Chiều krull và chiều noether của môđun artin

1 bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh ----------------------- Nguyễn thị Hiền Chiều Krull và chiều Noether của môdun Artin Chuyên ngành: Lý luận và phơng pháp dạy học bộ môn toán Mã số: 60. 14. 10 luận văn thạc sĩ Toán học Ngời hớng dẫn khoa học: TS. Chu Trọng Thanh 2 Vinh 2006 Mục lục Nội dung Trang Mục lục 01 Mở đầu 02 Chơng I. Kiến thức chuẩn bị 04 1.1. Iđêan nguyên tố, iđêan tối đại 04 1.2. Giá của môđun 04 1.3. Vành địa phơng 05 1.4. Vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m-adic 05 1.5. Môđun hữu hạn sinh 06 1.6. Môđun Noether và môđun Artin 06 1.7. Phân tích nguyên sơ 07 1.8. Biểu diễn thứ cấp 09 1.9. Chiều Krull của vành và môđun 11 1.10. Đa thức Hilbert 12 Chơng II. Chiều Noether và chiều Krull của môđun Artin 13 2.1. Chiều Noether của môđun Artin 13 2.2. Mối liên hệ giữa chiều Noether và chiều Krull của môđun Artin 18 Chơng III. Chiều Noether của môđun đối đồng điều địa phơng 24 3.1. Môđun đối đồng điều địa phơng 24 3.2. Chiều Noether của môđun đối đồng điều địa phơng 26 Kết luận của luận văn 32 Tài liệu tham khảo 33 3 Mở đầu Trong toàn bộ luận văn luôn giả thiết R là vành giao hoán, có đơn vị, M là R- môđun và A là R-môđun Artin. Đã có một số khái niệm về chiều cho các môđun đ- ợc đa ra. Trớc hết, chiều Krull của M, ký hiệu bởi dim R M, đợc định nghĩa nh là chiều Krull của vành R/Ann R M (xem Chơng I, Mục 1.10). Tiếp theo, R. N. Roberts [6] đã giới thiệu khái niệm chiều Krull (Kdim) cho một môđun tuỳ ý và đa ra một số kết quả về chiều Krull cho các môđun Artin. Sau đó D. Kirby [4] đã đổi thuật ngữ của Roberts và đề nghị thành chiều Noether (N-dim) để tránh nhầm lẫn với chiều Krull đã đợc định nghĩa ở trên. Trong cả luận văn này, chúng tôi luôn dùng theo thuật ngữ của Kirby [4]. Chiều Noether của M, ký hiệu bởi N-dimM, đợc định nghĩa nh sau: Khi M = 0, đặt N-dimM = - 1. Bằng quy nạp, cho một số nguyên d 0, ta đặt N-dimM = d nếu N-dimM < d là sai và với mỗi dãy tăng M 0 M 1 . các môđun con của M, tồn tại số nguyên n 0 sao cho N-dim(M n + 1 /M n ) < d, với mọi n > n 0 . Nh vậy, N-dimM = 0 khi và chỉ khi M 0 và M là Noether. Đối với môđun Artin, khái niệm về chiều vừa nêu đều có những tính chất theo một nghĩa nào đó đối ngẫu với các tính chất về chiều Krull của môđun Noether. Khái niệm chiều Noether là phù hợp và cho nhiều thông tin nhất về cấu trúc của môđun Artin. Vì thế nhiều tác giả đã nghiên cứu môđun Artin A thông qua chiều Noether của A (xem [4], [6], [8], .). Mục đích của luận văn này là nghiên cứu chiều của môđun Artin và quan tâm đặc biệt tới chiều Noether của các môđun đối đồng điều địa phơng khi chúng là Artin. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn đợc chia làm 3 chơng. 4 Để giúp ngời đọc tiện theo dõi nội dung chính của luận văn, chơng đầu tiên chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán liên quan đến các kết quả và chứng minh trong luận văn. Trong Chơng II, chúng tôi trình bày các tính chất về chiều của môđun Artin; mối liên hệ giữa chiều Noether và chiều Krull của môđun Artin. Trong ch- ơng này chúng ta sẽ đa ra một số điều kiện đủ để chiều Noether và chiều Krull của một môđun Artin A là bằng nhau. Các kết quả của chơng này đợc viết dựa theo [2], [4], [6]. Chơng III, trình bày về chiều Noether của các môđun đối đồng điều địa ph- ơng )(MH i I khi chúng là Artin. Đặc biệt trong chơng này chúng tôi đa ra một số ví dụ nhằm làm sáng tỏ các kết quả ở Chơng II. Các kết quả của chơng này đợc viết dựa theo [1], [2]. Luận văn này đợc hoàn thành nhờ sự hớng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sự biết ơn sâu sắc tới cô. Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo và bạn bè đã giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Vinh, ngày tháng 10 năm 2006 Học viên thực hiện Nguyễn Thị Hiền 5 Chơng I. Kiến thức chuẩn bị Trong chơng này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ sở phục vụ cho việc chứng minh các kết quả của những chơng sau. 1.1. Iđêan nguyên tố, iđêan tối đại Iđêan P của vành R đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu P R và a,b R mà ab P thì suy ra a P hoặc b P. Iđêan P của vành R đợc gọi là iđêan tối đại nếu P R và P không thực sự chứa trong một iđêan J R nào của R. Tập tất cả các iđêan nguyên tố của R đợc ký hiệu là SpecR và gọi là phổ của vành R. Với mỗi iđêan I của R ta ký hiệu V(I) = {P P SpecR, P I}. Tập J(R) là giao của tất cả các iđêan tối đại của vành R đợc gọi là căn Jacobson của vành R. 1.2. Giá của môđun Cho M là một R-môđun. Ta gọi giá của môđun M là tập đợc ký hiệu SuppM = {P SpecR | M p 0} SpecR. Với mỗi x M ta ký hiệu Ann R (x) = {a R ax = 0}; 6 Ann R M = {a R aM = 0} = {a R ax = 0, x M}. Ta có Ann R (x) và Ann R M là những iđêan của M; Ann R M đợc gọi là linh hoá tử của môđun M. Hơn nữa SuppM = V(Ann R M). 1.3. Vành địa phơng Trong luận văn này, vành R đợc gọi là vành địa phơng nếu R là vành Noether và R chỉ có một iđêan tối đại. Vành R đợc gọi là vành tựa địa phơng nếu R chỉ có duy nhất một iđêan tối đại nhng không nhất thiết là Noether. Vành R đợc gọi là vành nửa địa phơng nếu R chỉ có hữu hạn iđêan tối đại. 1.4. Vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m-adic Cho (R, m ) là một vành địa phơng. Ta xét R nh một vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan m t , t = 0, 1, 2, . Chú ý rằng cơ sở lân cận của một phần tử tuỳ ý r R gồm các lớp ghép r + m t với t = 0, 1, 2, Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m -adic của R ký hiệu bởi R đợc định nghĩa bằng cách thông thờng theo ngôn ngữ của dãy Cauchy nh sau: Một dãy Cauchy trong R là một dãy (r n ) các phần tử của R sao cho với mọi t > 0, tồn tại số tự nhiên n 0 để r n - r m m t với mọi n, m > n 0 . Dãy (r n ) đợc gọi là hội tụ về dãy không nếu với mọi t > 0 tồn tại số tự nhiên n 0 để r n - 0 = r n m t với mọi n > n 0 . Hai dãy Cauchy (r n ) và (s n ) đợc gọi là tơng đơng, ký hiệu (r n ) (s n ) nếu dãy (r n - s n ) là dãy không. Khi đó quan hệ trên tập các dãy Cauchy là quan hệ tơng đ- ơng. Ta ký hiệu R là tập các lớp tơng đơng của các dãy Cauchy. Chú ý rằng nếu (r n ) và (s n ) là các dãy Cauchy thì các dãy (r n + s n ), (r n s n ) cũng là các dãy Cauchy và lớp tơng đơng của các dãy (r n + s n ), (r n s n ) là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tơng đơng của các dãy Cauchy (r n ) và (s n ), tức 7 là nếu (r n ) (r' n ) và (s n ) (s' n ) thì (r n + s n ) (r' n + s' n ) và (r n s n ) (r' n s' n ). Vì thế R đ- ợc trang bị hai phép toán 2 ngôi + và .; cùng với hai phép toán này, R lập thành một vành. Mỗi phần tử r R có thể đồng nhất với lớp tơng đơng của dãy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r. Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa các vành R R )(rr trong đó )(r là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r. Định nghĩa tơng tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0 là { m t M}. Khi đó M là một R -môđun với phép nhân với vô hớng nh sau: cho a = (a 1 , a 2 , ) R , x = (x 1 , x 2 , ) M . Ta có ax = (a 1 x 1 , a 2 x 2 , ) M . 1.5. Môđun hữu hạn sinh Cho M là một R-môđun. Một tập {x i } i I , x i M đợc gọi là một hệ sinh của M nếu x M thì x = Ji ii xa , J I, |J| < , a i R. Đặc biệt, khi |I| < thì ta nói M là R-môđun hữu hạn sinh. 1.6. Môđun Noether và môđun Artin 1.6.1. Định nghĩa. Cho M là R-môđun. Khi đó (i) M đợc gọi là môđun Noether nếu mọi dãy tăng các môđun con của M: M 1 M 2 M n đều dừng, tức là tồn tại số tự nhiên k sao cho M k = M k+1 = (ii) M đợc gọi là môđun Artin nếu mọi dãy giảm các môđun con của M: M 1 M 2 M n đều dừng. 8 (iii) Vành R gọi là vành Noether hoặc Artin nếu R xem nh là môđun trên chính nó là Noether hoặc Artin. Chú ý. M là Noether (tơng ứng Artin) khi và chỉ khi mọi tập khác rỗng các môđun con của M luôn có phần tử cực đại (tơng ứng cực tiểu) theo quan hệ bao hàm. 1.6.2. Mệnh đề. M là R-môđun Noether khi và chỉ khi mọi môđun con của M là hữu hạn sinh. 1.6.3. Mệnh đề. Cho dãy khớp các R-môđun 0 M' M M'' 0. Khi đó M là môđun Noether (tơng ứng Artin) khi và chỉ khi M' và M" cũng là môđun Noether (tơng ứng Artin). 1.6.4. Hệ quả. Nếu M 1 , M 2 , , M n là các R-môđun Noether (tơng ứng Artin) thì i n i M = 1 cũng Noether (tơng ứng Artin). 1.6.5. Hệ quả. Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, M là R-môđun Noether. Chú ý rằng khi R không là Noether thì hệ quả trên sai. 1.7. Phân tích nguyên sơ 1.7.1. Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị và M là một R-môđun. Iđêan nguyên tố p của R đợc gọi là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử x M, x 0 sao cho p = Ann R (x). Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M đợc ký hiệu bởi Ass R M (hoặc AssM). 1.7.2. Các tính chất. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị và M là một R-môđun. Khi đó các phát biểu sau đây là đúng (i). Iđêan nguyên tố p là iđêan nguyên tố liên kết của M khi và chỉ khi M chứa một môđun con M' sao cho M' R/p. 9 (ii). Cho 0 M' M M'' 0 là dãy khớp các R-môđun. Khi đó AssM' AssM AssM'' AssM'. (iii). Các phần tử tối đại trong tập {Ann R x : x 0, x M} đều là những iđêan nguyên tố liên kết của M. Vì thế nếu R là vành Noether và M 0 thì AssM . Hơn nữa, Nếu M là một R-môđun Noether thì AssM là tập hữu hạn. 1.7.3. Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán và M là một R-môđun. (i). Iđêan q R của R đợc gọi là iđêan nguyên sơ nếu với mọi r R, phép nhân bởi r trên R/q là đơn cấu hoặc luỹ linh. Trong trờng hợp này Rad(q) là một iđêan nguyên tố, chẳng hạn p và ta gọi q là p-nguyên sơ. (ii). Môđun con N M của M đợc gọi là nguyên sơ nếu tồn tại một iđêan nguyên tố p của R sao cho Ass(M/N) = {p}. Khi đó ta cũng nói N là p-nguyên sơ. (iii). Cho N là môđun con của M. Một phân tích nguyên sơ của N là một biểu diễn N = M 1 M 2 M n , trong đó M i là các môđun con p i -nguyên sơ của M. Phân tích trên đợc gọi là thu gọn nếu các p i là đôi một phân biệt và không có M i nào thừa. 1.7.4. Chú ý. (i). Nếu M 1 và M 2 là các môđun con p-nguyên sơ của M thì M 1 M 2 cũng là môđun con p-nguyên sơ của M. Vì thế mọi phân tích nguyên sơ của môđun con N đều có thể quy về một phân tích thu gọn. (ii). Khi M = R và R là vành Noether thì khái niệm môđun con nguyên sơ trùng với khái niệm iđêan nguyên sơ. Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại phân tích nguyên sơ của mọi môđun con của môđun Noether và tập các iđêan nguyên tố liên kết có thể đợc xác định thông qua một phân tích nguyên sơ thu gọn. 1.7.5. Định lý. Cho M là R-môđun Noether và N là môđun con của M. Khi đó ta có 10 (i). N có sự phân tích nguyên sơ thu gọn. (ii). Nếu N = N 1 N 2 N n ; và N = N' 1 N' 2 N' m ; là hai phân tích nguyên sơ thu gọn của N, trong đó N i là p i -nguyên sơ, i = 1, , n và N' i là p' i - nguyên sơ, i = 1, , m, thì n = m và {p 1 , , p n } = {p' 1 , , p' n }. Vì thế, {p 1 , , p n } không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ thu gọn của N. Hơn nữa ta có {p 1 , , p n } = Ass(M/N). (iii). Cho N = N 1 N 2 N n , trong đó N i là p i -nguyên sơ, i = 1, , n, là phân tích nguyên sơ thu gọn của N. Nếu p i phần tử tối thiểu trong tập Ass(M/N) thì môđun con N i tơng ứng không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ thu gọn của N. 1.7.6. Mệnh đề. Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh và N là môđun con của M. Khi đó N là môđun con nguyên sơ khi và chỉ khi với mọi r R, phép nhân bởi r trên M/N là đơn cấu hoặc luỹ linh. Trong trờng hợp này tập Rad(Ann(M/N)) là một iđêan nguyên tố p và N là p-nguyên sơ. 1.8. Biểu diễn thứ cấp Khái niệm phân tích đối nguyên sơ cho các môđun Artin đợc nghiên cứu bởi D. Kirby và D. G. Northcott. Sau đó I. G. Macdonal đã trình bày khái niệm này một cách tổng quát cho môđun tuỳ ý và ông gọi đó là biểu diễn thứ cấp để khỏi nhầm lẫn với khái niệm đối nguyên sơ đã định nghĩa cho các môđun Noether. Bây giờ chúng ta nhắc lại khái niệm biểu diễn thứ cấp theo thuật ngữ của I. G. Macdonal. Khái niệm này có thể đợc xem là đối ngẫu với khái niệm phân tích nguyên sơ. 1.8.1. Định nghĩa. . 1.9. Chiều Krull của vành và môđun 11 1.10. Đa thức Hilbert 12 Chơng II. Chiều Noether và chiều Krull của môđun Artin 13 2.1. Chiều Noether của môđun Artin. nhiên và từ đó nghiên cứu bội của môđun Artin trên vành giao hoán. 2.2. Mối liên hệ giữa chiều Noether và chiều Krull của môđun Artin Chú ý rằng mọi môđun Artin