Một tính chất về linh hoá tử của môđun artin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ HẰNG THU MỘT TÍNH CHẤT VỀ LINH HÓA TỬ CỦA MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH - 2010 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ HẰNG THU MỘT TÍNH CHẤT VỀ LINH HÓA TỬ CỦA MÔĐUN ARTIN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: T.S.NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN VINH - 2010 4 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU .1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Phổ và giá của môđun 3 1.2. Sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether 4 1.3. Vành địa phương đầy đủ theo pôtô m -adic .5 1.4. Chiều Krull của môđun 6 1.5. Hệ tham số 7 1.6. Đối ngẫu Matlis 8 1.7. Biểu diễn môđun Artin .8 1.8. Chiều Noether của môđun Artin 10 1.9. Môđun đối đồng điều địa phương 11 1.10. Giá không trộn lẫn 12 Chương 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ LINH HÓA TỬ CỦA MÔĐUN ARTIN 2.1. Tính chất (*) của môđun Artin .15 2.2. Tính chất (*) của môđun đối đồng điều địa phương 23 KẾT LUẬN .29 TÀI LIỆU THAM KHẢO .30 MỞ ĐẦU Cho ( , )R m là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m. A là một R - môđun Artin và M là một R - môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim 0M d = > . Trước hết ta thấy rằng nếu p là một iđêan nguyên tố của R chứa Ann R M, khi đó p ∈ SuppM nên Mp ≠ 0. Theo Bổ đề Nakayama ta suy ra ( ) 0 p Mp M pM pMp = ≠ . Vì thế p ∈ Supp ( ) M pM , tức là p ⊇ Ann R ( ) M pM . Do đó ta luôn có: Ann R ( ) M p pM = với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ Ann R M. Một cách tự nhiên, đối với lớp môđun Artin A, Nguyễn Tự Cường và Lê Thanh Nhàn [5] đã xét tính chất sau và họ gọi tính chất này là tính chất (*): Ann R (0: A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ Ann R A (*) Tuy nhiên tính chất (*) này lại không đúng cho tất cả các môđun Artin A, kể cả trường hợp ( ) d m A H M= là môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất của môđun hữu hạn sinh M với giá là iđêan cực đại m. Mục đích của luận văn là dựa vào các bài báo [5] của Nguyễn Tự Cường, Lê Thanh Nhàn và [6] của Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn để nghiên cứu tính chất (*) của môđun Artin và môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất ( ) d m H M . Ngoài phần Mở đầu, Kết Luận và Tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 2 chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. 6 Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của đại số giao hoán có sử dụng trong luận văn. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. Chương 2: Một tính chất về linh hoá tử của môđun Artin. Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày về tính chất (*) của môđun Artin và tính chất (*) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất. Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2010 tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn, giúp đỡ tận tình chu đáo và nghiêm khắc trong suốt quá trình học và nghiên cứu. Cũng nhân dịp này, tôi xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau Đại học, các thầy cô giáo trong khoa Toán và tổ Đại số đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Đông Sơn 2, các đồng nghiệp trong tổ Toán, các anh, các chị và các bạn trong lớp cao học 16 Đại số và Lý thuyết số đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tráng khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả 7 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở của đại số giao hóa có sử dụng trong luận văn như: Phổ và giá của môđun, sự phân tích nguyên sơ của môđun, vành địa phương đầy đủ theo tôpô m -adic, chiều Krull của môđun, hệ tham số, đối ngẫu Matlis, biễu diễn thứ cấp của môđun Artin, chiều Noether của môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, giá không trộn lẫn. 1.1. Phổ và giá của môđun 1.1.1. Phổ của vành. Iđêan p của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu ∀ ,a b ∈ R mà ab ∈ R thì suy ra a p∈ hoặc b ∈ p . Tập tất cả của iđêan nguyên tố của R được ký hiệu là SpecR gọi là phổ của vành R . Với mỗi iđêan I của R ta ký hiệu ( )V I = { p∈ Spec ,R p I⊇ } . 1.1.2. Giá của môđun. Cho M là một R – mô đun. Ta gọi giá của môđun M là tập được ký hiệu Supp M = { p∈ Spec } 0 p R M ≠ ⊆ Spec R . Với mỗi x M ∈ ta ký hiệu Ann ( ) { } / 0 ; R x a R ax= ∈ = Ann { } { } / 0 / 0, R M a R aM a R ax x M= ∈ = = ∈ = ∀ ∈ . Ta có Ann ( ) R x và Ann R M là những iđêan của M ; Ann R M được gọi là linh hoá tử của môđun M . Hơn nữa 8 Supp M = V (Ann R M ). 1.2. Sự phân tích nguyên sơ của Noether 1.2.1. Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán và M là một R -môđun. (i). Iđêan q R≠ của R được gọi là iđêan nguyên sơ nếu với mọi r R∈ , phép nhân bởi r trên /R q là đơn cấu hoặc luỹ linh.Trong trường hợp này ( )Rad q là một iđêan nguyên tố, chẳng hạn p và ta gọi q là p -nguyên sơ. (ii). Môđun con N M≠ của M được gọi là nguyên sơ nếu tồn tại một iđêan nguyên tố p của R sao cho Ass( /M N )= { } p .Khi đó ta cũng nói N là p - nguyên sơ. (iii). Cho N là môđuncon của M .Một phân tích nguyên sơ của N là một biểu diễn 1 2 . n N M M M= ∩ ∩ ∩ , trong đó i M là các môđun con i p -nguyên sơ của M .Phân tích trên được gọi là thu gọn nếu các i p là đôi một phân biệt và không có i M nào thừa. 1.2.2. Chú ý. (i). Nếu 1 M và 2 M là các môđun con p -nguyên sơ của M thì 1 2 M M∩ cũng là môđun con p -nguyên sơ của M .Vì thế mọi phân tích nguyên sơ của môđun con N đều có thể quy về một phân tích thu gọn. (ii). Khi M R= và R là vành Noether thì khái niệm môđun con nguyên sơ trùng với khái niệm iđêan nguyên sơ . Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại phân tích nguyên sơ của mọi môđun con của môđun Noether và tập các iđêan nguyên tố liên kết có thể được xác định thông qua một phân tích nguyên sơ thu gọn. 1.2.3. Định lý. Cho M là R - môđun Noether và N là môđun con của M .Khi đó ta có. 9 (i). N có sự phân tích nguyên sơ thu gọn. (ii). Nếu 1 2 . n N N N N= ∩ ∩ ∩ ; và ' ' ' 1 2 . m N N N N= ∩ ∩ ∩ ; là hai phân tích nguyên sơ thu gọn của N , trong đó i N là i p -nguyên sơ, 1,2, .i n= và ' i N là ' i p - nguyên sơ, thì m n= và { } 1 2 , ., n p p p = { } ' ' ' 1 2 , ., n p p p Vì thế, { } 1 2 , ., n p p p không phụ thuộc vào sự phân tích nguyên sơ thu gọn của N .Hơn nữa ta có { } 1 2 , ., n p p p =Ass( /M N ). (iii).Cho 1 2 . n N N N N= ∩ ∩ ∩ , trong đó i N là i p -nguyên sơ, 1,2, .i n= , là phân tích nguyên sơ thu gọn của N .Nếu i p là phần tử tối thiểu trong tập Ass( /M N ) thì môđun con i N tương ứng không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ thu gọn của N . 1.2.4. Mệnh đề. Cho R là vành Noether, M là R - môđun hữư hạn sinh và N là môđun con của M .Khi đó N là môđun con nguyên sơ khi và chỉ khi với mọi r R∈ , phép nhân bởi r trên /M N là một đơn cấu hoặc luỹ linh.Trong trường hợp này tập (Rad Ann( /M N )) là một iđêan nguyên tố p và N là p -nguyên sơ. 1.3. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic 1.3.1. Định nghĩa. Trong luận văn này, Vành A được gọi là vành địa phương nếu A là vành Noether và A chỉ có một iđêan tối đại. Vành A được gọi là vành tựa địa phương nếu A chỉ có duy nhất một iđêan tối đại nhưng không nhất thiết là Noether. Vành A được gọi là vành nửa địa phương nếu A chỉ có hữư hạn iđêan tối đại. 1.3.2. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic. Cho ( ,R m ) là một vành địa phương.Ta xét R như một vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan , 0,1,2 . t m t = .Chú ý cơ sở lân cận của một phần tử tuỳ ý r R∈ gồm các 10