Chiều Noether cho môđun Artin

2 Đa thức Hilbert và chiều Noether cho môđun Artin

2.2 Chiều Noether cho môđun Artin

2.2.1 Chú ý. Trong suốt tiết này, luôn giả thiết R là một vành giao hoán với iđêan cực đại duy nhấtm(vànhRkhông nhất thiết là vành Noether), A

là R-môđun Artin. Trước hết, ta định nghĩa chiều Noether cho R-môđun tùy ýM (không nhất thiết Artin).

2.2.2 Bổ đề. Nếu 0 → M0 → M → M” → 0 là dãy khớp các R-môđun

thì N-dimRM = max{N-dimRM0,N-dimRM”}

Chứng minh. Có thể giả thiết M0 là môđun con của M và M00 = M/M0. Từ định nghĩa chiều Noether ta dễ kiểm tra được

N-dimRM ≥ max{N-dimRM0,N-dimRM”}.

Giả sửmax{N-dimRM0,N-dimRM”}= d.Nếud = −1thìM0, M00 = 0

và do đó M = 0. Suy ra N-dimRM = −1. Nếu d = 0 thì M0 6= 0 hoặc

M” 6= 0 và M0, M00 là Noether. Do đó M 6= 0 cũng là Noether. Suy ra

N-dimRM = 0. Cho d > 0. Nếu N-dimRM < d thì

d= max{N-dimRM0,N-dimRM”} 6 N-dimRM < d,

vô lí. Lấy M0 ⊆M1 ⊆ là một dãy tăng các môđun con của M. Khi đó ta có dãy tăng (M0 +M0)/M0 ⊆ (M1 +M0)/M0 ⊆ . . . các môđun con của

M” và dãy tăng M0 ∩M0 ⊆ M1 ∩M0 ⊆ . . . các môđun con của M0. Xét dãy khớp

0→ Mn+1∩(Mn+M0)/Mn →Mn+1/Mn → Mn+1/Mn+1∩(Mn+M0) →0.

VìN-dimM00 6 d nên tồn tại n0 sao cho với mọi n ≥n0

N-dimRMn+1/(Mn+1∩(Mn+ M0))

= N-dimR(Mn+1 +M0)/M0

.

(Mn +M0)/M0) < d−1.

VìN-dimRM0 6d nên tồn tạin1 sao cho

với mọi n ≥n1. Do đó áp dụng giả thiết quy nạp cho dãy khớp trên ta có

N-dimR(Mn+1/Mn) < d−1với mọi n≥ n2,trong đón2 = max{n0, n1}.

Theo định nghĩa chiều Noether ta suy ra N-dimRM = d.

2.2.3 Bổ đề. Cho A 6= 0 là R-môđun Artin. Khi đó N-dimRA = 0 nếu và chỉ nếudim(R/AnnRA) = 0.Trong trường hợp này, A có độ dài hữu hạn và vành R/AnnRA là Artin.

Chứng minh. Giả sử N-dimRA = 0, khi đó A là R-môđun Noether và do đó `R(A) < ∞. Vì vậy, theo Matsumura [Mat], vành R/AnnRA là Artin và dim(R/AnnRA) = 0. Ngược lại, giả sử dim(R/AnnRA) = 0. Khi đó AnnRA là iđêan m nguyên sơ. Vì thế, tồn tại n ∈ N sao cho

mn ⊆AnnRA. Suy ra mnA ⊆(AnnRA)A= 0. Vì thế ta có dãy

0 = mnA ⊆mn−1A⊆ . . . ⊆ mA ⊆A.

Chú ý rằngm ⊆AnnR(miA/mi+1A)với mọi i. Vì thế miA/mi+1Acó cấu trúc tự nhiên làR/m-môđun Artin, và vì thế nó là R/m-không gian véc tơ hữu hạn chiều. Suy ra`R(miA/mi+1A) = dimR/m(miA/mi+1A) < ∞ với mọii. Vì thế`RA=

n−1

P

i=0

`R(miA/mi+1A) < ∞. Từ đó ta suy raANoether và vì thế N-dimA = 0.

Phần tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra rằng chiều Noether của A là bậc của đa thức Hilbert của A, và cũng là số t bé nhất sao cho có t phần tử

x1, . . . , xt ∈ m để `R(0 :A (x1, . . . , xt)R) < ∞.

2.2.4 Định nghĩa. Chiều Krull cổ điển của mộtR-môđun Artin A 6= 0, kí hiệu là cl-dimRA, được cho bới công thức

cl-dimRA= inf{t ∈ N | ∃x1, . . . , xt ∈ m : `R(0 :A (x1, . . . , xt)R) < ∞}.

2.2.5 Bổ đề. Các phát biểu sau là đúng.

(i) Chiều Krull cổ điển cl-dimRA của một R-môđun A luôn hữu hạn. (ii) Nếu B là môđun con của A thì cl-dimRB 6 cl-dimRA.

(iii) Nếu B là mô đun con củaA sao cho B 6= A và `R(B) < ∞ thì

cl-dimRA = cl-dimR(A/B).

Chứng minh. (i) Ta có m ⊆ AnnR(0 :A m). Vì thế (0 :A m) có cấu trúc tự nhiên làR/m-môđun Artin và do đó nó làR/m-không gian véc tơ hữu hạn chiều. Suy ra `R(0 :A m) = dimR/m(0 :A m) < ∞. Theo Bổ đề 2.1.7, tồn tại một iđêan hữu hạn sinhI ⊆ msao cho (0 :A m) = (0 :A I). Vì thế

`R(0 :A I) < ∞ và do đó cl-dimRA không vượt quá số phần tử của một hệ sinh hữu hạn củaI.

(ii) Với x1, . . . , xt ∈ m, đặt I = (x1, . . . , xt)R. Chú ý rằng với mọi

R-môđun X ta luôn có Hom(R/I, X) ∼= (0 :X I). Vì thế từ dãy khớp

0→ B →A →A/B →0 ta có dãy khớp cảm sinh

0 →(0 :B I) →(0 :A I) →(0 :A/B I) →Ext1R(R/I, B).

Vì thế, nếu `R(0 :A I) < ∞ thì `R(0 :B I) < ∞, tức là cl-dimB 6 cl-dimRA.

(iii). Vì `R(B) < ∞ nên `R(0 :B I) < ∞ và `R(Ext1R(R/I, B)) < ∞. Do đó`R(0 :A I) < ∞nếu và chỉ nếu`R(0 :A/B I) < ∞. Điều này chứng

tỏ cl-dimRA= cl-dimR(A/B).

2.2.6 Bổ đề. Nếu cl-dimRA > 0 thì có môđun con B của A sao cho

cl-dimRA= cl-dimRA0 và xB = B với một phần tử x ∈ m.

Chứng minh. Giả sử N-dimRA = d. Khi đó tồn tại x1, . . . , xd ∈ m sao cho `(0 :A I) < ∞, trong đó I = (x1, . . . , xd)R. Vì `(0 :A I) < ∞ nên bằng quy nạp theosta dễ dàng suy ra được`(0 :A Is) < ∞với mọis ∈ N.

Vì A là Artin nên dãy giảm A ⊆ IA ⊆ IA ⊆ . . . phải dừng, tức là tồn tại t ∈ N sao cho ItA = It+1A. Đặt J = It và B = J A. Do I hữu hạn sinh (sinhbowir d phần tử) nên J là hữu hạn sinh. Gọi b1, . . . , bm là một hệ sinh củaJ. Xét ánh xạ ϕ: A → m L i=1 J A cho bởiϕ(a) = (b1a, . . . , bma). Rõ ràng ϕ là đồng cấu các R-môđun và Kerϕ= {a ∈ A | bia = 0,∀i = 1, . . . , m} = (0 :A J). Chú ý rằng `R(0 :A J) < ∞, do đó `R(Kerϕ) < ∞. Theo định lí đồng cấu môđun ta có A/Kerϕ ∼= Imϕ. Vì thế, theo Bổ đề 2.2.5(iii) ta có

cl-dimRA= cl-dimR(A/Kerϕ) = cl-dimRImϕ. Theo Bổ đề 2.2.5(ii),

cl-dimRImϕ 6 cl-dimR ⊕m

i=1

J A = cl-dimRJ A.

Vì thế lại theo Bổ đề 2.2.5(ii) ta có

cl-dimRA6 cl-dimRJ A 6cl-dimRA.

Vì thế cl-dimRA = cl-dimRB. Chú ý rằng It+1A = ItA = B. Do đó

IB = B. Vì thế, tôn tại x∈ I ⊆m sao cho xB = B.

Với R-môđun Artin A 6= 0 ta đặt fA(n) = `A(0 :A mn). Theo Định lí 2.1.8, f(n) là hàm đa thức. Kí hiệu d = d(A) là bậc củaf(n). Khi đó tồn tại các số nguyên a0, . . . , ad với ad > 0 sao cho fA(n) =

d P i=0 n+i i ai.

2.2.7 Bổ đề. Cho0→ A0 → A→ A”→ 0là một dãy khớp cácR-môđun Artin. Giả sử bậc của đa thức Hilbert fA(n) = `R(0 :A mn) của A là d. Khi đó hàm đa thứcfA00(n) có bậc6 dvà hệ số của nk trong hàm đa thức

fA(n)−fA0(n) trùng với hệ số của nk trong hàm đa thức fA00(n) với mọi

Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết A0 là môđun con của A và A00 = A/A0. Từ dãy khớp

0→ (0 :A0 mn) →(0 :A mn) → (0 :A mn)/(0 :A0 mn) → 0

ta có

fA(n)−fA0(n) =`R(0 :A mn)/(0 :A0 mn) =`R(0 :A mn)/(0 :A mn∩A0)

= `R((0 :A mn +A0)/A0) 6 `R((A0 :A mn)/A0)

= `R(0 :A00 mn) =fA00(n).

Theo Bổ đề Artin-Rees cho môđun Artin, tồn tại số r ∈ Nsao cho

A0 + (0 :A mn) = A0+ (0 :A mr):A mn−r ⊇ (A0 :A mn−r)

với mọin ≥ r. Vì thế

`R((0 :A mn+ A0)/A0) ≥`R(0 :A00 mn−r) = fA00(n−r).

Suy ra fA00(n) ≥ fA(n) − fA0(n) ≥ fA00(n −r) với n đủ lớn. Vì fA(n)

có bậc d nên fA0(n) có bậc 6 d. Do đó fA(n)− fA0(n) có bậc 6 d. Vì thế fA00(n) có bậc 6 d. Do đó với k > d, các hệ số ứng với nk của hai đa thứcfA(n)−fA0(n) vàfA00(n) đều bằng0 và vì thế chúng bằng nhau, còn với k = d thì khi chí cả hai vế của các bất đẳng thức trên cho nd rồi lấy giới hạn khi n tiến tới vô cùng, ta được hệ số ứng với nd của hai đa thức

fA(n)−fA0(n) và fA00(n) là bằng nhau.

Định lí sau đây, là một trong 3 kết quả chính của luận văn, chỉ ra rằng chiều Noether N-dimRA, chiều Krull cổ điển cl-dimRA và bậc của đa thức Hilbert degfA(n) của một R-môđun Artin A là bằng nhau.

2.2.8 Định lý. Với mỗi R-môđun Artin A ta có

Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh degfA(n) 6 cl-dimRA. Giả sử

cl-dimRA= d.Khi đó tồn tại các phần tửx1, . . . , xd ∈ msao cho `R(0 :A

(x1, . . . , xd)R) < ∞. Đặt I = (x1, . . . , xd)R. Theo Định lí 2.1.8, `R(0 :A

In) là một hàm đa thức bậc không quá d. Theo Định lí 2.1.8, fA(n) là hàm đa thức. Vì I ⊆ mnên

degfA(n) = deg`R(0 :A mn) 6deg`R(0 :A In) 6 d.

Do đódegfA(n) 6 cl-dimRA.

Tiếp theo, ta chứng minh cl-dimRA 6 N-dimRA bằng quy nạp theo

d = N-dimRA. Với d = −1, ta có A = 0 và vì thế cl-dimRA = −1.

Nếu d = 0 thì A là Noether và do đó `R(A) < ∞. Vì thế cl-dimRA = 0. Cho d > 0. Khi đó A không là Noether, vì thế `R(A) = ∞, do đó

cl-dimRA > 0. Theo Bổ đề 1.2.5, tồn tại môđun con B của A sao cho

cl-dimRA = cl-dimRB và xB = B với x ∈ m nào đó. Vì thế ta chỉ cần

chứng minh cl-dimRB 6 d. Xét dãy tăng (0 :B x) ⊆ (0 :B x2) ⊆ . . .

các mô đun con của B. Vì N-dimRB 6 N-dimRA = d nên tồn tại số nguyênnsao choN-dimR(0 :B xm+1)/(0 :B xm) 6 d−1với mọim ≥ n.

Đặc biệt, ta có N-dimR(0 :B xn+1)/(0 :B xn) 6 d−1. Vì xB = B nên ta dễ dàng kiểm tra được ánh xạ (0 :B xn+1)/(0 :B xn) x

n

→ (0 :B x) là một đẳng cấu. Do đó N-dimR(0 :B x) 6 d− 1. Theo giả thiết quy nạp,

cl-dimR(0 :B x) = k 6d−1. Vì thế tồn tại k phần tử x1, . . . , xk ∈ msao

cho

`R(0 :B (x, x1, . . . , xk)R) = `R(0 :(0:BxR) (x1, . . . , xk)R) < ∞.

Vì thế cl-dimRB 6 k+ 1 6 d. Do đó cl-dimRA 6N-dimRA.

Cuối cùng ta chứng minh N-dimRA 6 degfA(n) bằng quy nạp theo

d = degfA(n). Với d = −1, ta có fA(n) = `R(0 :A mn) = 0 với n đủ

d = 0. Khi đó fA(n) = `R(0 :A mn) là một hằng số khi n đủ lớn. Suy ra

Acó độ dài hữu hạn và do đó Alà Noether. Vì thế N-dimRA= 0. Giả sử

d > 0. Cho A0 ⊆ A1 ⊆ . . .là một dãy tăng những môđun con của A. Với mỗis ∈ N, kí hiệugs(n)là đa thức Hilbert của môđun Artin As+1/As. Vì

As ⊆ A nên degfAs(n) 6 degfA(n) = d với mọi s. Do đó, theo Bổ đề 2.2.7, hệ số của nd trong hai hàm đa thức fAs+1(n)−fAs(n) và gs(n) là như nhau. Do đó hệ số của nd trong hai hàm đa thức

fAs+1(n)−fA0(n) = [fAs+1(n)−fAs(n)] +. . .+ [fA1(n)−fA0(n)]

vàgs(n) +gs−1(n) +. . .+g0(n)là như nhau. Vì As+1 ⊆A vàA0 ⊆ As+1

nên 0 6 fAs+1(n) − fA0(n) 6 fA(n). Gọi hệ số của nd trong hàm đa thức fA(n) là ad. Khi đó ad ≥ 0 và hệ số của nd trong hàm đa thức

fAs+1(n)−fA0(n)không vượt quáad với mọis. Chú ý rằng, với mỗit ∈ N, hệ số củand trong hàm đa thức gt(n) là không âm. Nếu tồn tại vô hạn số

tsao cho các hệ số của nd trong hàm đa thức gt(n) đều dương thì khis đủ lớn ta có hệ số củandtrong hàm đa thức gs(n) +gs−1(n) +. . .+g0(n) lớn hơnad,điều này là vô lí. Vì thế, chỉ có hữu hạn số tđể hệ số của nd trong hàm đa thứcgt(n)khác 0. Do đó, tồn tại n0 sao cho deggt(n) 6d−1 với mọi t ≥ n0. Theo giả thiết quy nạp, N-dimR(At+1/At) 6 d −1 với mọi

t≥ n0.Do đó, từ định nghĩa chiều Noether ta suy ra N-dimRA 6 d.Vậy

N-dimRA 6 degfA(n).

2.2.9 Hệ quả. Nếu (0 :A x) 6= 0 và x ∈ m là phần tử thỏa mãn xA = A

thì N-dimRA > 0 và N-dimR(0 :A x) = N-dimRA−1.

Chứng minh. Do (0 :A x) 6= 0 nên A 6= 0. Nếu N-dimRA = 0 thì A

Noether và do đó xA 6= A theo Bổ đề Nakayama. Vì thế N-dimRA >

0. Giả sử N-dimRA = d. Theo Định lí 2.2.8, hàm đa thức fA(n) =

có bậc không quá d. Vì xA = A nên ta có dãy khớp 0 → (0 :A x) →

A →.x A → 0. Do đó theo Bổ đề 2.2.7, hệ số bậc d của hai hàm đa thức

fA(n)−f(0:Ax)(n) và fA(n) là như nhau. Suy ra f(0:Ax)(n) có bậc nhỏ hơn thực sự d. Vì thế, theo Định lí 2.2.8 ta có N-dimR(0 :A x) 6 d−1. Nếu

N-dimR(0 :A x) = k < d−1thì tồn tại k phần tử x1, . . . , xk ∈ msao cho

`(0 :A (x, x1, . . . , xk)R) =`R(0 :(0:Ax) (x1, . . . , xk)R) < ∞.

Do đó, theo Định lí 2.2.8 ta có N-dimRA6 1 +k < d, điều này là vô lí.

Vậy N-dimR(0 :A x) = d−1.