Về các iđêan trên nửa vành

2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRỊNH THỊ THÚY KIỀU VỀ CÁC IĐÊAN TRÊN NỬA VÀNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC 3 Vinh – 2012 4 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRỊNH THỊ THÚY KIỀU VỀ CÁC IĐÊAN TRÊN NỬA VÀNH Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. LÊ QUỐC HÁN Vinh – 2012 5 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC.…………………… ……………………………… ………… .1 LỜI NÓI ĐẦU.………………………………………………… ………… 2 Chương 1. Các iđêan trên nửa vành …………………………………… .4 1.1. Các phần tử bù được trên nửa vành …… .…………………… .… … .4 1.2. Iđêan trên nửa vành ……………………… ………………… .…… 10 1.3. Tính chất của tập các iđêan trong một nửa vành …………………… .17 Chương 2. Một số loại iđêan trên nửa vành …………………… .… 23 2.1. Phần tử bé và các quan hệ tương đương xác định bởi iđêan cho trước 23 2.2. Iđêan tối đại và iđêan tối tiểu ……………… ………………… .…….29 2.3. Iđêan nguyên tố và iđêan nửa nguyên tố……………… ……… .…….34 KẾT LUẬN………………………………………………… .…………….45 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………… .…….46 6 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết nửa vành ra đời từ những năm cuối thế kỷ 19 và đạt được những thành tựu rực rỡ vào những năm cuối thế kỷ 20, dựa trên ý tưởng đặc trưng các lớp vành nhờ khảo sát cấu trúc của các môđun trên chúng. Vào giữa thế kỷ 20, do nhu cầu của nội bộ Toán học, lý thuyết nửa vành xuất hiện và thu hút nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Đặc biệt, vào những năm cuối thế kỷ 20 và đầu thế kỷ này, do sự phát triển của công nghệ thông tin, lý thuyết nửa vành đã tỏ ra có nhiều ưu thế trong việc áp dụng toán học vào khoa học tính toán. Cũng như trong Lý thuyết vành, các iđêan đóng vai trò hết sức quan trọng trong Lý thuyết nửa vành. Luận văn của chúng tôi dựa vào cuốn sách The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science của J. S. Golan xuất bản năm 1992 (xem [4]) để tìm hiểu các iđêan trong nửa vành, đặc biệt là tìm hiểu các loại iđêan có nhiều tính chất đặc trưng tốt như các iđêan tối đại và iđêan tối tiểu, iđêan nguyên tố và iđêan nửa nguyên tố, nhằm chuyển các khái niệm và tính chất cơ bản trong Lý thuyết vành sang khái niệm và tính chất tương ứng trong Lý thuyết nửa vành, nhưng các kỹ thuật chứng minh đã được thay đổi và cải tiến cho thích hợp với điều kiện hạn chế: các phần tử nửa vành nói chung không có phần tử nghịch đảo cộng tính. Luận văn gồm 2 chương: Chương 1. Các iđêan trên nửa vành. Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất của các phần tử bù được trên nửa vành, iđêan trên nửa vành và tính chất của tập các iđêan trong một nửa vành. Chương 2. Một số loại iđêan trên nửa vành. Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày khái niệm phần tử bé và các quan hệ tương đương xác định bởi iđêan cho trước trên nửa vành. Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm 7 và tính chất của một số loại iđêan quen thuộc như iđêan tối đại và iđêan tối tiểu, iđêan nguyên tố và iđêan nửa nguyên tố. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS. TS. Lê Quốc Hán đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo sau Đại học, các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán học, và đặc biệt là các thầy giáo cô giáo trong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số - Trường Đại học Vinh, và một số thầy cô trong khoa Toán học của trường Đại học Đồng Tháp đã tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình viết và chỉnh sửa luận văn này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 09 năm 2012 Tác giả 8 CHƯƠNG 1. CÁC IĐÊAN TRÊN NỬA VÀNH 1.1. CÁC PHẦN TỬ BÙ ĐƯỢC TRÊN NỬA VÀNH 1.1.1. Định nghĩa. Một nửa vành là một tập khác rỗng R mà trên nó đã xác định được hai phép toán cộng và nhân sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn: (i) ( , )R + là một vị nhóm giao hoán với đơn vị là 0; (ii) ( ,.)R là một nửa nhóm; (iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, nghĩa là: ( )a b c ab ac+ = + và ( )a b c ac bc+ = + với mọi , ,a b c R∈ ; (iv) 0 0 0r r= = với mọi r R ∈ . Nếu ( ,.)R là một vị nhóm với đơn vị là 1 thì R được gọi là nửa vành với đơn vị. Để nửa vành {0}R ≠ , ta quy ước 1 0≠ . 1.1.2. Ký hiệu. (i) Giả sử a và b là các phần tử của một nửa vành R thỏa mãn điều kiện: tồn tại c R∈ sao cho 0ac ca= = và 1c b+ = . Khi đó ta sẽ viết <a b . (ii) Với mỗi nửa vành R , ký hiệu ( ) { |C R r R= ∈ ': ' ' }r rr r r∀ = . Trực tiếp suy ra: 0 0< và 1<a với mỗi a R∈ . Hơn nữa, nếu R là nửa vành đơn thì 0 <b với mọi b R∈ . Nếu ( )a C R∈ thì <a b kéo theo <ra b đối với mọi r R ∈ . 1.1.3. Mệnh đề. Nếu a và b là các phần tử của một nửa vành R thỏa mãn <a b thì ab a ba= = . Hơn nữa, nếu R là nửa vành đơn thì <a b kéo theo a b b+ = . Chứng minh. Vì <a b nên tồn tại c R∈ sao cho 0ac ca= = và 1c b+ = . Từ đó ( )a a c b ac ab ab= + = + = . Tương tự, a ba= . Bây giờ giả thiết R là vành nửa đơn. Thế thì ( )a b a c b b ac ab b+ = + + = + + = ab b b+ = . □ 1.1.4. Định nghĩa. Phần tử a R∈ được gọi là bù được nếu <a a , nghĩa là tồn tại c R∈ sao cho 0ac ca= = và 1a c+ = . Khi đó c được gọi là bù của a trong R . 9 Nếu a có một bù thì bù đó duy nhất. Thật vậy, giả sử b và c là bù của a trong R thì ( ) ( )b a c b ab cb cb cb ca c b a c= + = + = = + = + = . Bù của a trong R được ký hiệu bởi a ⊥ . Rõ ràng ( ) a a ⊥ ⊥ = nếu a bù được trong R . Tập hợp tất cả các phần tử bù được trong R ký hiệu bởi ( )comp R . Tập hợp này khác rỗng vì 0 ( )comp R∈ với 0 1 ⊥ = . Nếu { } ( ) 0,1comp R = thì R được gọi là nửa vành nguyên vẹn. Nếu { } ( ) \ 0,1a comp R∈ thì { } ( ) \ 0,1a comp R ⊥ ∈ và do đó nếu R là nửa vành nguyên (intire) thì nó là nửa vành nguyên vẹn (intergral). Chú ý rằng ( ) ( ) X comp R I R⊆ trong đó { } 2 ( ) |= ∈ = X I R r R r r . Thật vậy, nếu ( )a comp R∈ thì 2 2 1 ( ) ⊥ ⊥ = = + = + = a a a a a a aa a . Nếu ( )a comp R∈ thì đặt a b a a b ⊥ = + . Chú ý rằng a a a a a ⊥ ⊥ ⊥ = + = 1a a ⊥ + = đối với mọi ( )a comp R∈ . Cũng như vậy, nếu 1a b+ = thì ( )a a a b a a a b a b ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ = + = + = nên a 1b a a = ⊥ = + . 1.1.5. Ví dụ. (1) Nếu R X R i i = ∈Ω là tích trực tiếp của các nửa vành i R và ∧ là một tập con của Ω thì phần tử e R∈ ∧ được xác định bởi ( ) 1e i = ∧ với i∈∧ và ( ) 0e i = ∧ nếu \i∈Ω ∧ là bù được. Thật vậy, ( ) \ e e ⊥ = ∧ Ω ∧ . (2) Nếu R là một nửa vành và A là một tập hợp khác rỗng hữu hạn hay đếm được thì đối với mỗi B ⊆ A phần tử , ( ) µ ∈ B A B e R được xác định bởi ( , ) 1 B e i j = nếu i j B= ∈ và ( , ) 0 B e i j = nếu i j≠ là bù được, với \ ( ) B A B e e ⊥ = . 1.1.6. Chú ý. Tổng quát hơn, nếu 0 ( ) X e I R≠ ∈ thế thì e được gọi là nguyên vẹn (integral) nếu và chỉ nếu nửa vành eRe nguyên vẹn, nghĩa là tồn tại , b c B∈ sao cho 0, 0ebe ece≠ ≠ và 0, ebece e ebe ece= = + . Như vậy, nếu R là vành nguyên (intire) thì mỗi phần tử của ( ) X I R là phần tử nguyên vẹn. 10 Ta nhắc lại rằng R được gọi là nửa vành thô nếu Z(R)=0, trong đó ( ) { | : }Z R r R a R r a a= ∈ ∃ ∈ + = . R gọi là Y - nửa vành nếu R=W(R) trong đó ( ) { | , : , }W R a R b R r R a r b b r a= ∈ ∀ ∈ ∃ ∈ + = + = . R được gọi là nửa vành Gelfand nếu R=G(R), trong đó ( ) { |1 ( )}G R r R r U R= ∈ + ∈ với U(R) là tập các phần tử khả nghịch nhân tính của R. 1.1.7. Ví dụ. Trước hết ta chú ý rằng với nửa vành R tùy ý có ( ) ( ) X comp R I R⊆ . Nếu R là Y- nửa vành đơn và thô thì bao hàm thức ngược lại cũng đúng. Thật vậy, lấy ( )∈ X e I R thế thì tồn tại b R∈ sao cho 1= +e b hay 1e b+ = . Trong trường hợp thứ nhất, tính đơn của R kéo theo e=1 và do đó ( )e comp R∈ . Trong trường hợp thứ hai, 2 (1 )e e e b= = + = e eb+ . Do đó eb=0. Tương tự, be=0 và do đó ( )e comp R∈ với e b ⊥ = . 1.1.8. Mệnh đề. Nếu R là một nửa vành bất khả đối và , ( )a b comp R∈ thì (i) 0aba ⊥ = ; (ii) ab và a b thuộc ( )comp R ; (iii) ab ba= . Chứng minh. (i) Nếu , ( )a b comp R∈ thì ( ) ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ + = + =aba ab a a b b a 0 ⊥ =aa và do R bất khả đối nên 0aba ⊥ = . (ii) Chúng ta khẳng định rằng [ a ]b a b ⊥ ⊥ ⊥ = . Thật vậy, [ a b]+ ( ) 1 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ = + + = + + = + =a b a a b a b a a b b a a . Do (i), có [ a [ 0] ]= + = + = ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ b a b a a b a b aa b a ba b . Tương tự [a b a ⊥ ⊥ b]=0, khẳng định được thiết lập. Vậy a b ( )comp R∈ . Cuối cùng, chúng ta khẳng định rằng [ ]ab a ⊥ ⊥ = b a ab ⊥ ⊥ ⊥ = + . Thật vậy, (ab a ⊥ + ) ( ) 1b ab a ab a b b a a a ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ = + + = + + = + = trong 11 khi đó (ab a ⊥ )) ( 0b ab a ab aba abab ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ = + = + = và tương tự (a ⊥ ) 0b ab ⊥ = . (iii) Theo (i), có 0aba a ba a ba ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ = = = và do đó: 1 ( )ab ab ab a a aba aba aba aba a ba ⊥ ⊥ ⊥ = = + = + = = + ( ) 1. .a a ba ba ba ⊥ = + = = □ 1.1.9. Mệnh đề. Giả sử R là nửa vành bất khả đối. Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương: (i) Nếu , ( )a b comp R∈ thì ( )a b comp R+ ∈ ; (ii) 1 1 ( )comp R+ ∈ ; (iii) ( ) ( ) ( { | }) + ⊆ = ∈ + =comp R I R r R r r r ; (iv) Nếu , ( )a b comp R∈ thì a b a+ = b; (v) ( ( ), ,.)comp R + là một nửa vành con của R. Chứng minh. ( ) ( )i ii⇒ : Trực tiếp với a=b=1. ( ) ( )ii iii⇒ : Nếu ( )a comp R∈ thế thì theo Mệnh đề 1.1.8(ii) có ( )a a comp R+ ∈ . Đặt ( )b a a ⊥ = + thế thì ( ) 0ab ab a a b+ = + = và do R bất khả đối, có ab=0. Khi đó 2 2 1 ( )= = + + = + + = +a a a a a b a a ab a a , chứng tỏ rằng ( )a I R + ∈ . ( ) ( )iii iv⇒ : Nếu , ( )a b comp R∈ thì theo Mệnh đề 1.1.8 có ( )( )( ) ( )( ) ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ + = + + + = + + + + ⊥ ⊥ = + + + a b a b a a b b a b ab a b ab a b ab ab ab a b Do (iii), ( )ab I R + ∈ và do đó a b ab ab a b a a b a ⊥ ⊥ ⊥ + = + + = + = b. ( ) ( ) ( ):iv i v⇒ ⇔ Là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 1.1.8(iii). □ 1.1.10. Mệnh đề. Giả sử R là nửa vành bất khả đối. Khi đó ( ( ),comp R ,.) là nửa vành đơn giao hoán lũy đẳng.