Hàm Elliptic luận văn thạc sĩ

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ NGỌC HÀ HÀM ELLIPTIC Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa hoc: GS.TSKH HÀ HUY KHỐI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun – 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và khơng trùng lặp với các đề tài khác. Tơi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái ngun, Tháng 5, năm 2014 Người viết Luận văn Phạm Thị Ngọc Hà Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii LỜI CẢM ƠN Để hồn thành được luận văn một các hồn chỉnh. Tơi ln nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của GS.TSKH Hà Huy Khối (Viện Tốn Hà Nội). Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tơi đối với những điều thầy đã dành cho tơi. Tơi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Sau Đại học, q thầy cơ giảng dạy lớp cao học K20 (2012 – 2014) Trường Đại học Sư Phạm – Đại học Thái Ngun đã tận tình truyền đạt những kiến thức q báu, cũng như tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học. Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người đã ln động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tơi trong suốt q trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Ngun, tháng 5 năm 2014 Phạm Thị Ngọc Hà Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iii MỤC LỤC Lời cam doan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii MỞ ĐẦU 1 Chương 1 : ÁNH XẠ BẢO GIÁC 1 1.1. Ý nghĩa hình học của argument đạo hàm 2 1.2. Ý nghĩa hình học của mơđun đạo hàm 4 1.3. Định nghĩa 5 1.4. Ánh xạ thực hiện bởi hàm lũy thừa 5 1.5. Ánh xạ thực hiện bởi hàm mũ 8 1.6. Ánh xạ hình chữ nhật 15 1.7. Hàm có chu kỳ kép 17 1.8. Các cặp chu kỳ cơ bản 18 1.8.1 Định nghĩa 18 1.8.2. Một số định lý 19 Chương 2: CÁC HÀM ELLIPTIC 21 2.1. Định nghĩa và định lý 21 2.2. Xây dựng hàm Elliptic 24 2.2.1. Hàm Elliptic Weierstrass 24 2.2.2. Phương trình vi phân thỏa mãn bởi hàm .p 29 2.2.3. Biểu diễn hàm Elliptic qua hàm Weierstrass .30 2.3 Quan hệ đại số của các hàm elliptic 32 2.4. Một số ứng dụng của hàm Elipptic 32 2.4.1. Khai triển Laurend của hàm   zp tại lân cận điểm 0 32 2.4.2. Dạng mơđula 33 2.4.2.1. Nhón mơđula 33 2.4.2.2. Miền cơ bản 34 2.4.2.3 Hàm mơđula 34 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iv 2.4.3 Ứng dụng… .35 Kết luận chung 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1 MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong lý thuyết hàm biến số thực, các hàm lượng giác sinx, cosx đóng vai trò hết sức quan trọng. Ngun nhân chủ yếu là vì hàm sinx, cosx là các hàm tuần hồn với chu kỳ  2 nên được xác định duy nhất khi biết giá trị của nó trên một đọan độ dài  2 . Đối với các hàm biến phức, sinx, cosx vẫn có chu kì  2 . Nhưng trên mặt phẳng phức lại khơng có tính chất đó. Do đó nếu muốn tìm những hàm có vai trò trong lý thuyết hàm biến phức tương tự như các hàm lượng giác trong lý thuyết hàm biến thực, ta cần tìm nhưng hàm mà khi biết giá trị của chúng trên một hình bình hành, ta xác định được hàm trên mặt phẳng phức. Để ý rằng, mặt phẳng phức có thể phủ kín bởi một số đếm được hình bình hành bằng nhau.Ý tưởng đó dẫn đến việc xét lớp hàm elliptic, mà vai trò của chúng trong lý thuyết hàm biến phức quan trọng khơng kém vai trò của các hàm lượng giác trong lý thuyết hàm biến thực. Lý thuyết các hàm elliptic có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của tốn học,cả lý thuyết và ứng dụng. Từ lý do trên tơi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn : “ Hàm ELLIPTIC ” II. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI 2.1. Trình bày một số kiến thức cơ sở của lý thuyết các hàm Elliptic. 2.2. Một số ứng dụng của các hàm Elliptic. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 Chương 1 ÁNH XẠ BẢO GIÁC 1.1. Ý nghĩa hình học của argument đạo hàm. Giả sử   zfw  là hàm số giải tích trên miền G . Ta sẽ biểu diễn giá trị của hàm số ivuw  bởi điểm trên mặt phẳng w . Mỗi điểm iyxz  trên mặt phẳng của biến số độc lập z sẽ tương ứng với một điểm ivuw  trên mặt phẳng w . Khi điểm z chuyển động trên mặt phẳng z theo một đường cong C nào đó thì điểm tương ứng w nó sẽ chạy trên đường cong  trong mặt phẳng w , là ảnh của đường cong C . Gọi z là điểm bất kỳ trên miền G và C là đường cong cho trước có hướng xác định. C đi qua 0 z và có tiếp tuyến xác định tại 0 z . Giả sử   0 0   zf . Trên mặt phẳng w , ảnh của C lả  đi qua điểm   00 zfw  . Nếu phương trình của C là   tzz  ( 10  t ) thì phư ơng trình của  sẽ là:         ttzfzfw  ( 10  t ). Để giải thích ý nghĩa hình học của đạo hàm   0 zf  , ta sẽ biểu diễn số phức   0 zf  ở dạng lượng giác      sincos 0 irzf   và nêu ý nghĩa hình 0 z 0 w C  C 00 zz    00 ww       0 0 y x v u Hình 1 Hình 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 học của argument  và mơđun r của đạo hàm. Lấy điểm bất kỳ 00 zz  trên đường cong C và ký hiệu 00 ww  là điểm tương ứng với nó trên mặt phẳng w thuộc đường cong  . Khi điểm 00 zz  tiến về điểm 0 z trên đường cong C thì điểm tương ứng 00 ww  sẽ tiến về điểm 0 w trên đường cong  , trong đó 00 , wz  cùng tiến về 0. Từ đẳng thức      sincoslim 0 0 0 0 0 ir z w zf z       . Ta có: r z w z     0 0 0 0 lim . (1.1.a)              0 0 0 arglim 0 z w z . (1.1.b) (với   ozf   0 ). Xét đẳng thức (1.2), ta có:      0 0 0 0 0 0 0 arglimarglimarglim 000 zw z w zzz . (1.1.c) Ta giải thích ý nghĩa hình học của (1.1.c) sử dụng các hình 1 và hình 2. Rõ ràng,   0000 zzzz  được biểu diễn bởi vectơ nối điểm 0 z với điểm 00 zz  , còn 0 w là vectơ nối từ điểm 0 w đến điểm 00 ww  . Suy ra 0 arg z là góc  nằm giữa hướng dương của trục Ox và vectơ 0 z tương ứng, còn 0 arg w là góc  giữa trục Ou và vectơ 0 w . Vậy (1.1.c) sẽ có dạng:    00 0 limlim zz . (1.1.d) Ở vị thí giới hạn hướng của vectơ 0 z sẽ trùng với hướng của tiếp tuyến với  tại điểm 0 w (hình 1), tiếp tuyến này tồn tại theo đẳng thức (1.1.c). Ký hiệu  và  là các góc của trục Ox và Ou với các tiếp tuyến tương ứng của C và  tại 0 z và 0 w . Ta có thể viết (1.1.d) dưới dạng:   hay   . (1.1.e) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4 Ta quy ước hướng dương của trục Ox và Ou trùng nhau. Khi đó, từ (1.1.e) ta có  là góc tiếp tuyến với C tại điểm 0 z đã quay trong ánh xạ   zfw  . Nói một cách khác,  là góc giữa hướng ban đầu với hướng sau ánh xạ. Để ý rằng đường cong C được chọn tùy ý, khi hướng của C thay đổi thì  và  đều thay đổi nhưng góc  khơng đổi. Do đó, nếu tại 0 z ta có đường cong C  khác và gọi đường cong tương ứng với nó tại 0 w là   thi (1.1.e) có dạng :      (1.1.f) Trong đó   ,  là các giá trị tương ứng đối với C  và   . Từ (1.1.e) và (1.1.f) ta có:      (1.1.g) Để ý rằng góc    là góc giữa các tiếp tuyến tại điểm 0 z với các đường cong C và C  còn   là góc tương ứng với  và   . Từ (1.1.g) ta có hai đường cong bất kỳ xuất phát từ 0 z ánh xạ tương ứng vào hai đường đi qua điểm   00 zfw  sao cho góc giữa hai tiếp tuyến của hai đường cong ban đầu và góc giữa hai tiếp tuyến của đường cong ảnh bằng nhau cả về độ lớn và hướng. Điều đó có nghĩa là nếu hướng dương của đường cong C tại điểm 0 z quay một góc  có hướng xác định đến hướng dương của đường cong C  , thì hướng tương ứng của đường cong  cũng quay một góc  đến hướng của   với cùng hướng đó. Vậy ánh xạ bởi hàm giải tích có tính chất bảo tồn góc giữa tất cả các điểm mà tại đó   .0  zf 1.2. Ý nghĩa hình học của mơđun đạo hàm. Xét đẳng thức (1.1.a) ta có:   r z w zf z       0 0 0 0 lim . (1.2.a) Về mặt hình học 0 z là độ dài vectơ 0 z , tức là khoảng cách giữa 0 z và 00 zz  . Tương tự, 0 w là khoảng cách giữa các điểm 0 w và 00 ww  tương ứng. Đẳng thức (1.2.a) chỉ ra rằng tỷ số giữa khoảng cách vơ cùng bé giữa các Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 điểm ban đầu khi lấy giới hạn sẽ là   0 zfr   khơng phụ thuộc vào hướng của C . Do đó có thể xem   0 zfr   là đại lượng đo tỷ lệ tại điểm 0 z trong ánh xạ bởi hàm số   zfw  . Nếu r >1 thì tỷ lệ tăng, nghĩa là có sự co giãn của phần tử vơ cùng bé tại 0 z . Nếu r <1 thì ngược lại có sự co; nếu 1r thì tỷ lệ này khơng đổi, nghĩa là phần tử vơ cùng bé tại 0 z được thay thế bởi phần tử vơ cùng bé tương đương với nó tại điểm 0 w . Vì   0 zfr   chỉ phụ thuộc vào 0 z mà khơng phụ thuộc vào hướng của C nên tỷ lệ này thường được gọi là sự biến dạng tại điểm 0 z và nó sẽ khơng phụ thuộc vào hướng. Vậy có thể nói rằng ánh xạ bởi hàm số giải tích   zfw  có độ co giãn khơng phụ thuộc vào hướng tại mọi điểm 0 z sao cho   .0 0   zf 1.3. Định nghĩa.  Định nghĩa Cho w   zf là hàm phức định nghĩa trên miền D . Cho 0 z là một điểm của miền D .   zf được gọi là ánh xạ bảo giác tại điểm 0 z nếu góc của hai đường cong định hướng C và C  qua 0 z bằng góc của ảnh của hai đường cong đó và hướng của góc khơng thay đổi. Ánh xạ w   zf được gọi là ánh xạ bảo giác trên miền D nếu   zf bảo giác tại mọi điểm thuộc miền D . Ánh xạ bảo giác là ánh xạ bảo tồn góc giữa hai đường cong trơn tùy ý theo đúng hướng quay của góc. 1.4. Ánh xạ thực hiện bởi hàm lũy thừa.  Hàm lũy thừa và căn. Xét hàm số: n zw  . Trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 1 và hàm ngược của nó: n wz  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... trùng với (2) Như vậy, hàm f z  là hàm elliptic khơng có Q z  khơng điểm và cực điểm, nên đồng nhất bằng hằng số Ta đã chứng minh được định lý sau: 2.2.3.1 Định lý: Hàm elliptic chắn tùy ý với các chu kỳ 1 ,  2 là hàm hữu tỷ của hàm Weierstrass pz  với cùng chu kỳ Bây giờ ta xét trường hợp f z  là một hàm elliptic lẻ Do hàm p z  là hàm elliptic lẻ, nên hàm f z  là hàm elliptic chẵn Áp dụng... nghĩa Hàm biến số phức f được gọi là hàm Elliptic nếu nó có hai tính chất sau: 1/ f là hàm có chu kỳ kép 2/ f là hàm phân hình trên tồn mặt phẳng phức C Rõ ràng f = const là một hàm Elliptic Để xây dựng được ví dụ về hàm Elliptic khác hằng số, trước tiên ta cần thiết lập một số tính chất cơ bản của hàm Elliptic 2.1.2 Định lý: Hàm Elliptic khác hằng số có một cặp chu kỳ cơ bản Chứng minh: Giả sử f là hàm. .. tồn tại hàm elliptic cấp 1 Như vậy, lẽ tự nhiên là bắt đầu xây dựng hàm elliptic cấp 2 Có hai trường hợp xảy ra: đó là hàm elliptic có một cực điểm cấp 2, hoặc là hàm có hai cực điểm cấp 1(cực điểm đơn) trong mỗi hình bình hành chu kỳ Ở đây, chúng ta chỉ xây dựng dựa trên hàm elliptic có một cực điểm duy nhất cấp 2 trong mỗi hình bình hành chu kỳ 2.2.1 Hàm Elliptic Weierstrass Để xây dựng hàm elliptic. .. 2.2.3.2 Định lý: Hàm elliptic lẻ tùy ý với các chu kỳ 1 ,  2 có thể biểu diễn dưới dạng tích của hàm p z  với một hàm hữu tỷ của pz  , trong đó pz  là hàm Weirestrass với cùng các chu kỳ 1 ,  2 Xét trường hợp tổng qt, f z  là hàm elliptic tùy ý Ta viết f z  dưới dạng: f z   1  f z   f  z  1  f z   f  z  2 2 Tổng thứ nhất trong vế phải là một hàm elliptic chẵn, tổng... hai là một hàm elliptic lẻ Kết hợp hai định lý trên, ta được khẳng định sau dây: 2.2.3.3 Định lý: Hàm elliptic tùy ý f z  với chu kỳ 1 và  2 có thể biểu diễn dưới dạng: f z   R1  pz   p z R2  pz  Trong đó R1 , R2 là các hàm hữu tỷ nào đó, pz  là hàm Weierstrass với các chu kỳ 1 và  2 Rõ ràng điều ngược lại cũng đúng vì hàm hữu tỷ tùy ý của pz  và p z  là một hàm elliptic. .. một hàm elliptic khơng có cực điểm tại z  0 , và dễ thấy nó khơng có cực điểm trong hình bình hành chu kỳ Do đó vế trái là một hằng số 29 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Cho z  0 ta thấy hằng số đó chính là  140G6 Định lý được chứng minh 2.2.3 Biểu diễn hàm elliptic qua hàm Weierstrass Giả sử f z  là hàm elliptic tùy ý, f  K 1 ,  2  Ta sẽ chứng tỏ rằng hàm. .. của hàm f  Trường hàm Elliptic Giả sử K là tập hợp các hàm elliptic chu kỳ 1 ,  2 Khi đó ta có: 1) Mọi hằng số đều thuộc K 2) Nếu f1  K , f 2  K thì f1  f 2  K , f1 f 2  K và f1  K (nếu f 2  0 ) đều f2 thuộc K Như vậy, K là một trường 3) Nếu f1 , f 2 , , f n  K thì hàm hữu tỷ tùy ý của f1 , f 2 , , f n cũng thuộc K 4) Nếu f  K thì đạo hàm f '  K 1 z 5) Giả sử a là cực điểm của hàm. .. cực điểm của hàm f z  trong mỗi hình bình hành chu kỳ là như nhau ( mỗi cực điểm được kể một số lần bằng bội của nó) 2.1.3 Định nghĩa: Hàm elliptic f được gọi là có cấp r nếu nó có đúng r cực điểm (kể cả bội ) trong mỗi hình bình hành chu kỳ 2.1.4 Định lý: Hàm f  K cấp r= 0 là hàm hằng số 22 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chứng minh: Giả sử f là hàm elliptic cấp 0,... nhằm xây dựng hàm elliptic dựa trên chuỗi đó cần một số điều chỉnh Mặt khác, nếu thay cho số mũ 2 trong cơng thức trên, ta lấy số mũ 3 thì chuỗi sẽ hội tụ Vì thế ta sẽ bắt đầu bằng việc xây dựng hàm elliptic cấp 3, với một cực điểm cấp 3 duy nhất trong mỗi hình bình hành chu kỳ 2.2.1.3 Định lý: Giả sử hàm f z  xác định bởi chuỗi : 1 3 z  z    f z    Khi đó f z  là hàm elliptic cấp 3... bởi hàm p • Định lý: Hàm Weierstrass pz  thỏa mãn phương trình vi phân phi tuyến sau:  pz 2  4 p 3 z   60G4 pz   140G6 Chứng minh: Ta chứng minh định lý trên bằng cách lập một tổ hợp tính của một số lũy thừa của p và p  , rồi chỉ ra rằng đó là hàm elliptic khơng có cực điểm, tức là một hằng số Khai triển tại lân cận z  0 ta có:  p z 2  4 24G 4  2  80G6  z6 z Đây là hàm elliptic . nghiên cứu của luận văn : “ Hàm ELLIPTIC ” II. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI 2.1. Trình bày một số kiến thức cơ sở của lý thuyết các hàm Elliptic. 2.2. Một số ứng dụng của các hàm Elliptic. . 2.2.3. Biểu diễn hàm Elliptic qua hàm Weierstrass .30 2.3 Quan hệ đại số của các hàm elliptic 32 2.4. Một số ứng dụng của hàm Elipptic 32 2.4.1. Khai triển Laurend của hàm   zp tại lân. việc xét lớp hàm elliptic, mà vai trò của chúng trong lý thuyết hàm biến phức quan trọng khơng kém vai trò của các hàm lượng giác trong lý thuyết hàm biến thực. Lý thuyết các hàm elliptic có