Số bernoulli, đa thức bernoulli và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Cao Trí SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Cao Trí SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn PGS TS Mỵ Vinh Quang Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết từ nguồn sách, tạp chí, báo liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn LỜI CÁM ƠN Lời cám ơn đầu tiên, xin gởi tới PGS TS Mỵ Vinh Quang, người thầy mẫu mực nghiêm khắc, người tận tình giảng dạy, hướng dẫn tơi suốt q trình học cao học đặc biệt thực luận văn Nhờ thầy, tơi hồn thành tốt luận văn qua tơi học từ thầy cách làm việc khoa học Tiếp đến xin bày tỏ lịng biết ơn đến q thầy khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh: PGS.TS Trần Tuấn Nam, TS Trần Huyên, TS Phạm Thị Thu Thủy Quý thầy cô trực tiếp giảng dạy để trang bị cho kiến thức bước đường nghiên cứu tốn học Tơi khơng qn bày tỏ lịng biết ơn quý thầy cô Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt q thầy phịng Sau Đại Học tạo điều kiện thuận lợi để học tập suốt trình học cao học Xin gởi lời cám ơn chân thành đến TS Phan Thế Hải, người thầy truyền cho tơi lửa đam mê tốn học từ tơi cịn sinh viên sư phạm Thầy theo sát bước từ lúc trường đến Xin khắc sâu công ơn ba, mẹ Những người ủng hộ định đời Nhờ họ tơi có thêm nghị lực để vượt qua khó khăn suốt q trình học tập Cuối cùng, lời cám ơn đặc biệt nhất, xin gởi đến vợ gái u tơi Chính họ chỗ dựa tinh thần vững cho suốt q trình học cao học hồn thành luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng 03 – 2018 Đỗ Cao Trí MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CÁM ƠN DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Một số định nghĩa tính chất chuẩn trường 1.2 Chuẩn phi Archimede 1.3 Trường số p – adic p 1.4 Phân phối p – adic 10 1.5 Độ đo tích phân p – adic 13 CHƯƠNG SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI 15 2.1 Số Bernoulli đa thức Bernoulli 15 2.2 Tính chất số Bernoulli đa thức Bernoulli 17 2.3 Các đồng dư thức liên quan đến số Bernoulli đa thức Bernoulli 21 CHƯƠNG : ỨNG DỤNG CỦA SỐ BERNOULLI VÀ ĐA THỨC BERNOULLI 30 3.1 Ứng dụng số Bernoulli để tính khai triển Laurent tan cot 30 3.2 Khai triển Fourier đa thức Bernoulli 31 3.3 Zeta – hàm số học 36 3.4 Độ đo tích phân Bernoulli 38 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : Tập số nguyên : Tập số hữu tỉ : Tập số thực p : Tập số nguyên p – dic  : Chuẩn thông thường p : Chuẩn p – adic B  a, r  : Hình cầu mở tâm a bán kính r B  a, r  : Hình cầu đóng tâm a bán kính r a   pN  : Khoảng xa , N : Một điểm tùy ý thuộc khoảng a   p N  Bk : Số Bernoulli thứ k Bk  x  : Đa thức Bernoulli thứ (bậc ) k n   k  : Tổ hợp chập k n phần tử  B ,k : Phân phối Bernoulli thứ k  f : Tích phân hàm f ứng với độ đo  ∎ : Kết thúc chứng minh p p p MỞ ĐẦU Các số Bernoulli nhà toán học người Thụy sĩ Jacob Bernoulli (1654 – 1704 ) phát minh nghiên cứu ơng tìm cơng thức tổng quát để tính tổng lũy thừa bậc m n -1 số nguyên dương Bằng số Bernoulli đa thức Bernoulli, ông giải trọn vẹn tốn ơng tự hào viết lại (trong Ars Conjectandi) ông không 15 phút để tính tổng lũy thừa bậc 10 1000 số nguyên dương Ngày nay, với phát triển mạnh mẽ khoa học toán học, số Bernoulli đa thức Bernoulli đóng vai trị quan trọng nhiều ngành khác tốn học Đặc biệt lý thuyết số đại giải tích p – adic, chẳng hạn, ta có cơng thức tính zeta – hàm hàm số học   s  s  2k qua số Bernoulli sau   2k    1  k k 22 k 1  B2 k   2k  1!  2k   , với k  1; 2;3 , B2k số Bernoulli thứ 2k  Chính định chọn đề tài “Số Bernoulli, đa thức Bernoulli ứng dụng” để khảo sát, nghiên cứu thêm số Bernoulli, đa thức Bernoulli ứng dụng chúng lý thuyết số đại giải tích p – adic Luận văn gồm chương sau Chương : Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức chuẩn trường, khái niệm chuẩn phi Archimede số kiến thức cần cho chương sau Chương : Số Bernoulli đa thức Bernoulli Chương trình số tính chất số Bernoulli đa thức Bernoulli Đặc biệt chương chứng minh số đồng dư thức liên quan đến số Bernoulli đa thức Bernoulli đồng dư thức Von Staud – Clausen, đồng dư thức Kummer Chương : Ứng dụng số Bernoulli đa thức Bernoulli Chương trình bày ứng dụng số Bernoulli đa thức Bernoulli để tính zeta – hàm số học xây dựng độ đo p – adic, đặc biệt độ đo tích phân Bernoulli CHƯƠNG : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày cách xây dựng trường số p – adic p vá tính chất Đặc biệt chương trình bày tóm tắt số kết độ đo tích phân p – adic cần cho ứng dụng sau Các kết chương trình bày theo tài liệu tham khảo [2] [3] 1.1 Một số định nghĩa tính chất chuẩn trường Định nghĩa 1.1.1 Cho F trường, ánh xạ  : F  gọi chuẩn F thỏa điều kiện sau i) x  0, x  F ; x   x  ii) xy  x y , x, y  F iii) x  y  x  y , x, y  F Ví dụ 1.1.2 Các trường số , , với giá trị tuyệt đối thông thường thỏa điều kiện chuẩn nên giá trị tuyệt đối chuẩn , , gọi chuẩn giá trị tuyệt đối, ký hiệu  0, x  1, x  Cho F trường, ánh xạ x   Là chuẩn trường F gọi chuẩn tầm thường Mệnh đề 1.1.3 (Các tính chất chuẩn) Cho  chuẩn trường F có đơn vị Khi với x  F ta có i)  1  ii) x n  x , n  iii) x 1  x n 1 Nhận xét : Nếu F trường hữu hạn F có chuẩn chuẩn tầm thường Định nghĩa 1.1.4 (Hai chuẩn tương đương) Cho  ;  hai chuẩn trường F Ta nói hai chuẩn tương đương  xn  dãy Cauchy theo chuẩn   xn  dãy Cauchy theo chuẩn  m , n  Hay Chú ý  xn  dãy Cauchy theo chuẩn  nghĩa xm  xn    0, n0  : m, n  n0 , xm  xn   Định lý 1.1.5 (Các điều kiện tương đương chuẩn) Cho  ,  hai chuẩn trường F Khi đó, điều sau tương đương 1) x  F , x  x  2) x  F , x  x  3) Tồn số C > cho x  F , x  x C 4) Các tôpô sinh   trùng 5)  tương đương với  (   ) Hệ 1.1.6 Cho  ,  hai chuẩn trường F Nếu tồn hai số dương c1 , c2 cho   c1    c2     1.2 Chuẩn phi Archimede Định nghĩa 1.2.1 (Chuẩn phi Archimede) Cho  chuẩn trường F Khi chuẩn  gọi chuẩn phi Archimede F thỏa thêm điều kiện iii’) x  y  max  x ; y  với x, y  F Chuẩn thỏa iii) không thỏa iii’) gọi chuẩn Archimede Ví dụ 1.2.2 34 Bẳng quy nạp ta dễ dàng chứng minh định lý sau Định lý 3.2.4 Với m  , khai triển Fourier đa thức B2 m ( x) , B2 m1 ( x)  0;1  1 cos  2 n  x    B2 m ( x)   1  2m !    2m    n 1  2 n   n 1  1    m  B2 m 1 ( x)   1  2m  1! sin  2 n  x    m 1   n 1  2 n   n 1  m Bằng cách xét khai triển Fourier đa thức Bernoulli giá trị cụ thể x, ta thu kết thú vị sau Hệ 3.2.5 Với số nguyên dương n ta có    1 2m n 1 n   1  n 1 n 1   1 m 2 m 1  1  B   m   m   2m  1!  2m  n 1 1        2n   1         33 53 73 32 n 1  2n  1 n 1  Chứng minh Trong công thức khai triển Fourier đa thức B2 m ( x) cho x  ta có   1   1  2m !   1 m 1 B2 m     1  2m  !  2m 22 m 1. m n 1 n m 2 n 1  2 n  n 1 n 1 m Theo hệ 2.2.8 1 B2 m     21 m  1 B2 m 2 Do 2 1 m  1 B2 m  1  2m !  m 22 m 1. m   n 1  1 n 1 n2m 35 Suy   n 1  1 n n 1 2m   1 m 2 m 1  1  B   m   m   2m  1!  2m  Tiếp theo, ta xét khai triển  B1 ( x)    1    sin  2 n  x    n    n 1 Cho x  n 1 3 ta B1    , dẫn đến 4   n 1  1 n 1   sin  n   n  2 Và ta có kết   n 1  1 n 1 2n    Tương tự, xét khai triển  1 sin  2 n  x          n 1  2 n   n 1  B3 ( x)  2.3! 2 Với ý B3  x   x  x  x , cho x  3 3 , ta B3     nên 64 4  1 sin  n     2.3!   64  2 n 1  2 n  n 1  Và ta có  1    32 n 1  n  1  n 1 36 3.3 Zeta – hàm số học Định nghĩa 3.3.1 : Zeta – hàm số học ký hiệu định nghĩa sau  ,  s  1 s n 1 n  s   Điều đặc biệt thú vị giá trị zeta – hàm số tự nhiên chẵn tính qua số Bernoulli, cụ thể ta có định lý sau Định lý 3.3.2 Với m số nguyên dương, ta có   2m    1  m m 22 m 1  B2 m    2m  1!  2m  Chứng minh Chúng ta chứng minh định lý hai cách, cách thứ dùng khai triển Laurent hàm tan, cách thứ hai dùng khai triển Fourier đa thức Bernoulli bậc chẵn Sau đây, ta trình bày cách Cách Theo Định lý 3.1.1 ta có  m x cot x     1 2 m Bm m 1 x2m  2m  ! Hơn ta có   x2 x2 x cot x   2 2    2 n 1 n   x n 1 n x Chú ý  1 1   2 2   2  1 x 1 x n 1 n   x  1   n  n  n   x2      37 4  x  1  x  n 1 n   x   x   x           n   n   n   x  1  x  n 1 n   x   x   x           n   n   n  1 Do , với số nguyên dương n, ta có   x    2   x x k   n  1 1 n n 1 2k Thế nên    x  x cot x   2 2    n 1 n  k   n  x2 2k    2   2m  m 1 x2m  2m Vì ta có   2   m  m 1  x2m     1 22 m B2 m  2m m m 1 x2m  2m  ! So sánh hệ số x 2m hai vế ta có 2  2m     1 22 m.B2m m 2m  2m! Do   2m    1  m m 22 m 1  B2 m    2m  1!  2m  Cách Theo Định lý 3.2.4, khai triển Fourier B2 m ( x) , cho x  với ý B2 m (0)  B2 m  1  B2 m   1 m n 1 cos  n   1, n  , ta có  2m !  2m   2m  1 m 22m1  2m   B2m          2m (2m  1)!  2m   2  ∎ 38 Nhận xét 3.3.3 1) Với m =1, B2  , ta có cơng thức Euler   2   2) Với m =2, B4   1 2     22 32 42 nên ta có 30   4   1 4     24 34 44 90 3) Từ kết định lý 3.3.2 ta suy kết hệ 2.2.3 Thật vậy,   2m   với số nguyên dương m nên ta có  1 m m 1  B2 m       1 B2 m  , với m  , m   2m  4) Định lý 3.3.2 cho ta ước lượng giá trị B2m m   Cụ thể, ta thấy B2 m  Đến đây, ta dùng bất đẳng thức e n   2m !  2  2m nn (xét khai triển e n ) với nhận xét đơn n! giản   2m   , ta có B2 m m  2  e  2m Cho m   , ta B2 m / 2m   m   3.4 Độ đo tích phân Bernoulli Cố định số nguyên dương k Ta định nghĩa ánh xạ  B ,k tập khoảng a   p N  (N  ) sau 39   a  N  p    B ,k a   p N   p N  k 1 Bk  Ta có định lý sau Định lý 3.4.1 Ánh xạ  B ,k tập khoảng a   p N  thác triển tới phân phối p Chứng minh Theo mệnh đề 1.4.6, ta cần chứng minh  p 1    B ,k a   p N     B ,k a  bp N   p N 1  b 0  Điều tương đương với việc chứng minh p 1  a  pN   a  p N  k 1 Bk  N   p  N 1 k 1  Bk  N 1  b 0 p   p  Nhân hai vế đẳng thức cần chứng minh với p  N  k 1 đặt   a p N 1 đẳng thức cần chứng minh tương đương với p 1  b Bk  p   p k 1  Bk     p b 0  Đẳng thức hiển nhiên theo Định lý Rabee Định lý 3.4.1 chứng minh Định nghĩa 3.4.2 Phân phối  B ,k Định lý 3.4.1 gọi phân phối Bernoulli thứ k Ví dụ 3.4.3 i) Tức ta có  B ,0   Haar    B,0 a   p N   p N  Haar a   p N   ∎ 40   a  a  N    Mazur a   p N  N  p  p    B ,1 a   p N   B1  ii)  Vậy ta có  B ,1  Mazur Nhận xét 3.4.4 Vì p    p  p p    p Do       p   B  0  B  p       p   p B  0  p  B ,k   B ,k p B ,k k k k 1 p B ,k k k 1 Bk Ta biết phân phối Bernoulli  B ,0 phân phối Haar phân phối Haar độ đo p Vì khơng phải phân phối Bernoulli độ đo Tuy nhiên, ta “chuẩn hóa” phân phối Bernoulli để độ đo gọi độ đo Bernoulli sau Với    N p , ta có   a0  a1 p   aN 1 p N 1  aN p N  , đặt  a0  a1 p   aN 1 p N 1   N số nguyên dương thỏa  N    mod p N    N  p N  Định nghĩa 3.4.5 Giả sử   số nguyên không chia hết cho p Ta định nghĩa ánh xạ  B ,k , viết tắc k , sau k , U    B ,k U     k  B ,k U  Ta có định lý quan trọng sau Định lý 3.4.6 Phân phối k , độ đo với k  1; 2;3;    ,   ,   p Chứng minh Trước hết ta biết  B ,k phân phối p p nên k , phân phối Hơn nữa, ta chứng minh k , độ đo Với k = ta có 41  B ,0   Haar  Haar U    Haar U  , 0, U   Rõ ràng 0, độ đo Tiếp theo, ta chứng minh 1, độ đo, ta có mệnh đề sau Mệnh đề 3.4.7 1, U  p  với tập mở compact U  p Chứng minh Ta có     1, a   p N    B ,1 a   p N   a 1   aN        p N   p N   a  1 /      N   p      B ,1  a   p N   1 /      a  a a     N   N  N p p  p  Trong  a   N  p  Nếu p  Nếu p     p  p  1 mod  nên  Vậy ta có 1, a   p N   nên 1 /    1 /       p  1 p 1 /    1 /     p 1  p Mặt khác, với tập mở compact U  I i , tức U  Ii  a    N   p p  nên p hợp hữu hạn rời khoảng 42 1, U  p  max 1,  Ii  p  Từ ta có 1, độ đo p ∎ Để chứng minh k , độ đo với k  , ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.4.8 Giả sử d k mẫu số chung nhỏ hệ số đa thức Bernoulli Bk  x  Khi     dk k , a   p N   dk ka k 1 1, a   p N   mod p N  Chứng minh Ta có k k  k Bk  x      Bi x k i  x k  x k 1   Bk i 0  i  Do        d k k , a   p N   d k  B ,k a   p N     k  B ,k  a   p N    a    a N  d k p N  k 1  Bk  N     k Bk   pN  p    Chú ý  a   aN  mod p N   aN p N  a      a    N  , ta có p p  N  43  d k k , a   p  dk p N  k 1 N   d k p N  k 1  k  a  a    k   N  pN  p Nk   k  k  a k 1   aN k     N  k 1    N 2 p   p     k 1     mod p N    k k 1  ak     a   k  a k 1   a     k  a k  a     N   N     N  k 1    N   N     mod p N   p Nk 2 p  p   p     p p   k k 1  ak  k  k 1 N  k 1   a   a        a N  k 1   a  k N  dk  N   p  N   N   a p  N   N      mod p    p  p   p     p p    ak  k k a   k k  a  d k  N    N  k k 1 a k 1  N    a k 1    k  k 1 a k 1  p  p   p     1  a  k k  d k  k 1 a k 1  N   a k 1   1 a k 1   mod p N   d k ka k 1  p        d k ka k 1 1, a   p N   mod p N  Bây giờ, ta chứng minh k , độ đo  p     mod p  N    a   1   N  N     mod p  p   , tức ta chứng minh  k , a   p N  bị chặn Thật vậy, theo bổ đề 3.4.8, ta có    dk k , a   p N   dk ka k 1 1, a   p N   Tức ta có    d k k , a   p N   d k ka k 1 1, a   p N    k , a   p   k , a   p N N    ka  p  p  1, a   p  p N  max   d k Theo mệnh đề 3.4.7 1, a   p N  chặn Vậy k , độ đo k 1  p N   p  pN p pN  dk  p , ka k 1 1, a   p N  p    p     bị  , d k cố định nên k , a  p N ∎ 44 Định lý 3.4.9 Nếu f : p  p hàm liên tục  f  x     x    f  x  kx k 1 k, p 1,  x  p Chứng minh Theo định nghĩa ta có P N 1  f  x     x   lim  f  a     a   p   N k, N  p k, a 0 Theo bổ đề 3.4.8, với N a  0;1; 2; ; p N  1 , ta có     dk k , a   p N   dk kak 1 1, a   p N   p N AN ,a với AN ,a p – nguyên,  f  a     a   p     f  a   d ka p N 1 dk p N 1 N k, a 0 a 0 p N 1  dk k  f  a  a k 1 a 0 Chú ý với N   1, a   p p k 1 k   p N 1 N    p  f  a A N N ,a a 0 p N 1 N  1, a   p N   p N AN ,a  f  a    mod p  N nên ta có a 0 p N 1 lim p N  N  f a A N ,a a 0  Do ta có p N 1 lim d k N  p N 1  f  a     a   p    lim d k  f  a  a N k, a 0 k N  a 0 k 1   1, a   p N  Hay ta có dk  f  x    x  d  f  x x k, p k k 1 1,  x  p ∎ 45   Hệ 3.4.10 Với k  Bk  k 1k khơng đơn vị ta có * p x k 1 1,  x  p Chứng minh Với k  ta có k ,  p       B ,k p k B ,1    1    B k p k Theo Định lý 3.4.9 ta có  1.   x    1.kx k, p k 1 1,  x  p Nhưng ta lại có  1. p k ,  lim N  p N 1  1.   a   p         1    B N a 0 k, k k, p k Vậy nên ta có k  x k 1 1,  x   1   k  Bk ∎ p x k 1 Hệ 3.4.10 cho ta mối liên hệ tích phân ứng với độ đo Bernoulli hàm với Bk Nhờ hệ này, chứng minh lại tính chất số Bernoulli mà ta chứng minh chương Tuy nhiên, khn khổ luận văn nên ta giới thiệu kết mà không chứng minh lại Cụ thể, ta có mệnh đề sau 46 Mệnh đề 3.4.11 Cho k  , k  p số nguyên tố, Nếu a  a  a k  1 Bk  (Sylvester-Lipschitz) Nếu a  a k  a k  1 (Adam) Nếu k ≢ (mod p – ) Bk  k p Bk  k (Kummer) Cho k1, k2 chẵn, k1 ≡ k2 ≢ (mod p – 1) (Von Staudt – Clausen) Với k chẵn ta có Bk   p 1|k  p Bk1 k1  Bk2 k2  mod p  47 KẾT LUẬN Trong luận văn, chúng tơi trình bày đầy đủ tính chất số Bernoulli đa thức Bernoulli Đặc biệt trình bày chi tiết ứng dụng số Bernoulli, đa thức Bernoulli việc xây dựng zeta – hàm số học độ đo p – adic Ứng dụng số Bernoulli, đa thức Bernoulli nhiều, chẳng hạn việc xây dựng zeta – hàm p – adic, gama – hàm,v.v…, nhiên khn khổ luận văn chúng tơi khơng trình bày đây, hy vọng tiếp tục nghiên cứu vấn đề thời gian tới 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO K Ireland and M Rosen (1982), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, New York Neal Koblitz (1996), P – adic Numers, P – adic Analysis, and zeta – Functions, Springer, New York W H Schikhof (1984), Ultrametric Calculus, Cambridge University Press, Cambridge Z H Sun (1997), Congruences for Bernoulli numbers and Bernoulli polynomials, Discrete Math 163, 153 – 163 ... SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI Trong chương này, giới thiệu số Bernoulli, đa thức Bernoulli chứng minh số tính chất chúng Đặc biệt, chứng minh số đồng dư thức liên quan đến số Bernoulli đa thức. .. số Bernoulli đa thức Bernoulli đồng dư thức Von Staud – Clausen, đồng dư thức Kummer Chương : Ứng dụng số Bernoulli đa thức Bernoulli Chương trình bày ứng dụng số Bernoulli đa thức Bernoulli để... CHƯƠNG SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI 15 2.1 Số Bernoulli đa thức Bernoulli 15 2.2 Tính chất số Bernoulli đa thức Bernoulli 17 2.3 Các đồng dư thức liên quan đến số Bernoulli