Đa thức Hilbert và bội luận văn thạc sĩ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————— ĐỒNG THỊ HỒNG NGỌC ĐA THỨC HILBERT VÀ BỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên / /2012 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Ngày tháng năm 2012 Có thể tìm hiểu tại Thư viện Đại học Thái Nguyên 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn 2 Mở đầu 3 1 Đại số phân bậc 5 1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Định lý Artin - Rees và các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Đa thức Hilbert và bội 17 2.1 Định lý đa thức Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Đa thức Hilbert trên vành địa phương . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Số bội của iđêan m-nguyên sơ và các tính chất . . . . . . . 26 2.4 Một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 1 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành trong khóa 18 đào tạo Thạc sĩ của trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường, Viện Toán học. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, khoa Sau đại học trường Đại học Sư phạm đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã động viên, ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình. 2 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Cho A là một vành Artin, B = A[x 1 , . . . , x m ] là vành đa thức m biến với hệ số trong A. Khi đó B là một vành phân bậc với cấu trúc phân bậc tự nhiên. Nếu M = ⊕ n≥0 M n là một B-môđun phân bậc hữu hạn sinh thì M n là một A-môđun và  A (M n ) < ∞. Hơn nữa, với n đủ lớn thì  A (M n ) là một đa thức với hệ số hữu tỷ. Kết quả này là nội dung của Định lý đa thức Hilbert. Đa thức Hilbert đóng một vai trò quan trọng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số, nó cho phép chúng ta nghiên cứu cấu trúc của một môđun M thông qua những đại lượng số cụ thể như bậc và hệ số của đa thức này. Một iđêan q ∈ Spec(R) của vành Noether địa phương (R, m) được gọi là iđêan tham số của M nếu q là m-nguyên sơ và sinh bởi d phần tử, trong đó d = dim M, M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi tồn tại iđêan tham số q sao cho  R (M/qM) = e(q, M), với e(q, M) là số bội của môđun M đối với q. Nếu Sup{ R (M/qM)−e(q, M)} < ∞, trong đó q chạy khắp trên tập các iđêan tham số của R thì M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Như vậy, các lớp môđun quan trọng quen thuộc trong Đại số giao hoán đều được đặc trưng qua lý thuyết bội và hàm độ dài. Mục đích chính của luận văn là trình bày lại và chứng minh chi tiết Định lý đa thức Hilbert trên vành Noether cùng với một số tính chất của nó về bậc đa thức, hệ số cao nhất (số bội). Thông qua số bội trình bày một 3 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn số đặc trưng của lớp môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Luận văn gồm 2 chương: Chương 1: Đại số phân bậc. Trình bày một số khái niệm ban đầu về vành và môđun phân bậc, Định lý Artin-Rees và các hệ quả với mục đích phục vụ chương 2 là chương chính của luận văn. Chương 2: Đa thức Hilbert và số bội. Trình bày lại định lý Đa thức Hilbert trên vành Noether (không đòi hỏi là địa phương). Tiếp theo là trình bày về bậc của Đa thức Hilbert trên vành Noether địa phương. Đây là nội dung quan trọng trong toàn bộ luận văn để thông qua đó nghiên cứu các tính chất có liên quan về hệ tham số và số bội. Trình bày một số đặc trưng của môđun Cohen-Maccaulay, môđun Cohen- Maccaulay suy rộng thông qua lý thuyết bội và hàm độ dài. Các nội dung được trình bày trong luận văn dựa trên bài giảng của GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường và hai cuốn tài liệu tham khảo chính là: "Commutative Ring Theory" của H.Matsumura và "Lessons on rings, mod- ules and multiplicities" của D. Northcott. Với mong muốn hệ thống lại một số nội dung quan trọng về đa thức Hilbert và ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu các lớp môđun quan trọng trong Đại số giao hoán, tuy nhiên, vì điều kiện thời gian, năng lực, kinh nghiệm bản thân còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các quý thầy cô và các bạn học viên cùng độc giả quan tâm để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012. Tác giả ĐỒNG THỊ HỒNG NGỌC 4 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Đại số phân bậc 1.1 Kiến thức chuẩn bị Các khái niệm cơ bản về vành, môđun Artin và Noether coi như đã biết. Mục này trình bày lại định nghĩa về độ dài môđun, chiều của vành và môđun. Những vấn đề này là cơ sở để chúng ta nghiên cứu đa thức Hilbert và số bội ở những mục sau. Ta luôn kí hiệu R là vành giao hoán Noether và M là môđun của R. Định nghĩa 1.1.1. (i) Cho M là R-môđun, M = 0. M được gọi là môđun đơn nếu nó không có môđun con nào ngoài 0 và M. (ii)Cho M là R-môđun, dãy các môđun con của M M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ . . . ⊃ M r = 0 được gọi là chuỗi hợp thành của M nếu mọi môđun M i /M i+1 là đơn. Khi đó r được gọi là độ dài của chuỗi hợp thành của M hay độ dài của M và kí hiệu là  R (M). Nếu M không có chuỗi hợp thành thì  R (M) = ∞. Chú ý 1.1.2. (a) [1, Định lý 7.41]. Cho dãy khớp ngắn các R-môđun 0 −→ M 1 −→ M 2 −→ M 3 −→ 0. 5 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi đó ta có  R (M 2 ) =  R (M 1 ) +  R (M 3 ). (b) [3]. Một cách tổng quát, cho 0 −→ M 1 −→ M 2 −→ ··· −→ M n −→ 0 là dãy khớp các R-môđun có độ dài hữu hạn. Khi đó n  i=1 (−1) i  R (M i ) = 0. (c) [3]. Cho R là một vành, B và C là hai R-môđun. Khi đó  R (B⊕C) =  R (B) +  R (C). Định nghĩa 1.1.3. (i) Một dãy giảm các iđêan nguyên tố p 0  p 1  . . .  p n−1  p n được gọi là xích nguyên tố trong R và n được gọi là độ dài của xích đó. (ii) Chặn trên đúng của độ dài tất cả các xích nguyên tố trong R gọi là chiều Krull của vành R (còn gọi là chiều của vành) và kí hiệu là dim R. (iii) Cho M là R-môđun. Chiều Krull của M, kí hiệu là dim M, và được xác định bởi dim M = dim(R/Ann R M). Chú ý 1.1.4. (a) [3]. Nếu R = Z thì dim Z = 1. (b) [3]. Cho k là một trường và R = k[x]. Khi đó dim(k[x]) = 1. (c) [4, Định lý 15.4]. Cho R là vành bất kì, khi đó dim R[x 1 , . . . , x n ] = dim R + n. 1.2 Vành và môđun phân bậc Định nghĩa 1.2.1. Một vành phân bậc là một vành R cùng với một họ các nhóm con (R n ) n≥0 của nhóm cộng R sao cho R = ⊕ n≥0 R n và R n R m ⊆ R n+m ; ∀ n, m ≥ 0. Khi đó, ta có R 0 R 0 ⊆ R 0 và R 0 R n ⊆ R n . Do vậy R 0 là một vành con của vành R và R n là một R 0 -môđun. 6 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.2.2. Cho R là một vành phân bậc, một R-môđun phân bậc là một R-môđun M cùng với một họ các môđun con (M n ) n≥0 của M sao cho M = ⊕ n≥0 M n và R n M m ⊆ M n+m , ∀n, m ≥ 0. Do R 0 M n ⊆ M n nên mỗi M n là một R 0 -môđun. Định nghĩa 1.2.3. Cho M là một R-môđun phân bậc. Phần tử x ∈ M được gọi là thuần nhất nếu x thuộc một M n nào đó và n được gọi là bậc của x. Mỗi phần tử x ∈ M có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổng hữu hạn của các thành phần thuần nhất x = x n 1 + x n 2 + ··· + x n k , x n i ∈ M n i , ∀ i = 1, k. Định nghĩa 1.2.4. (i) Cho M = ⊕ n≥0 M n là môđun phân bậc trên vành phân bậc R = ⊕ n≥0 R n . Một môđun con N của M được gọi là môđun con phân bậc (môđun con thuần nhất) nếu N = ⊕ n≥0 (N ∩ M n ). (ii) Cho I là iđêan của vành phân bậc R = ⊕ n≥0 R n . I được gọi là iđêan phân bậc (iđêan thuần nhất) nếu I = ⊕ n≥0 (I ∩R n ). Sau đây là tiêu chuẩn để một môđun con trong vành phân bậc là phân bậc. Mệnh đề 1.2.5. Cho M = ⊕ n≥0 M n là môđun phân bậc trên vành phân bậc R = ⊕ n≥0 R n . Cho N là môđun con của M. Khi đó N là môđun con phân bậc khi và chỉ khi với ∀ x ∈ N thì mọi thành phần thuần nhất của x cũng thuộc N, tức là nếu x ∈ N : x = x i + ···+ x i+k thì x j ∈ N, ∀ j = i, i + k. Chứng minh. (⇒) Giả sử N là môđun con phân bậc của M, khi đó N = ⊕ n≥0 (N ∩M i ) (∗). Lấy tùy ý x ∈ N, từ (∗) ta có x = x i + ··· + x i+k ; x  i ∈ (N ∩ M i ), ∀ i  = i, i + k. Vậy x  i ∈ N, ∀ i  = i, i + k. 7 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (⇐) Giả sử ∀ x ∈ N đều có tính chất là nếu x = x i + ··· + x i+k với x j ∈ M j , ∀ j = i, i + k thì x j ∈ N, ∀ j = i, i + k. Ta chứng minh N phân bậc, tức là chứng minh N = ⊕ j≥0 (N ∩M j ). Thật vậy, ta có ⊕ j≥0 (N ∩M j ) ⊆ N. Ngược lại, lấy x ∈ N thì x ∈ M, khi đó x = x i + ··· + x i+k với x j ∈ M j , ∀ j = i, i + k. Theo trên ta có x j ∈ N, do đó x j ∈ N ∩M j . Vậy x ∈ ⊕ j≥0 (N ∩ M j ). Vậy ⊕ j≥0 (N ∩ M j ) = N. Với kí hiệu như trong mệnh đề trên ta có hệ quả trực tiếp như sau: Hệ quả 1.2.6. [3].N là môđun con phân bậc của M khi và chỉ khi N có một hệ sinh gồm toàn các phần tử thuần nhất. Tương tự ta cũng có tiêu chuẩn để một iđêan trong vành phân bậc là phân bậc. Mệnh đề 1.2.7. [3]. Cho I = ⊕ n≥0 (I ∩R n ) là iđêan của vành phân bậc R = ⊕ n≥0 R n .Khi đó I là iđêan phân bậc khi và chỉ khi với ∀ x ∈ I thì mọi thành phần thuần nhất của x cũng thuộc I, tức là nếu x ∈ I : x = x i + ···+x i+k thì x j ∈ N, ∀ j = i, i + k. Hệ quả 1.2.8. [3]. I là iđêan phân bậc của R khi và chỉ khi I có một hệ sinh gồm toàn các phần tử thuần nhất. Định nghĩa 1.2.9. Cho M, N là các R-môđun phân bậc. Một R-đồng cấu môđun phân bậc là một R-đồng cấu môđun f : M → N sao cho f (M n ) ⊆ N n , ∀ n ≥ 0, trong đó M = ⊕ n≥0 M n và N = ⊕ n≥0 N n . Ví dụ 1.2.10. a) Mọi vành R đều có thể xem là vành phân bậc với phân bậc tầm thường R = ⊕ n≥0 R n , trong đó R 0 = R và các R n = 0, ∀ n > 0. b) Vành đa thức R = k[x 1 , x 2 , . . . , x n ], với k là một trường có cấu trúc phân bậc tự nhiên R = ⊕ n≥0 R n , trong đó R 0 = k và R n = {f ∈ R|f là đa thức thuần nhất bậc n}. 8 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... thiết quy nạp, tồn tại đa thức Q(n) = A ((M/N + aM )n ) với n đủ lớn Ta có FM/N (n) − FM/N (n − 1) = Q(n) Vậy FM/N (n) là một đa thức có bậc deg Q(n) + 1 Đa thức PM (n) chỉ ra trong định lý trên được gọi là đa thức Hilbert Chú ý 2.1.3 [3] Với mọi đa thức f (x) ∈ Q[x] và giả sử thêm f (n) ∈ 19 21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Z, ∀ n ∈ Z và deg f = d thì nó... http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Đa thức Hilbert và bội 2.1 Định lý đa thức Hilbert Cho A là vành Artin (do đó A là Noether) Ta có A (A) < ∞ Đặt B = A[x1 , , xm ], tức B là A-đại số hữu hạn sinh Bn là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc n Khi đó B = ⊕ Bn Cho M = ⊕ Mn là một n≥0 n≥0 B -môđun phân bậc hữu hạn sinh, thì Mn là A-môđun Khi đó ta có mệnh đề về độ dài của Mn như sau Mệnh đề 2.1.1 Cho A, B và M như trên,... Theo Định lý cơ sở Hilbert, ta có vành đa thức R0 [x1 , , xn ] là Noether Xét toàn cấu vành ϕ : R0 [x1 , x2 , xn ] → R0 [a1 , a2 , , an ] = R f (x1 , x2 , , xn ) → f (a1 , a2 , , an ) Khi đó R ∼ R0 [x1 , , xn ] /Kerϕ Vậy R là vành Noether = Mệnh đề 1.2.14 Cho R là vành Artin, xét vành đa thức m biến R[x1 , , xm ] với hệ số trong R Khi đó với Rn = { f ∈ R |f là đa thức thuần nhất... luôn là hữu hạn, hơn nữa nó còn là một hàm đa thức với hệ số hữu tỷ được chỉ ra trong định lý sau đây Định lý 2.1.2 (Định lý đa thức Hilbert) Cho A là vành Artin Đặt B = A[x1 , , xm ], khi đó B = ⊕ Bn là vành phân bậc với B0 = A, Bn là tập n≥0 tất cả các đa thức thuần nhất bậc n Cho M = ⊕ Mn là một B -môđun n≥0 phân bậc hữu hạn sinh Khi đó tồn tại một đa thức hệ số hữu tỷ PM (n) sao cho A (Mn ) =... lý cơ sở Hilbert thì vành đa thức R [x1 , , xn ] là Noether Do vậy vành thương R [x1 , , xn ] /Kerϕ cũng là vành Noether Vậy R(I) là một vành phân bậc Noether Ta cũng chứng minh được GI (R) = ⊕ I n /I n+1 là vành phân bậc n Noether.Thật vậy, ta có GI (R) = ⊕ I /I n≥0 n+1 và I n /I n+1 I m /I m+1 ⊆ n≥0 I n+m /I n+m+1 nên GI (R) là vành phân bậc Hơn nữa, ta có (GI (R))0 = I 0 /I = R/I là vành Noether,... một iđêan của R và ta có tính chất quan trọng sau đây Định lý 1.2.13 Cho R là vành phân bậc Khi đó, các điều kiện sau là tương đương: (i) R là vành Noether (ii) R0 là vành Noether và R là R0 -đại số hữu hạn sinh ∞ ∞ n=0 n=1 Chứng minh Giả sử R = ⊕ Rn là vành phân bậc, R+ = ⊕ Rn là iđêan của R (i) ⇒ (ii) Ta có R0 = R/R+ Do R là vành Noether và R+ là iđêan của R nên vành thương R0 là vành Noether Do... 1) (ii) Cho k là một trường và F [X0 , X1 , , Xr ] là đa thức bậc s Đặt R = k[X0 , X1 , , Xr ]/(F (X)) Khi đó với ∀ n ≥ s, R0 (Rn ) và đặt n+r r = n+r r − n−s+r r = (1/r!)nr + a1 nr−1 + · · · , ta có 1 ϕR (X) = r! [X r − (X − s)r ] + a1 [X r−1 − (X − s)r−1 ] + · · · = 2.2 s r−1 (r−1)! X + ··· Đa thức Hilbert trên vành địa phương Trong phần này ta luôn giả thiết R là vành Noether địa phương với... x nguyên, do đó a0 là số nguyên Giả sử d ≥ 0 và đa thức sau đây fd (x) = a0 x+d x+d−1 − a1 + · · · + (−1)d ad d d−1 nhận giá trị nguyên khi x nguyên Ta xét đa thức ∆fd+1 = fd+1 (x) − fd+1 (x − 1) x+d+1 − x−1+d+1 d+1 d+1 x+d x+d−1 a0 d − a1 d−1 + · · · = a0 = − · · · + (−1)d ad x 1 − x−1 1 + (−1)d ad Rõ ràng đa thức này nhận giá trị nguyên khi x nguyên và nó có bậc là d Vì thế từ giả thiết quy nạp... định duy nhất Áp dụng điều trên cho đa thức Hilbert PM (n), tồn tại các số nguyên a0 , a1 , , ad ; a0 > 0 sao cho PM (n) = a0 n+d n+d−1 − a1 + · · · + (−1)d ad d d−1 với deg PM (n) = d và hệ số cao nhất của đa thức PM (n) là a0 /d! Ví dụ 2.1.4 [4, Ví dụ (96)] (i) Khi R = R0 [X0 , X1 , , Xr ], số đơn thức bậc n là n+r r , do vậy R0 (Rn ) = (R0 ) n+r r với ∀ n ≥ 0 và vế phải là ϕR (n) Do đó ϕR (X)... 1.2.12 Cho R là vành Noether, I là iđêan của R và M là Rmôđun hữu hạn sinh Khi đó, ta có các khẳng định sau: (i) R(I) và GI (R) là các vành phân bậc Noether (ii)RM (I) là R(I)-môđun Noether và GI (M ) là GI (R)-môđun Noether Chứng minh (i) Ta có R(I) = ⊕ I n là vành phân bậc Noether Thật vậy, n≥0 n m vì I I ⊆I n+m ; ∀ n, m ≥ 0 nên R(I) là vành phân bậc Mặt khác ta có (R(I))0 = I 0 = R là vành Noether . của luận văn. Chương 2: Đa thức Hilbert và số bội. Trình bày lại định lý Đa thức Hilbert trên vành Noether (không đòi hỏi là địa phương). Tiếp theo là trình bày về bậc của Đa thức Hilbert trên vành. . . 13 2 Đa thức Hilbert và bội 17 2.1 Định lý đa thức Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Đa thức Hilbert trên vành địa phương . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Số bội của iđêan. lý thuyết bội và hàm độ dài. Mục đích chính của luận văn là trình bày lại và chứng minh chi tiết Định lý đa thức Hilbert trên vành Noether cùng với một số tính chất của nó về bậc đa thức, hệ số