Các số fibonacci và tỉ số vàng luận văn thạc sĩ

1 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Trêng ®¹i häc Vinh NGUYỄN HOÀNG THÊM C¸C Sè FIBONACcI Vµ TØ Sè VµNG Chuyªn ngµnh: ®¹i sè vµ Lý thuyÕt sè M· sè: 60 46 05 LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Ngêi híng dÉn khoa häc PGS.TS NguyÔn Thµnh Quang Nghệ An – 12.2011 2 MỤC LỤC Trang 1 MỞ ĐẦU 3 CHƯƠNG 1 3 VỀ DÃY SỐ FIBONACCI 7 14 1.1 Dãy số Fibonacci 15 1.2 Tính chất của dãy Fibonacci 1.3 Biểu diễn của dãy Fibonacci 17 1.4 Các dãy số nguyên tương tự dãy Fibonacci 17 CHƯƠNG 2 21 CÁC ỨNG DỤNG CỦA DÃY FIBONACCI 27 32 TRONG ĐỜI SỐNG VÀ KỸ THUẬT 33 2.1 Một vài ứng dụng của dãy Fibonacci 2.2 Tỉ số vàng 2.3 Một số bài tập về dãy Fibonacci KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Fibonacci (1180 - 1250) được biết đến nhiều nhất với dãy số mang tên ông - dãy số Fibonacci Dãy số đó là: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, Trong toán học và nghệ thuật, hai đại lượng được gọi là có tỷ số vàng nếu tỷ số giữa tổng của các đại lượng đó với đại lượng lớn hơn bằng tỷ số giữa đại lượng lớn hơn với đại lượng nhỏ hơn Đến thời kỳ Phục Hưng, các nghệ sĩ và kiến trúc sư bắt đầu tính toán và xây dựng sao cho các tác phẩm của họ xấp xỉ tỷ số vàng, đặc biệt là trong hình chữ nhật vàng - tỷ số giữa cạnh dài và cạnh ngắn chính là tỷ số vàng Các nhà toán học đã nghiên cứu tỷ số vàng vì tính độc đáo cũng như các đặc tính lý thú của nó 3 Dãy Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong thiên nhiên Những chiếc lá trên một nhành cây mọc cách nhau những khoảng tương ứng với dãy số Fibonacci Các số Fibonacci xuất hiện trong những bông hoa Có một điều gì đó thần kỳ bao quanh dãy số Fibonacci Dãy Fibonacci có những tính chất đặc biệt đáng chú ý Thật vô cùng bất ngờ, tỷ số giữa hai số tiếp nhau của dãy số đó tiến đến Tỷ số vàng Hiện nay Hội Fibonacci đang hoạt động có trung tâm ở Trường Đại học St Mary tại California Mục đích của Hội là tìm kiếm các ví dụ của Tỷ số vàng cũng như của các số Fibonacci trong tự nhiên, trong nghệ thuật và trong kiến trúc với niềm tin rằng Tỷ số vàng là món quà Thượng đế ban tặng cho thế giới nầy Như là chuẩn mực của cái đẹp, Tỷ số vàng hiện diện ở nhiều nơi Ở Điện Parthenon của thành Athens, Kim tự tháp vĩ đại ở Giza được xây dựng từ nhiều trăm năm trước có tỷ số giữa chiều cao của một mặt với một nửa cạnh đáy là Tỷ số vàng Một người phụ nữ có dáng đẹp lý tưởng là người có tỷ lệ số đo các vòng (vòng 1,2,3) là tỷ số vàng hay còn gọi là tỉ số thần thánh! Hàm ý bên trong của dãy số Fibonacci không phải là bản thân các con số mà là mối quan hệ giữa các con số Dãy số Fibonacci và tỉ số vàng có mối quan hệ chung nhất là bắt nguồn từ tự nhiên và qua quá trình biến đổi (gọt rũa) có qui luật Từ thiên nhiên rồi ứng dụng lại với thiên nhiên, dãy số Fibonacci có nhiều ứng dụng độc đáo Vì vậy, trong luận văn nầy chúng tôi tìm hiểu dãy số Fibonacci và tỉ số vàng: các tính chất và ứng dụng của dãy số Fibonacci trong tự nhiên, đời sống và kỹ thuật; quan hệ giữa dãy số Fibonacci và tỉ số vàng Ngoài ra, luận văn còn tìm tòi xây dựng một hệ thống bài tập về số Fibonacci, góp phần xây dựng một tài liệu tham khảo cho các giáo viên, học sinh ở nhà trường phổ thông và sinh viên ngành sư phạm toán học 4 Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp nầy, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn, người đã dành cho tác giả sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, khoa Toán, khoa Đào tạo Sau Đại học – Trường Đại học Vinh – đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn khoa học Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các cán bộ Phòng Quản lí Khoa học và Đào tạo Sau Đại học – Trường Đại học Đồng Tháp đã quan tâm giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong được sự chỉ bảo của quý thầy, cô và các bạn bè học viên Nghệ An, ngày 01 tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG 1 VỀ DÃY SỐ FIBONACCI 1.1 Dãy số Fibonacci Số Fibonacci xuất hiện lần đầu tiên trong bài toán sau đây, được đưa ra trong cuốn sách “ Liber Abaci” của nhà toán học Italia Fibonacci, xuất bản năm 1202: 1.1.1 Bài toán Một cặp thỏ mỗi tháng sinh một lần, cho một cặp thỏ con (một đực, một cái) Mỗi cặp thỏ con mới sinh ra sau hai tháng lại bắt đầu sinh một cặp thỏ con mới nữa, rồi sau mỗi tháng lại tiếp tục sinh ra một đôi thỏ nữa, và giả sử tất cả các thỏ sinh ra đều sống Hỏi nếu một cặp thỏ con nuôi 5 từ tháng giêng và đẻ con vào tháng hai thì cuối năm đó sẽ có bao nhiêu cặp thỏ tất cả? Từ giả thiết suy ra số thỏ từng tháng sẽ là: Trong tháng giêng có một cặp thỏ số 1 Vào đầu tháng hai, cặp thỏ nầy đẻ ra một cặp thỏ số 2 Vậy trong tháng thứ hai có hai cặp thỏ Vào đầu tháng thứ ba, cặp thỏ số 1 đẻ ra cặp thỏ số 3, còn cặp số 2 mới sau 1 tháng nên chưa đẻ được Vậy trong tháng thứ 3 có 3 cặp thỏ Kí hiệu F(n) số cặp thỏ sau tháng thứ n kể từ đầu năm Sau tháng (n + 1) thì sẽ có F(n) cặp ban đầu, cộng thêm số cặp do các cặp đã có sau tháng thứ (n – 1) sinh ra Số nầy là F(n – 1) Vậy F(n + 1) = F(n) + F(n – 1), với số tự nhiên n > 0 Theo giả thiết, F(0) = 1, F(1) = 1, nên F(2) = 2, F(3) = 3, …, F(12) = 233 Các số F(n) được gọi là các số Fibonacci Dãy F(0), F(1), F(2), …, F(n), … (1) trong đó: F (0) 0  F (1) 1   F (n) F (n  1)  F (n  2), vôùi moïi n = 2, 3, 4, (2) Dãy (1) được gọi là dãy Fibonacci Ta có thể tính được bất cứ số hạng nào của dãy số Fibonacci, căn cứ vào các số hạng đã tính được trước nó Tuy nhiên, khi n rất lớn thì cách tính nầy mất nhiều thời gian Do vậy người ta tìm phương pháp khoa học hơn Phương pháp đó là, dùng công thức tính trực tiếp F(n) theo n 6 1 1 5 n 1 1 5 n F(n) =     5 2  5 2  1.1.2 Định nghĩa Quan hệ hồi quy bậc k là một công thức cho phép tính giá trị f(n + k) qua các giá trị f(n), f(n + 1), …, f( n + k – 1) Ví dụ: 1) f(n + 2) = nf(n + 1) + f(n) + 3f(n – 1) là quan hệ hồi quy bậc 3 2) f(n + 1) = f(n) + f(n – 1) là quan hệ hồi quy bậc 2 Đối với một quan hệ hồi quy bậc k, nếu cho các giá trị f(1), …, f(k) thì các giá trị còn lại hoàn toàn được xác định Chẳng hạn, trong quan hệ (2) nếu ta cho f(1) = f(2) = 1 thì ta nhận được các số Fibonacci Một dãy f(n) thoả mãn quan hệ hồi quy nào đó được gọi là một nghiệm của quan hệ đó Để ý rằng, nếu quan hệ hồi quy bậc k thì k giá trị đầu của dãy có thể lấy tuỳ ý, các giá trị tiếp theo hoàn toàn được xác định Một nghiệm của quan hệ hồi quy bậc k được gọi là nghiệm tổng quát nếu nó phụ thuộc k hằng số tuỳ ý C1, …, Ck 1.1.3 Định nghĩa Quan hệ hồi quy tuyến tính bậc k với hệ số hằng là quan hệ có dạng: f(n + k) = a1f(n + k – 1) + a2f(n + k – 2)+ … + akf(n), trong đó a1, a2, …, ak là các hằng số nào đó (không phụ thuộc n) Xét quan hệ hồi quy tuyến tính hệ số hằng f(n + 2) = a1f(n + 1) + a2f(n) (3) 1.1.4 Bổ đề Nếu f1(n), f2(n) là các nghiệm của quan hệ (3) thì với các số tuỳ ý A, B dãy f(n) = Af1(n) + Bf2(n) cũng là nghiệm của (3) Chứng minh Theo giả thiết ta có f1(n + 2) = a1f1(n + 1) + a2f1(n) , f2(n + 2) = a1f2(n + 1) + a2f2(n) Từ đó suy ra 7 Af1(n  2)  Bf2 (n  2) a1[Af1(n 1)  Bf2(n 1)]  a2[Af1(n)  Bf2(n)] Như vậy, Af1(n) +Bf2(n) cũng là một nghiệm của (3) 1.1.5 Bổ đề Giả sử r1 là nghiệm của phương trình r2 = a1r + a2 (4) Khi đó dãy {r1n} là một nghiệm của quan hệ f(n + 2) = a1f(n + 1) + a2f(n) (5) Phương trình (4) gọi là phương trình đặc trưng của quan hệ (5) Chứng minh Ta có f(n) = r1n, f(n + 1) = r1n + 1 , f(n + 2) = r1n + 2 thay vào (5) ta được : r1n + 2 = a1 r1n + 1 + a2r1n Đẳng thức nầy đúng, vì r12 a1r1  a2 ■ Nhận xét: Dãy {r1n + m} với m tuỳ ý cũng là một nghiệm Thật vậy, chỉ cần áp dụng Bổ đề 1.1.4 với B = 0, A = r1m Từ các Bổ đề 1.1.4 và Bổ đề 1.1.5, ta có định lí sau: 1.1.6 Định lí Giả sử cho quan hệ hồi quy f(n + 2) = a1f(n + 1) + a2f(n) (6) Giả sử phương trình đặc trưng r2 = a1r + a2 có hai nghiệm phân biệt r1 và r2 Khi đó nghiệm tổng quát của (6) có dạng f(n) = C1r1n – 1 + C2r2n – 1 Chứng minh Theo Bổ đề 1.1.5, f1(n) = r1n – 1 , f2 (n) = r1n – 2 là các nghiệm của quan hệ đang xét Theo Bổ đề 1.1.4, với mọi C1, C2 tuỳ ý của quan hệ (6) có thể viết dưới dạng đã nêu trong định lí Mỗi nghiệm của hệ (6) được xác định duy nhất bởi các giá trị f(1), f(2) Vì thế, chỉ cần chỉ ra rằng, hệ phương trình C1  C2 a  C1r1  C2r2 b có nghiệm với a, b tuỳ ý Dễ thấy rằng, các nghiệm đó là 8 C1 b  ar2 , C2 ar1  b r1  r2 r1  r2 Định lí được chứng minh ■ Các số Fibonacci là một quan hệ hồi quy bậc 2 với công thức F(n + 2) = F(n + 1) + F(n) (7) Phương trình đặc trưng tương ứng của quan hệ (7) là: r2 – r – 1 = 0 Phương trình nầy có nghiệm: r1 1 5 , r1  1 5 2 2 Nghiệm tổng quát của quan hệ (7) có dạng: F(n) = C1 1 5 n 1 5 n   C2   (8)  2  2 Các số Fibonacci F(n) được cho bởi (8) với điều kiện F(0) = 1, F(1) = 1 Tuy nhiên, để thuận tiện, ta thường xét với điều kiện ban đầu F(0) = 0, F(1) = 1 Khi đó các hằng số C1, C2 được tính từ hệ phương trình C1  C2 0  5  (C1  C2 ) 1 2 Giải ra ta được: C1  1 , C2  1 Vậy nghiệm tổng quát có dạng: 5 5 1 1 5 n 1 1 5 n F (n)  5  2   5  2  ■ 1.2 Tính chất của dãy Fibonacci 9 1 1 5 n 1 1 5 n Công thức F(n) =     được gọi là công thức 5 2  5 2  Binet Dựa vào công thức Binet, ta có định lí sau đây cho một tính chất thú vị của số Fibonacci Ta dùng Fn kí hiệu cho số Fibonacci thứ n 1.2.1 Định lí Số Fibonacci Fn là số nguyên gần nhất đối với số 1 1 5 n   , tức là số hạng an của cấp số nhân với số hạng đầu tiên là 5 2  1    1  5  và công bội là 1 5 5 2  2 Chứng minh Chỉ cần chứng minh rằng trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số Fn và an luôn luôn bé hơn 1 Ta có: 2 n n n 1 1 5  1 5  1 5  Fn  an        5 2   2   2  1 1 5  n 1  3  1n 1      5  2  5 2  2 Lại có: lim    Fn  lim 1  1  5 n    1 n   an  n    1  5    1.2.2 Mệnh đề F1 + F2 +…+ Fn = Fn + 2 – 1 Chứng minh Ta có: F1 = F3 – F2 F2 = F4 – F3 … 10 Fn – 1 = Fn + 1 – Fn Fn = Fn + 2 – Fn + 1 Cộng từng vế các đẳng thức nầy, ta có: F1 + F2 + … + Fn = Fn + 2 – F2 Mà F2 = 1 suy ra F1 + F2 + … + Fn = Fn + 2 – 1 ■ 1.2.3 Mệnh đề F1 + F3 + F5 + … + F2n – 1 = F2n Chứng minh Ta có: F1 = F2 F3 = F4 – F2 F5 = F6 – F4 … F2n – 1 = F2n – F2n –2 Cộng từng vế các đẳng thức, ta được công thức cần chứng minh ■ 1.2.4 Mệnh đề F2 + F4 + F6 + … + F2n = F2n + 1 – 1 Chứng minh Từ Mệnh đề 1.2.2 ta có: F1 + F2 + F3 +…+ F2n = F2n + 2 – 1 Từ Mệnh đề 1.2.3 ta có F1 + F3 + F5 + … + F2n – 1 = F2n Trừ từng vế các đẳng thức trên ta được: F2 + F4 + … + F2n = F2n + 2 – 1 – F2n = F2n + 1 – 1 ■ 1.2.5 Mệnh đề F1 – F2 + F3 – F4 +…+ (-1)n + 1Fn =(-1)n + 1 Fn – 1 + 1 Chứng minh Từ các Mệnh đề 1.2.3, 1.2.4 ta được: F1 – F2 + F3 – F4 +…+ F2n – 1 – F2n = F2n – F2n + 1 + 1 hay F1 – F2 + F3 – F4 +…+ F2n – 1 – F2n = – F2n – 1 + 1 (a) Cộng thêm vào hai vế F2n + 1 ta có: F1 – F2 + F3 – F4 +…+ F2n – 1 – F2n + F2n + 1 = F2n + 1 – F2n – 1 + 1, hay F1 – F2 + F3 – F4 +…+ F2n – 1 – F2n + F2n + 1 = F2n + 1 (b) ... đẹp lý tưởng người có tỷ lệ số đo vòng (vòng 1,2,3) tỷ số vàng hay gọi tỉ số thần thánh! Hàm ý bên dãy số Fibonacci thân số mà mối quan hệ số Dãy số Fibonacci tỉ số vàng có mối quan hệ chung bắt... số Fibonacci có nhiều ứng dụng độc đáo Vì vậy, luận văn nầy chúng tơi tìm hiểu dãy số Fibonacci tỉ số vàng: tính chất ứng dụng dãy số Fibonacci tự nhiên, đời sống kỹ thuật; quan hệ dãy số Fibonacci. .. dãy số Fibonacci Các số Fibonacci xuất bơng hoa Có điều thần kỳ bao quanh dãy số Fibonacci Dãy Fibonacci có tính chất đặc biệt đáng ý Thật vô bất ngờ, tỷ số hai số tiếp dãy số tiến đến Tỷ số vàng