R-môđun phân bậc với phân bậc tầm thường M= ∞ n=0 Mn (xét R vành phân bậc tầm thường), M0 = M Mn = với n > Xét vành đa thức R = K[x1 , x2 , , xn ] với K trường Khi R có phân bậc R = n∈N Rn với R0 = K Rn tập đa thức bậc n R Định nghĩa 1.5.6 Cho R = ⊕i∈G Ri vành phân bậc d ∈ G Giả sử có hai R-môđun phân bậc M N Một R-đồng cấu môđun f : M → N gọi đồng cấu (hay phân bậc) có bậc d f (Mi ) ⊆ Ni+d với i ∈ G Chương Iđêan nguyên tố liên kết môđun phân bậc 2.1 Iđêan nguyên tố liên kết môđun phân bậc Mục ta xét vành phân bậc R = ⊕n∈N Rn R-môđun phân bậc M = ⊕n∈N Mn xét tập bậc N Định nghĩa 2.1.1 Nếu R vành phân bậc R R-mơđun phân bậc Khi I iđêan phân bậc R I iđêan R thỏa mãn I= ∞ n=0 (I ∩ Rn ) I gọi iđêan Ví dụ 2.1.2 Ta xét vành đa thức R[x] Khi R[x] = n≥0 An vành phân bậc, An = {axn | a ∈ R} nhóm nhóm cộng (R[x], +); đồng thời thỏa mãn An Am ⊆ An+m với n, m ≥ Trong vành phân bậc R[x] = n≥0 An , ta lấy iđêan I = x2 = {x2 f (x) | f (x) ∈ R[x]}, I iđêan Thật vây, ta có I ∩ A0 = {0} , I ∩ A1 = {0}; đồng thời I ∩ A2 = A2 , I ∩ A3 = A3 , , I ∩ An = An , , tức I ∩ An = An với n ≥ Mặt khác với ω ∈ I ta thấy k 2 k i ω = x h(x) = x x2+i ∈ A2 ⊕ A3 ⊕ Ak+2 x = i=0 i=0 12 13 Do I = ⊕ ⊕ A2 ⊕ ⊕ An ⊕ = (I ∩ An ) n≥0 Định lý 2.1.3 Cho R vành Noether phân bậc M R-môđun phân bậc Khi (i) Bất kì iđêan ngun tố liên kết p M iđêan phân bậc Hơn nữa, tồn phần tử x M cho p = Ann(x) (ii) Với p ∈ Ass(M ) chọn mơđun phân bậc p-nguyên sơ Q(p) cho (0) = p∈Ass(M ) Q(p) Chứng minh i) Cho p ∈ Ass(M ), ∃x ∈ M cho p = Ann(x) Vì M R-mơđun phân bậc nên ta viết x = xe + xe−1 + + x0 với xi ∈ Mi Vì R vành phân bậc nên với f ∈ p ta viết f dạng f = fr + fr−1 + + f0 với fi ∈ Ri Ta chứng minh rẳng fi ∈ p với i = r, r − 1, , 1, Vì f ∈ p = Ann(x), nên f x = Ta viết lại = f x = fr xe + (fr−1 xe + fr xe−1 ) + + ( fi x j ) + + f0 x i+g=k Vì đẳng thức R = ⊕n≥0 Rn nên dẫn đến 0, tức ta có hệ đẳng thức sau:    fr x e        fr−1 xe + fr xe−1        fr−2 xe + fr−1 xe−1 + fr xe−2        thành phần =0 =0 =0    fr−e xe + fr−e+1 xe−1 + + fr x0 =               f0 x + f1 x =0       f0 x0 =0 14 (trong ta quy ước fj = j < 0) Từ hệ cách nhân dòng i với fri−1 với i = 1, , e + 1, ta hệ     fr xe =0        =0 fr fr−1 xe + fr2 xe−1        =0 fr2 fr−2 xe + fr2 fr−1 xe−1 + fr3 xe−2          fre fr−e xe + fre fr−e+1 xe−1 + + fre+1 x0 =               f0 x0 =0 Từ suy fre+1 xi = với ≤ i ≤ e Vì fre+1 x = 0, kéo theo fre+1 ∈ Ann(x) = p Do p iđêan ngun tố nên ta fr ∈ p Bây quy nạp lùi theo ≤ i ≤ r ta chứng tỏ fi ∈ p với i ≤ r Rõ ràng i = r ta có fr ∈ p (theo trên) Giả sử fj ∈ p với i < j ≤ r, ta cần fi ∈ p Ta thấy f = fr + fr−1 + + fi+1 + fi + + f1 + f0 ∈ p fr , fr−1 , , fi+1 ∈ p, dẫn đến phần tử f = fi + + f1 + f0 = f − (fr + fr−1 + + fi+1 ) ∈ p Bây lập luận tương tự với f phần tử f , ta suy fie+1 xj = với j = 0, , e; suy fie+1 x = hay fie+1 ∈ p, kéo theo fi ∈ p Vậy ta chứng minh fi ∈ p với i ≤ r Nói cách khác p iđêan nhất, hay p iđêan phân bậc Cuối ta chứng minh tồn phần tử xi để p = Ann(xi ) Do p iđêan phân bậc nên với f = fr + + f1 + f0 ∈ p kéo theo fi ∈ p với i = r, , Khi với fi ta có fi ∈ p, nên fi xe +fi xe−1 + .+fi x0 = 0, kéo theo fi xj = với j = e, , Do fi xj = với i = r, , j = e, , Dẫn đến f xj = với j = e, , 0; p ⊆ Ann(xj ) với j = e, , Vì p ⊆ ∩ej=0 Ann(xj ) 15 Ngược lại rõ f xj = với j = e, , f x = 0, suy f ∈ p Do p ⊇ ∩ej=0 Ann(xj ) Vậy p = ∩ej=0 Ann(xj ) Từ đó, p iđêan nguyên tố nên phải ∃xi (với i ∈ {0, 1, , e}) để p = Ann(xi ) Vậy tồn phần tử xi cho p = Ann(xi ) Để chứng minh (ii) ta cần chứng minh định lí sau Định lý 2.1.4 Cho R vành Noether M môđun Noether Thế ta chọn mơđun p-ngun sơ Q(p) ứng với p ∈ Ass(M ) cho (0) = p∈Ass(M ) Q(p) Chứng minh Cố định iđêan nguyên tố liên kết p M , xét tập hợp môđun N = {N ⊆ M : p ∈ / Ass(N )} Ta có N = ∅ ∈ N Do M Noether nên tồn phần tử cực đại N , kí hiệu Q(p) ∈ N Ta có p∈ / Q(p), M = Q(p) p ∈ Ass(M ) Ta chứng minh Q(p) p-nguyên sơ nghĩa ta chứng minh Ass(M/Q(p)) = {p} Giả sử ∃ p = p p ∈ Ass(M/Q(p)) Khi đó, ∃ Q Q(p) để Q /Q(p) ∼ / = A/p Suy Ass(Q ) ⊆ Ass(Q(p)) ∪ Ass(Q /Q(p)) ⇒ p ∈ Ass(Q ) Do Q ∈ N Do Q Q(p) mà p ∈ / Q nên Q = Q(p) (do tính chất tối đại Q(p)), điều vơ lí Q = Q(p) Mặt khác, M/Q(p) = nên Ass(M/Q(p)) = ∅, Ass(M/Q(p)) = {p} Cuối Ass( p∈Ass(M ) Q(p)) = p∈Ass(M ) (Q(p)) = ∅ Suy (Q(p)) = (0) p∈Ass(M ) Việc chứng minh (ii) điều chỉnh nhỏ chứng minh định lí Cách khác, trích dẫn Định lý 2.1.4 từ bổ đề sau Bổ đề 2.1.5 Cho p iđêan phân bậc Q ⊂ M môđun p-nguyên sơ Khi mơđun phân bậc lớn Q chứa Q (Q môđun sinh phần tử Q) môđun p-nguyên sơ Chứng minh Cho p ∈ Ass(M/Q ) Vì p, p phân bậc nên ta có p = p p ∩ H = p ∩ H H tập tất phần tử R 16 Nếu a ∈ p ∩ H a lũy linh địa phương M/Q Nếu a ∈ H a ∈ / p với x ∈ M thỏa mãn ax ∈ Q , x = xi , xi ∈ Mi , có axi ∈ Q ⊆ Q với i; xi ∈ Q với i, x ∈ Q Như vậy, a∈p 2.2 Phân tích ngun sơ mơđun phân bậc Trong phần ta lấy R = d∈N Rd vành phân bậc, M = d∈N Md R-môđun phân bậc Cho môđun N M , ta kí hiệu N ∗ mơđun lớn N , tức N ∗ môđun sinh phần tử N Bổ đề 2.2.1 Cho M R-môđun phân bậc Với p ∈ Ass(M ), tồn số nguyên m đẳng cấu từ (R \ p)(−m) đến môđun phân bậc M (xét R-môđun phân bậc) Chứng minh Vì p ∈ Ass(M ) nên tồn phần tử x ∈ M cho p = Ann(x) (theo định lý 2.1.3) Ta đặt m = deg(x) Xét ánh xạ f : R → M, a → ax, ta thấy f đồng cấu bậc m R-môđun phân bậc (thật vậy: f (ab) = abx = af (b); f (a+b) = (a+b)x = ax+bx = f (a)+f (b); f (Ri ) = Ri x ⊆ Mi+m ) Ta thấy Kerf = Ann(x) = p f (Ri ) = Ri x ⊆ Mi+m với i ∈ N Do Imf môđun phân bậc M thỏa mãn (R/Kerf )(−m) ∼ = Imf hay (R/p)(−m) ∼ = Imf Định lý 2.2.2 Cho R vành Noether M R-mơđun phân bậc hữu hạn sinh Khi tồn dãy = M0 ⊆ M1 ⊆ ⊆ Mn = M gồm môđun phân bậc M , tồn iđêan nguyên tố p1 , , pn R, tồn số nguyên m1 , , mn cho Mi /Mi−1 ∼ = (R/pi )(−mi ) (các đẳng cấu môđun phân bậc) 17 Chứng minh Tương tự định lý 1.3.11 theo quan điểm định lý 2.1.3 bổ đề 2.2.1 Bổ đề 2.2.3 Cho N môđun phân bậc M cho N = M với phần tử b ∈ R y ∈ N ta có by ∈ N y ∈ / N ⇒ tồn n ≥ cho bn M ⊆ N Khi N mơđun ngun sơ M Chứng minh Cho a ∈ R x ∈ M cho ax ∈ N x ∈ / N Khi ta viết x = x + xe + xe+1 + + xd với x ∈ N , xj ∈ Mj xe ∈ / N Lấy a = ar +ar+1 + .+as ∈ Ri Bây a(xe +xe+1 + +xd ) ∈ N N phân bậc nên ta suy ar xe ∈ N Từ theo giả thiết, tồn n1 ≥ để anr M ⊆ N Bây lại (a−ar )n1 (xe +xe+1 + .+xd ) ∈ N n2 tồn n2 ≥ để anr+1 M ⊆ N Tiếp tục thực theo cách này, ta tìm n0 ≥ cho ani M ⊆ N với r ≤ i ≤ s Do ta tìm n ≥ (chẳng hạn, n = n0 (s − r + 1)) cho an M ⊆ N Vậy N môđun nguyên sơ Bổ đề 2.2.4 Nếu Q mơđun p-ngun sơ M Q∗ p∗ nguyên sơ Chứng minh Vì phần tử Q (tưng ứng, p) phần tử Q∗ (tương ứng, p∗ ) nên từ bổ đề 2.2.3 ta suy Q∗ môđun nguyên sơ Hơn nữa, a phần từ p = Ann(M/Q), tồn n ≥ để an M ⊆ Q; M phân bậc, nên an M ⊆ Q∗ Kéo theo p∗ ⊆ Ann(M/Q∗ ) Mặt khác, M/Q∗ phân bậc Ann(M/Q∗ ) ⊆ Ann(M/Q), nên ta thấy Ann(M/Q∗ ) iđêan chứa p, Ann(M/Q∗ ) ⊆ p∗ Vậy Q∗ p∗ -nguyên sơ Định lý 2.2.5 Giả sử A vành Noether phân bậc, M A-môđun phân bậc hữu hạn sinh N môđun phân bậc M Xét N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qh phân tích nguyên sơ N , p1 , , ph nguyên tố ứng với Q1 , , Qh Khi ta có (i) pi = p∗j , Q∗i pi -nguyên sơ với ≤ i ≤ h N = Q∗1 ∩ Q∗2 ∩ ∩ Q∗h (ii) Nếu phân tích nguyên sơ N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qh thu gọn (tối tiểu) phân tích ngun sơ N = Q∗1 ∩ Q∗2 ∩ ∩ Q∗h thu gọn (tối tiểu) 18 (iii) Nếu pi tối tiểu tập {p1 , , ph } Qi môđun phân bậc M Chứng minh (i) Áp dụng định lý 2.1.3 cho môđun thương M/N , ta nhận pi = p∗i với i Do bổ đề 2.2.4, ta tìm Q∗i pi -nguyên sơ Vì N phân bậc N ⊆ Qi nên ta có N ⊆ Q∗i Khi N ⊆ Q∗1 ∩ Q∗2 ∩ ∩ Q∗h ⊆ Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qh = N , suy (i) chứng minh (ii) Nếu N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qh phân tích nguyên sơ thu gọn p1 , , ph phân biệt Ass(M/N ) = {p1 , , ph } Khi nguyên tố liên kết tương ứng với Q∗1 , Q∗2 , , Q∗h phân biệt Hơn nữa, phân tích N = Q∗1 ∩ Q∗2 ∩ ∩ Q∗h rút gọn Ass(M/N ) có h phần tử, điều mâu thuẫn Suy (ii) chứng minh (iii) Cuối cùng, pi cực tiểu tập {p1 , , ph } thành phần nguyên sơ tương ứng Qi Do từ i), ta suy Qi = Q∗i , tức Qi môđun phân bậc Như trường hợp đặc biệt kết trên, ta thu số kết hữu ích iđêan vành phân bậc Nhận xét 2.2.6 Thấy tất kết phần có hiệu lực R thay vành Zs -phân bậc, thay M môđun Zs -phân bậc Điều suy từ I iđêan đơn thức vành A = K[X1 , , Xn ] nguyên tố liên kết với I (tức iđêan thuộc Ass(A/I)) iđêan đơn thức I có phân tích nguyên sơ cho iđêan nguyên sơ xuất iđêan đơn thức Ví dụ sau phương pháp xây dựng để có phân tích ngun sơ iđêan đơn thức Ví dụ 2.2.7 Xét J iđêan đơn thức A = K[X1 , , Xn ] u, v đơn thức nguyên tố K[X1 , , Xn ] Khi (J, uv) = (J, u) ∩ (J, v) cho thấy e1 , , en số nguyên dương, iđêan (X1e1 , X2e2 , , Xnen ) iđêan (X1 , X2 , , Xn )-nguyên sơ Ta sử dụng điều để xác định nguyên tố liên kết phân tích 19 nguyên sơ iđêan I = (X Y Z, Y Z, Y Z ) A = K[X, Y, Z] Đó I = (X Y Z, Y Z, Y ) ∩ (X Y Z, Y , Z ) = (Y ) ∩ (X , Y , Z ) ∩ (Y Z, Y , Z ) = (Y ) ∩ (X , Y , Z ) ∩ (Y, Y , Z ) ∩ (Z, Y , Z ) = (Y ) ∩ (X , Y , Z ) ∩ (Y, Z ) ∩ (Z, Y ) Do Ass(A/I) = {(Y ), (X, Y, Z), (Y, Z)} Kết luận Tóm lại, tồn đề tài trình bày hệ thống nội dung phân tích ngun sơ mơđun phân bậc, iđêan ngun tố liên kết mơđun phân bậc Kết đề tài gồm phần sau: Hệ thống lại kiến thức sở iđêan nguyên tố liên kết, phân tích ngun sơ,vành mơ đun phân bậc Mô tả tập iđêan nguyên tố liên kết, hệ thống ví dụ minh họa chi tiết Chứng minh kết vành môđun phân bậc, iđêan nguyên tố liên kết môđun phân bậc, phân tích ngun sơ mơđun phân bậc Dù cố gắng nhiều hạn chế nhận thức thân nên trình thực đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận ý kiến đóng góp, xây dựng thầy cô bạn để đề tài hoàn chỉnh 20 Tài liệu tham khảo [1] H Matsumura (1980), Commutative Algebra, Benjamin, London [2] M.Atiyah and I.G.Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley Reading, University of Oxford [3] Sudhir R Ghorpade and Jugal K Verma (2000), Primary decomposition of modules, Department of Mathematics, Indian Institute of Technology, Mumbai 400076, India 21