Đa thức hilbert và chiều noether cho môđun artin
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ VIỆT HƯNG ĐA THỨC HILBERT VÀ CHIỀU NOETHER CHO MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ VIỆT HƯNG ĐA THỨC HILBERT VÀ CHIỀU NOETHER CHO MÔĐUN ARTIN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN – 2012 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn n∈Z M n n∈Z R n R 0 (M n ) n (R, m) M R R (M/q n M) m q dim M M R (M/q n M) t t x 1 , . . . , x t ∈ m (M/(x 1 , . . . , x t )M) < ∞ dim M N-dim R A R A R A (R, m) q ⊆ m R (0 : A q) < ∞ R (0 : A q n ) n A q A t t x 1 , . . . , x t ∈ m (0 : A (x 1 , . . . , x t )R) < ∞ 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn A A {A i } i∈I A i∈I A i A i ∩ L i = {0} i ∈ I, L i A i=j∈I A j A {A i } i∈I A = i∈I A i A {A i } i∈I a ∈ A a = a i 1 + . . . + a i k a ij ∈ A ij j = 1, . . . , k. S S S S = n∈Z S n {S n } S S n S m ⊆ S n+m m, n ∈ Z. S n n S = n∈Z S n S 0 S S n S 0 n ∈ Z. 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn S 0 S 0 . S 0 S 0 ⊆ S 0 . S n S 0 ϕ : S 0 × S n → S n ϕ(a, x) = ax S 0 S n ⊆ S n L L S S L L S a 1 , . . . , a n ∈ S S = {f(a 1 , . . . , a n ) | f(x 1 , . . . , x n ) ∈ L[x 1 , . . . , x n ]}, L[x 1 , . . . , x n ] n L c ∈ L c1 ∈ S. {a 1 , . . . , a n } S S = L[a 1 , . . . , a n ]. S = n∈Z S n S S 0 a 1 , . . . , a n ∈ S 1 S = S 0 [a 1 , . . . , a n ] S S 0 S S S 0 S 0 S S = S 0 [a 1 , . . . , a n ] a 1 , . . . , a n ∈ S 1 . ϕ : S 0 [x 1 , . . . , x n ] → S ϕ(f(x 1 , . . . , x n )) = f(a 1 , . . . , a n ) S 0 [x 1 , . . . , x n ] n S 0 S ∼ = S 0 [x 1 , . . . , x n ]/ Ker ϕ S 0 S 0 [x 1 , . . . , x n ] S 0 [x 1 , . . . , x n ]/ Ker ϕ S 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn K S = K[x 1 , . . . x n ] n K S ax α 1 1 . . . x α n n a ∈ K S α 1 + . . . + α n 0 u = ax α 1 1 . . . x α n n v = bx β 1 1 . . . x β n n α i = β i i = 1, . . . , n. f ∈ S n f n n 0 S n n S n = 0 n < 0. S f ∈ S S = n∈Z S n S n S m ⊆ S n+m n, m S S S = n∈Z S n I S I = n∈Z (I ∩ S n ). I S = n∈Z S n I f i ∈ I f i ∈ S i f i ∈ I i I ⇒ f i ∈ I i f i ∈ I f = f i ∈ I f i ∈ S i I = n∈Z (I ∩ S n ) f ∈ I f f = g i g i ∈ I ∩S i . f 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f i = g i i f i ∈ I ∩ S i i f i ∈ I i ⇒ I = j∈J F j S F j ∈ S. j F j = n j k=−m j f jk , f jk ∈ S k I ⊆ (f jk , j ∈ J, k = m j , . . . , n j )S. f jk ∈ I j, k. (f jk , j ∈ J, k = −m j , . . . , n j )S ⊆ I. I = (f jk , j ∈ J, k = −m j , . . . , n j )S I {f jk } j ∈ J k = −m j , . . . , n j ⇒ I ⊆ n∈Z (I ∩ S n ) f ∈ I I (f k ) f k ∈ S k f = f k 1 G 1 + . . . + f k n G n f k i ∈ S k i ∩ I G i ∈ S. f I f k i f ∈ n∈Z (I ∩ S n ) S I S I S = n∈Z S n S X (X n ) n∈Z 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... At+1i = Qi với mọi t T và mọi i 0 Theo Bổ đề 1.2.5(ii), At = At+1 với mọi t I Điều này có nghĩa là dãy giảm A0 A1 dừng Vậy M là R[x1 , , xs ] -môđun Artin 26S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Đa thức Hilbert và chiều Noether cho môđun Artin 2.1 Đa thức Hilbert cho môđun Artin Giả sử f (n) là một hàm theo biến nguyên n N và nhận giá trị trong N... ) = M ứng với I và được kí I n M/I n+1 M n 0 1.1.18 Mệnh đề Cho M là iđêan của R và là hữu hạn sinh Khi đó (i) Vành Ress là R là vành giao hoán Noether, I R(I) là vành phân bậc Noether và môđun Ress RI (M ) R(I) -môđun phân bậc hữu hạn sinh (ii) Vành phân bậc liên kết kết GI (R) là Noether và môđun phân bậc liên GI (M ) là GI (R) -môđun hữu hạn sinh Chứng minh sinh Giả sử Vì R là vành Noether theo giả... ) Đặt I n1 ) và do đó f (n) f (n 1) = g(n) với mọi n 1 Theo chứng minh trên, g(n) là hàm đa thức bậc không quá s1 Theo Bổ đề 2.1.3, f (n) = R (0 :A I n) là hàm đa thức bậc không quá s Đa thức R (0 :A của môđun Artin 2.2 I n ) như trong Định lí 2.1.8 được gọi là đa thức Hilbert A ứng với iđêan I Chiều Noether cho môđun Artin 2.2.1 Chú ý Trong suốt tiết này, luôn giả thiết R là một vành giao hoán... và chỉ nếu f2 (n) = f1 (n 1) = 0 với n đủ lớn Vì thế f1 là hàm đa thức bậc 1 nếu và chỉ nếu f2 là hàm đa thức bậc 1 Cho d 0 Đặt g1 (n) = f1 (n) f1 (n 1) và g2 (n) = f2 (n) f2 (n 1) Theo Bổ đề 2.1.3, f1 (n) là hàm đa thức bậc d nếu và chỉ nếu g1 (n) là hàm đa thức bậc d 1; f2 (n) là hàm đa thức bậc d nếu và chỉ nếu g2 (n) là hàm đa thức bậc d 1 Chú ý rằng g1 (n) = f1 (n) f1 (n 1) = f2 (n + 1)... 1.2.3 áp dụng cho ra nếu à là phạm trù các R -môđun Artin, ta suy Mn+1 là R -môđun Artin thì Mn cũng là R -môđun Artin Vì Mk là R -môđun Artin, nên bằng phương pháp quy nạp giảm theo n ta có Mn là R -môđun Artin với mọi n k Do đó Mn là R -môđun Artin với mọi p Đặt n Ni = (0 :Mn xs i+1 R)/(0 :M xs i R) với mỗi ý rằng i 0 Kí hiệu (Ni )n là thành phần thuần nhất bậc n của Ni Chú Mn là R -môđun Artin với mọi... là vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh Do đó nó là vành Noether Vì thế 14S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 R(I) là vành Noether Dễ thấy ánh xạ : R(I) GI (R) cho bởi ( ai ) = (ai + I i+1 ) là một toàn cấu phân bậc bậc 0 Vì thế GI (R) là vành thương của R(I) Vì R(I) là vành Noether nên GI (R) cũng là vành Noether Chứng minh tính hữu hạn sinh cho môđun Ress và môđun. .. m (vành R không nhất thiết là vành Noether) , A 35S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 là R -môđun Artin Trước hết, ta định nghĩa chiều Noether cho R -môđun tùy ý M (không nhất thiết Artin) 2.2.2 Bổ đề Nếu thì 0 M M M 0 là dãy khớp các R -môđun N-dimR M = max{N-dimR M , N-dimR M } Chứng minh Có thể giả thiết M là môđun con của M và M = M/M Từ định nghĩa chiều Noether. .. 1.2 Tiêu chuẩn Artin cho môđun phân bậc Trong suốt tiết này, luôn giả thiết R là một vành giao hoán có đơn vị, S = R[x1 , , xs ] là vành đa thức s biến với hệ số trong R Xét S như là vành phân bậc chuẩn (với deg x1 = = deg xs = 1) Cho M = Mn nZ là một S -môđun phân bậc Mục đích của tiết này là trình bày một tiêu chuẩn để S -môđun phân bậc M là Artin Nhắc lại rằng M được gọi là môđun Artin nếu nó... xs R) às1 và M/xs M às1 Do đó, theo giả thiết quy nạp, g(n) và h(n) là các hàm đa thức bậc không quá s 2 Do h(n) = k(n + 1) nên theo Hệ quả 2.1.4 ta suy ra k(n) là hàm đa thức bậc không quá thức bậc không quá s 2 Dễ thấy rằng tổng (hiệu) của hai hàm đa s 2 là hàm đa thức bậc không quá s 2 Do đó f (n) f (n 1) là hàm đa thức bậc không quá s 2 Theo Bổ đề 2.1.3, hàm f (n) là hàm đa thức bậc không... nếu A là một R -môđun Artin và I là một iđêan của R sao cho (0 :A I) < thì R (0 :A I n ) là một hàm đa thức 2.1.8 Định lý Cho (0 :A I) n và A là R -môđun có độ dài hữu hạn thì R (0 :A phần tử thì I n) (0 :A I n ) I là một iđêan của I Nếu I n ) là một hàm đa thức có bậc s có hệ sinh gồm Theo Bổ đề 2.1.7, ta có thể giả sử iđêan hạn sinh Giả sử R cũng có độ dài hữu hạn với mọi là một hàm đa thức Hơn nữa, . TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ VIỆT HƯNG ĐA THỨC HILBERT VÀ CHIỀU NOETHER CHO MÔĐUN ARTIN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN. NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ VIỆT HƯNG ĐA THỨC HILBERT VÀ CHIỀU NOETHER CHO MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN