Một số tính chất của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH CAO NGUN HỒNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH CAO NGUN HỒNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN NGUN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ & LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 MỤC LỤC Lời cảm ơn! Phần mở đầu Bảng ký hiệu Chương 1: Kiến thức sở 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết 1.2 Độ cao iđêan 1.3 Chiều iđêan 10 1.4 Độ sâu môđun 11 1.5 Hàm tử xoắn 12 1.6 Môđun đối đồng điều địa phương 14 1.7 Vành môđun phân bậc 16 1.8 Các phép biến đổi iđêan 20 1.9 Chiều hữu hạn môđun 22 Chương 2: Một số tính chất iđêan nguyên tố liên kết của thành phần phân bậc môđun đối đồng điều địa phương 24 2.1 Khái niệm ổn định tiệm cận 24 2.2 Sự ổn định tiệm cận iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc môđun đối đồng điều địa phương 24 2.3 Ổn định tiệm cận chiều hữu hạn 25 2.4 Một tính chất khác tính ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc môđun đối đồng điều địa phương 34 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 Lời cảm ơn! Sau hai năm học tập nghiên cứu Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh hướng dẫn hỗ trợ tận tình PGS TS Trần Tuấn Nam luận văn tốt nghiệp tơi hồn thành Nhân dịp tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, TS Trần Huyên, PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải, quý thầy Khoa Toán – Tin Trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt trình học tập trường Cám ơn Sở GD-ĐT Tp Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu tập thể giáo viên trường THPT Nguyễn Chí Thanh nơi tơi công tác tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành kế hoạch học tập Cuối xin gởi lời cám ơn đến người thân, bạn bè tất người giúp đỡ hỗ trợ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011 Tác giả Cao Nguyên Hoàng Phần mở đầu Cho R = ⊕ n≥0 Rn họ ( Rn ) n≥0 họ vành Noether, R+ = ⊕ n>0 Rn iđêan R M R – môđun phân bậc hữu hạn sinh H Ri ( M ) môđun + đối đồng điều địa phương thứ i M R+ trang bị tính phân bậc tự nhiên Với n ∈  , ta có H Ri ( M ) n thành phần phân bậc thứ n môđun + ( ) H Ri + ( M ) , tập hợp AssR0 H Ri + ( M ) n tập hợp iđêan nguyên tố liên kết H Ri + ( M ) n Trong trình nghiên cứu tìm hiểu mô đun đối đồng điều địa phương H Ri ( M ) , nhà toán học thu nhiều kết thú vị + tính chất thú vị tính ổn định tiệm cận tập hợp ( ) ( ) AssR0 H Ri + ( M ) n Đi đầu việc nghiên cứu ổn định tiệm cận AssR0 H Ri + ( M ) n nhà toán học M.Brodmann, M.Brodmann chứng minh rằng: “Tồn r ∈  cho H Ri ( M ) = với i ∈  n ≥ r ; + H Ri + ( M ) R0 - mô đun hữu hạn sinh với i ∈  n ∈  ” Tiếp sau M.Brodmann chứng minh rằng: “ AssR ( H Rf ( M ) n ) ổn định tiệm cận + f : f R+ ( = M ) inf{i ∈  : H Ri + ( M ) không hữu hạn sinh}” Vấn đề đặt n f AssR ( H Ri ( M ) n ) ổn định tiệm cận không? + Năm 2002 báo (xem [11]), M Brodman, M Katzman R.Y Sharp trả lời cho câu hỏi cách xác Kết thể định lí sau: (1) (Định lí 2.3.8) Cho R vành phân bậc ảnh đồng cấu vành Noether giao hốn quy, M = ⊕ n∈ M n R-môđun phân bậc khác không, hữu hạn sinh không R+ -xoắn = f : f R+ ( = M ) inf{i ∈  : H Ri + ( M ) không Đặt ( hữu hạn sinh} ) AssR0 H Rf+ ( M )n = {p ∩ R0 : p ∈ Proj ( R ) depthM p + ht ( p + R+ ) / p =f } với n f tập AssR ( H Ri ( M )n ) không ổn định tiệm cận n → −∞ , + cụ thể họ thu định lí sau: (2) (Định lí 2.4.15) Kí hiệu R / vành  [ X , Y , Z ,U ,V ,W ] / [ XU + YV + ZW ] Cho −d ∈  với d ≥ , p ∈  số nguyên tố Khi đó: ( ) i) p ∈ Ass H R3 ( R / )− d p ∈ ∏ ( d − ) ( / + ) ii) = AssR H R3 ( R / ) −d / / + {( X ,Y , Z )}  {( q, X ,Y , Z ) : q ∈ ∏ ( d − )} iii) Tập số nguyên {( Ass ( H R0/ R+/ (R ) / −j )) : j ≥ 3} không xác định { j ∈  : j ≥ ( p, X ,Y , Z ) ∈ Ass ( H { j ∈  : j ≥ ( p, X ,Y , Z ) ∉ Ass ( H ( R ) )} vô hạn iv) Các tập sau R0 R0 ( R+/ R+/ (R ) / −j )} / −j ) v) AssR H R3 ( R / )− n không ổn định tăng với n → −∞ / / + Những vấn đề có vai trị quan trọng chun ngành đại số, đại số giao hốn đại số đồng điều, thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học Mục đích luận văn hệ thống lại số kiến thức cần thiết đại số giao hốn, đại số đồng điều có liên quan đến vấn đề tìm hiểu nghiên cứu, sau trình bày lại chi tiết chứng minh cho kết (1) Bên cạnh trình bày cách hệ thống bổ đề tính chất để đến kết (2) Bài luận văn chia làm hai chương: Chương trình bày lại kiến thức sở đại số giao hoán, đại số đồng điều nhằm phục vụ việc chứng minh kết chương sau Chương gồm hai phần, phần phần luận văn, phần trình bày bổ đề liên quan sau trình bày chi tiết chứng minh kết (1) Phần trình bày bổ đề liên quan sau dẫn đến kết (2) Dù cố gắng cịn nhiều hạn chế nhận thức nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp, xây dựng thầy cô bạn đồng nghiệp Bảng ký hiệu Ký hiệu Ý nghĩa 0 tập hợp số tự nhiên  tập hợp số nguyên ⊕ n ≥ Rn tổng trực tiếp họ vành Rn R/I vành thương R theo I Spec(R) tập hợp iđêan nguyên tố R *Spec(R) tập hợp iđêan nguyên tố phân bậc R V(I) tập hợp iđêan nguyên tố chứa I S −1 R vành thương vành R Rp vành địa phương p dim( R) số chiều vành R R l1 , l2 , , lr  vành đa thức lấy hệ số R { } sup {i ∈  } cận tập hợp Hom(A,B) tập hợp tất đồng cấu từ A đến B Supp(M) tập hợp iđêan nguyên tố có M p ≠ Ann(M) linh hóa tử M Var(I) tập hợp Supp(R/I) Proj(R) tập p ∈ *Spec( R) : p ⊇ / R+ inf i ∈  cận tập hợp { } Chương 1: Kiến thức sở 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành Noether M R – mô đun Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M thỏa hai điều kiện tương đương sau: (i) Tồn phần tử x ∈M cho Ann(x) = p (ii) M chứa mô đun đẳng cấu với R/ p Tập hợp iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu Ass R (M) Tính chất 1.1.2 Cho R vành, giả sử p phần tử tối đại {Ann(x) | x ∈M, x ≠ 0} Khi p ∈ Ass R (M) Hệ 1.1.3 Ass R (M) = ∅ ⇔ M = Hệ 1.1.4 Giả sử S tập nhân R Đặt R ' = S −1R , M ' = S −1M Khi AssR ( M ') =f ( AssR ' ( M ')) =AssR ( M ) ∩ {p | p ∩ S = ∅} Trong f : Spec( R ') → Spec( R) đồng cấu tôpô ( ) { } Đặc biệt, AssR Mp = qRp | q ∈ AssR ( M ),q ⊆ p p Định lý 1.1.5 Cho R vành Noether M R – mô đun Khi Ass R (M) ⊆ Supp R (M), với phần tử tối tiểu Supp R (M) nằm Ass R (M) Hệ 1.1.6 Giả sử I iđêan vành R Khi iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu R- mô đun R/I iđêan nguyên tố tối tiểu I Định lý 1.1.7 Cho R vành Noether M R – mô đun hữu hạn sinh, M ≠ Khi tồn dãy mơ đun (0) = M0 ⊂ ⊂ Mn−1 ⊂ Mn = M cho Mi Mi−1 ≅R pi với pi ∈ Spec( R),1 ≤ i ≤ n Bổ đề 1.1.8 Nếu → M ' → M → M '' → dãy khớp R – mơ đun Ass( M ') ⊆ Ass( M ) ⊆ Ass( M ') ∪ Ass( M '') Tính chất 1.1.9 Cho R vành Noether M R – mô đun hữu hạn sinh Khi Ass(M) hữu hạn Hơn nữa, AssR ( M ) ⊆ V ( Ann( M )) phần tử tối tiểu V ( Ann( M )) thuộc AssR ( M ) Vì Ann(M) giao iđêan nguyên tố liên kết M Tính chất 1.1.10 Nếu N R – mô đun M Khi AssR ( N ) ⊆ AssR ( M ) ⊆ AssR ( M / N ) ∪ AssR ( N ) 1.2 Độ cao iđêan Định nghĩa 1.2.1 Giả sử R vành, R ≠ Một chuỗi hữu hạn n + iđêan nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ ⊃ pn gọi chuỗi nguyên tố có độ dài n Nếu độ cao p∈ Spec( A) cận chuỗi nguyên tố với p = p0 gọi p kí hiệu ht( p ) Nhận xét 1.2.2 (i) Nếu ht( p ) = điều có nghĩa p iđêan nguyên tố tối tiểu R 35 Nếu A ma trận cấp m × n với giá trị R0 f,h∈ R0n , ta nói f tiến A h theo mơđun A, kí hiệu f  →+ h f tiến h theo môđun tập gồm cột ma trận A Kí hiệu lm(f), lc(f) lt(f) đơn thức đầu, hệ số đầu số hạng đầu f∈ R0n Z Y    Z Y   ma trận cấp n × ( n + 1) Kí hiệu An =        0  Z Y  Bổ đề 2.4.2 Cho d ∈  với d ≥ i) Khi R0 −đồng cấu F− d : R0 U − ,V − ,W −   → R0 U − ,V − ,W −  cho phép − d −1 −d  d − 1  d  nhân với F biểu diễn ma trận cấp   ×   sau:   2  Ad −   Td :=      XI d − Ad −   XI d − Ad − XI d −   với Ad − , , A1 xác định 2.4.1 (          A1 XI1  0 ) ii) Mỗi iđêan nguyên tố liên kết AssR H R3 ( R / )− d chứa X, Y, Z ( iii) Ta có ( X , Y , Z ) ∈ AssR H R3 ( R / )− d / / + ) / / + Chứng minh i) Với số nguyên không âm α , β , γ ta có: F (U αV βW γ ) = X (1 − δα , −1 )U α +1V βW γ + Y (1 − δ β , −1 )U αV β +1W γ + Z (1 − δ γ , −1 )U αV βW γ +1 Với δ i , j biệt thức Kronecker Suy điều phải chứng minh ii) Xét cột cuối Td ta thấy Xe d −1 ∈ Im Td     Do XYe d −1 , XYe d −1 ∈ Im Td để X 2e d −1 , X 2e d −1 ∈ Im Td cột kế cuối Td       −1        −2   Tiếp tục cách ta thấy phần tử Co ker Td = Co ker F− d bị linh hóa tử X d − Do tính đối xứng nên Y d − , Z d − linh hóa tử Co ker Td = Co ker F− d iii) Từ (i) ta ( Im F−3 :R U −1V −1W −1 ) = ( X , Y , Z ) Do ( :R Co ker F−3 ) = ( X , Y , Z ) 36 Phép nhân U d − cảm sinh toàn cấu Co ker F− d → Co ker F−3 Từ phần chứng minh (ii) ta có (X d −2 ( ) ( ) , Y d − , Z d − ) ⊆ :R0 Co ker F− d ⊆ :R0 Co ker F−3 = ( X ,Y , Z ) Vì ( X , Y , Z ) thành phần tối tiểu Supp ( Co ker F− d ) ■ Bổ đề 2.4.3 Cho k , m, n, q ∈  với m, n > , A =  aij  ma trận cấp m × n với giá trị n L [Y , Z ] , f ∈ L [Y , Z ] M, M / ma trận gồm ( k + n + m + q ) dòng R0 cho sau:   XI M :=  n  A   0    XI  f  M / :=  n  (với k dòng đầu q dòng cuối 0)  A  0    0   Khi S−đa thức gồm cột M hoặc rút gọn môđun M / thành       (với số không nằm cuối tương ứng với ma trận không cấp q × )  ± Af      Chứng minh: Giả sử f ≠ f = ∑ j =1 ci Ti ei biểu thức f với Ti đơn thức Y t j j j j Z; ci phần tử L j Giả sử lt ( f ) = ci Ti ei Kí hiệu m j cột thứ j M với j=1,…, n+1 h h h Vì f ∈ L [Y , Z ] , nên ta có lcm (Ti , X ) = Ti X h h Tất S−đa thức gồm cột M không ngoại trừ cột mi mn +1 h t Chú ý: mn +1 = ∑ ci Ti ei j =1 j j m j +k = mi Xei + k + ∑ aρ i eρ + k + n (1 ≤ i ≤ n ) i i Ta có S ( mi , mn +1 ) = ρ =1 c h Th X h X mih − m cih Tih Xeih + k + ∑ aρ ih cih Tih eρ + k + n − = ρ =1 = m t ρ =1 j =1 j≠h cih Tih X cih Tih mn +1 = cih Tih mih − Xmn +1 t ∑c j =1 ij XTi j ei j + k ∑ aρih cih Tih eρ + k + n − ∑ ci j XTi j ei j + k M  →+ / m ∑ aρih cih Tih eρ + k + n − ρ =1 t t ∑ ci j XTi j ei j + k + ∑ ci j Ti j mi j =j =j j≠h j≠h 37 0 0 t m = ∑∑ = aρ i j ci j Ti j eρ + k + n    Af  =j = ρ   0 ■ Định lí 2.2.4 Xét ma trận  Ad −   Td :=      XI d −  Ad −  XI d − Ad − XI d −   0         A! XI1  Định nghĩa ma trận Gd − , Gd − , , G1 quy nạp sau: cho Gd − ma trận gồm (d−2) dòng có giá trị L [Y , Z ] mà cột bao gồm cột ma trận Ad − cung cấp sở Grobner cho Im Ad − với i ∈  thỏa d − > i ≥1 Giả sử Gi +1 định nghĩa ma trận (i+1) dòng có giá trị L [Y , Z ] Cho Gi ma trận gồm i dịng có giá trị L [Y , Z ] mà cột bao gồm cột ma trận AG i i +1 cung cấp sở Grobner cho Im AG i i +1 i) Khi cột ma trận  Ad −   / Td :=       XI d − Ad −  XI d − Ad −    XI d −   A1 Gd − 0 0   XI1  0   0 Gd − 0 Gd − 0      0 G1  xác định sở Grobner Im Td/ = Im Td ii) Những cột ma trận  Ad −   H d :=      0 Ad − Ad −   0    0   Ad − Ad − Ad −       A1 A2 Ad −   d −1   sinh Im Td  L [Y , Z ] Chứng minh Cho s = S ( f , g ) S− đa thức khác không gồm cột f g ma trận Td/ Ta xét trường hợp sau: 38 Nếu f g có số hạng đầu (d−2) dịng đầu Td/ Td s  →+ (vì cột  Ad − Gd −  xác định sở Grobner s rút gọn   ± A G   d −3 d −  /  theo bổ đề 2.4.3 Td thành cột         Vì cột Gd − bao gồm cột Ad − 3Gd − nên trường hợp / / Td s  →+ Giả sử i ∈  với d − > i > f, g có số hạng đầu dịng thứ k + d −2 ∑ j với j = i +1 k ∈ {1, , i} T Khi s  →+ (vì cột Gi xác định sở Grobner s rút / d            gọn Td/ thành cột  ± Ai −1Gi  theo Bổ đề 2.4.3            Vì cột Gi −1 bao gồm cột Ai −1Gi nên trường hợp / Td s  →+ Cuối giả sử f, g có số hạng đầu nằm dịng cuối Td/ T Trong trường hợp s  →+ cột G1 xác định sở / d   Grobner s = S  Xe d −1 , he d −1  với h ∈ L [Y , Z ]                     Trong trường hợp s = S  Xe d −1 , he d −1  s tiến theo môđun  Xe d −1                  T Vậy tất trường hợp s  →+ / Vì theo [3,3.5.19] cột Td xác định cở sở Grobner Ta cần chứng minh Im Td/ = Im Td Quy nạp theo i với i = d − 2, d − 3, ,1 Ta có cột Gi bao gồm cột Ai Ai +1 Ad − xác định sở Grobner Im Ai Ai +1 Ad − / d 39 Vì Im Ai Ai= Im = AG Im Gi với i =d − 3, d − 4, ,1 +1 Ad − i i +1            Theo Bổ đề 2.4.3 cột  AG i i +1  đạt cách rút gọn mơđun                       Td S−đa thức gồm cột Td cột Gi +1             ii) Vì thứ tự mà ta dùng L [ X , Y , Z ] X > Y > Z nên theo [3,3.6.6 Theorem]  d −1   giao tập gồm cột Td/ với L [Y , Z ] cho ta sở Grobner đối  d −1   với Im Td  L [Y , Z ]  Ad − Gd −   Do cột  0      0  Gd −   Gd −  0  0   xác định sở Grobner    G1   d −1 Im Td  L [Y , Z ]  Suy điều phải chứng minh ■ Bổ đề 2.4.5 Xét ma trận Td H d Bổ đề 2.4.2 2.4.4 Cho r ∈ L \ {0} , r linh hóa tử phần tử khác khơng Co ker Td r linh hóa tử phần tử khác không L [Y , Z ] −môđun Coker H d  d −1   L [Y , Z ] Chứng minh Giả sử r linh hóa tử phần tử khác khơng Co ker Td  d −1     Khi tồn v ∈ R \ Im Td cho rv ∈ Im Td Ta thừa nhận v chọn để số hạng đầu tối tiểu số hạng đầu cột 40 Nhưng Xe1 , Xe2 , , Xe d −1 tất số hạng đầu cột Td v     không bao hàm X  d −1   Do theo Bổ đề 2.4.4 Im H d ⊆ Im Td , ta có v ∈ L [Y , Z ]  d −1   Hơn rv ∈ Im Td  L [Y , Z ]  d −1   L [Y , Z ] \ Im H d theo Bổ đề 2.4.4 L [Y , Z ] −môđun sinh cột H d ■ Chiều ngược lại hiển nhiên Bổ đề 2.4.6 Với số nguyên = i 0, , n − Ai +1 Ai + An ma trận cấp ( i + 1) × ( n + 1)  n −i Z            n − i  n −i − j j Y   Z  j     n − i  n −i − j j Y  Z  j  Z n −i   Y n −i  Y n −i  Z n −i  n − i  n −i − j j Y   Z  j    Đặc biệt i = ta hệ sau Hệ 2.2.7 A1 A2 An ma trận cấp × ( n + 1) mà giá trị thứ (1, i + 1)            Y n −i    n  i n −i   Y Z với i = 0, , n i Bổ đề 2.4.8 Cho r , k ∈  Qr , r + k ma trận cấp r × ( r + k ) với giá trị L [Y , Z ] cho Qr , r + k  k Z   0 :=       k      Z k − jY j  j    k  k− j j  Z Y  j Zk   Yk       Y k         Yk  0 k     Z k − jY j  j  Kí hiệu c j cột thứ j Qr , r + k (với = j 1, , r + k ) Q r , r + k kết thu từ 0 Zk Qr , r + k Y= Z= Do  41   k  0  1        j     k    1       Q   j r ,r + k =           k        1  0    j i j Xem L [Y , Z ]  −vành phân bậc mà L [Y , Z ]( 0,0) = L deg Y Z = ( i + j , i ) L [Y = , Z ] L [Y , Z ] e1 ⊕ ⊕ L [Y , Z ] er deg ei = ( 0, i ) với i = 1, , r r Khi ta có: r i) Với i ∈  j ∈  , thành phần L [Y , Z ] ( (Y j−ρ Z i − j + ρ eρ ) ) (i , j ) L−môđun tự với sở ρ max { j − i ,1}, ,min { j , r} = ii) Im Qr , r + k mô đun phân bậc L [Y , Z ] với i ∈  , j ∈  ta có r  i < k 0  { j , r + k} neáu i ≥ k ( Im Qr , r + k )(i, j ) ∑=σ max{ j + k −i,1} LY j −σ Z i − j +σ − k cσ   L [Y , Z ]r neáu i ≥ 2k + r hoaëc j ≥ k + r (i , j )  iii) L [Y , Z ] −môđun  20 −phân bậc Co ker Qr , r + k triệt tiêu ngoại trừ trường hợp bậc ( ) hữu hạn Co ker Qr , r + k L−môđun hữu hạn sinh với k + r −1 k + r −1 Co ker Qr , r + k = ⊕ ⊕ ( Co ker Qr , r + k ) i , j ( ) =i 0=j với ≤ i < k (và j ∈  ), thành phần ( Co ker Qr , r + k )(i , j ) L−môđun tự do; với k ≤ i ≤ 2k + r − , ≤ j ≤ k + r − ( CokerQr ,r +k ) i , j L-môđun đẳng cấu với ( )  đối hạt nhân ma trận Q r ,r + k hình thành từ cột ma trận đánh số max { j + k − i,1} , max { j + k − i,1} + 1, , { j , r + k } Chứng minh i) Với α , β ∈  ρ ∈ {1, , r} ta có deg Y α Z β eρ =(α + β ,α + ρ ) ii) Chú ý c j phần tử L [Y , Z ] có bậc ( k , j ) (với = j 1, , k + r ) r 42 Vì Im Qr , r + k môđun phân bậc L [Y , Z ] phần tử r Im Qr , r + k biểu diễn L [Y , Z ] −tổ hợp tuyến tính cột Im Qr , r + k mà tất hệ số Chú ý: deg Y α Z β cσ = (α + β + k ,α + σ ) (với α , β ∈  σ ∈ {1, , r} Vì ( Im Qr , r + k )(i , j ) = i < k ( Im Q r,r +k )( { j , r + k} i, j ) = ∑=σ max { j + k − i ,1} LY j −σ Z i − j +σ − k cσ i ≥ k Chú thích: vectơ Z k e1 , Z k +1e2 , , Z k + r er Y k + r −1e1 , Y k + r − 2e2 , , Y k er nằm Im Qr , r + k ; với < s ≤ r nhân cột thứ s Qr , r + k với Z s −1 rút gọn theo Z k e1 , Z k +1e2 , , Z k + s − 2es −1 để Z k + s −1es ∈ Im Qr , r + k Lập luận tương tự ta Y k er , Y k +1er −1 , , Y k + r −1e1 ∈ Im Qr , r + k Vì i ≥ 2k + r j ≥ k + r Y j − ρ Z i − j + ρ eρ ∈ Im Qr , r + k với = ρ max { j − i,1} , , { j , r} Vì Y j − ρ eρ ∈ Im Qr , r + k j ≥ k + r j < k + r i ≥ 2k + r i − j ≥ k + Z i − j + ρ eρ ∈ Im Qr , r + k Vì i ≥ 2k + r j ≥ k + r tất phần tử cở sở tìm thấy phần (i) L−mơđun L [Y , Z ](i , j ) nằm Im Qr , r + k r iii) Giả sử k ≤ i ≤ 2k + r − ≤ j ≤ k + r − = β max { j + k − i,1} Đặt γ { j , r + k} và= Từ điều kiện ta suy β ≤ γ Theo phần (i), ( Co ker Qr , r + k )(i , j ) xem  −môđun sinh {Y j−ρ } Z i − j + ρ= eρ : ρ max { j − i,1} , , { j , r}  Với σ = β , , γ ta có Y j −σ Z i − j +σ − k eσ = cột thứ σ Q r , r + k dẫn đến cột phần tử sinh trình bày Hơn nữa, phần (ii) cột liên quan đến phần tử sinh tổ hợp L−tuyến tính cột liên quan từ cột thứ β , β + 1, , γ  Q r,r + k ■ Nhận xét 2.4.9 Ta có Qr −1, r + k = Qr −1, r Qr , r + k Cho B ma trận với giá trị số nguyên có hạng d, p số nguyên tố Khi p ∈ Ass ( Co ker B ) iđêan sinh định thức cấp d × d B nằm p 43  k   k   k           i + 1  i + s − 1   i   k  k   k         Bổ đề 2.4.10 Cho Ω =  i − 1 i  i + s −   với k , s ∈  , i ∈          k   k  k            i − s + 1  i − s +   i   ξ  Qui ước   = η < η > ξ η   k + s −1− j   s −1  j  Khi det Ω =∏  i j +   j −0    i   k + s − 1    i+ j  Hệ 2.4.11 Ta có det Ω = s −1  k + s −  ∏ j =0  j    ∏ s −1 j =0 Hệ 2.4.12 Với n ∈  , ta đặt   n  p : p làthừa số nguyên tố   với i ∈ {0, , n} i   Cho r , k ∈  ma trận ∏(n) :   k  0  1        j     k    1       Q   j r,r + k =           k        1  0  j    Cho ∆ ma trận Q r ,r +k tạo thành c (c>0) cột liên tiếp ma trận đó; đặt s := {c, r} Nếu p ∈  số nguyên tố cho định thức cấp s × s ∆ nằm p p ∈ ∏ ( r + k − 1) Chứng minh Ta quy nạp theo r  Chú ý với r = Q 1,1+ k ma trận cấp × (1 + k ) 44  k   k  1       1  j  1  Suy kết trường hợp Giả sử với r > , kết với giá trị k  Nếu s = r tồn ma trận cấp r × r Q r ,r + k có dạng  k   k   k           i + 1  i + r − 1   i   k  k   k          Ω =  i − 1 i i r + −             k   k  k             i − r + 1  i − r +   i   mà i ∈ {0, , k} cho det Ω ∈ p  k + r − 1  với l ∈ {0, , k + r − 1} l   Theo Hệ 2.4.11 thị p thừa số   Giả sử s= c < r Đặt D / := Q r −1, r D /     ∆ ma trận cấp Vì Q = : Q r −1, r + k = Q r −1, r Q r , r + k (do Nhận xét 2.4.9), suy ∆ r −1, r ( r − 1) × c  Q r −1, r + k bao gồm cột ∆ 1   0 1    cột ∆ / tổng dòng Nhưng Q r −1, r =        0  1  liên tiếp ∆ Do với định thức cấp s × s ∆ / tổng 2s định thức mà định thức định thức cấp s × s ∆ Vì định thức cấp s × s ∆ / nằm p Vì theo giả thiết quy nạp p ∈ ∏ ( r − + k + −= 1) Bổ đề 2.4.13 Tập số nguyên ∏ ( r + k − 1) {∏ ( n ) : n ∈ } không xác định ■ Chứng minh Cho ( pn )n∈ dãy số nguyên tố Khi với n ∈  , ta có  p p p  = p1 p2 pn  n  ∈ ∏ ( p1 p2 pn )   Suy điều phải chứng minh Bổ đề 2.4.14 Cho p ∈  số nguyên tố Khi tập sau vơ hạn { j ∈  : j ≥ p ∈ ∏ ( j − )} ; { j ∈  : j ≥ p ∉ ∏ ( j − )} Chứng minh ■ 45 Nếu p chia cho j − ∈  p ∈ ∏ ( j − ) p chia cho  j − 2  = j − Vì tập vơ hạn   Để chứng minh tập thứ hai vô hạn ta cần p ∈ ∏ ( p k − 1) với k ≥ Cho T tập vơ định, ta có (1 + T ) p k −1 (1 + T ) = (1 + T ) pk ≡ + T p (mod p ) k ta so sánh hệ số T i hai vế đồng dư thức ta thấy với  p k − 1  p k − 1  p k − 1 p khơng chia cho + ≡ 0 < i ≤ p k −       = , quy  i   i −1     p k − 1 k nạp theo i cho ta p không chia cho   với i thỏa ≤ i ≤ p −  i  ■ Suy điều phải chứng minh Định lí 2.4.15 Kí hiệu R / vành  [ X , Y , Z ,U ,V ,W ] / [ XU + YV + ZW ] Cho −d ∈  với d ≥ , p ∈  số nguyên tố Khi đó: ( ) i) p ∈ Ass H R3 ( R / )− d p ∈ ∏ ( d − ) ( / + ) = AssR H R3 ( R / ) ii) −d / / + {( X ,Y , Z )}  {( q, X ,Y , Z ) : q ∈ ∏ ( d − )} )) : j ≥ 3} không xác định iv) Các tập sau { j ∈  : j ≥ ( p, X , Y , Z ) ∈ Ass ( H ( R ) )} { j ∈  : j ≥ ( p, X ,Y , Z ) ∉ Ass ( H ( R ) )} vô hạn iii) Tập số nguyên {( Ass ( H R0/ R+/ (R ) / −j R0 R+/ R0 ( ) R+/ / −j / −j v) AssR H R3 ( R / )− n không ổn định tăng với n → −∞ / / + Chứng minh i) Theo Bổ đề 2.4.2 p ∈ Ass H R3 ( R / )− d p ∈ Ass ( Co ker Td ) ( ) / + Hơn theo Bổ đề 2.4.5 p ∈ Ass ( Co ker Td ) p ∈ Ass ( Co ker H d ) với ma trận H d xác định Định lí 2.4.4 ( ) Theo Bổ đề 2.4.6 p ∈ Ass H R3 ( R / )− d / + d −2 p ∈  Ass ( Co ker Qi , d −1 ) i =1  d − 2   j  Giả sử p ∈ ∏ ( d − ) để tồn j ∈ {1, , d − 3} cho p thừa số  Khi theo Bổ đề 2.4.8(iii) p ∈ Ass ( Co ker Q1, d −1 )d − 2, j +1 46 Ngược lại, giả sử p ∈ Ass ( Co ker Qi , d −1 ) với i ∈ {1, , d − 2}  Từ Bổ đề 2.4.8(iii) ta thấy p ∈ Ass ( Co ker ∆ ) với ∆ ma trận Q i , d −1 tạo thành c (c>0) cột liên tiếp ma trận đó; đặt s := {c, r} Từ Bổ đề 2.4.10 suy ∆ có hạng s thoe Nhận xét 2.4.9 iđêan sinh định thức cấp s × s ∆ nằm p Vì p ∈ ∏ ( d − ) theo Hệ 2.4.12 ii) Suy trực tiếp từ (i) Bổ đề 2.4.2 iii) Suy trực tiếp từ (ii) Bổ đề 2.4.13 iv) Suy trực tiếp từ (ii), Bổ đề 2.4.2 Bổ đề 2.4.14 v) Đây hệ (ii) (iv) ■ 47 KẾT LUẬN Tóm lại, tồn luận văn tơi trình bày hệ thống lại nội dung báo: “Associated primes of graded components of local cohomology modules” M Brodmann, M Katzman R.Y Sharp Kết luận văn gồm phần sau: Hệ thống lại kiến thức sở iđêan nguyên tố liên kết, chiều độ sâu iđêan, môđun phân bậc, môđun đối đồng điều địa phương Chứng minh lại kết báo tính ổn định chiều hữu hạn từ ví dụ Singh tính chất khác tính ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc môđun đối đồng điều địa phương 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M F Atiyah and I G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addition Wesley, 1969 [2] H Matsumura, Commutative Algebra, Second Edition, Benjamin, Reading, 1980 [3] W W Adams and P Loustaunau, An introduction to Grobner bases, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1994 [4] M Brodmann, A lifting result for local cohomology of graded modules, Math Proc Cambridge Philos Soc 92 (1982) 221−229 [5] M Brodmann and M Hellus, Cohomological patterns of coherent sheaves over projective schemes, J Pure and Appl Algebra 172 (2002) 165−182 [6] M P Brodmann and R Y Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press, 1998 [7] T Muir, The theory of determinants in the historical order of development, Volume III, Macmillan, London, 1920 [8] R Y Sharp, Bass numbers in the graded case, a−invariant formulas, and an analogue of Faltings’ Annihilator Theorem, J Algerbar 222 (1999) 246−270 [9] A K Singh, p−torsion elements in local cohomology modules, Math Research Letter (2000) 165−176 [10] V van Zeipel, Om determinanter, hvars elementer aro binomialkoefficienter, Lunds Univeritet Arsskrift ii (1865) 1−68 [11] M Brodmann, M Katzman, R.Y Sharp, Associated primes of graded components of local cohomology modules, Trans Amer Math Soc 354 (11) (2002) 4261–4283 49 [12] M Katzman, An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J Algebra 252 (2002) 161–166 [13] M Katzman, R.Y Sharp, Some properties of top graded local cohomology modules, J Algebra 259 (2003) 599–612 [14] M Brodmann and A.L Faghani, A finiteness result for associated primes of local cohomology modules, Proc Amer Math Soc., (10) 128(2000), 2851 - 2853 ... CHÍ MINH CAO NGUN HỒNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ & LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN... 16 1.8 Các phép biến đổi iđêan 20 1.9 Chiều hữu hạn môđun 22 Chương 2: Một số tính chất iđêan nguyên tố liên kết của thành phần phân bậc môđun đối đồng điều địa phương ... lại số kết có tính ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương mà nhà toán học nghiên cứu + + 2.2 Sự ổn định tiệm cận iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc