Về tập các Iđêan nguyên tố liên kết của Môđun Ext

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ HỒNG PHÚC VỀ TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN Ext LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ HỒNG PHÚC VỀ TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN Ext LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thị Hồng Loan NGHỆ AN – 2013 MỤC LỤC Trang Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành môđun địa phương hóa 1.2 Một số ký hiệu 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết 1.4 Chiều Krull môđun 10 1.5 Hệ tham số 11 1.6 Dãy quy 12 1.7 Dãy quy lọc `14 1.8 Dãy quy suy rộng 14 1.9 Môđun Ext 15 1.10 Môđun đối đồng điều địa phương 16 Chương Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun Ext 18 2.1 M - dãy quy theo chiều 18 2.2 Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun Ext 27 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 MỞ ĐẦU Cho (R,m) vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m, I iđêan vành R, M R-môđun hữu hạn sinh A R-môđun Artin Để nghiên cứu cấu trúc môđun Noether môđun Artin, người ta thường quan tâm đến tập iđêan nguyên tố liên kết tương ứng tập iđêan nguyên tố gắn kết chúng Xuất phát từ kết vành số nguyên  : với iđêan I vành  , tập iđêan nguyên tố liên kết Ass  ( / I n) không phụ thuộc vào n Cụ thể, I  a với a  p11 ptt phân tích tiêu chuẩn a Ass ( / I n)   p1, , pt  với n Vì thế, người ta hỏi liệu tính chất thay  vành giao hoán Noether tùy ý Đã có số nhà toán học quan tâm đến câu hỏi D Rees (1956), L J Ratliff (1976), …, đến năm 1979, Brodmann đưa câu trả lời trọn vẹn cho câu hỏi Cho R vành giao hoán Noether, I iđêan R M R - môđun hữu hạn sinh Brodmann chứng minh tập iđêan nguyên tố liên kết Ass R ( M / I n M ) phụ thuộc vào n, ổn định n đủ lớn, tức tồn số tự nhiên n0 cho Ass R ( M / I n M )  Ass R (M / I n0 M ) với n ≥ n0 Sau đó, xuất phát từ đẳng cấu M / I n M  Tor0R ( R / I n , M ), Melkersson Schenzel (1993) mở rộng kết cho môđun ToriR ( R / I n , M ) với i ≥ Cụ thể, họ rằng, với số tự nhiên i ≥ 0, tập Ass R (ToriR ( R / I n , M )) Ass R (ToriR ( I n / I n1 , M )) độc lập với n n đủ lớn Ta biết hàm tử xoắn ToriR ( , ) hàm tử mở rộng Ext iR ( , ) đối ngẫu Do đó, người ta hỏi liệu tập Ass R (Ext iR ( R / I n , M )) có độc lập với n n đủ lớn? Từ kết M Ass R (Ext iR ( R / I n , M )) Katzman,  Ass R không ổn định, chí (Ext iR ( R / I n , M )) tập vô hạn; người ta đặt vấn đề tìm điều kiện để n 1 tập  Ass R (Ext iR ( R / I n , M )) hữu hạn Câu trả lời cho câu hỏi n 1 đưa Markus Brodmann Lê Thanh Nhàn năm 2008 [6] Ở đó, việc đưa khái niệm M - dãy qui theo chiều > s, họ chứng minh kết sau: với số tự nhiên i ≥ 0, iđêan I R, với hệ a  (a1 , , ak ) phần tử R, đặt T i ( I , M ) :  Ass R (Ext iR ( R / I n , M )), n T i ( a, M ) :  Ass R (Ext iR ( R / ( a1n1 , , aknk ), M )) n1 , nk  Tính chất hữu hạn tập T i ( I , M ) T i ( a, M ) cho hai kết Kết thứ Cho s ≥ r ≥ số nguyên Giả sử với i < r ta có dim(Supp( H Ii ( M )))  s Khi với hệ sinh a  (a1 , , ak ) I số nguyên t ≤ r, tập hợp (T t ( I , M )) s (T t (a , M ))  s chứa tập hữu hạn t  Ass R (Ext iR ( R / I , M )) i 0 Kết thứ hai Cho s ≥ r ≥ số nguyên Giả thiết với i  r ta có dim(Supp( H Ii ( M )))  s Cho x1, …, xr  I dãy phần tử cho vừa M - dãy quy hoán vị theo chiều > s vừa I - dãy lọc quy hoán vị ứng với môđun M Khi với hệ sinh a  ( a1 , , ak ) I số nguyên dương t ≤ r, tập hợp (T t ( I , M ))s (T t (a, M )) s chứa tập hữu hạn t (Ass R ( M / ( x1 , , xt ) M )) s 1  ( Ass R ( M / ( x1 , , xi ) M )) s i 0 Nội dung luận văn trình bày lại cách chi tiết kết nói báo [6] Markus Brodmann Lê Thanh Nhàn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số khái niệm Đại số giao hoán như: vành môđun địa phương hóa, iđêan nguyên tố liên kết, M - dãy quy, M - dãy nghèo, M - dãy lọc quy, M - dãy quy suy rộng, môđun Ext, nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn Chương Ngoài trích dẫn số kết có dạng mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương 2: Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun Ext Nội dung chương trình bày chi tiết tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun Ext báo [6] Markus Brodmann Lê Thanh Nhàn Luận văn hoàn thành vào tháng 07 năm 2013 hướng dẫn tận tình Cô, TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô Đồng thời xin cảm ơn Thầy, Cô khoa Toán, phòng Đào tạo Sau đại học trường Đại học Vinh, trường Đại học Sài Gòn Cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu Nghệ An, tháng 07 năm 2013 Tác giả Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày số khái niệm Đại số giao hoán như: vành môđun địa phương hoá, iđêan nguyên tố liên kết, dãy quy, dãy nghèo, dãy lọc quy, dãy quy suy rộng, môđun Ext, chiều Krull môđun, môđun đối đồng điều địa phương nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn Chương Ngoài trích dẫn số kết có dạng mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau 1.1 Vành môđun địa phương hóa 1.1.1 Tập nhân đóng vành Cho vành R S tập R Tập hợp S gọi tập nhân đóng vành R 1 S a, b  S ab  S 1.1.2 Vành thương Cho S tập nhân đóng vành R Trên tích ĐềCác R x S ta xét quan hệ hai ngôi: ( r , s )  ( r ', s ')  t  S : t ( rs ' sr ')  Khi  quan hệ tương đương R  S Với ( r , s )  R x S , ký hiệu r / s lớp tương đương chứa (r,s) S 1 R tập thương R x S theo quan hệ tương đương : S 1R  {r / s | r  R, s  S } Trên S 1 R trang bị hai phép toán phép cộng phép nhân, S 1 R trở thành vành gọi vành thương R theo tập nhân đóng S Mỗi iđêan vành S 1 R có dạng S 1I  {a / s | a  I , s  S } , I iđêan R Ta có S 1I  S 1 R  I  S   Do S 1 I iđêan thực S 1 R I  S   Cho p iđêan nguyên tố vành R Khi S  R \ p tập nhân đóng vành R Vành S-1R trường hợp vành địa phương, ký hiệu Rp , với iđêan cực đại pRp  S 1p  {a / s | a  p, s  R \ p} nên gọi vành địa phương hoá vành R iđêan nguyên tố p 1.1.3 Môđun thương Cho S tập nhân đóng vành R Khi ta có vành thương S 1 R Trên tích Đề M x S ta xét quan hệ hai ngôi: ( m, s )  (m ', s ')  t  S : t ( ms ' sm ')  Khi  quan hệ tương đương M x S Do M x S chia thành lớp tương đương, ta ký hiệu tập thương M x S theo quan hệ tương đương  S 1M ký hiệu lớp tương đương chứa (m,s) m / s Như S 1M  {m / s | m  M , s  S } Trên S 1M trang bị phép cộng phép nhân với vô hướng: m / s  m '/ s '  ( s ' m  sm ') / ss ', m / s; m '/ s '  S 1M r / t.m / s  rm / ts, r / t  S 1 R, m / s  S 1M Khi S 1M có cấu trúc S 1 R - môđun gọi môđun thương M theo tập nhân đóng S S 1M xem R - môđun với phép nhân vô hướng sau: r.x / s  rx / s , với r  R, x / s  S 1M Cho p iđêan nguyên tố vành R S  R \ p Khi môđun S 1M gọi môđun địa phương hoá M iđêan nguyên tố p , ký hiệu M p Như M p xem Rp - môđun R - môđun 1.2 Một số ký hiệu 1.2.1 Ký hiệu SpecR tập tất iđêan nguyên tố vành R SpecR :={ p | p iđêan nguyên tố vành R} Chú ý SpecRp  {qRp |q  SpecR, q  p} Ký hiệu Max(R) tập iđêan tối đại vành R   Với iđêan I R, ký hiệu V (I )  p  SpecR | p  I Với tập T SpecR, kí hiệu min(T) tập phần tử tối thiểu T theo quan hệ bao hàm 1.2.2 Định lý tránh nguyên tố (i) Giả sử p1, p2, , pn iđêan nguyên tố n I iđêan vành R cho I   pi Khi tồn j,1  j  n i 1 cho I  pj (ii) Giả sử I 1, I 2, , I n iđêan vành R p iđêan nguyên tố n vành R cho p   I i Khi tồn j,1  j  n cho p  I j i 1 n Đặc biệt, p   I i tồn j,1  j  n cho p = I j i 1 1.2.3 Giá môđun Tập   Supp R M = p  SpecR | Mp  SpecR gọi giá môđun M (cũng ký hiệu SuppM không cần thiết phải nhấn mạnh vào R) 1.2.4 Mệnh đề (i) SuppM   M  (ii) Nếu   M '   M   M "   dãy khớp ngắn R – môđun SuppM  SuppM ' SuppM " 1.2.5 Linh hóa tử Cho x  M Khi Ann R ( x ) : a  R | ax  0 , Ann R ( M ) : a  R | aM  0  a  R | ay  0, y  M iđêan vành R Ann R ( M ) gọi linh hoá tử môđun M Hơn M R - môđun hữu hạn sinh SuppM  V (Ann R ( M ))  p  SpecR | p  Ann R (M ) 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết 1.3.1 Định nghĩa Giả sử M R  môđun Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử x  M , x  cho p  (0 :R x)  Ann R ( x ) Tập iđêan nguyên tố liên kết M ký hiệu Ass R ( M ) , Ass( M ) không cần thiết phải nhấn mạnh vào vành R Vậy Ass R ( M )  p  SpecR / x  M , x  p  Ann R ( x)} Sau số tính chất tập iđêan nguyên tố liên kết 1.3.2 Mệnh đề Cho M R-môđun p iđêan nguyên tố vành R Khi p  Ass R ( M ) tồn môđun N M cho N  R / p 1.3.3 Mệnh đề Giả sử R vành Noether M R  môđun (i) Ký hiệu   Ann R ( x) / x  M  Khi đó, p phần tử cực đại  theo quan hệ bao hàm p  Ass R ( M ) (ii) AssR ( M )   M  (iii) Ký hiệu tập ước ZD ( M )  {a  R | ax  0, x  M , x  0} ZD( M )  không  M p pAss R ( M ) (iv) Nếu N môđun M Ass R ( N )  Ass R ( M ) (v) Nếu  M '  M  M "  dãy khớp ngắn R - môđun Ass R ( M ')  Ass R ( M )  Ass R ( M ')  Ass R ( M ") 20 2.1.5 Nhận xét Từ định nghĩa I - dãy lọc quy theo Định lý tránh nguyên tố ta thấy với số n, tồn I - dãy lọc quy độ dài n Vì không tồn I - dãy lọc quy tối đại Tính chất sau I - dãy lọc quy chứng minh [8] Khashyarmannesh (2006) 2.1.6 Bổ đề Nếu x1 , , xr I - dãy lọc quy M  H (jx1 , , xr ) R ( M ), H (M )   j r r  H I ( H ( x1 , , xr ) R ( M )), j I jr jr 2.1.7 Định nghĩa (i) Một dãy x1 , , xr  R gọi M - dãy quy hoán vị theo chiều > s x (1) , , x ( r ) M - dãy quy theo chiều > s với hoán vị  Sr (ii) Một dãy x1 , , xr  I gọi I - dãy lọc quy hoán vị ứng với môđun M x (1) , , x ( r ) I - dãy lọc quy ứng với môđun M, với hoán vị  Sr 2.1.8 Bổ đề Cho s  số tự nhiên I iđêan R (i) Cho r  số tự nhiên Khi dim(Supp( H Ii ( M )))  s với i  r tồn M – dãy qui theo chiều > s có độ dài r I (ii) Nếu dim( M / IM )  s M – dãy quy theo chiều > s I mở rộng thành M – dãy quy tối đại theo chiều > s I Hơn nữa, tất M – dãy qui tối đại theo chiều > s I có chung độ dài, độ dài chung số nguyên i bé cho dim(Supp( H Ii ( M )))  s (iii) Nếu dim(M / IM )  s tồn M – dãy qui theo chiều > s I có độ dài n với số nguyên n  Trong trường hợp này, không tồn M – dãy quy tối đại theo chiều > s I 21 Chứng minh (i) (): Giả sử dim(Supp( H Ii ( M )))  s với i  r Ta chứng minh quy nạp theo r tồn dãy x1 , , xr  I M - dãy qui theo chiều > s Cho r  1, i  1 r nên theo giả thiết ta có dim(Supp( H I0 ( M )))  s Suy I  p với p  (Ass R M ) s1 Do đó, tồn phần tử x1  I , x1  p , với p  (Ass R M )  s 1 Theo Bổ đề 2.1.3 ta có x1 M - dãy quy theo chiều > s Vậy (i) với trường hợp r = Cho r > đặt x1 = x, theo Bổ đề 2.1.3 ta suy dim(0 :M x )  s Từ dãy khớp ngắn   :M x   M   M / (0 :M x)  0 theo Mệnh đề 1.10.3, ta nhận dãy khớp   H Ii ( M )   H Ii ( M / (0 :M x ))   H Ii 1 (0 :M x)   với i  Vì dim(0 :M x )  s nên dim(Supp( H Ii (0 :M x)))  s với i  Do dim(Supp( H Ii ( M / (0 :M x)))  s với i  r Từ dãy khớp ngắn   M / (0 :M x)   M   M / xM  0 theo Mệnh đề 1.10.3, ta nhận dãy khớp   H Ii ( M )   H Ii ( M / xM )   H Ii 1 ( M / (0 :M x ))   với i  Suy dim(Supp( H Ii ( M / xM )))  s với i  r -1 Theo giả thiết quy nạp, tồn dãy x2 , , xr I cho M / xM - dãy quy theo chiều > s Vậy x1 , x2 , , xr M - dãy quy theo chiều > s I 22 (): Ngược lại, giả thiết tồn dãy x1 , , xr M - dãy quy theo chiều > s I Cho p  SpecR với dim( R / p)  s Khi x1 x , , r 1 i M p - dãy quy nghèo Ip Vì H IR ( M p )  , tức p p  Supp( H Ii ( M )) với i < r Suy dim(Supp(H Ii ( M )))  s với i < r (ii) Vì dim( M / IM )  s nên theo 1.4.2 tồn iđêan tối đại m R cho dim( M m / IM m )  s Do Mm- dãy quy theo chiều > s IRm phần hệ tham số Mm Vì độ dài M - dãy quy theo chiều > s I vượt dim M m  s  Suy tồn cận cho tất độ dài M - dãy quy theo chiều > s thiết lập từ phần tử I Vậy M - dãy quy theo chiều > s I mở rộng thành M - dãy quy tối đại theo chiều > s I Cho x2 , , xr y2 , , yt hai M - dãy quy tối đại theo chiều > s I Giả sử r  t , không tính tổng quát ta cho r < t Theo (i), dim(Supp(H Ii ( M )))  s với i  r Tương tự chứng minh phần (i), quy nạp theo k, ta suy dim(Supp(H Ii ( M / ( x1 , , xr ) M )))  s với i  r  k k  r Vì dim( H I0 (M / ( x1 , , xr ) M ))  s Do tồn phần tử I cho M / ( x1 , , xr ) M - dãy quy theo chiều > s Điều mâu thuẩn với tính tối đại dãy x2 , , xr Vậy tất M- dãy quy tối đại theo chiều > s I có chung độ dài, theo (i), độ dài số i bé cho dim(Supp(H Ii ( M )))  s (iii) Suy từ Định lý tránh nguyên tố định nghĩa M - dãy quy theo chiều > s  23 2.1.9 Mệnh đề Cho s  r  số nguyên, I  R iđêan R Nếu dim(Supp(H Ii ( M )))  s với i < r tồn dãy x1 , , xr I cho vừa M - dãy quy hoán vị theo chiều > s, vừa I dãy lọc quy hoán vị ứng với môđun M Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo r Cho r = Đặt C1 : (Ass R M ) s 1  (Ass R M \ V ( I )) Vì dim( H I0 ( M ))  s nên ta suy I  p với p  (Ass R M )  s 1 Do theo Định lý tránh nguyên tố, tồn phần tử x1  I cho x1  p với p  C1 Khi x1 M - dãy quy hoán vị theo chiều > s, I - dãy lọc quy hoán vị ứng với môđun M Vậy mệnh đề với r = Cho r  , giả thiết mệnh đề với r – Nghĩa tồn dãy x1 , , xr 1 I cho vừa M - dãy quy hoán vị theo chiều > s, vừa I - dãy lọc quy hoán vị ứng với môđun M Theo Bổ đề 2.1.8 theo giả thiết, với tập J tập {1, , r  1} , dãy ( x j ) jJ mở rộng thành M – dãy quy theo chiều > s I với độ dài r Do với tập J tập {1, , r  1} , tồn ( M /  x j M ) jJ dãy quy theo chiều > s I Từ suy I  p với p  (Ass R ( M /  x j M )) s 1 tập tập J tập {1, , r  1} Theo jJ Định lý tránh nguyên tố, ta chọn phần tử xr  I cho xr  p với p  Cr , Cr : (  J {1, , r 1} Ass R ( M /  x j M )) s 1  ( jJ  J {1, , r 1} Ass R ( M /  x j M ) \ V ( I )) jJ Ta chứng minh x1 , , xr vừa M - dãy quy hoán vị theo chiều > s, vừa I - dãy lọc quy hoán vị ứng với môđun M 24 Trước hết ta chứng minh x1 , , xr M - dãy quy hoán vị theo chiều > s Cho  Sr hoán vị 1, …, r Giả sử x (1) , , x ( r ) không M - dãy quy theo chiều > s Gọi n {1, , r} số nguyên nhỏ cho x (1) , , x ( n ) không M - dãy quy theo chiều > s Khi r   (i ) với i  n theo cách chọn xr , tồn iđêan nguyên tố p  (Ass R ( M / ( x (1) , , x ( n1) ) M ))s 1 x (1) , , x ( n )  p x (1) , , x (1) , , x ( n ) cho x  ( n ) p Vì không M p - dãy quy Từ suy x (i1) x (i1) x x , , ,  ( n ) ,  (i ) không M p - dãy quy 1 1 x  Đặt J : { j   | j  n, j  i} Vì dim( R / p)  s nên ta thấy   ( j )    jJ M p - dãy quy Do xr x (i )  không dãy quy 1 M p /  x ( j ) M p Vì vậy, tồn q  Spec( R) với q  p cho jJ xr  qRp  Ass Rp ( M p /  x ( j ) M p ) jJ Từ ta có xr  q  (Ass R ( M /  x ( j ) M )) s 1  Cr Điều vô lý jJ Cuối ta cần chứng minh x1 , , xr I - dãy lọc quy hoán vị ứng với môđun M Giả sử x (1) , , x ( r ) không I - dãy lọc quy ứng với môđun M với hoán vị  Gọi n số nguyên bé cho x (1) , , x ( n ) không I - dãy lọc quy ứng với môđun M Theo cách chọn xr ta thấy r   (i ) với i  n đó, tồn iđêan nguyên tố p  Ass R (M / ( x (1) , , x ( n1) ) M ) \ V ( I ) cho x  ( n ) p Vì 25 x (1) , , x ( n )  p x (1) , , x (1) , , x ( n ) không M p - dãy quy Từ suy x (i1) x (i1) x x , , ,  ( n ) ,  (i ) không 1 1 M p - dãy quy Đặt x  J : { j   | j  n, j  i} Vì p V ( I ) nên ta thấy   ( j )  M p   jJ dãy quy Do xr x (i )  không phần tử quy ứng với môđun 1 M p /  x ( j ) M p Vì vậy, tồn iđêan nguyên tố q  Spec( R) với q  p jJ cho xr  qRp  Ass Rp ( M p /  x ( j ) M p ) Suy jJ xr  q  (Ass R ( M /  x ( j ) M )) s 1 \ V ( I )  Cr jJ Điều vô lý Vậy mệnh đề chứng minh  2.1.10 Mệnh đề Cho s số nguyên không âm, n1 , , nt số nguyên dương x1 , , xt M - dãy quy hoán vị theo chiều > s Khi (  Ass R ( M / ( x1n1 , , xtnt ) M )) s  (Ass R ( M / ( x1 , , xt ) M )) s n1 , ,nt Đặc biệt, tập hợp (  Ass R ( M / ( x1n1 , , xtnt ) M )) s hữu hạn n1 , ,nt Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo t Cho t = viết x1  x Ta quy nạp theo n1  n (Ass R ( M / x n M )) s  Ass R ( M / xM ) Trường hợp n = hiển nhiên Cho n > giả sử kết với n - Cho p  (Ass R ( M / x n M ))s Khi pRp  Ass Rp ( M p / x n M p ) Nếu dim( R / p)  s x phần tử M p - quy nên pRp  Ass Rp (M p / xM p ) Suy p  Ass R ( M / xM ) Giả thiết dim( R / p)  s Từ dãy khớp 26   x n1M / x n M   M / x n M   M / x n1M  0 theo Tính chất 1.3.3 ta suy p  Ass R ( M / x n 1M )  Ass R ( x n 1M / x n M ) Nếu p  Ass R (M / x n1M ) theo giả thiết quy nạp ta phải có p  Ass R ( M / xM ) Do ta giả thiết p  Ass R ( x n1M / x n M ) Xét dãy khớp  ( x n M :M x n1 ) / xM   M / xM   xn 1M / x n M  0 Đặt K  ( x n M :M x n1 ) / xM Giả thiết p  Supp( K ) Khi dãy khớp ( M / xM ) p  ( x n1M / x n M ) p Vì p  Ass R ( x n1M / x n M ) nên ta có p  Ass R ( M / xM ) Vì ta giả thiết p  Supp( K ) Chú ý với iđêan nguyên tố q  Supp( M ) thỏa mãn dim( R / p)  s ta có Kq  x phần tử M q - quy nghèo Do dim( K )  s Suy p phần tử tối tiểu tập Supp(K), p  Ass R ( K )  Ass R ( M / xM ) Vậy mệnh đề với t = Cho t  giả thiết mệnh đề với t – Cho n1 , , nt số nguyên dương tùy ý Vì xt phần tử quy theo chiều > s môđun M / ( x1n1 , , xtnt11 ) M nên ta nhận từ trường hợp t = tính chất sau (Ass R ( M / ( x1n1 , , xtnt ) M )) s  (Ass R ( M / ( x1n1 , , xtnt11 , xt ) M ) Vì x1 , , xt 1 M / xt M - dãy quy hoán vị theo chiều > s nên theo giả thiết quy nạp ta suy (Ass R ( M / ( x1n1 , , xtnt 11 , xt ) M )) s  (Ass R ( M / ( xt , x1n1 , , xtnt11 ) M )) s  Ass R ( M / ( x1 , , xt ) M ) Vậy mệnh đề chứng minh  Sử dụng Mệnh đề 2.1.10 với s = ta có hệ sau 2.1.11 Hệ Cho x1 , , xt M – dãy quy suy rộng hoán vị Khi ta có 27  Ass( M / ( x1n1 , , xtnt ) M ) \ MaxR  Ass R ( M / ( x1 , , xt ) M ) n1 , , nt Nếu thêm giả thiết R vành địa phương  Ass R ( M / ( x1n1 , , xtnt ) M ) n1 , , nt tập hợp hữu hạn 2.1.12 Chú ý (i) Hoán vị M - dãy quy theo chiều > s không thiết M - dãy quy theo chiều > s (ii) Hoán vị M - dãy quy suy rộng không thiết M dãy quy suy rộng Thật vậy, cho R  k [[x 1, x 2, x 3, x , x ]] vành chuỗi lũy thừa hình thức biến với hệ số trường k Cho M  R / (x1 )  (x 2, x 3, x ) Khi dim M = x 5, x dãy quy suy rộng x 2, x không M - dãy quy suy rộng 2.2 Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun Ext Để chứng minh kết chính, ta cần nhận xét bổ đề sau 2.2.1 Nhận xét Nếu I  R iđêan depth( I , M )  t Ass R (Ext tR ( R / I , M ))  Ass R ( H It (M )) 2.2.2 Bổ đề Cho t số nguyên dương Đặt t 1 Pt  Supp(Ext iR ( R / I , M )) i 0 Khi ta có Ass(Ext tR ( R / I n , M ))  Pt  Ass(Ext tR ( R / ( a1n1 , , aknk ), M ))  Pt  Ass R (Ext tR ( R / I , M ))  Pt  Ass R ( H It ( M ))  Pt với hệ sinh ( a1 , a2 , ak ) I số nguyên dương n, n1 , nk Chứng minh Cho p  Supp( M ) với p  Pt Với i < t, theo Mệnh đề 1.9.3, ta có 28 Ext iRp ( Rp / IRp , M p )  (Ext iR ( R / I , M )) p  Vì depth( IRp , M p )  t Cho n, n1, , nk số nguyên dương, ta có depth( I n Rp , M p )  depth( IRp , M p )  depth(( a1n1 , , aknk ) Rp , M p ) Nếu depth( IRp , M p )  t Rp- môđun Ext tRp ( Rp / I n Rp , M p ) , Ext tRp ( Rp / (a1n1 , , aknk ) Rp , M p ) , Ext tRp ( Rp / IRp , M p ) H IRt p ( M p ) môđun Vì p  Ass R (Ext tR ( R / I n , M )), p  Ass R (Ext tR ( R / (a1n1 , , aknk ), M )), p  AssR ( H It ( M )), p  Ass R (Ext tR ( R / I , M )) Nếu depth( IRp , M p )  t , rad( I )  rad( I n )  rad(( a1n1 , , aknk ) R) nên theo Nhận xét 2.2.1, ta có Ass Rp (Ext tRp ( Rp / I n Rp , M p ))  Ass Rp ( H It n R ( M p )) p t IRp  Ass Rp ( H ( M p ))  Ass Rp ( Ext Rt p ( Rp / IRp , M p )), Ass Rp (Ext tRp ( Rp / (a1n1 , , aknk ) Rp , M p ))  Ass Rp ( H IRt p ( M p )) Từ ta suy p  Ass R (Ext tR ( R / I n , M ))  p  Ass R ( H It ( M ))  p  Ass R (Ext tR ( R / I , M ))  p  Ass R (Ext tR ( R / ( a1n1 , , aknk ), M ))  Vậy Bổ đề chứng minh Bằng quy nạp theo t sử dụng Nhận xét 2.2.1, Bổ đề 2.2.2 ta có bổ đề sau 2.2.3 Bổ đề Với số nguyên t  , ta có t  (  Supp(Ext i 0 n t i R ( R / I , M )))   Supp(Ext iR ( R / I , M )) n i t   Supp( H Ii ( M )) i 0 29 2.2.4 Ký hiệu Với số tự nhiên i ≥ 0, iđêan I R, với hệ a  ( a1 , , ak ) phần tử R Ta ký hiệu T i ( I , M ) :  Ass R (Ext iR ( R / I n , M )), n T i ( a, M ) :  Ass R (Ext iR ( R / ( a1n1 , , aknk ), M )) n1 , nk  Các tính chất tính hữu hạn tập T i ( I , M ) T i (a, M ) cho hai định lý 2.2.5 Định lý Cho s ≥ r ≥ số nguyên Giả sử với i < r ta có dim(Supp( H Ii ( M )))  s Khi với hệ sinh a  ( a1 , , ak ) I số nguyên t ≤ r, tập hợp (T t ( I , M )) s (T t (a, M )) s chứa tập hữu hạn t  Ass R (Ext iR ( R / I , M )) i 0 Chứng minh Cho t  r số nguyên không âm Đặt t 1 Pt   Supp(Ext iR ( R / I , M )) i 0 t 1 Theo Bổ đề 2.2.3, ta có Pt  Supp(H Ii ( M )) Vì dim( R / p)  s với i 0 p  Pt Cho p  (T t ( I , M ))s  (T t (a, M ))s Theo định nghĩa tập (T t ( I , M )) s , (T t (a , M ))  s ta có p   Ass R (Ext tR ( R / I n , M )) n p  Ass R (Ext tR ( R / ( a1n1 , , aknk ), M )) dim( R / p)  s n1 , nk  Nếu dim( R / p)  s p  Pt Vì theo Bổ đề 2.2.2 ta có p  Ass R (Ext tR ( R / I , M )) 30 Nếu dim( R / p)  s Cũng theo Bổ đề 2.2.2 ta có p  (Ass R (Ext tR ( R / I , M ))  Pt ) s Nếu p  Ass R (Ext tR ( R / I , M )) p  Pt suy p iđêan nguyên tố tối thiểu supp(Ext iR ( R / I , M )) với số nguyên i < t Vì p  Ass R (Ext iR ( R / I , M )) với số nguyên i < t Vậy (T t ( I , M ))  s (T t ( a, M ))  s tập tập hợp t  Ass R (Ext iR ( R / I , M )) Định lý chứng minh  i 0 2.2.6 Định lý Cho s ≥ r ≥ số nguyên Giả thiết với i  r ta có dim(Supp( H Ii ( M )))  s Cho x1, …, xr  I dãy phần tử cho vừa M - dãy quy hoán vị theo chiều > s vừa I - dãy lọc quy hoán vị ứng với môđun M (những dãy tồn theo Mệnh đề 2.1.9) Khi với hệ sinh a  ( a1 , , ak ) I số nguyên dương t ≤ r, tập hợp (T t ( I , M )) s (T t (a, M )) s chứa tập hữu hạn t (Ass R ( M / ( x1 , , xt ) M ))s 1  ( Ass R ( M / ( x1 , , xi ) M )) s i Chứng minh Cho t  r số nguyên không âm Lấy iđêan nguyên tố p  (T t ( I , M )) s  (T t ( a, M )) s Giả sử i < t theo giả thiết ta có dim(Supp(H Ii ( M )))  s với iđêan nguyên tố (Supp( H Ii ( M )))  s phần tử tối thiểu tập Supp( H Ii ( M )) , iđêan nguyên tố liên kết H Ii ( M ) Suy (Supp( H Ii ( M ))) s  ( AssR ( H Ii ( M ))) s , với i < t Do đó, theo Bổ để 2.2.2 Bổ để 2.2.3 ta suy 31 t 1 p  ( Ass R ( H Ii ( M ))) s (Ass R ( H Ii ( M ))) s i 0 Vì x1 , , xr  I I - dãy lọc quy hoán vị ứng với môđun M nên theo Nhận xét 2.2.1 ta có H Ii ( M )  H I0 ( H (i x1 , , xi ) R ( M )) với i = 1, …, t Do đó, với i = 1, …, t ta có Ass R ( H Ii ( M ))  Ass R ( H (i x1 , , xi ) R ( M ))   Ass R (M / ( x1n , , xin ) M ) n Vì x1 , , xr M – dãy quy hoán vị theo chiều > s nên từ Mệnh 2.1.10 ta có (  Ass R ( M / ( x1n , , xin ) M )) s  (Ass R ( M / ( x1 , , xi ) M )) s với n i = 1, …, t (  Ass R ( M / ( x1n , , xin ) M ))  s 1  (Ass R ( M / ( x1 , , xi ) M )) s 1 n Mặt khác p  (T t ( I , M ))  s  (T t ( a, M )) s nên ta có dim( R / p)  s Nếu dim( R / p)  s t = r p  Ass R ( H Ii ( M )), suy p  (Ass R ( M / ( x1 , , xi ) M )) s 1 Nếu dim( R / p)  s t t p   (Ass R ( H ( M ))) s   (Ass R ( M / ( x1 , , xi ) M )) s i I i 0 i Do (T t ( I , M )) s (T t (a, M )) s tập tập t (Ass R ( M / ( x1 , , xt ) M )) s 1  ( Ass R ( M / ( x1 , , xi ) M )) s i 0 Định lý chứng minh  Thay s = Định lý 2.2.5, 2.2.6 sử dụng Bổ đề 2.2.3 ta có hệ 2.2.7 Hệ Cho r > số tự nhiên cho dim(Supp( H Ii ( M )))  với i < r a  (a1 , , ak ) hệ sinh I Khi 32 (i) Với số tự nhiên t  r , tập T t ( I , M ) T t (a, M ) chứa t 1 t tập  Ass R (Ext ( R / I , M ))  (Max( R)   Supp( H Ii ( M ))) i R i 0 i (ii) Cho x1 , , xr  I M - dãy quy suy rộng hoán vị được, đồng thời I - dãy lọc quy hoán vị ứng với môđun M Khi với số nguyên t  r , tập T t ( I , M ) T t (a, M ) chứa tập t (Ass R ( M / ( x1 , , xt ) M )) 2  ( Ass R ( M / ( x1 , , xi ) M ))1  Max( R) i 0 Đặt s = Định lý 2.2.5, 2.2.6 ta có hệ 2.2.8 Hệ Cho r > số tự nhiên cho dim(Supp( H Ii (M )))  với i < r a  ( a1 , , ak ) hệ sinh I Khi (i) Với số nguyên t  r , tập T t ( I , M ) T t (a, M ) chứa t tập hữu hạn  Ass R (Ext iR ( R / I , M )) i 0 (ii) Cho x1 , , xr  I M - dãy lọc quy hoán vị được, đồng thời I - dãy lọc quy hoán vị ứng với môđun M (những dãy tồn theo Mệnh đề 2.1.10) Khi với số nguyên t  r , tập T t ( I , M ) T t (a, M ) chứa tập hữu hạn t (Ass R ( M / ( x1 , , xt ) M ))1   Ass R ( M / ( x1 , , xi ) M ) i 0 33 KẾT LUẬN Tóm lại, luận văn trình bày cách tường minh kết báo [6] Markus Brodmann Lê Thanh Nhàn Cụ thể hoàn thành nội dung sau Trình bày số khái niệm kết Đại số giao hoán nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày kết tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun Ext Trình bày khái niệm M - dãy quy theo chiều > s, I - dãy lọc quy, M - dãy quy hoán vị theo chiều > s, I - dãy lọc quy hoán vị ứng với môđun M chứng minh số tính chất chúng Trình bày hai kết tính hữu hạn tập T i ( I , M ) :  Ass R (Ext iR ( R / I n , M )), n T i ( a, M ) :  n1 , nk  Ass R (Ext iR ( R / (a1n1 , , aknk ), M )) 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [2] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất Đại học sư phạm [3] Dương Quốc Việt (2008), Lí thuyết chiều, Nhà xuất Đại học sư phạm Tiếng Anh [4] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company [5] M Brodmann (1979), Asympotic Stability of AssR(M/InM), Proceedings of the American Mathematical Society 74(1), 16-18 [6] M Brodmann and L T Nhan (2008), A finiteness result of associated primes of certain Ext-modules, Communications in Algebra, 36(4), 15271536 [7] M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [8] K Khashyarmanesh (2006), on the finiteness properties of  Ass R (Ext iR ( R / a i , M )), Communications in Algebra 34, 779-784 i [9] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Translated by M Reid, Cambridge University Press [...]... và kết quả của Đại số giao hoán nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày các kết quả về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun Ext 2 Trình bày các khái niệm M - dãy chính quy theo chiều > s, I - dãy lọc chính quy, M - dãy chính quy hoán vị được theo chiều > s, I - dãy lọc chính quy hoán vị được ứng với môđun M và chứng minh một số tính chất của chúng 3 Trình bày hai kết quả về. .. 2.2 Tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun Ext Để chứng minh các kết quả chính, ta cần các nhận xét và bổ đề sau đây 2.2.1 Nhận xét Nếu I  R là iđêan và depth( I , M )  t thì Ass R (Ext tR ( R / I , M ))  Ass R ( H It (M )) 2.2.2 Bổ đề Cho t là một số nguyên dương Đặt t 1 Pt  Supp (Ext iR ( R / I , M )) i 0 Khi đó ta có Ass (Ext tR ( R / I n , M ))  Pt  Ass (Ext tR ( R / (... xích nguyên tố có độ dài n (i) Cho p  SpecR Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với p0  p được gọi là độ cao của p , kí hiệu là ht( p) Nghĩa là, ht( p) = sup{độ dài xích nguyên tố với p0  p } Cho I là một iđêan của R khi đó ta định nghĩa ht( I )  inf{ht( p) | p  SpecR, p  I } (ii) Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của vành... - môđun Khi đó Ass R ( M )  Supp R M và bất kỳ phần tử tối thiểu nào của SuppRM theo quan hệ bao hàm đều thuộc Ass R ( M ) 1.3.5 Định lý Nếu M là R - môđun Noether thì tập Ass R ( M ) là tập hữu hạn Đã có nhiều kết quả liên quan đến tính ổn định và tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết Tuy nhiên, kết quả quan trọng nhất và cũng là công trình khởi đầu, có tính đột phá và mở hướng cho các. ..   H I2 ( M ')   Các đồng cấu  n trong mệnh đề trên được gọi là các đồng cấu nối 18 Chương 2 TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN Ext Trong suốt chương này, luôn giả thiết R là vành giao hoán, Noether và M là R - môđun hữu hạn sinh 2.1 M - dãy chính quy theo chiều 2.1.1 Định nghĩa Cho s  0 là một số tự nhiên và x1 , , xr là một dãy các phần tử của R Ta nói rằng x1 ,... mở hướng cho các kết quả trình bày ở Chương 2 của luận văn này là định lý sau đây của Markus Brodmann (1979) trong [5] 1.3.6 Định lý Cho I là một iđêan của vành R và M là môđun hữu hạn sinh Khi đó các tập Ass R ( M / I n M ) và Ass R ( I n1M / I n M ) không phụ thuộc vào n khi n đủ lớn 1.4 Chiều Krull của môđun 1.4.1 Định nghĩa Cho R là vành giao hoán Một dãy các iđêan nguyên tố của R: p0  p1  p2... (Ext tR ( R / I , M )) 30 Nếu dim( R / p)  s Cũng theo Bổ đề 2.2.2 ta có p  (Ass R (Ext tR ( R / I , M ))  Pt ) s Nếu p  Ass R (Ext tR ( R / I , M )) thì p  Pt và suy ra p là một iđêan nguyên tố tối thiểu của supp (Ext iR ( R / I , M )) với một số nguyên i < t nào đó Vì thế p  Ass R (Ext iR ( R / I , M )) với một số nguyên i < t nào đó Vậy (T t ( I , M ))  s và (T t ( a, M ))  s là các tập. .. 1 (Ext nR ( M , N ))  Ext nS 1R ( S 1M , S 1 N ) trong đó S 1 là hàm tử địa phương hóa Đặc biệt (Ext nR ( M , N )) p  Ext nRp ( M p , N p ) với mọi iđêan nguyên tố p của R 1.10 Môđun đối đồng điều địa phương 1.10.1 Định nghĩa Cho R là vành Noether, địa phương với m là iđêan cực đại duy nhất và M là R - môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M  d (i) Cho I là một iđêan của R, với mỗi R - môđun. .. nội xạ của N) Dưới đây là một số tính chất cơ bản của các môđun Ext 16 1.9.2 Mệnh đề (i) Ext nR ( M , N )  Hom( M , N ) (ii) Nếu M là xạ ảnh hoặc N là nội xạ thì Ext nR ( M , N )  0 , với mọi n 1 (iii) Nếu M, N là hữu hạn sinh thì Ext nR ( M , N ) là hữu hạn sinh với mọi n Kết quả dưới đây cho ta tính chất giao hoán giữa môđun Ext với hàm tử địa phương hóa 1.9.3 Mệnh đề Cho S là tập nhân đóng của. .. (iii) Cho I là iđêan của R Nếu dim( M / IM )  1 thì mỗi M - dãy chính quy suy rộng trong I có thể mở rộng thành một M - dãy chính quy suy rộng tối đại, và các M - dãy chính quy suy rộng tối đại trong I đều có chung độ dài 1.9 Môđun Ext 1.9.1 Định nghĩa Cho M, N là các R - môđun, và n  0 là số tự nhiên Môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử Hom(M , -) ứng với M được gọi là môđun mở rộng thứ n của M và N ... R, M R -môđun hữu hạn sinh A R -môđun Artin Để nghiên cứu cấu trúc môđun Noether môđun Artin, người ta thường quan tâm đến tập iđêan nguyên tố liên kết tương ứng tập iđêan nguyên tố gắn kết chúng... số kết có dạng mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương 2: Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun Ext Nội dung chương trình bày chi tiết tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên. .. gọi môđun địa phương hoá M iđêan nguyên tố p , ký hiệu M p Như M p xem Rp - môđun R - môđun 1.2 Một số ký hiệu 1.2.1 Ký hiệu SpecR tập tất iđêan nguyên tố vành R SpecR :={ p | p iđêan nguyên tố