Một số tính chất về đại số lie của các nhóm lie

Một số tính chất cơ bản về nhóm Lie, đại số của các nhóm Lie... Do đó đại số Lie là một bộ phận quan trọng của toán học hiện đại và nó trở thành một công cụ hữu hiệu đối với các nghiên c

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HỒ ĐỨC TRÁNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ ĐẠI SỐ

LIE CỦA CÁC NHÓM LIE

Luận văn thạc sĩ toán học

Nghệ An 19.10.2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HỒ ĐỨC TRÁNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ ĐẠI SỐ

LIE CỦA CÁC NHÓM LIE

Chuyên ngành: Hình học - Tô pô

Mã số: 60 40 10

Người hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Hữu Quang

Nghệ An 19.10 20

MỤC LỤC Trang

LỜI NÓI ĐẦU

Chương I Đại số Lie 4

1.1 Đại số Lie 4

1.2 Đồng cấu Lie 9

1.3.Phép đạo hàm trên đại số Lie 10

Chương II Một số tính chất cơ bản về nhóm Lie, đại số của các nhóm Lie 2.1 Nhóm Lie 19

2.2 Phép đạo hàm trên đại số Lie 25

Kết luận 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

LỜI NÓI ĐẦU

Như chúng ta đã biết, trong sự phát triển của Toán luôn xảy ra hai quá trình song song, đó là sự phân chia thành nhiều ngành để có sự nghiên cứu ngày càng sâu sắc, mặt khác có sự kết hợp các ngành Toán học khác nhau để có những thành tựu lớn Có thể nói: Lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie là sự kết hợp giữa các chuyên ngành Hình học – Tôpô, Giải tích và Đại số Do đó đại số Lie là một bộ phận quan trọng của toán học hiện đại và nó trở thành một công cụ hữu hiệu đối với các nghiên cứu trên đa tạp

Vào cuối thế kỷ 19 đã xuất hiện sự kết hợp lý thuyết nhóm và hình học Riemann trong các công trình chủ yếu của Phêlix Klein (1849 – 1925) và Xôphux Lie (1842 – 1899) Lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie cũng được ứng dụng nhiều trong các nghiên cứu về lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng tử và các ngành khác nhau của toán học

Vì vậy chúng tôi đã chọn đề tài: “ Một số tính chất về đại số Lie của các nhóm

ChươngI Đạiu số Lie

Trong chương này, chúng tôi trình bày tính chất cơ bản về đại số Lie, đại số Lie G trên trường K, phép đạo hàm của đại số Lie và đòng cấu Lie

1.1 Đại số Lie

1.2 Đồng cấu Lie

1.3 Phép đạo hàm trên đại số Lie

Chương II Một số tính chất cơ bản về nhóm Lie, đại số của các nhóm Lie

2.1 Nhóm Lie

2.2 Đại số Lie của nhóm Lie

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản về nhóm Lie, đại số Lie các nhóm Lie và một vài ví dụ về đại số Lie của nhóm Lie các ma trận

Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2013 tại Trường Đại học Vinh với sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này, tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người đã hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Hình học - Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh, cảm ơn lãnh đạo, đồng nghiệp Trường THPT Quỳnh Lưu 4 nhiệt tình giảng dạy, góp ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn

Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Vinh, tháng 10 năm 2013

Tác giả

Chương I Đại số Lie

Trong chương này, chúng tôi trình bày tính chất cơ bản về đại số Lie, đại số Lie G trên trường K, phép đạo hàm của đại số Lie và đồng cấu Lie

+ Nếu tích trong có tính giao hoán thì G được gọi là đại số giao hoán

+ Nếu tích trong có tính kết hợp thì G được gọi là đại số kết hợp

+ Nếu a.b=0; mọi a, b thuộc G, ta nói G là một đại số tầm thường

b) Ta kí hiệu Mn = { A/ A ma trận vuông thực cấp n} với các phép toán trên

ma trận thông thường với các phép toán: A + B, A, A.B Khi đó Mn là một đại số kết hợp không giao hoán

a) Ta xét M = В(Rn) là tập tất cả các trường véc tơ khả vi trong Rn Khi đó

M là một đại số Lie với tích Lie là [X, Y] = D X Y  D Y X;  X, Y В(Rn)

 ; pRn , là không gian véc tơ trên trường R

Với hai phép toán trên thì M là một môđun trên F(Rn) ( ở đây F(Rn) là vành giao hoán có đơn vị các ánh xạ khả vi Rn Rn)

Mặt khác, dễ dàng chứng minh được tích Lie [X, Y] = D X Y  D Y X có tính

chất song tuyến tính nên B (Rn) trở thành một đại số

Ở đây ta chỉ kiểm tra hai điều kiện của đại số Lie

Với mọi X thuộc B (Rn), dễ thấy [X, X] = D X X - D X X = 0

Với mọi X, Y, Z thuộc B (Rn), mọi f thuộc F(Rn), xét

[X, [Y, Z]] [f] = X[[Y, Z][f]] – [Y, Z][X[f]]

= X[Y[Z[f]]] – X[Z[Y[f]]] –Y[Z[X[f]]] + Z[Y[X[f]]]

Hoàn toàn tương tự ta có:

[Y, [Z, X]][f] = Y[Z[X[f]]] – Y[X[Z[f]]] – Z[X[Y[f]]] + X[Z[Y[f]]]

[Z, [X, Y]][f] = Z[X[Y[f]]] – Z[Y[X[f]]] – X[Y[Z[f]]] + Y[X[Z[f]]]

Cộng vế theo vế ta có ngay đẳng thức Jacobi Vậy M = B (Rn) là một đại số

Giả sử G1, G2, , Gn là các đại số Lie Đặt G = g1 g2  gn Khi đó

G là một không gian vectơ

Ở đây ta chỉ đi kiểm tra [.,.] là một ánh xạ thỏa mãn 2 điều kiện trở thành tích Lie: + X, Y, Z ∈ G, X = (X1, ,Xn), Y = (Y1, , Yn), Z = (Z1, ,Zn), α, β ∈ K, ta có: [αX + βY,Z] = ([αX1 + βY1, Z1], , [αXn + βYn, Zn])

Giả sử G là một đại số kết hợp trên trường K Ta đặt [a, b] = a.b  b.a; a,

b  G Khi đó G là đại số Lie

Chứng minh:

Ở đây, ta chỉ kiểm tra tính chất phản xứng và đẳng thức Jacobi của [,]

Ta có [a, a] = a.a  a.a = 0

Và [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]]

= [a, bc – cb] + [b, ca – ac] + [c, ab – ba]

= abc – acb – bca + cba +bca – bac – cab +acb +cab – cba – abc + bac= 0

Vậy nếu G là một đại số kết hợp trên trường K, với [a, b] = ab – ba; a, b 

G thì G là đại số Lie

1.1.7 Ví dụ

Giả sử V là không gian vec tơ trên K Xét tích Lie : [f,g] = fg-gf với f,g 

End(V) Khi đó End(V) là một đại số Lie trên K ( Ở đây End(V) là các từ đồng cấu tuyến tính V  V)

Giả sử M, N là các Iđêan của G Khi đó [M, N] cũng là Iđêan của G

Xét  : G’  G Khi đó  là song ánh vàa, b  G’; ta có: ( [a, b]) = [a, b]

Mặt khác [ 1(a),  1(b)] = [  1(a),   1(b)] = [a, b]

Trên G ta trang bị phép tính tích Lie như sau:

Với mọi x, y thuộc G thì

 x, y  = (0; 0; x y4 5 x y5 4; x y5 3 x y3 5; x y3 4 x y4 3) Khi đó ánh xạ :G R3, là một đồng cấu Lie

Mặt khác ( )x  ( ,x3 x4, x5);

Giả sử  : G  G’ là một đồng cấu Lie Khi đó:

i) Im  là đại số Lie con của G’

ii) Ker  là Iđêan của G

iii) Quan hệ đẳng cấu giữa các đại số Lie là quan hệ tương đương

Mặt khác: Ta có: [a’, b’] = [(a), (b)] = [a, b]  Im

 < [a’, b’]| a’, b’  Im>  Im  [Im, Im]  Im

 Im là đại số Lie con của G’

ii) a, b, c  Ker  (a) = (b) = 0;

,   K ta có: ( a +  b) =  (a) +  (b) = 0

  a + b  Ker  Ker là không gian vectơ con của L

Bây giờ ta chứng minh: [G, Ker]  Ker

Thật vậy, a  G, b  Ker  [a, b] = [(a), (b)] = [(a), 0] = 0

 [a, b]  Ker  [G, Ker]  Ker

 Ker là Iđêan của G

iii) Giả sử G  G’; G’ G’’ Ta có  các đẳng cấu Lie:

: G  G’ ; : G’ G’’

Ta chứng minh  : G G’’ cũng là đẳng cấu Lie

Thật vậy, do ,  là song ánh    cũng là song ánh

a, b  G ta có:   [a, b] = [(a), (b)] = [  (a),   (b)];

    là đồng cấu Lie, ta suy ra    là đẳng cấu Lie

Từ đó ta có  1 là đồng cấu Lie Do đó  1 là đẳng cấu Lie Vậy L lập thành

một nhóm với phép nhân các ánh xạ thông thường

1.3 Đạo hàm trên đại số Lie G

Việc chứng minh mệnh đề i tương đối đơn giản, ta chỉ kiểm tra điều kiện ii)

trong định nghĩa, của ánh xạ D1D2 - D2 D1

Thật vậy, a, b  G ta có:

D[a, b] = (D1D2 - D2 D1)[a, b]

= D1(D2[a, b]) - D2(D1[a, b])

= D1([D2(a), b] + [a, D2(b) ]) - D2([D1(a), b] + [a, D1(b)]

= [D1(D2(a)), b] + [D2(a), D1(b)] + [D1(a), D2(b)] + [a, D1(D2(b))]

- [D2(D1(a)), b] - [D1(a), D2(b)] - [D2(a), D1(b)] - [a, D2(D1(b))]

= [(D1D2 - D2 D1)(a), b] + [a, (D1D2 - D2 D1)(b)]

Suy ra D là ánh xạ đạo hàm trên G

Ta kí hiệu: DerG = {D | D là ánh xạ đạo hàm trên G} và ta trang bị các

Chứng minh:

Dễ thấy DerG là đại số Ta kiểm tra 2 tính chất khác của đại số Lie của nó chỉ kiểm tra [,] thỏa mãn đồng nhất thức Jacôbi

D1, D2, D3  G, ta có:

[[D1, D2], D3](a) = [D1, D2](D3(a)) - D3([D1, D2](a))

= D1(D2(D3(a))) - D2(D1(D3(a))) - D3(D1(D2(a))) + D3(D2(D1(a))) [[D2, D3], D1](a) = [D2, D3](D1)(a) - D1([D2, D3](a))

= D2(D3(D1(a))) - D3(D2(D1(a))) - D1(D2(D3(a))) + D1(D3(D2(a))) [[D3, D1], D2](a) = [D3, D1](D2)(a) - D2 ([D3, D1](a))

= D3(D1(D1(a))) - D1(D3(D2(a))) - D2(D3(D1(a))) + D2(D1(D3(a)))

Để chứng minh G a là một idean của DerG ta cần chứng minh G a là không

gian véctơ con của DerG và [DerG, G a]  Ga

Thật vậy, với   K; a b,  G

[a, b](y) = [[a, b], y] = [a, [b, y]] + [b, [a, y]] = ada[b, y] + adb [a, y]

= (a)((b)(y)) - (b)((a)(y)) = [(a), (b)](y) ; y  G Suy ra [a, b] = [(a), (b)]

Vậy  là đồng cấu Lie

ii) Giả sử x  Ker, y  G; ta có: [x, y] = adx(y) = 0, y  G  x  T (T là tâm của G)

Ngược lại, x  T  [x, y] = 0, y  G  adx(y) = 0, y  G

 adx = 0  (x) = 0  x  Ker

 Ker = T

1.3.10 Nhận xét

Cho G là một đại số Lie trên trường K Giả sử  là một tự đẳng cấu bất kỳ

Ta chú ý tới sơ đồ sau:

Chương II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ NHÓM LIE,

ĐẠI SỐ LIE CỦA CÁC NHÓM LIE

Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản về nhóm Lie, đại số của các nhóm Lie

2.1.2 Ví dụ

a) Tập số thực khác không R* với cấu trúc khả vi thông thường là một nhóm

đói với phép nhân thông thường là một nhóm Lie Aben

y i y x

c) GL(n , R) là tập các ma trận vuông thực cấp n, không suy biến là một

nhóm đối với phép nhân ma trận và là một đa tạp con mở trong đa tạp Mn cũng là

một nhóm Lie (giao hoán khi n=1 và không giao hoán khi n  1)

Rõ ràng Ra là một song ánh Ta chứng minh Ra liên tục Cho bất kì lân cân W của

xa, ta chứng minh tồn tại lân cận U của x để Ra (U)  W Thật vậy, từ tình liên tục

của phép toán nhóm  trong G, tồn tại lân cận U của x là lân cận V của a để UV 

Tương tự đối với aF và F-1

b) Giả sư G là một nhóm Lie, V là tập mở trong G và P là tập bất kì trong G

Khi đó VP, PV, V-1 đều là các tập mở trong G

Thật vậy:

c) Đối với bất kì hai phần tử p q thuộc nhóm Lie G đều tồn tại phần tử a 

G sao cho qua phép tịnh tiến phải Ra thì p biến thành q

Thật vậy: Ta đặt a = p-1q thì khi đó

Ra : G  G

x  Ra (x) = xa = x(p-1q), nên Ra (p) = p(p-1q) = q Mặt khác, nếu có R`~

H nhóm con mở trong G thì H cũng đóng trong G

Thật vậy:

Giả sử H mở, từ e  H nên có lân cận U của e mở U  H

Khi đó U.y là lân cận của y  H

Giả sử Uy  U   Điều này có nghĩa là có z  U.y, z  U

Từ (1) và (2) ta suy ra H  G mở trong G Do đó H vừa mở vừa đóng trong G

Từ G liên thông H = G

2.2 Đại số Lie của nhóm Lie

0 1

Từ (1) và (2) ta suy ra X(gof) =(X'g) of, g  F(M')

• Giả sử Y - liên hệ với Y’ ta cũng có: [X,Y] là f - liên hệ với[X’,Y’]

Thật vậy:

 pM và g  FM', ta có:

(f*p([X,Y (p))) (g) = ([X,Y](p))(gof)

= X(p)(Y(gof))-Y(p)(X)(gof))

= X(p)((Y'g) of))-Y(p)(X'g) of

= (X(Y'g) of))-Y((X'g) of))(p)

= (X((Y'g) of- Y((X'g) of))(p)

= ((X'(Y'g)) of - (Y'(X'g)) of)(p)

= (X'(Y'g)) of(p) -(Y'(X'g) of (p)

= (X'(Y'g)) (f(p)) - (Y'(X'g)(f(p)) (1) Mặt khác ta có:

([X',Y'](f(p)))(g) = X'(f(p))(Y'g) - Y'(f(p))(X'g)

Tương tự Y là La - liên hệ với Y

Từ đó suy ra [X,Y] là La - liên hệ với [X,Y] do đó:

(La)*p [X,Y] p = [X,Y] q

Vậy [X,Y] là trường vectơ bất biến trái

2.2.5 Hệ quả

Tập G các trường vec tơ bất biến trái trên G là một đại số con của đại số

Lie B(G) và được gọi là đại số Lie của nhóm Lie G

2.2.6 Nhận xét

Ta xét : G  TeG

X  Xe

Khi đó  đẳng cấu tuyến tính

Do đó về phương diện vec tơ, ta có thể đồng nhất đại số Lie G với TeG, vì

vậy dim G= dim G

Cho  : G  G’ là đồng cấu giữa các nhóm Lie, kí hiệu G và K theo thứ tự

là đại số Lie của nhóm Lie G và G’ Gỉa sử X  G, Y  G’ và  *e X e = Y e Khi đó

ta có:  *a (X a ) = Y  (a) ;  a  G

Chøng minh:

Ta có: Y(a) = (L (a))*e Ye'

= (L (a))* (e)(*e(Xe)) = (L(a))*(e) *e(Xe) = (L (a) )*e(Xe) (1) Mặt khác: *a(Xa) = *a((La)*e(Xe))

= *a(La)*e(Xe)

= ( La)*e(Xe)

= (L(a) )*e(Xe) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: *a(Xa) =Y (a)'; aG

Mệnh đề này cho ta thấy rằng với giả thiết như trong mệnh đề thì X là  -

liên hệ với Y

2.2.9 Mệnh đề

Giả sử  : G  G là tự đẳng cấu của nhóm Lie G

Khi đó  * :F(G)  F(G) biến trường vec tơ bất biến trái thành trường vec tơ bất biến trái

Chứng minh:

: G  G

a b

*(A)A’

Giả sử A G, ta cần chứng minh *(A) = A’ bất biến trái

Nghĩa là ta cần chứng minh: (Lb)(A’) = A’;  b  G

Giả sử (a) = b thì a = -1(b)

(Lb)(A’) = (Lb)(*A)

Đại số Lie của nhóm Lie O (n) : G là tập các ma trận phản xứng

a) Nhận xét: Nhóm trực giao O(n) đóng trong Mat (n , R)

xik xjk là hàm đa thức bậc hai của n2 ẩn

A  O(n) nên f(A) = A.A' = I suy ra O(n) = f -1({ I })

Mà {I} đóng trong Mat (n , R), f là ánh xạ liên tục nên O(n) đóng trong Mat

(n , R) Vì GL (n , R) là không gian tô pô con của Mat(n , R) với tô pô cảm sinh từ Mat(n , R) nên O(n) đóng trong Mat(n , R) cũng đóng trong GL(n , R)

Vậy O(n) là nhóm con đóng của nhómLie GL (n , R) nên O(n) cũng là một nhóm Lie

b) Chứng minh: Đại số Lie của nhóm Lie O(n): G là tập các ma trận phẩn



 

 A’(0).A*(0) + A(0).(A*)’(0) = 0

 A’(0)+ (A*)’(0) = 0  A'(0) +(A'(0))* = 0

 A’(0) là ma trận phản xứng

Vậy vec tơ TeOn là các ma trận phản xứng

+) Ngược lại, X là ma trận phản xứng, ta xét đường cong x(t) = I + tX, ( với t đủ nhỏ)

+) Giả sử x(t) là đường cong bất kì trong Gl(n, R) qua I

Khi đó detx(t)  0, và x(t0) = I  x(t) = I + A(t)  Gl(n, R); A(t0) = 0

Xét đường cong x(t) = I + tA (Với t đủ nhỏ sao cho tA < 1)

KẾT LUẬN

Luận văn đã đạt kết quả sau:

- Hệ thống một số khái niệm cơ bản về đại só Lie, đồng cấu Lie, phép đạo hàm trên đại số Lie và chỉ ra một số ví dụ về đại số Lie, đồng cấu Lie, phép đạo hàm trên đại số Lie Chứng minh chi tiết các tính chất của một số đại số Lie(mệnh đề: 1.1.7; 1.2.5; 1.3.9)

-Hệ thống một số khái niệm cơ bản và chỉ ra một số ví dụ về nhóm Lie Chứng minh chi tiết một só tính chất về nhóm Lie.(Mệnh đề: 2.13; 2.15; 2.17)

- Trình bày các khái niệm về trường véc tơ bất biến trái, trường véc tơ bất biến phải Chúng minh một số tính chất về đại số Lie của nhóm Lie( Mệnh đề: 2.2.7; 2.2.8; 2.2.9)

- Trình bày ví dụ về đại số Lie của nhóm Lie các ma trận( Đại số Lie của nhóm Lie O(n;R); đại số Lie của nhóm Lie GL(n;R))