Hệ tham số và số bội luận văn thạc sĩ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HÀ QUANG PHỤC HỆ THAM SỐ VÀ SỐ BỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyªn ngµnh: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An – 2012 MỤC LỤC Mục lục……………………………………………………… .…… . 1 Mở đầu…………………… ………………………………………… 2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị……………………………………… 4 1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và iđêan nguyên sơ………………… 4 1.2 Môđun Noether và môđun Artin…………………………………… 4 1.3 Môđun có độ dài hữu hạn………………………………………… . 5 1.4 Chiều Krull của vành và môđun……………………………………. 7 Chương 2. Hệ tham số và số bội…………………………………… 9 2.1 Hệ tham số………………………………………………………… 9 2.2 Hệ bội…………………………………………………………….… 13 2.3 Số bội hình thức……………………………………….……………. 17 2.4 Đa thức Hilbert và bội Hilbert-Samuel…………….………………. 31 Kết luận………………………………………………………………… 37 Tài liệu tham khảo………………………………….…………………. 38 MỞ ĐẦU Chiều, bội, hệ tham số là ba đối tượng mật thiết, quyết định đến cấu trúc của một môđun. Đó cũng là ba khái niệm cơ bản nhất khi nói đến Đại số giao hoán. Lý thuyết bội cho môđun Noether đóng vai trò rất quan trọng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số. Thông qua việc nghiên cứu số bội, người ta có thể nói lên cấu trúc của các vành Noether và các môđun hữu hạn sinh trên vành Noether. Một ví dụ điển hình là các lớp môđun quen thuộc trong Đại số 2 giao hoán như môđun Cohen – Macaulay, môđun Buchsbaum và môđun Cohen – Macaulay suy rộng đều được đặc trưng qua hệ tham số và số bội. Cho (R, m) là một vành giao hoán địa phương Noether và M là một R- môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d ≥ 0. Một hệ gồm d phần tử x- 1 , ., x d trong m được gọi là một hệ tham số của M nếu độ dài của môđun thương M/(x 1 , ., x d )M hữu hạn. Cho I là một iđêan của R sao cho độ dài l R (M/IM) < + ∞ . Khi đó hàm số l R (M/I n+1 M) theo biến n là một đa thức bậc d, hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn. Hệ số cao nhất của đa thức này dương và đa thức này chỉ nhận giá trị nguyên không âm với mọi giá trị nguyên n đủ lớn. Đa thức này được gọi là đa thức Hilbert- Samuel và thường được biểu diễn dưới dạng: 0 ( ) = + −   =  ÷   ∑ d M I i i n d i P n e d trong đó    ÷   k d là kí hiệu của tổ hợp chập k của d phần tử, với e i là các số nguyên với mọi 0 ≤ i ≤ d, trong đó e 0 dương. Số nguyên dương e 0 mang nhiều thông tin quan trọng về môđun M, đặc biệt về góc độ hình học thì nó liên quan đến số bội của một điểm hay bậc của đa tạp. 0 e được gọi là bội Hilbert- Samuel của môđun M theo iđêan I. Bội Hilbert- Samuel cũng chính là số bội hình thức được định nghĩa bằng qui nạp khi I là một iđêan tham số (tức I là iđêan sinh bởi một hệ tham số). Khi I = m thì e 0 được gọi là bội Hilbert- Samuel của môđun M và được kí hiệu là e(M). Mục đích của Luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để trình bày lại một cách có hệ thống một số vấn đề về hệ tham số và số bội. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia làm hai chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của đại số giao hoán có sử dụng trong luận văn. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. 3 Chương 2: Trong phần này chúng tôi trình bày về định nghĩa và các tính chất của hệ tham số, hệ bội, số bội hình thức cũng như bội Hilbert-Samuel và mối quan hệ giữa bội Hilbert-Samuel và số bội hình thức. Luận văn được hoàn thành vào tháng 01 năm 2012 tại trường Đại học Đồng Tháp dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn tận tình trong quá trình học tập và nghiên cứu. Chúng tôi xin cám ơn các thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, Khoa Sau đại học, các đồng nghiệp và gia đình đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt quá trình học tập. Nghệ An, tháng 01 năm 2012 Tác giả Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán có sử dụng trong Luận văn. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. Trong toàn bộ Luận văn vành luôn được giả thiết là giao hoán và có đơn vị 1 ≠ 0. 1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và iđêan nguyên sơ Cho R là một vành. 4 (i) Iđêan p của R được gọi là iđêan nguyên tố nếu p ≠ R và với mọi , ∈x y R mà ∈ xy p thì x∈ p hoặc y∈ p. Kí hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó SpecR được gọi là phổ của vành R. (ii) Iđêan m của R được gọi là iđêan cực đại nếu ≠ Rm và nếu I là một iđêan của R, I mÙ thì I=R. Kí hiệu ( ) J R là giao tất cả các iđêan cực đại của vành R. Khi đó ( ) J R là một iđêan của R và ( ) J R được gọi là căn Jacobson của vành R. Vành R được gọi là nửa địa phương nếu R có hữu hạn iđêan cực đại, vành R được gọi là vành địa phương nếu R có duy nhất một iđêan cực đại. (iii) Iđêan q của R được gọi là iđêan nguyên sơ nếu q R ≠ và ,x y R∀ ∈ mà ∈xy q và nếu ∉x q thì n∃ ∈ ¥ sao cho ∈ n y q. 1.2 Môđun Noether và môđun Artin 1.2.1 Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là một R-môđun. Môđun M được gọi là môđun Noether nếu thỏa một trong các điều kiện tương đương sau: (i) Mỗi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực đại; (ii) Mỗi dãy tăng các môđun con của M 0 1 . . n M M M⊂ ⊂ ⊂ ⊂ đều dừng, nghĩa là 1k k M M + = với mọi k đủ lớn. (iii) Mỗi môđun con của M đều hữu hạn sinh. Vành R được gọi là vành Noether nếu nó là một R- môđun Noether. 1.2.2 Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là một R-môđun. Môđun M được gọi là môđun Artin nếu thỏa một trong các điều kiện tương đương sau: (i) Mỗi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực tiểu; (ii) Mỗi dãy giảm các môđun con của M, 0 1 . . n M M M⊃ ⊃ ⊃ ⊃ 5 đều dừng, nghĩa là 1k k M M + = với mọi k đủ lớn. Vành R được gọi là vành Artin nếu nó là một R- môđun Artin. 1.2.3 Mệnh đề. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và một dãy khớp ngắn các R- môđun 0 0N M P→ → → → . Khi đó M là Noether (tương ứng Artin) nếu và chỉ nếu N và P là Noether (tương ứng Artin). 1.2.4 Hệ quả. Tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các R- môđun Noether (tương ứng Artin) là một R- môđun Noether (tương ứng Artin). 1.2.5 Định lí (Định lí cơ sở Hilbert) Nếu R là một vành Noether thì vành đa thức [ ]R X cũng là một vành Noether. 1.2.6 Hệ quả. Nếu R là một vành Noether thì vành đa thức 1 2 [ , , ., ] n R X X X cũng là một vành Noether. 1.2.7 Mệnh đề. Mỗi iđêan nguyên tố trong vành Artin R là một iđêan cực đại. 1.2.8 Bổ đề (Artin- Rees). Giả sử M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R và I là một iđêan của R, N là môđun con của M. Khi đó tồn tại số nguyên 0q ≥ sao cho ( ) , n q q n I I M N I M N − ∩ = ∩ n q∀ ≥ . 1.2.9 Định lí. Giả sử M là một R- môđun Noether và I là một iđêan được chứa trong căn Jacobson của R. Khi đó 1 0 n n I M ∞ = = I . 1.3 Môđun có độ dài hữu hạn 1.3.1 Định nghĩa. Một R-môđun khác môđun không được gọi là môđun đơn, nếu nó chỉ có hai môđun con là môđun con không và chính nó. 1.3.2 Định nghĩa. Một dãy hợp thành của R-môđun M là một dãy giảm gồm một số hữu hạn các môđun con { } 0 1 0 . n M M M M = ⊃ ⊃ ⊃ = sao cho ( ) 1 0 1/ i i M M i n + ≤ ≤ − là các môđun đơn. Khi đó số n được gọi là độ dài của dãy hợp thành. Môđun M có một dãy hợp thành được gọi là một môđun có dãy hợp thành. 6 1.3.3 Định lí (Định lí Jordan- Holder). Nếu R-môđun M có một dãy hợp thành với độ dài n, thì tất cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài n. Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thực sự các môđun con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của các dãy hợp thành, và đều có thể mở rộng thành một dãy hợp thành. 1.3.4 Định nghĩa. Nếu R-môđun M có dãy hợp thành, thì tất cả các dãy hợp thành của M có cùng độ dài. Khi đó độ dài của các dãy hợp thành của M được gọi là độ dài của môđun M và kí hiệu là ( ) R l M . Nếu R- môđun M không có dãy hợp thành thì ta quy ước độ dài ( ) R l M = ∞ và gọi là môđun có độ dài vô hạn. 1.3.5 Định lí. Một R-môđun M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi M vừa là Noether vừa là Artin. 1.3.6 Định lí (Tính cộng tính của độ dài). Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và một dãy khớp ngắn các R-môđun 0 0N M P→ → → → . Khi đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi N và P có độ dài hữu hạn và ta luôn có ( ) ( ) ( ) R R R l M l N l P= + . Hơn nữa, nếu 1 2 0 0 .→ → → → → p M M M là dãy khớp các R- môđun có độ dài hữu hạn thì ( ) ( ) 1 1 0 = − = ∑ . p i i R i l M 1.3.7 Hệ quả. Nếu R là một vành giao hoán và N là một R-môđun con của R- môđun M thì = +( ) ( ) ( / ). R R R l M l N l M N 1.3.8 Mệnh đề. Giả sử K, N ( K N⊆ )là các môđun con của R-môđun M. Khi đó ( ) ( ) ( ) / / / . R R R l M K l M N l N K= + 1.3.9 Bổ đề. Giả sử M là một R- môđun có độ dài hữu hạn và N là môđun con của M. Khi đó (i) N cũng có dãy hợp thành với ( ) ( ) R R l N l M≤ và dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi N=M; (ii) Môđun thương M/N cũng có dãy hợp thành với ( / ) ( ). R R l M N l M≤ 7 1.3.10 Định nghĩa. Cho R là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại m , M là một R-môđun hữu hạn sinh. Một iđêan I ⊂ m của R được gọi là iđêan xác định của M (hay còn gọi là iđêan định nghĩa) nếu ( ) / R l M IM hữu hạn. 1.3.11 Mệnh đề. Nếu I là một iđêan xác định của M thì I cũng là iđêan xác định của các môđun con và môđun thương của M. 1.3.12 Mệnh đề. Cho N là một R-môđun con của M và x là một phần tử của vành R. Khi đó ta có đẳng cấu ( ) ( ) ( ) / / / /M N xM M N x M N+ ≅ . 1.3.13 Định nghĩa. Cho M là một R- môđun, với mỗi x M∈ ta kí hiệu { } ( ) 0 R Ann x a R ax= ∈ = và { } { } 0 0, R Ann M a R aM a R ax x M= ∈ = = ∈ = ∀ ∈ . Ta có ( ) R Ann x và R Ann M là những iđêan của M; R Ann M được gọi là linh hóa tử của môđun M. Ta còn viết Ann(x), AnnM thay cho ( ) R Ann x và R Ann M . 1.4 Chiều Krull của vành và môđun Một xích các iđêan nguyên tố của R là một dãy hữu hạn, tăng thực sự các iđêan nguyên tố của vành R có dạng p 0 ⊂ p 1 ⊂ . ⊂ p n trong đó p i-1 ≠ p i với mọi =1,2, .,i n . Số nguyên n được gọi là độ dài của xích. 1.4.1 Định nghĩa. Chiều Krull của một vành R là cận trên đúng của tất cả các xích nguyên tố trong R. Chiều Krull của R được ký hiệu là dim R . Cho M là R- môđun. Khi đó chiều Krull của M được kí hiệu là dim R M (hoặc dimM), là dimR/AnnM nếu M khác môđun không, và nếu M là môđun không thì quy ước 1dim M = − . Cho (R, m ) là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại m và M là một R- môđun hữu hạn sinh. Khi đó SuppM/ m M = { m }, nên l R (M/ m M) hữu hạn. Hàm l R (M/ m n+1 M) là một đa thức theo biến n khi n đủ lớn. Ký hiệu đa thức này là P m M (n). Mặt khác, vì m hữu hạn sinh nên luôn tồn tại một số nguyên nhỏ nhất r sao cho có thể chọn được r phần tử a 1 , a 2 ,…, a r thuộc m để l R (M/(a 1 ,a 2 ,…,a r )M) < ∞ . Ta có khái niệm sau. 8 1.4.2 Định nghĩa. Cho (R, m ) là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại m , và M là một R -môđun hữu hạn sinh và khác không. (i) deg P m M (n) là một bất biến của môđun M được ký hiệu là d(M) và gọi là cực điểm của môđun M. (ii) Chiều Chevalley, kí hiệu s(M) của M, là số nhỏ nhất r sao cho tồn tại a 1 , a 2 ,…,a r ∈ m để l R (M/ ( a 1 ,a 2 ,…,a r )M) < ∞ . Nếu M là môđun 0, thì người ta quy ước s(M) = -1. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether R, khi đó ba bất biến của M: cực điểm d(M); chiều Krull dimM; chiều Chevaley s(M) được thống nhất qua định lí cơ bản sau đây. 1.4.3 Định lí (Định lí cơ bản về chiều). Cho M là một R- môđun hữu hạn sinh trên một vành địa phương Noether R. Khi đó ta có dim M = d(M) = s(M). Chương II. HỆ THAM SỐ VÀ SỐ BỘI 2.1 Hệ tham số Cho R là một vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m ; M là một R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim 0.= >M d 9 Khi đó theo Định lí cơ bản về chiều, thì sẽ tồn tại một hệ gồm d phần tử { } 1 2 : , , ., d x x x x= của m sao cho 1 ( / ( , ., ) ) R d M x x M < ∞l . 2.1.1 Định nghĩa. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether với iđêan cực đại duy nhất m ; có chiều Krull dim 0.= >M d Khi đó hệ gồm d phần tử { } 1 2 : , , ., d x x x x= của m sao cho 1 ( / ( , ., ) ) R d M x x M < ∞l , được gọi là một hệ tham số của môđun M. Iđêan ( ) 1 2 , , ., d x x x được sinh bởi một hệ tham số được gọi là iđêan tham số. Nếu { } 1 2 : , , ., d x x x x= là một hệ tham số của môđun M thì hệ các phần tử { } 1 2 , , ., i x x x ( i d≤ ) được gọi là một phần hệ tham số của M. 2.1.2 Nhận xét. Từ định nghĩa ta thấy rằng nếu { } 1 2 : , , ., d x x x x= là một hệ tham số của môđun M thì mọi hoán vị của của nó cũng là một hệ tham số của môđun M. Hơn nữa, nếu 1 2 , , ., d x x x là một hệ tham số của M, và 1 2 , , ., d x x x tương ứng là ảnh của 1 2 , , ., d x x x trong /S R AnnM= . Khi đó bởi dim dimM S d= = , và iđêan ( 1 2 , , ., d x x x ) là mS-nguyên sơ, nên 1 2 , , ., d x x x cũng là hệ tham số của S. 2.1.3 Ví dụ. Với K là trường, thì vành các chuỗi lũy thừa hình thức với các biến 1 2 1 2 , , ., ; [[ , , ., ]]= n n X X X R K X X X là một vành địa phương Noether chiều n. Khi đó 1 2 , , ., n X X X là một hệ tham số của R. Sau đây là một số tính chất của hệ tham số. 2.1.4 Mệnh đề. Nếu { } 1 2 : , , ., d x x x x= là một hệ tham số của môđun M và { } 2 1 : , , ., d n n n n = là một bộ gồm d số nguyên dương thì { } 1 1 ( ): , ., d n n d x n x x= cũng là một hệ tham số của môđun M. Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp. Với 1d = , xét dãy khớp 1 2 1 1 1 / / / 0. x R x R R x R R x R→ → → 10