2 Đa thức Hilbert và chiều Noether cho môđun Artin
2.3 Một ứng dụng vào môđun các đa thức ngược
Khái niệm môđun các đa thức ngược đã được đưa ra bởi Macaulay và đã được đề cập đến trong bài báo của Kirby [K1]. Trong phần ứng dụng này, chúng ta sẽ sử dụng các Định lí 1.2.1 và 2.2.8 để nghiên cứu tính Artin và chiều Noether của môđun các đa thức ngược.
2.3.1 Định nghĩa. Cho M là một R-môđun. Một biểu thức có dạng m =
axi1
1 . . . xis
s với a ∈ M và i1, . . . , is là các số nguyên không dương được gọi là một từ ngược bậci1+. . .+is của các biếnx1, . . . , xsvới hệ số trong
M. Hai từ ngược m = axi1
1 . . . xis
s và m0 = a0xj1
1 . . . xjs
s được gọi là đồng dạng nếu ik = jk với mọi k = 1, . . . , s. Một tổng của hữu hạn từ ngược được gọi là một đa thức ngược của các biến x1, . . . , xs với hệ số trong
M. Với hai từ ngược đồng dạng m = axi1
1 . . . xis s và m0 = bxi1 1 . . . xis s, ta định nghĩam+m0 = (a+b)xi1 1 . . . xis
s. Khi đó, bằng cách ước lược các từ ngược đồng dạng, mỗi đa thức ngược đều có thể biểu diễn được một cách duy nhất thành tổng của hữu hạn từ ngược không đồng dạng. Tập các đa thức ngược được kí hiệu là M[x−11, . . . , x−s1]. Định nghĩa phép cộng trong
hướng được xác định như sau: vớim = axi1 1 . . . xis s thuộc M[x−11, . . . , x−s1] và x = rxj1 1 . . . xjs s ∈ R[x1, . . . , xs], trong đó r ∈ R và a ∈ M, ta định nghĩa tích xm là phần tử raxi1+j1 1 . . . xis+js
s nếu tất cả ik +jk đều không dương với mọi k = 1,2, . . . , s và bằng 0 trong trường hợp ngược lại. Khi đó M[x−11, . . . , xs−1] làm thành một R[x1, . . . , xs]-môđun, gọi là môđun các đa thức ngược của s biến x1, . . . , xs trên M.
Định lí cơ sở Hilbert phát biểu rằng nếu R là vành Noether thì vành đa thức R[x1, . . . , xs] cũng là Noether. Hơn nữa, công thức tính chiều Krull của vành đa thức như sau:dimR[x1, . . . , xs] = dimR+s.Dưới đây chúng ta trình bày các kết quả đối ngẫu với những kết quả đó cho môđun Artin. 2.3.2 Định lý. Cho A6= 0 là R-môđun Artin. Khi đó
(i) R[x1, . . . , xs]-môđun A[x−11, . . . , x−s1] cũng là Artin. (ii) N-dimR[x1,...,xt]A[x1−1, . . . , x−s1] = N-dimRA+s.
Chứng minh. Đặt S = R[x1, . . . , xs] và B = A[x−11, . . . , x−s1]. Với n > 0
ta đặt Bn = 0. Đặt B0 = A. Với n < 0, nếu đa thức ngược f ∈ B là tổng của các từ ngược có cùng bậc n thì ta nói f là thuần nhất bậc n. Đặt Bn
là tập các đa thức ngược thuần nhất bậc n. Rõ ràng B = L
n∈Z
Bn. Ta có
Bn = 0 với mọi n > 0. Cho n < 0. Giả sửf ∈ (0 :Bn (x1, . . . , xs)R). Khi đóf ∈ Bn. Vì thế ta có thể viết f = Pt
k=1mk với mk = akxik1
1 . . . xiks s là các từ ngược bậc n. Với mỗi k ∈ {1, . . . , t} cố định, vì n < 0 nên trong các số ikj ắt phải có một số âm. Giả sử j là chỉ số sao cho ikj < 0. Khi đó ta có
0 = xjmk = akxik1
1 . . . xikj+1
j . . . xiks s .
Chú ý rằng bậc củaxjmk làn+ 1 6 0.Hơn nữa, các sốik1, . . . , ikj+ 1, iks
đều không dương. Vì thế xjmi = 0 kéo theo ak = 0. Suy ra f = 0. Vậy
Với n = 0, ta có B0 = A là R-môđun Artin. Do đó, theo Định lí 1.2.1 áp dụng cho các số p = 0 = k, ta suy ra B là S-môđun (phân bậc) Artin. (ii) Bằng quy nạp, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp s = 1. Đặt
x1 = x,S = R[x]vàB = A[x−1.Kí hiệuL = R[[x]]là vành các chuỗi lũy thừa hình thức một biếnx với hệ số trên R. Với mỗi m ∈ B, gọi −n6 0
là bậc bé nhất trong số các bậc của các từ ngược củaf. Khi đó xn+1f = 0. Vì thế ta có thể định nghĩa tích vô hướng của một phần tử P∞
i=0 rixi ∈ L với một phần tử trong m = n P i=0 aix−i ∈ B bằng cách nhân đa thức Pn i=0 rixi
vớim. Từ đó ta suy ra B có cấu trúc tự nhiên là L-môđun và mỗi môđun con của S-môđun B là và chỉ là một môđun con của L-môđun B. Vì thế
B là L-môđun Artin và N-dimS B = N-dimLB. Do đó ta chỉ cần chứng
minh N-dimLB = N-dimRA+ 1 là đủ. Rõ ràng x ∈ AnnL(0 :B x). Vì
thế (0 :B x) có cấu trúc tự nhiên là L/xL-môđun và hai dàn môđun con
của L-môđun (0 :B x) và R-môđun (0 :B x) là như nhau. Chú ý rằng
L/xL ∼= R. Vì thế (0 :B x) có cấu trúc R-môđun Artin. Ta có
(0 :B x) = n m = n X i=0 aix−i ∈ B xm = n X i=0 aix−i+1 = 0 o = n n X i=0 aix−i ∈ B a0 ∈ A, n X i=1 aix−i+1 = 0 o = n n X i=0 aix−i ∈ B a0 ∈ A, ai = 0, ∀i ≥1 o = A.
Như vậy, (0 :B x) = A. Mặt khác, với mọi m = n P i=0 aix−i ∈ B ta có m = xg, trong đó g = n P i=0 aix−i−1 ∈ B. Vì thế B = xB. Theo Hệ quả 2.2.9 ta suy ra N-dimRA= N-dimS(0 :B x) = N-dimS B−1.
Kết luận
Mục đích của luận văn là trình bày lại một cách hệ thống với các chứng minh đầy đủ, chi tiết các kết quả về đa thức Hilbert và chiều Noether cho môđun Artin trong hai bài báo:
[K1]. D. Kirby, Artinian modules and Hilberts polynomials, Quart. J. Math. Oxford, (2) 24 (1973), 47-57.
[Ro]. R. N. Roberts, Krull dimension for Artinian modules over quasi- local commutative rings, Quart. J. Math. Oxford, 26 (1975), 269-273.
Cụ thể, luận văn bao gồm các nội dung chính sau đây.
• Trình bày các kiến thức chuẩn bị về môđun phân bậc, từ đó chứng minh một tiêu chuẩn Artin cho môđun phân bậc (Định lí 1.2.1).
•Sử dụng tiêu chuẩn Artin cho môđun phân bậc để chứng minh độ dài
`R(0 :A mn) là hàm đa thức, gọi là đa thức Hilbert của R-môđun Artin
A trên một vành giao hoán R (có duy nhất một iđêan cực đại m) (Định lí 2.1.8).
• Trình bày khái niệm và tính chất cơ sở về chiều Noether N-dimRA
của mộtR-môđun ArtinA, từ đó chứng minh rằng N-dimRA chính là bậc của đa thức Hilbert `R(0 :A mn) và cũng là số tbé nhất sao cho có t phần tử x1, . . . , xt ∈ m để `R(0 :A (x1, . . . , xt)) < ∞(Định lí 2.2.8).
• Sử dụng các kết quả đã đạt được để chứng minh tính Artin và công thức chiều Noether cho môđun các đa thức ngược A[x−11, . . . , x−s1] của s
Tài liệu tham khảo
[C] Nguyễn Tự Cường, Giáo trình Đại số hiện đại tập I, Nhà xuất bản ĐHQGHN, 2003.
[CN] N. T. Cuong and L. T. Nhan, On Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam J. Math., 30 (2002), 121-130.
[K1] D. Kirby, Artinian modules and Hilberts polynomials, Quart. J. Math. Oxford, (2) 24 (1973), 47-57.
[K2] D. Kirby, Dimension and length for Artinian modules, Quart. J. Math. Oxford, 41 (1990), 419-429.
[Mat] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986.
[Ro] R. N. Roberts, Krull dimension for Artinian modules over quasi-local commutative rings, Quart. J. Math. Oxford, 26 (1975), 269-273.