Về các nửa vành con c đơn của nửa vành q+

- 1 - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HUỲNH VĂN PHẤT VỀ CÁC NỬA VÀNH CON C – ĐƠN CỦA NỬA VÀNH + ¤ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH – 2012 - 2 - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HUỲNH VĂN PHẤT VỀ CÁC NỬA VÀNH CON C – ĐƠN CỦA NỬA VÀNH + ¤ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : ĐẠI SỐ & LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60.01.04 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. LÊ QUỐC HÁN Vinh – 2012 MỤC LỤC - 3 - Mở đầu …………………………………………………… …………… 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị ………………………………………… 3 1.1. Nửa vành : các định nghĩa và ví dụ ………………………………… 3 1.2. Nửa vành đơn, nửa vành lũy đẳng cộng tính, nửa vành giản ước được …………………………………………………………… 7 Chương 2. Các nửa vành con c – đơn của nửa vành + ¤ ……………. 17 2.1. Nửa vành con c – đơn của nửa vành + ¤ ………………………… 17 2.2. Nửa vành con bão hòa c – đơn của nửa vành + ¤ ………………… 24 Kết luận ………………………………………………………………… 36 Tài liệu tham khảo ……………………………………………………. 37 - 4 - MỞ ĐẦU Lý thuyết vành ra đời từ thế kỷ 19 và đạt được nhiều thành tựu rực rỡ vào cuối thế kỷ này. Bước sang thế kỷ 20, dựa trên những thành tựu của lý thuyết môđun, các đặc trưng của một số lớp vành cũng được phát hiện khi nghiên cứu các cấu trúc môđun trên chúng. Vào những năm giữa thế kỷ 20, do nhu cầu nội bộ toán học, lý thuyết nửa vành đã xuất hiện và thu hút nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Đặc biệt vào những năm cuối thế kỷ 20 và đầu thế kỷ 21, do sự phát triển của công nghệ thông tin, lý thuyết nửa vành đã tỏ ra có nhiều ưu thế trong việc áp dụng toán học vào khoa học tính toán. Bản luận văn chúng tôi dựa trên bài báo Congruence – simple subsemiring of + ¤ của hai tác giả V. Kala và M. Korbelar đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 81 năm 2010 (xem [10]) để tìm hiểu một lớp khá rộng các nửa vành con của nửa vành + ¤ , đó là lớp các nửa vành con c – đơn. Luận văn gồm hai chương : Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở về nửa vành và một số lớp nửa vành đặc biệt như nửa vành đơn, nửa vành lũy đẳng cộng tính và nửa vành giản ước được để làm cơ sở cho việc trình bày những chương sau. Chương 2. Các nửa vành con c – đơn của nửa vành + ¤ . Đây là nội dung chính của luận văn. Trước hết chúng tôi trình bày khái niệm nửa vành c – đơn của nửa vành + ¤ và một số đặc trưng của lớp nửa vành này. Sau đó chúng tôi trình bày nửa vành bão hòa c – đơn của nửa vành + ¤ và các tính chất của chúng. Phần cuối trình bày sự phân lớp các phần tử tối đại của tập hợp các nửa vành con c – đơn của nửa nhóm + ¤ . - 5 - Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Lê Quốc Hán. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Lê Quốc Hán đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên, khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số – Trường Đại học Vinh đã động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình viết và chỉnh sửa luận văn này. Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, các bạn trong lớp Cao học 18 Đại số và Lý thuyết số Trường Đại học Vinh đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp xây dựng của Quý thầy, cô và đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 09 năm 2012 Tác giả - 6 - CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. NỬA VÀNH. CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ 1.1.1. Định nghĩa. Một nửa nhóm (M, ∗ ) bao gồm các tập không rỗng M và một phép toán liên kết ∗ được xác định trên nó. Nếu M là một nửa nhóm mà trong nó tồn tại một phần tử e thỏa mãn m ∗ e = m = e ∗ m đối với tất cả m ∈ M thế thì M được gọi là một vị nhóm có phần tử đơn vị là e. Dễ dàng chứng tỏ phần tử đơn vị này là duy nhất, và thường được kí hiệu bởi M 1 . Chú ý rằng một nửa nhóm (M, ∗ ) không phải là vị nhóm có thể nhúng chính tắc váo một vị nhóm { } ' = ∪M M e , trong đó e là một phần tử nào đó không thuộc M và phép toán ∗ được mở rộng thành một phép toán trên ' M bằng cách định nghĩa ∗ = = ∗m' e m' e m' đối với tất cả ∈ ' m' M . Một phần tử m M∈ được gọi là lũy đẳng nếu m m m∗ = . Một nửa nhóm (M, ∗ ) được gọi là giao hoán nếu và chỉ nếu ∗ = ∗m m' m' m đối với tất cả ∈m,m' M . Một nửa nhóm (M, ∗ ) được gọi là sắp thứ tự nếu và chỉ nếu tồn tại một quan hệ thứ tự bộ phận ≤ được xác định trên M thỏa mãn điều kiện '≤m m kéo theo ∗ ≤ ∗m m'' m' m'' và ∗ ≤ ∗m'' m m'' m' đối với tất cả các phần tử m, m' và m'' thuộc M. Một nửa vành (Tương ứng nửa vành với đơn vị) là một tập khác rỗng R mà trên nó đã xác định được hai phép toán cộng và nhân sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: ( ) ( ) 1 ,R + là một vị nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là 0; ( ) ( ) 2 ,.R là một nửa nhóm (tương ứng một vị nhóm với phần tử đơn vị là R 1 ); ( ) 3 Phép nhân phân phối đối với phép cộng trong hai phía, ( ) 4 0r 0 r0= = đối với tất cả r R∈ . (Như một quy ước, ta sẽ viết 1 thay thế cho R 1 khi không gây ra sự hiểu nhầm). - 7 - Chú ý rằng nếu 1 0= thế thì r r1 r0 0= = = đối với mỗi phần tử r R∈ và do đó { } R 0= . Để tránh trường hợp tầm thường này, chúng ta sẽ giả thiết rằng tất cả các nủa vành đều không tầm thường, nghĩa là: ( ) 5 1 0≠ . Chú ý rằng 0 là phần tử duy nhất của R thỏa mãn điều kiện ( ) 4 : Nếu z là một phần tử thuộc R thỏa mãn zr z rz= = đối với tất cả r R ∈ thế thì 0 0z z= = . Một nửa vành R là chính quy nếu và chỉ nếu mỗi phần tử của R là chính quy nhân tính ( Nghĩa là với mọi r R ∈ ta có s R∈ sao cho rsr r= ). Giả sử R là một nửa vành . Kí hiệu ( ) { } I R r R r r r + = ∈ + = và ( ) { } 2x I R r R r r = ∈ = tương ứng là tập hợp các lũy đẳng cộng tính và tập hợp các lũy đẳng nhân tính của R. Khi đó đặt ( ) ( ) ( ) x I R I R I R + = Ç . Chú ý rằng nếu ( ) a I R∈ thế thì { } 0,a là một nửa vành được chứa trong R, mặc dù nó không phải là nửa vành con trừ khi =a 1 . Một nửa vành R là lũy đẳng nếu và chỉ nếu ( ) I R R= . Một nửa vành R được gọi là bất khả đối nếu và chỉ nếu , 0r r+ = kéo theo , 0r r= = . Điều kiện này phát biểu rằng vị nhóm ( ) ;R + rất khó trở thành một nhóm: không có một phần tử khác 0 nào khả nghịch. Thật ra nếu R là một vành thế thì ( ) − + =1 1 0 trong R, trong khi đó cả -1 và 1 không nhất thiết khác 0. Nếu R là một nửa vành bất khả đối, thế thì { } { , R 0 r R rb 0= ∪ ∈ ≠ đối với tất cả } 0 b R≠ ∈ là một nửa vành con của R. Một phần tử khác 0 của một nửa vành R là một ước của 0 bên trái nếu và chỉ nếu tồn tại một phần tử khác không b R∈ sao cho 0ab = . Nó là ước của 0 bên phải nếu và chỉ nếu tồn tại một phần tử khác không b R∈ sao cho 0ba = . Nó là - 8 - ước của không nếu và chỉ nếu hoặc là ước của không bên trái hoặc là ước của không bên phải. Một nửa vành không có ước của không là một miền nguyên. Một phần tử a của nửa vành R là vô hạn nếu và chỉ nếu a r a+ = đối với tất cả r R∈ . Một phần tử như vậy cần phải duy nhất vì nếu a, , a là các phần tử vô hạn của R thì = + = + = , , , a a a a a a . Chú ý rằng 0 có thể không phải là vô hạn vì + = ≠0 1 1 0 . Một nửa vành R là đơn nếu và chỉ nếu 1 là phần tử vô hạn, nghĩa là nếu và chỉ nếu + =1 r 1 đối với tất cả ∈r R . Một cách tương đương, R là đơn nếu và chỉ nếu ( ) { } =P R 0,1 (chú ý rằng đối với nửa vành R, kí hiệu ( ) { } { } = ∪ + ∈P R 0 r 1 r R . Khi đó ( ) P R là nửa vành con của R). Nếu R là đơn thì + = 1 1 1 nên 1 là lũy đẳng cộng tính và từ đó R là lũy đẳng cộng tính. Đảo lại, nếu R là lũy đẳng cộng tính thì { } ∈ + =a R a 1 1 là một nửa vành con của R và do đó R là đơn khi nửa vành con này là bản thân R. Điều kiện 1 là đối ngẫu với điều kiện = =0r 0 r0 đối với tất cả ∈ r R , mà chúng ta đã giả thiết trong các tiên đề định nghĩa của một nửa vành. Ngược lại với khái niệm đơn là nửa vành phản đơn (antisimple semiring) : Một nửa vành R là phản đơn nếu và chỉ nếu ( ) =R P R . Vành tùy ý là phản đơn nếu xét nó như một nửa vành. Sự tồn tại của các nửa vành đơn có nhiều hơn một phần tử (như sẽ chỉ ra dưới đây) chứng tỏ rằng phần tử vô hạn a của một nửa vành R không nhất thiết thỏa mãn =ar a đối với tất cả ≠ ∈0 r R được gọi là vô hạn mạnh (Strongly infinite). Các vành rõ ràng là nửa vành, nhưng có nhiều ví dụ khác về các nửa vành, sau đây là một số ví dụ như vậy. 1.1.2. Ví dụ. Tập hợp ¥ các số nguyên không âm với các phép toán cộng và nhân các số nguyên thông thường là một nửa vành nguyên, giao hoán, bất khả đối và không lũy đằng cộng tính. Cùng một cấu trúc như vậy là nửa vành + ¤ tất cả các số hữu tỉ không âm, nửa vành + ¡ các số thực không âm, và nói chung - 9 - S S + + = ∩ ¡ trong đó S là vành con tùy ý của ¡ . Cho trước một bản số vô hạn c cố định tập tất cả các bản số d c≤ cũng có cấu trúc nửa vành. Nửa vành ¥ phản đơn. Các nửa vành nằm trong số các cấu trúc toán học đầu tiên mà chúng ta gặp mặt tình cờ. Rõ ràng, ¥ là nửa vành con của + ¤ và + ¤ là nửa vành con của + ¡ . Chú ý rằng { } { } 0,1,2,3 q q q 4∪ ∈ ≥¤ là một ví dụ về nửa vành con của + ¡ mà nó không có dạng + S đối với vành con S nào đó của ¡ . Nếu S là một trong các nửa vành ¥ , + ¤ hay + ¡ , và nếu r là một phần tử S thỏa mãn ≥r 1, thế thì { } { } a S a r 0= ∈ > ∪¡ là một nửa vành con của S nhưng không phải là nửa vành . Nếu > ≥ −2 r 1, thế thì { } { } a a r 0,1∈ > ∪¡ là một nửa vành con của + ¡ . 1.1.3. Xây dựng nửa vành từ các nửa vành đã biết Bây giờ chúng ta khảo sát xem các nửa vành mới có thể được xây dựng từ các nửa vành cũ như thế nào : Các cấu trúc này sẽ rất hữu ích trong các chương sau, và cũng cung cấp nhiều ví dụ cho một số áp dụng quan trọng. ( ) 1 Nếu { } i R i∈Ω là họ các nửa vành thế thì tích trực tiếp ∈Ω = i i R X R có cấu trúc nửa vành với các phép toán cộng và nhân theo thành phần. Nửa vành này là cộng tính lũy đẳng – cộng tính (tương ứng : bất khả đối, đơn) nếu mỗi một i R là lũy đẳng - cộng tính (tương ứng : bất khả đối, đơn). Nó không phải là nửa vành nguyên nên Ω có cấp lớn hơn 1. ( ) 2 Nói riêng, chú ý rằng nếu ≠ ∅A và R là một nửa vành thế thì A R là một nửa vành, thỉnh thoảng được gọi là nửa vành các tập con R - giá trị của A . Tên gọi này xuất phát từ thực tế, mỗi tập con B của A xác định một hàm đặc trưng ∈ A B C B được cho bởi ( ) 1= B C a nếu ∈a B và ( ) 0= B C a nếu \∈a A B . Như - 10 - vậy, A B có thể được đồng nhất chính tắc với nửa vành ( ) sup A tất cả các tập con của A. ( ) 3 Nếu A là một tập vô hạn và R là nửa vành thế thì { ∈ A f R f f có giá trị hữu hạ } n không phải là nửa vành con (của A R ) mà chỉ là nửa vành con của A R vì nó không chứa đơn vị của phép nhân. Nếu R bất khả đối và nguyên, thế thì { } { ( ) ∪ ∈ p 0 f R A\ sup f hữu hạ } n là một nửa vành con của A R . 1.2. NỬA VÀNH ĐƠN, NỬA VÀNH LŨY ĐẲNG – CỘNG TÍNH, NỬA VÀNH GIẢN ƯỚC ĐƯỢC Chúng ta thường xét các nửa vành mà trên chúng điều kiện cộng tính phải tuân theo. Nói riêng, trước hết chúng ta xét nửa vành lũy đẳng-cộng tính và điều kiện mạnh hơn nửa vành đơn. Thế thì chúng ta xét một số mô phỏng yếu hơn điều kiện các phần tử khả nghịch đối với phép cộng hay phép nhân. Cuối cùng, chúng ta sẽ tiếp tục một điều kiện mà trên đó đảm bảo sự tồn tại của “khá đủ” các đơn vị nhân. Hơn nữa, trước hết chúng ta phải phát biểu một số quy ước ký hiệu tiêu chuẩn: nếu n là số nguyên dương và a là một phần tử của nửa vành R thì tổng + +a . a của n bản copy của a được ký hiệu bởi na và tích a .a của n bản copy của a được ký hiệu bởi n a . Chúng ta đặt = 0 a 1 đối với mỗi phần tử a thuộc R . Một phần tử ∈a R được gọi là lũy linh nếu và chỉ nếu tồn tại n nguyên dương sao cho = n a 0 . Số nguyên dương nhỏ nhất n được gọi là chỉ số lũy linh của a. Nếu a,b thuộc R và m,n là số nguyên không âm thì ta định nghĩa n m a b bằng quy nạp như sau: 1) = 0 m m a b b đối với tất cả ≥m 0 ; 2) = n 0 n a b a đối với tất cả ≥n 0 ; . là c c nửa vành giản ư c đư c (nhưng không phải là vành) . - 20 - CHƯƠNG 2. C C NỬA VÀNH CON C – ĐƠN C A NỬA VÀNH + ¤ 2.1. NỬA VÀNH CON C – ĐƠN C A NỬA VÀNH. nửa vành con c – đơn c a nửa vành + ¤ ……………. 17 2.1. Nửa vành con c – đơn c a nửa vành + ¤ ………………………… 17 2.2. Nửa vành con bão hòa c – đơn c a nửa vành