Chiều krull của vành và môđun luận văn thạc sĩ

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH THÁI QUỐC BẢO CHIỀU KRULL CỦA VÀNH VÀ MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An – 12.2011 MỤC LỤC Trang Mở đầu…………………………………………………….…………… 2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị………………………………………… 4 1.1. Vành và môđun địa phương hoá……………………………………. 4 1.2. Phổ, giá, độ cao . 5 1.3. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun……………………… 6 1.4. Sự phân tích nguyên sơ của môđun ………………………………… 7 1.5. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic………………………. 8 1.6. Mở rộng nguyên……………………………………………………. 9 Chương 2. Chiều Krull của vành và môđun…………………………. 12 2.1 Chiều Krull và Định lí cơ bản của Lý thuyết chiều 12 2.2. Chiều Krull của các mở rộng nguyên 20 2.3. Chiều Krull của vành đa thức . 23 2.4. Chiều Krull của vành thương của vành đa thức 27 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . … . . . . . 33 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . … . . . . . . . 34 2 MỞ ĐẦU Chiều là một khái niệm quan trọng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số. Mọi bài toán khảo sát cấu trúc vành hay môđun trong Đại số giao hoán đều được bắt đầu từ việc xem xét chiều của chúng. Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R : 0 1 . n ⊃ ⊃ ⊃ p p p được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n . Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R , ký hiệu là dim R . Cho M là một R − môđun. Khi đó ( ) dim / Ann R R M , trong đó Ann R M là linh hóa tử của mô đun M, được gọi là chiều Krull của môđun M, ký hiệu là dim R M (hoặc dim M nếu không tập trung sự chú ý vào vành cơ sở R). Khái niệm chiều Krull có nguồn gốc từ Hình học và là dạng đại số của khái niệm chiều của một đa tạp đại số. Chiều Krull của một vành Noether R là một thông số quan trọng, nó chi phối hầu hết các thông số khác của vành R. Chiều, bội, hệ tham số là ba đối tượng mật thiết, quyết định đến cấu trúc của một môđun. Đó cũng là ba khái niệm cơ bản nhất khi nói đến Đại số giao hoán. Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài này nghiên cứu nhằm hiểu rõ hơn về Lý thuyết chiều Krull của vành và môđun. Mục đích của Luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để tìm hiểu, tổng hợp, từ đó trình bày một cách có hệ thống một số vấn đề về lí thuyết chiều Krull của vành và môđun. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia thành hai chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở của vành và môđun có liên quan đến các kiến thức ở chương 2 nhằm làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của Luận văn. 3 Chương 2: Chiều Krull của vành và môđun. Chương này là nội dung chính của Luận văn. Trong chương này chúng tôi trình bày những nội dung sau: 2.1. Chiều Krull và Định lí cơ bản của Lý thuyết chiều 2.2. Chiều Krull của các mở rộng nguyên 2.3 Chiều Krull của vành đa thức 2.4. Chiều Krull của vành thương của vành đa thức. Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 tại trường Đại học Đồng Tháp dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Thị Hồng Loan, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh và trường Đại học Đồng Tháp đã giúp đỡ ta ́ c gia ̉ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành Luận văn. Luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. 4 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở của vành và môđun có liên quan đến các kiến thức ở chương 2 nhằm làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của Luận văn. Trong toàn bộ Luận văn, các vành được nhắc đến là vành giao hoán có đơn vị 1 ¹ 0. 1.1. Vành và môđun địa phương hoá 1.1.1. Vành các thương. Cho S là tập nhân đóng của vành R. Trên tích Đề các R x S ta xét quan hệ hai ngôi: ( ) ( ) ( ) , , , , , , : 0r s r s t S t rs sr ⇔ ∃ ∈ − = : . Khi đó ∼ là quan hệ tương đương trên R x S. Với (r, s) ∈ R x S, ký hiệu r/s là lớp tương đương chứa (r, s) và S -1 R là tập thương của R x S theo quan hệ tương đương ∼: S -1 R = {r/s | r∈ R, s∈ S}. Trên S -1 R trang bị hai phép toán là phép cộng và phép nhân, khi đó S -1 R trở thành một vành và gọi là vành các thương của R theo tập nhân đóng S. Mỗi iđêan của vành R có dạng S -1 I = {a/s | a ∈ I, s ∈ S}, trong đó I là iđêan của R. Ta có S -1 I = S -1 R ⇔ ∩ ≠ ∅ I S . Do đó S -1 I là iđêan thực sự của S - 1 R khi và chỉ khi ∩ = ∅ I S . Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó \S R= p là một tập nhân đóng của vành R. Vành S -1 R trong trường hợp này là vành địa phương, ký hiệu là R p , với iđêan cực đại duy nhất { } − = = ∈ ∈ p p p p p 1 / , \R S a s a s R nên được gọi là vành địa phương hoá của vành R tại iđêan nguyên tố p . 1.1.2. Môđun các thương. Cho S là tập nhân đóng của vành R. Khi đó ta có vành các thương S -1 R. Trên tích Đề các M x S ta xét quan hệ hai ngôi: ( ) ( ) ( ) , , , , , , : 0m s m s t S t ms sm ⇔ ∃ ∈ − = : . Khi đó ∼ là quan hệ tương 5 đương trên M x S. Do đó M x S được chia thành các lớp tương đương, ta ký hiệu tập thương của M x S theo quan hệ tương đương ∼ là S -1 M và ký hiệu lớp tương đương chứa (m, s) là /m s . Như vậy S -1 M = { /m s | m∈ M, s∈ S}. Trên S -1 M trang bị phép cộng và phép nhân với vô hướng: ( ) − + = + ∀ ∈ 1 / '/ ' ' ' / ', / ; '/ 'm s m s s m sm ss m s m s S M và − − ∀ ∈ ∈ 1 1 r/t.m/s = / , / , /rm ts r t S R m s S M . Khi đó 1 S M − có cấu trúc là một 1 S R − –môđun và gọi là môđun các thương của M theo tập nhân đóng S. 1 S M − cũng có thể xem là một R–môđun với phép nhân vô hướng như sau: = . / /r x s rx s , với mọi ∈ ,r R − ∈ 1 /x s S M . Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R và \S R= p . Khi đó môđun 1 S M − được gọi là môđun địa phương hoá của M tại iđêan nguyên tố p , ký hiệu là M p . Như vậy M p có thể xem như là R p –môđun hoặc là R–môđun. 1.1.3. Mệnh đề. Cho S là một tập nhân đóng của vành giao hoán R. Khi đó S - 1 (*) là một hàm tử khớp từ phạm trù R–môđun vào phạm trù các R–môđun. Nghĩa là: Nếu 00 ''' →→→→ MMM là một dãy khớp ngắn các R–môđun thì 00 ''11'1 →→→→ −−− MSMSMS là một dãy khớp ngắn các R–môđun. 1.1.4. Hệ quả. Giả sử M và P là các môđun con của R–môđun M. Khi đó: (i) PSNSPNS 111 )( −−− +≅+ ; (ii) PSNSPNS 111 )( −−− ∩≅∩ ; (iii) NSMSPMS 111 /)/( −−− ≅ . 1.1.5. Định lý. Cho S là một tập nhân đóng của R và M là R–môđun. Khi đó: S -1 M ≅ S -1 R ⊗ M. 1.2. Phổ, giá, độ cao 1.2.1. Phổ của vành. Ký hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó SpecR được gọi là phổ của vành R. 6 Với mỗi iđêan I của R ta ký hiệu { } = ∈ ⊇ p p( ) SpecV I R I . 1.2.2. Độ cao của iđêan. Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R : 0 1 . n ⊃ ⊃ ⊃ p p p được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n . Cho Spec R ∈ p , cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với 0 = p p được gọi là độ cao của p , ký hiệu là ( ) ht p . Nghĩa là: ( ) ht p = sup {độ dài các xích nguyên tố với 0 = p p }. Cho I là một iđêan của R, khi đó độ cao của iđêan I được định nghĩa: ( ) ( ) { } ht inf ht Spec , I R I = ∈ ⊇ p p p . 1.2.3. Giá của môđun. Tập con { } = ∈ ≠Supp Spec 0M R M p p của SpecR được gọi là giá của môđun M. Với mỗi ∈x M ta ký hiệu { } = ∈ = ( ) 0 R Ann x a R ax ; { } { } = ∈ = = ∈ = ∈ 0 0, R Ann M a R aM a R ax x M . Ta có R Ann x và R Ann M (hoặc Ann x và Ann M nếu không để ý đến vành R) là những iđêan của M. Ann M được gọi là linh hoá tử của môđun M. Hơn nữa nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì { } = = ∈ ⊇ p pSupp (Ann ) Spec Ann R R M V M R M . 1.3. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun 1.3.1. Định nghĩa. Cho M là một R–môđun ta gọi iđêan nguyên tố p của R là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu một trong hai điều kiện tương đương sau được thoả mãn: (i) Tồn tại phần tử ∈x M sao cho ( ) = pAnn x . (ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với /R p . 7 Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là Ass R M hoặc Ass M nếu không để ý đến vành R. Như vậy { } = ∈ ∈p p=Ass Spec Ann , víi M R x x M . 1.3.2. Mệnh đề. Ass Supp M M⊆ và mọi phần tử tối tiểu của Supp M đều thuộc Ass M . 1.3.3. Mệnh đề. Nếu M là R–môđun Noether thì Ass M là tập hợp hữu hạn. 1.4. Sự phân tích nguyên sơ của môđun 1.4.1. Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán và M là một R–môđun. (i) Môđun con N M≠ của M được gọi là nguyên sơ nếu tồn tại một iđêan nguyên tố p của R sao cho Ass(M/N) = { p } Khi đó ta cũng nói N là p –nguyên sơ. (ii) Cho N là môđun con của M. Một phân tích nguyên sơ của N là một biểu diễn 1 2 . n N M M M= ∩ ∩ ∩ trong đó i M là các môđun con p i –nguyên sơ của M. Phân tích trên được gọi là thu gọn nếu các p i là đôi một phân biệt và không có i M nào thừa. 1.4.2. Chú ý. (i) Nếu Q là một môđun con p –nguyên sơ của M thì p = Ann( / )M Q . (ii) Nếu 1 M và 2 M là các môđun con p – nguyên sơ của M thì 1 2 M M∩ cũng là môđun con p –nguyên sơ của M. Vì thế mọi phân tích nguyên sơ của môđun con N đều có thể quy về một phân tích thu gọn. (iii) Khi M R= và R là vành Noether thì khái niệm iđêan nguyên sơ trùng với khái niệm môđun con nguyên sơ. Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại phân tích nguyên sơ của mọi môđun con của môđun Noether và tập các iđêan nguyên tố liên kết có thể được xác định thông qua một phân tích nguyên sơ thu gọn. 8 1.4.3 Định lý. Cho M là R–môđun Noether và N là môđun con của M. Khi đó: (i) N có sự phân tích nguyên sơ thu gọn; (ii) Nếu 1 2 . n N N N N= ∩ ∩ ∩ và 1 2 . n N N N N ′ ′ ′ = ∩ ∩ ∩ là hai phân tích nguyên sơ thu gọn của N trong đó i N là p i –nguyên sơ, 1, 2, .,i n= và i N ′ là p i ’–nguyên sơ, 1, 2, .,i m= thì n = m và {p 1 , ., p n } = {p 1 ’, ., p n ’}. Vì thế {p 1 , ., p n } không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ thu gọn của N. Hơn nữa ta có {p 1 , ., p n } = ( / );Ass M N (iii) Cho 1 2 . n N N N N= ∩ ∩ ∩ trong đó, i N là p i –nguyên sơ, 1, 2, .,i n= là phân tích nguyên sơ thu gọn của N. Nếu p i là phần tử tối tiểu trong tập ( / )Ass M N thì môđun con i N tương ứng không phụ thuộc vào sự phân tích nguyên sơ thu gọn của N. 1.5. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic Cho ( ) , mR là một vành địa phương. Ta xét R như một vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan m t , với t = 0, 1, 2 Chú ý rằng cơ sở lân cận của một phần tử tuỳ ý ∈ r R gồm các lớp ghép + m t r với t = 0, 1 ,2 . Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m- adic của R ký hiệu bởi µ R được định nghĩa bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Một dãy Cauchy trong R là một dãy ( ) n r các phần tử của R sao cho với mọi t > 0, tồn tại số tự nhiên 0 n để − ∈ m t n m r r với mọi 0 , > n m n . Dãy ( ) n r được gọi là hội tụ về dãy không nếu với mọi t > 0 tồn tại số tự nhiên 0 n để 0 − = ∈ m t n n r r với mọi 0 > n n . Hai dãy Cauchy ( ) n r và ( ) n s được gọi là hai dãy tương đương, ký hiệu là ( ) ( ) : n n r s nếu dãy ( ) − n n r s là dãy không. Khi đó quan hệ ∼ trên tập các 9 dãy Cauchy là quan hệ tương đương. Ta ký hiệu µ R là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy. Chú ý rằng nếu ( ) n r và ( ) n s là các dãy Cauchy thì các dãy ( ) + n n r s , ( ) n n r s cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy ( ) + n n r s , ( ) n n r s là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tương đương của các dãy ( ) n r và ( ) n s , tức là nếu ( ) ( ) , : n n r r và ( ) ( ) , : n n s s thì ( ) ( ) , , + + : n n n n r s r s và ( ) ( ) , , : n n n n r s r s . Vì thế µ R được trang bị hai phép toán hai ngôi + và . đồng thời cùng với hai phép toàn này, µ R lập thành một vành. Mỗi phần tử ∈ r R có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r. Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa các vành µ ( ) , → a R R r r trong đó ( ) r là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r. Định nghĩa tương tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0 là { } t Mm . Khi đó ¶ M là một µ R –môđun với phép nhân vô hướng như sau: cho ( ) µ = ∈ 1 2 , , .a a a R , ( ) µ = ∈ 1 2 , , .x x x M . Ta có ( ) µ = ∈ 1 1 2 2 , , .ax a x a x M . 1.6. Mở rộng nguyên 1.6.1. Định nghĩa. Cho R là một vành con của vành giao hoán S và s S∈ . Ta nói rằng s là nguyên trên R nếu tồn tại h∈¥ và 0 1 1 , , , h r r r R − ∈K sao cho 1 1 1 0 0 h h h s r s rs r − − + + + + =L . Điều đó có nghĩa là s là nghiệm của một đa thức đơn hệ với hệ tử trên vành R. 10 . Lý thuyết chiều 2.2. Chiều Krull của các mở rộng nguyên 2.3 Chiều Krull của vành đa thức 2.4. Chiều Krull của vành thương của vành đa thức. Luận văn được. 2. Chiều Krull của vành và môđun ………………………. 12 2.1 Chiều Krull và Định lí cơ bản của Lý thuyết chiều. . 12 2.2. Chiều Krull của