Một số tính chất về đại số lie của các nhóm lie

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HỒ ĐỨC TRÁNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ ĐẠI SỐ LIE CỦA CÁC NHÓM LIE Luận văn thạc sĩ toán học Nghệ An 19.10.2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HỒ ĐỨC TRÁNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ ĐẠI SỐ LIE CỦA CÁC NHÓM LIE Chuyên ngành: Hình học - Tô pô Mã số: 60 40 10 Người hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Hữu Quang Nghệ An 19.10 20 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chương I Đại số Lie 1.1 Đại số Lie 1.2 Đồng cấu Lie 1.3.Phép đạo hàm đại số Lie .10 Chương II Một số tính chất nhóm Lie, đại số nhóm Lie 2.1 Nhóm Lie 19 2.2 Phép đạo hàm đại số Lie .25 Kết luận 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO .34 LỜI NÓI ĐẦU Như biết, phát triển Toán xảy hai trình song song, phân chia thành nhiều ngành để có nghiên cứu ngày sâu sắc, mặt khác có kết hợp ngành Toán học khác để có thành tựu lớn Có thể nói: Lý thuyết nhóm Lie đại số Lie kết hợp chuyên ngành Hình học – Tôpô, Giải tích Đại số Do đại số Lie phận quan trọng toán học đại trở thành công cụ hữu hiệu nghiên cứu đa tạp Vào cuối kỷ 19 xuất kết hợp lý thuyết nhóm hình học Riemann công trình chủ yếu Phêlix Klein (1849 – 1925) Xôphux Lie (1842 – 1899) Lý thuyết nhóm Lie đại số Lie ứng dụng nhiều nghiên cứu lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng tử ngành khác toán học Vì chọn đề tài: “ Một số tính chất đại số Lie nhóm Lie” Nội dung chủ yếu luận văn tập hợp cách hệ thống, trình bày chúng minh chi tiết đại số Lie Của nhóm Lie Luận văn trình bày hai chương ChươngI Đạiu số Lie Trong chương này, trình bày tính chất đại số Lie, đại số Lie G trường K, phép đạo hàm đại số Lie đòng cấu Lie 1.1 Đại số Lie 1.2 Đồng cấu Lie 1.3 Phép đạo hàm đại số Lie Chương II Một số tính chất nhóm Lie, đại số nhóm Lie 2.1 Nhóm Lie 2.2 Đại số Lie nhóm Lie Trong luận văn này, trình bày định nghĩa tính chất nhóm Lie, đại số Lie nhóm Lie vài ví dụ đại số Lie nhóm Lie ma trận Luận văn hoàn thành vào tháng 10 năm 2013 Trường Đại học Vinh với hướng dẫn PGS TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này, tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người hướng dẫn tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo môn Hình học - Tôpô, thầy cô giáo khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh, cảm ơn lãnh đạo, đồng nghiệp Trường THPT Quỳnh Lưu nhiệt tình giảng dạy, góp ý tạo điều kiện cho tác giả trình học tập thực luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Vinh, tháng 10 năm 2013 Tác giả Chương I Đại số Lie Trong chương này, trình bày tính chất đại số Lie, đại số Lie G trường K, phép đạo hàm đại số Lie đồng cấu Lie 1.1 Đại số Lie Trong mục này, ta giả thiết R vành giao hoán đơn vị G môđun R 1.1.1 Định nghĩa G gọi đại số R G trang bị phép toán mới: GG  G (a,b)  a.b ( Phép toán “.” : gọi tích G) thỏa mãn: 1) a(b + c) = ab + ac ;  a,b,c  G 2) (a + b)c = ac+ bc ;  a,b,c  G 3) (  a)b = a(  b) ;  a,b  G,    R + Nếu tích có tính giao hoán G gọi đại số giao hoán + Nếu tích có tính kết hợp G gọi đại số kết hợp + Nếu a.b=0; a, b thuộc G, ta nói G đại số tầm thường 1.1.2 Ví dụ a) Ta kí hiệu F(G) tập hợp tất dạng tuyến tính môđun G Ta đưa vào F(G) phép toán sau): (f + g)(x) = f(x) + g(x) ;  f, g  F(G),  x  G (  f)(x) =  f(x) ;  f  F(G),  x  G,   R (f.g)(x) = f(x).g(x) ;  f, g  F(G),  x  G Khi F(G) đại số R b) Ta kí hiệu Mn = { A/ A ma trận vuông thực cấp n} với phép toán ma trận thông thường với phép toán: A + B,  A, A.B Khi Mn đại số kết hợp không giao hoán 1.1.3 Định nghĩa Cho G đại số G G gọi đại số Lie tích [,] thõa mãn: 1) [x, y] = -[y, x];  x, y  G ([,]có tính phản xứng) 2) [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0;  x, y, z  G ([,]có tính Jacobi) Chú ý: Điều kiện 1) tương đương với điều kiện: [x, x] =0;  x  G 1.1.4 Ví dụ a) Ta xét M = В(Rn) tập tất trường véc tơ khả vi Rn Khi M đại số Lie với tích Lie [X, Y] = D X Y  D Y X;  X, Y  В(Rn) Chứng minh: Ta biết rằng: В(Rn) trang bị hai phép toán: (+) Phép cộng trường véc tơ   với X : p  X p ; Y : p  Yp , với p thuộc Rn thì:   X + Y : p  X p  Y p , p  Rn (+) Phép nhân trường véc tơ với hàm số khả vi Rn  với X : p  X p ;  : Rn  R; p  Rn p   ( p)  thì:  X : p    p  X p ; p  Rn , không gian véc tơ trường R Với hai phép toán M môđun F(Rn) ( F(Rn) vành giao hoán có đơn vị ánh xạ khả vi Rn Rn) Mặt khác, dễ dàng chứng minh tích Lie [X, Y] = D X Y  D Y X có tính chất song tuyến tính nên B (Rn) trở thành đại số Ở ta kiểm tra hai điều kiện đại số Lie Với X thuộc B (Rn), dễ thấy [X, X] = D X X - D X X = Với X, Y, Z thuộc B (Rn), f thuộc F(Rn), xét [X, [Y, Z]] [f] = X[[Y, Z][f]] – [Y, Z][X[f]] = X[Y[Z[f]]] – X[Z[Y[f]]] –Y[Z[X[f]]] + Z[Y[X[f]]] Hoàn toàn tương tự ta có: [Y, [Z, X]][f] = Y[Z[X[f]]] – Y[X[Z[f]]] – Z[X[Y[f]]] + X[Z[Y[f]]] [Z, [X, Y]][f] = Z[X[Y[f]]] – Z[Y[X[f]]] – X[Y[Z[f]]] + Y[X[Z[f]]] Cộng vế theo vế ta có đẳng thức Jacobi Vậy M = B (Rn) đại số Lie b) Không gian R3 với tích có hướng thông thường đại số Lie thực 3chiều Hiển nhiên R3 không gian vectơ trường số thực nên ta cần kiểm tra tính chất Lie [x, y] = x  y  x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), z = (z1, z2, z3) ∈ R , λ1, λ2 ∈ R ta có: + [λ1x + λ2y, z] = (λ1x + λ2y)  z = λ1x  z + λ2y  z = λ1[x, z] + λ2[y, z] [x, λ1y + λ1z] = x  (λ1y + λ1z) = λ1x  y + λ2x  z = = λ1[x, y] + λ2[x, z]+ [x, x] = x  x = + Sử dụng tọa độ ta có: [[x,y],z]=(x  y)  z = (x3y1z3 − x1y3z3 − x1y2z2 + x2y1z2,, x1y2z1 − x2y1z1 − x2y3z3 + x3y2z3,, x2y3z2 − x3y2z2 − x3y1z1 + x1y3z1) [[y,z],x]=(y  z)  x = (y3z1x3 − y1z3x3 − y1z2x2 + y2z1x2, y1z2x1 − y2z1x1 − y2z3x3 + y3z2x3, y2z3x2 − y3z2x2 − y3z1x1 + y1z3x1); [[z,x],y]=(z  x)  y = (z3x1y3 − z1x3y3 − z1x2y − 2+ z2x1y2, z1x2y1 − z2x1y1 − z2x3y3 + z3x2y3, z2x3y2 − z3x2y2 − z3x1y1 + z1x3y1) (1) Suy [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 1.1.5 Mệnh đề Tổng trực tiếp hữu hạn đại số Lie đại số Lie với tích Lie: [, ] : G× G→ G (X, Y )  [X, Y ] = ([X1, Y1], , [Xn, Yn]) Trong đó, X = (X1, ,Xn), Y = (Y1, , Yn),Xi, Yi ∈ Gi, i = 1, , n Chứng minh: Giả sử G1, G2, , Gn đại số Lie Đặt G = g1  g2   gn Khi G không gian vectơ Ở ta kiểm tra [.,.] ánh xạ thỏa mãn điều kiện trở thành tích Lie: +  X, Y, Z ∈ G, X = (X1, ,Xn), Y = (Y1, , Yn), Z = (Z1, ,Zn),  α, β ∈ K, ta có: [αX + βY,Z] = ([αX1 + βY1, Z1], , [αXn + βYn, Zn]) = (α[X1, Z1] + β[Y1, Z1], , α[Xn, Zn] + β[Yn, Zn]) = α[X, Z] + β[Y,Z] Tương tự: [X, αY + βZ] = α[X, Y ] + β[X, Z] +  X ∈ G, [X,X] = ([X1,X1], , [Xn,Xn]) = +  X, Y, Z ∈ G [[X, Y ], Z] + [[Y,Z],X] + [[Z,X], Y ] = ([[X1, Y1], Z1], , [[Xn, Yn], Zn])+([[Y1, Z1],X1], , [[Yn, Zn],Xn])+([[Z1,X1], Y1], , [[Zn,Xn], Yn]) = ([[X1,Y1],Z1]+[[Y1,Z1],X1]+[[Z1,X1],Y1], ,[[Xn, Yn], Zn]+[[Yn, Zn],Xn]+[[Zn,Xn], Yn])= (0, , 0) = 1.1.6 Mệnh đề (Xem [4]) Giả sử G đại số kết hợp trường K Ta đặt [a, b] = a.b  b.a;  a, b  G Khi G đại số Lie Chứng minh: Ở đây, ta kiểm tra tính chất phản xứng đẳng thức Jacobi [,] Ta có [a, a] = a.a  a.a = Và [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = [a, bc – cb] + [b, ca – ac] + [c, ab – ba] = abc – acb – bca + cba +bca – bac – cab +acb +cab – cba – abc + bac= Vậy G đại số kết hợp trường K, với [a, b] = ab – ba;  a, b  G G đại số Lie 1.1.7 Ví dụ Giả sử V không gian vec tơ K Xét tích Lie : [f,g] = f  g-g  f với f,g  End(V) Khi End(V) đại số Lie K ( Ở End(V) từ đồng cấu tuyến tính V  V) Chứng minh:  End(V) với hai phép cộng ánh xạ nhân ánh xạ với số thực thông thường lập thành không gian vec tơ thực  [f, f] = fof – f0f =  [[g, f], h] + [[f,h], g] + [[h, g], f] = gfh – fgh – hgf + hfg + fhg – hfg – gfh +ghf +hgf – ghf – fhg + fgh = 0,  f, g, h  End(V) 1.1.8 Định nghĩa i) Một không gian vectơ N  G gọi đại số Lie L [N, N]  N ii) Không gian vectơ N  G gọi Iđêan G nếu: [G, N]  N iii) Một Iđêan N cực đại G thỏa mãn [G, N] = N gọi tâm G 1.1.9 Nhận xét 2.1.2 Ví dụ a) Tập số thực khác không R* với cấu trúc khả vi thông thường nhóm đói với phép nhân thông thường nhóm Lie Aben Chứng minh: +) (R*, x) nhóm giao hoán +) R* C đa tạp +) Các phép toán: f: g: R*  R* (x, y)  x+y R*   x R* x-1 = x C ánh xạ b) Đường tròn đơn vị S1là nhóm Lie Chứng minh: S1 = { z  C ,  z = } Là nhóm C* - nhóm nhân số phức khác không S1 C đa tạp Các phép toán: : S1x S1  S1 (z, z')  z.z' = (x + iy)(x' + iy') = xx' - yy' + i(xy' + x'y);  x, x', y, y'  R : S1 z  S1  z-1 = (x + iy)-1 x y i ,  x, x', y, y'  R x y x  y2 Là C - ánh xạ 20 c) GL(n , R) tập ma trận vuông thực cấp n, không suy biến nhóm phép nhân ma trận đa tạp mở đa tạp Mn nhóm Lie (giao hoán n=1 không giao hoán n  1) Chứng minh: +) GL(n , R) nhóm với phép nhân ma trận thông thường +) GL(n , R) đa tạp khả vi: Xét ánh xạ det: Mat(n, R) R  X  det X Ánh xạ det ánh xạ khả vi Khi GL(n , R) =det-1(R\0) GL(n , R) tập mở Mat(n , R) Do GL(n , R) đa tạp khả vi +) Các ánh xạ: f: (GL(n , R), GL(n , R))  GL(n , R) (A, B)  A.B và: g: GL(n , R)  GL(n , R) A  A-1 Là ánh xạ khả vi lớpC Từ điều kiện suy GL(n , R) nhóm Lie 2.1.3 Mện đề Giả sử a phần tử cố định nhóm Lie G Các ánh xạ sau vi phôi: i) Phép tịnh tiến phải theo a: Ra : G  G 21 x  Ra(x) = xa;  x  G ii) Phép tịnh tiến trái theo a: La : G  G x  La(x) = ax;  x  G iii) Phép lấy nghịch đảo: :G  G x  (x) = x-1;  x  G Chứng minh: Rõ ràng Ra song ánh Ta chứng minh Ra liên tục Cho lân cân W xa, ta chứng minh tồn lân cận U x để Ra (U)  W Thật vậy, từ tình liên tục phép toán nhóm  G, tồn lân cận U x lân cận V a để UV  W Nhưng Ra (U) = Ua  UV Do Ra (U)  W, tức U lân cận càn thiết Mặt khác (Ra)-1 Liên tục Ta lưu ý rằng: (Ra)-1: xa  x vµ x = (xa)-1a-1 Do kí hiệu xa = y thì: (Ra)-1 = y  ya-1 Nghĩa (Ra)-1 = Ra-1 Do Rb liên tục  b  G Vậy (Ra)-1 liê tục, tức Ra-1 liên tục Bây chứng minh Ra vi phôi: • Chứng minh Ra khả vi: Ký hiệu  phép nhóm G kí hiệu: f : G  GxG x  f(x) = (x , a); với x  G thì: 22 f  G  GxG  G x  (x, a)  xa Ra = 0 f Ánh xạ  cho khả vi Theo định nghĩa ánh xạ khả vi từ đa tạp tới đa tạp theo định nghĩa đa tạp tích dễ kiểm tra f khả vi  Ra = 0f khả vi • Chứng minh (Ra)-1 khả vi: (Ra)-1 = Ra-1 Rb khả vi b  G nên (Ra)-1 khả vi Chứng minh cho trường hợp La  tương tự 2.1.4 Nhận xét a) Giả sử G nhóm Lie, a  G , F tập đóng t G, Fa, aF, F-1 tập đóng G Thật vậy: Do Ra : G  G ; x  Ra(x) = xa vi phôi nên Ra biến tập đóng F thành tập đóng Ra(F) = Fa Tương tự aF F-1 b) Giả sư G nhóm Lie, V tập mở G P tập G Khi VP, PV, V-1 tập mở G Thật vậy: 23 Với a  P; ta cã Va mở G Do VP =  Va mở G tương tự đối aP với PV, V-1 tập mở G c) Đối với hai phần tử p q thuộc nhóm Lie G tồn phần tử a  G cho qua phép tịnh tiến phải Ra p biến thành q Thật vậy: Ta đặt a = p-1q Ra : G  G x  Ra (x) = xa = x(p-1q), nên Ra (p) = p(p-1q) = q Mặt khác, có R (p) = q th× p· = q  · = p-1q = a `~ a Nhận xét ta thấy nhóm Lie G không gian thống 2.1.5 Mệnh đề Mọi nhóm Lie G không gian tô pô quy Chứng minh: Để chứng minh mệnh đề ta cần tìm hai lân cận không giao tập đóng F e, e  F (e đơn vị G) Vì ee-1 = e G\F lân cận e, nên tồn lân cận V e để V-1 V G\F Do yV mở , nên U =  yV mở U chứa F yF Ta chứng minh U lân cận F cần tìm Giỉa sử với y  F mà V  yV =  Khi Khi ta có z, z1  V, z = yz1 suy y = z.z-1  G\F Điều mâu thuẫn Vậy yV  V = ,  y  F Từ U  V =  2.1.6 Bộ đề 24 H nhóm mở G H đóng G Thật vậy: Giả sử H mở, từ e  H nên có lân cận U e mở U  H Khi U.y lân cận y  H Giả sử Uy  U   Điều có nghĩa có z  U.y, z  U  z  u y ; u U  z H  y = z.u-1 ; u  H, z  H  y  H, vô lý Vậy với y  H, điều Uy  U =  2.1.7 Mệnh đề Mỗi nhóm Lie thông thường sinh lân cận mở tùy ý V đơn vị e Chứng minh: Giả sử V lân cận mở e Khi V-1 lân cận mở e Do V  V-1   Ta đặt W = V  V-1 Ta có W lân cận mở e W = W-1 Ta ký hiệu H nhóm sinh W H hợp tất phần tử có dạng Wi.(W-1)j, : Wi = W.W W (i lần) (W-1)j = W-1.W-1 W-1 (j lần) Nhưng W-1 = W suy H  U W k (1) k Lại W mở G nên Wk mở G (2) Từ (1) (2) ta suy H  G mở G Do H vừa mở vừa đóng G Từ G liên thông H = G 25 2.2 Đại số Lie nhóm Lie 2.2.1 Định nghĩa Trường vectơ X G gọi trường vectơ bất biến trái nếu: (La)* X = X,  a  G Ta ký hiệu G tập trường vectơ bất biến trái G 2.2.2 Nhận xét Mỗi trường vecto bất biến trái hoàn toàn xác định giá trị đơn vị e G Thật theo định nghĩa  X g,  a  G, ta có: ( La)* e Xe =XaR =Xa 2.2.3 Ví dụ G = Rn ( G nhóm Lie với phép cộng thông thường) Với a  Rn, La: Rn  Rn x  a+x Như La(x1, ,xn) = (a1 + x1, , an + xn); với x(x1, ., xn)  R n a(a1, , an ) Giả sử X trường vec tơ bất biến Rn Theo định nghĩa ta có: Xp+a =(La)* p(Xp) = JLa p(xp) 26 1 =  0 0  (X )  p 1 = Xp ; a  R n Vậy Xa+p = Xp; a  R n Như trường vectơ bất biến trái Rn trường vectơ song song; (nghĩa X(X1, , Xn) Xj hàm  j = 1, ,n) - Giả sử f: M  M' ánh xạ khả vi đa tạp M đến đa tạp M' Như ta biết trường vec tơ X  Vectơ M gọi f - liên hệ với trường vec tơ X'  Vectơ M’ nếu: f*p (X(p)) =X'(f(p)),  p  M thì: • X(gof) =(X'g)of, g  F ( M') Thật vậy:  p  M  g F(M') ta có: ((X'g)f)(p) = (X'g)(f(p)) = X'(f(p))(g) (1) Vì X f - liên hệ với X' nên: X'(f(p))(g) = f*p(X(p))(g) = X(p)(gf) = (X(gf))(p);  p  M Từ (1) (2) ta suy X(gof) =(X'g) of, (2) g  F(M') • Giả sử Y - liên hệ với Y’ ta có: [X,Y] f - liên hệ với[X’,Y’] Thật vậy:  pM g  FM', ta có: (f*p([X,Y (p))) (g) = ([X,Y](p))(gof) 27 = X(p)(Y(gof))-Y(p)(X)(gof)) = X(p)((Y'g) of))-Y(p)(X'g) of = (X(Y'g) of))-Y((X'g) of))(p) = (X((Y'g) of- Y((X'g) of))(p) = ((X'(Y'g)) of - (Y'(X'g)) of)(p) = (X'(Y'g)) of(p) -(Y'(X'g) of (p) = (X'(Y'g)) (f(p)) - (Y'(X'g)(f(p)) (1) Mặt khác ta có: ([X',Y'](f(p)))(g) = X'(f(p))(Y'g) - Y'(f(p))(X'g) = (X'(Y'g))(f(p)) - (Y'(X'g)(f(p)) (2) Từ (1) (2) suy ra: (f*p([X,Y (p)))(g) = ([X',Y' (f(p)))(g),  p M  g  F(M') Do đó, [X,Y] f - liên hệ với [X',Y'] 2.2.4 Mệnh đề Tích Lie hai trường véctơ bất biến trái nhóm Lie G trường vectơ bất biến trái Chứng minh: Với X, Y  g ;  a  G, ta có: (La )* X = X suy (La)*p (Xp) = Xq (q = La (p)) Do X La - liên hệ với X Tương tự Y La - liên hệ với Y Từ suy [X,Y] La - liên hệ với [X,Y] đó: (La)*p [X,Y] p = [X,Y] q Vậy [X,Y] trường vectơ bất biến trái 28 2.2.5 Hệ Tập G trường vec tơ bất biến trái G đại số đại số Lie B(G) gọi đại số Lie nhóm Lie G 2.2.6 Nhận xét Ta xét  : G  TeG X  Xe Khi  đẳng cấu tuyến tính Do phương diện vec tơ, ta đồng đại số Lie G với TeG, dim G= dim G 2.2.7 Mệnh đề : Giả sử  đồng cấu : G  G’ a  (a) = a’ Khi đó:0La = L(a) Chứng minh: (La)(p) =(La(p)) = (a.p) = (a).(p) = L(a)((p)) =(L(a)  )(p);  p  G  La =L(a)    La =La’   2.2.8 Mệnh đề.: Cho  : G  G’ đồng cấu nhóm Lie, kí hiệu G K theo thứ tự đại số Lie nhóm Lie G G’ Gỉa sử X  G, Y  G’ *e X e = Y e Khi 29 ta có: *a(Xa) = Y(a) ; a  G Chøng minh: Ta có: Y(a) = (L (a))*e Ye' = (L (a))* (e)(*e(Xe)) = (L(a))*(e)  *e(Xe) = (L (a)  )*e(Xe) Mặt khác: *a(Xa) = *a((La)*e(Xe)) = *a(La)*e(Xe) = (  La)*e(Xe) = (L(a)  )*e(Xe) (1) (2) Từ (1) (2) suy ra: *a(Xa) =Y (a)'; aG Mệnh đề cho ta thấy với giả thiết mệnh đề X  liên hệ với Y 2.2.9 Mệnh đề Giả sử : G  G tự đẳng cấu nhóm Lie G Khi * :F(G)  F(G) biến trường vec tơ bất biến trái thành trường vec tơ bất biến trái Chứng minh: : G  G a b *(A)  A’ Giả sử A G, ta cần chứng minh *(A) = A’ bất biến trái Nghĩa ta cần chứng minh: (Lb)(A’) = A’; b  G Giả sử (a) = b a = -1(b) (Lb)(A’) = (Lb)(*A) 30 = (L(a))*(*A) = (La)*(A) = *((La)*A) = *A = A’; b Vậy A’ bất biến trái 2.2.10 Ví dụ: Đại số Lie nhóm Lie O(n): G tập ma trận phản xứng a) Nhận xét: Nhóm trực giao O(n) đóng Mat (n , R) Xét ánh xạ f: Mat(n , R)  A = (a,j) n f hàm liên tục f(X) =   Mat(n , R) f(A) = A.A' xik xjk hàm đa thức bậc hai n2 ẩn i ; j 1 A  O(n) nên f(A) = A.A' = I suy O(n) = f -1({ I }) Mà {I} đóng Mat (n , R), f ánh xạ liên tục nên O(n) đóng Mat (n , R) Vì GL (n , R) không gian tô pô Mat(n , R) với tô pô cảm sinh từ Mat(n , R) nên O(n) đóng Mat(n , R) đóng GL(n , R) Vậy O(n) nhóm đóng nhómLie GL (n , R) nên O(n) nhóm Lie b) Chứng minh: Đại số Lie nhóm Lie O(n): G tập ma trận phẩn xứng Với G = O(n) = { A  A.A* = I } Cấu trúc khả vi G cấu trúc cảm sinh từ R n phép nhân G phép nhân ma trận với phần tử đơn vị e = I +) Giả sử x(t) đường cong O(n), x(t) = A(t) với A(0) = I Từ A(t).A*(t) = I, ta suy : d ( A(t ) A (t )) |t o  dt  A’(0).A*(0) + A(0).(A*)’(0) = 31  A’(0)+ (A*)’(0) =  A'(0) +(A'(0))* =  A’(0) ma trận phản xứng Vậy vec tơ TeOn ma trận phản xứng +) Ngược lại, X ma trận phản xứng, ta xét đường cong x(t) = I + tX, ( với t đủ nhỏ) Khi ta có: x(t).x*(t) = I +t2(X.X*) = I + O(t) Rõ ràng t  0, x(t) tiếp xúc với O(n) tạiI Hay X  Te(O(n)) Như G tập ma trận phản xứng 2.2.11 Ví dụ: Đại số Lie nhóm Lie Gl(n, R) G = M n (R) Chứng minh: Từ ví dụ (c) phần 2.1.2, Nhóm Lie, ta biết Gl(n, R) lập thành nhóm Lie với phép toán ma trận thông thường với phần tử đơn vị e = I, (I ma trận đơn vị) +) Giả sử x(t) đường cong Gl(n, R) qua I Khi detx(t)  0, x(t ) = I  x(t) = I + A(t)  Gl(n, R); Ta có: A(t ) = d d x (t ) | t  t = A(t ) |t t0 = A’(t )  M n (R) dt dt   v  T I Gl(n, R)  v  M n (R)  T I Gl(n, R)  M n (R) (1) +) Ngược lại, giả sử A  M n (R) Xét đường cong x(t) = I + tA (Với t đủ nhỏ cho tA < 1) Khi ta có: x(t)  Gl(n, R)  d x (t ) | t 0  T I Gl(n, R) dt  A  T I Gl(n, R)  M n (R)  T I Gl(n, R) Từ (1), (2)  T I Gl(n, R) = M n (R) 32 (2) KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: - Hệ thống số khái niệm đại só Lie, đồng cấu Lie, phép đạo hàm đại số Lie số ví dụ đại số Lie, đồng cấu Lie, phép đạo hàm đại số Lie Chứng minh chi tiết tính chất số đại số Lie(mệnh đề: 1.1.7; 1.2.5; 1.3.9) -Hệ thống số khái niệm số ví dụ nhóm Lie Chứng minh chi tiết só tính chất nhóm Lie.(Mệnh đề: 2.13; 2.15; 2.17) - Trình bày khái niệm trường véc tơ bất biến trái, trường véc tơ bất biến phải Chúng minh số tính chất đại số Lie nhóm Lie( Mệnh đề: 2.2.7; 2.2.8; 2.2.9) - Trình bày ví dụ đại số Lie nhóm Lie ma trận( Đại số Lie nhóm Lie O(n;R); đại số Lie nhóm Lie GL(n;R)) 33 III TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Việt Dũng (1997), Lý thuyết đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh(Bài giảng cao học) [2] Nguyễn Thị Huệ (2010), Ánh xạ đạo hàm đại số Lie, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh [3] Lê Thế Mạnh (2011), Đại số Lie nhóm Lie ma trận, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hoàng Phương (2004), Lý thuyết nhóm ứng dụng vào vật lý lượng tử, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [5] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng Đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [6] Nguyễn Hữu Quang (2005), Đa tạp khả vi, Đại học Vinh Tiếng Anh [7] Alexander A Kirillov (2008), An introduction to Lie groups and Lie Algebras, Cambridge University Prees [8] Nathan Jacobson (1971), Lie Algebras, Courier Dover Publications 34 [...]... quả sau: - Hệ thống một số khái niệm cơ bản về đại só Lie, đồng cấu Lie, phép đạo hàm trên đại số Lie và chỉ ra một số ví dụ về đại số Lie, đồng cấu Lie, phép đạo hàm trên đại số Lie Chứng minh chi tiết các tính chất của một số đại số Lie( mệnh đề: 1.1.7; 1.2.5; 1.3.9) -Hệ thống một số khái niệm cơ bản và chỉ ra một số ví dụ về nhóm Lie Chứng minh chi tiết một só tính chất về nhóm Lie. (Mệnh đề: 2.13;... 2.17) - Trình bày các khái niệm về trường véc tơ bất biến trái, trường véc tơ bất biến phải Chúng minh một số tính chất về đại số Lie của nhóm Lie( Mệnh đề: 2.2.7; 2.2.8; 2.2.9) - Trình bày ví dụ về đại số Lie của nhóm Lie các ma trận( Đại số Lie của nhóm Lie O(n;R); đại số Lie của nhóm Lie GL(n;R)) 33 III TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Việt Dũng (1997), Lý thuyết đại số Lie và nhóm Lie, Đại học Vinh(Bài... Chương II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ NHÓM LIE, ĐẠI SỐ LIE CỦA CÁC NHÓM LIE Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản về nhóm Lie, đại số của các nhóm Lie 2.1 Nhóm Lie Trong mục này chúng tôi hệ thống các khái niệm về nhóm Lie đã được trình bày trong tài liệu [4], [ 7 ] ; [ 8 ] 2.1.1 Định Nghĩa Tập G được gọi là một nhóm Lie nếu các điều kiện sau thõa mãn: 1) G là một nhóm. .. Ánh xạ đạo hàm trên đại số Lie, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh [3] Lê Thế Mạnh (2011), Đại số Lie của nhóm Lie các ma trận, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hoàng Phương (2004), Lý thuyết nhóm và ứng dụng vào vật lý lượng tử, Nhà xuất bản Khoa học Kỹ thuật [5] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng Đại số Lie và nhóm Lie, Đại học Vinh [6] Nguyễn Hữu Quang (2005), Đa tạp khả vi, Đại học Vinh Tiếng... [X,Y] là trường vectơ bất biến trái 28 2.2.5 Hệ quả Tập G các trường vec tơ bất biến trái trên G là một đại số con của đại số Lie B(G) và được gọi là đại số Lie của nhóm Lie G 2.2.6 Nhận xét Ta xét  : G  TeG X  Xe Khi đó  đẳng cấu tuyến tính Do đó về phương diện vec tơ, ta có thể đồng nhất đại số Lie G với TeG, vì vậy dim G= dim G 2.2.7 Mệnh đề : Giả sử  đồng cấu : G  G’ a  (a) = a’ Khi đó:0La... gian tô pô con của Mat(n , R) với tô pô cảm sinh từ Mat(n , R) nên O(n) đóng trong Mat(n , R) cũng đóng trong GL(n , R) Vậy O(n) là nhóm con đóng của nhómLie GL (n , R) nên O(n) cũng là một nhóm Lie b) Chứng minh: Đại số Lie của nhóm Lie O(n): G là tập các ma trận phẩn xứng Với G = O(n) = { A  A.A* = I } 2 Cấu trúc khả vi trên G là cấu trúc cảm sinh từ R n và phép nhân trong G là phép nhân các ma trận... 1.2.5 Mệnh đề Ta ký hiệu L = {  |  là các tự đẳng cấu của đại số Lie G } Khi đó L lập thành một nhóm với phép nhân các ánh xạ thông thường Chứng minh: Ta ký hiệu M = {  |  là các tự đẳng cấu của G, G là không gian véc tơ} Lúc này M là một nhóm với phép nhân các ánh xạ thông thường Để chứng minh L là một nhóm, ta sẽ chứng minh L là nhóm con của M Cụ thể ta cần chứng minh nếu  ,   L thì     L và... DerG = {D | D là ánh xạ đạo hàm trên G} và ta trang bị các phép toán sau: +) (D 1 + D 2 )(a) = D 1 (a) + D 2 (a) ;  a  G +) (  D 1 )(a) =  D 1 (a) ;  a  G,    K +) [D 1 , D 2 ] = D 1  D 2 - D 2  D 1 1.3.4.Mệnh đề.(Xem[4]) DerG là đại số Lie trên trường R 14 Chứng minh: Dễ thấy DerG là đại số Ta kiểm tra 2 tính chất khác của đại số Lie của nó chỉ kiểm tra [,] thỏa mãn đồng nhất thức Jacôbi... y 5  x5 y 4 ; x5 y 3  x3 y 5 ; x3 y 4  x 4 y 3 ) Do đó   x, y    ( x),  ( y )  Từ các điều kiện trên ta có ngay  là đồng cấu Lie 1.2.4 Mệnh đề.(Xem[4]) Giả sử  : G  G’ là một đồng cấu Lie Khi đó: i) Im  là đại số Lie con của G’ ii) Ker  là Iđêan của G iii) Quan hệ đẳng cấu giữa các đại số Lie là quan hệ tương đương Chứng minh: i) Giả sử a’, b’  Im    a, b  G sao cho: a’ =  (a);... x, x', y, y'  R 2 x y x  y2 2 Là các C - ánh xạ 20 c) GL(n , R) là tập các ma trận vuông thực cấp n, không suy biến là một nhóm đối với phép nhân ma trận và là một đa tạp con mở trong đa tạp Mn cũng là một nhóm Lie (giao hoán khi n=1 và không giao hoán khi n  1) Chứng minh: +) GL(n , R) là một nhóm với các phép nhân các ma trận thông thường +) GL(n , R) là một đa tạp khả vi: Xét ánh xạ det: Mat(n, ... bày tính chất đại số Lie, đại số Lie G trường K, phép đạo hàm đại số Lie đòng cấu Lie 1.1 Đại số Lie 1.2 Đồng cấu Lie 1.3 Phép đạo hàm đại số Lie Chương II Một số tính chất nhóm Lie, đại số nhóm. .. II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ NHÓM LIE, ĐẠI SỐ LIE CỦA CÁC NHÓM LIE Trong chương này, trình bày định nghĩa tính chất nhóm Lie, đại số nhóm Lie 2.1 Nhóm Lie Trong mục hệ thống khái niệm nhóm Lie. .. biến phải Chúng minh số tính chất đại số Lie nhóm Lie( Mệnh đề: 2.2.7; 2.2.8; 2.2.9) - Trình bày ví dụ đại số Lie nhóm Lie ma trận( Đại số Lie nhóm Lie O(n;R); đại số Lie nhóm Lie GL(n;R)) 33 III