NỬA VÀNH
Các nửa vành trong tiết này cũng là nửa vành với đơn vị.
2.3.1. Định nghĩa. Giả sử I là iđêan của nửa vành R. Khi đó I được gọi là
iđêan nguyên tố nếu thỏa mãn điều kiện: Đối với các iđêan H và K của R mà HK ⊆I thì phải có hoặc H ⊆I hoặc K ⊆I.
Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của R được gọi là phổ (Spectrum) của
R và được ký hiệu bởi Spec(R).
2.3.2. Ví dụ. (Freigelstok, 1980). Giả sử Ab là nửa nhóm giao hoán đã xét
trong Ví dụ 2.2.4, thế thì {[ ]:G G là một nhóm Aben xoắn} là một iđêan trừ được nguyên tố của Ab. Hơn nữa, đối với mỗi số nguyên tố p, {[ ]:G nhóm con xoắn của G là p- chia được} là iđêan trừ được nguyên tố của Ab.
2.3.3. Mệnh đề. Giả sử I là một iđêan của nửa vành R. Khi đó các điều kiện
sau đây là tương đương: (i) I nguyên tố;
(ii) {arb r R| ∈ ⊆} I nếu và chỉ nếu a I hoặc ∈ b I ;∈
(iii) Nếu a b R thỏa mãn a b, ∈ ⊆ I thì hoặc a I hoặc ∈ b I .∈
Chứng minh. ( )i ⇒( )ii : Giả sử ,a b R∈ và đặt ' {I = arb r R| ∈ }. Nếu a I∈ hay b I∈ thì 'I ⊆I vì I là iđêan của R. Đảo lại giả sử H = a và K = b .
Chúng là các iđêan của R và 'I ⊆HK. Thật vậy, HK được chứa trong iđêan
tùy ý chứa I’. Do đó 'I ⊆I , theo (i) có H ⊆I hoặc K ⊆I . Vì a H∈ hoặc ∈
b K nên a I∈ hoặc b I∈ .
( )ii ⇒( )i : Giả sử H và K là các iđêan của R thỏa mãn HK ⊆I . Giả thiết
rằng H ⊄I và a H I∈ \ . Thế thì đối với mỗi b K∈ ta có {arb r R| ∈ ⊆} HK ⊆I và do đó theo (i), ta phải có b I∈ . Như vậy K ⊆I .
( )ii ⇔( )iii : Suy ra trực tiếp. □
2.3.4. Hệ quả. Nếu a và b là các phần tử của một nửa vành R và I là một
(i) Nếu ab I thì ∈ a I hoặc ∈ b I ;∈
(ii) Nếu ab I thì ∈ ba I .∈
Chứng minh. Rõ ràng ( )i ⇒( )ii . Đảo lại, giả thiết rằng có (ii). Nếu ab I∈ thì abr I∈ đối với tất cả r R∈ . Theo (ii), điều này kéo theo bra I∈ đối với tất cả r R∈ và do đó, theo Mệnh đề 2.3.3, a I∈ hoặc b I∈ . □
2.3.5. Hệ quả. Giả sử R là một nửa vành giao hoán và I là iđêan của R. Thế
thì I là iđêan nguyên tố nếu và chỉ nếu ab I a b R kéo theo ∈ ( , ∈ ) a I hoặc ∈ ∈
b I .
Chứng minh. Chú ý rằng, do tính giao hoán của R, ab I∈ nếu và chỉ nếu ∈
arb I đối với tất cả r R∈ . Do đó từ Hệ quả 2.3.5 được suy ra từ mệnh đề 2.2.3. □
2.3.6. Hệ quả. Mỗi iđêan nguyên tố của một nửa vành R là trừ được.
Chứng minh. Giả sử I là một iđêan nguyên tố của R và r I V R∈ ∩ ( ). Nếu ∈
r R thì ( ) ( )−a r a− +ar a( ) 0− = và do đó ( ) ( )−a r a− = −[ ( )]ar a− . Mặt khác, ( ) 0
+ − =
ara ar a nên ara= −[ ( )]ar a− . Theo tính duy nhất của nghịch đảo cộng tính, điều này kéo theo ( ) ( )−a r a− =ara I∈ đối với tất cả r R∈ , và do
đó theo Mệnh đề 2.3.3, ( )− ∈a I. □
2.3.7. Ví dụ. Giả sử R là một dàn phân phối bị chặn thế thì ( , , )R ∧ ∨ và ( , , )R ∨ ∧ là các nửa vành giao hoán. Hơn nữa, theo Hệ quả 2.3.5, I là iđêan nguyên tố của ( , , )R ∧ ∨ nếu và chỉ nếu \R I là iđêan nguyên tố của ( , , )R ∨ ∧ . Như vậy tồn tại một song ánh bảo toàn thứ tự tùy ý giữa các phổ của hai nửa vành này, được cho bởi phép lấy phần bù.
2.3.8. Định nghĩa. Một tập con khác rỗng A của nửa vành R được gọi là
một m- hệ nếu và chỉ nếu ,a b A∈ kéo theo tồn tại r R∈ sao cho arb A∈ . Từ Mệnh đề 2.3.3 trực tiếp suy ra.
2.3.9. Hệ quả. Một iđêan I của nửa vành R là nguyên tố nếu và chỉ nếu
\
2.3.10. Chú ý. Vì nửa vành R có đơn vị nhân tính nên mỗi vị nhóm con của
( ,.)R là một R- hệ. Nói riêng, ( ), ( )U R C R và IX( )R ∩C R( ) là các m−hệ. Nếu R giao hoán thì IX( )R là một m−hệ.
2.3.11. Mệnh đề. Nếu A là một m−hệ của các phần tử thuộc nửa vành R và
nếu I là iđêan của R tối đại trong tất cả các iđêan của R không giao với A thì I là nguyên tố.
Chứng minh. Giả sử H, K là các iđêan của R không được chứa trong I nhưng thỏa mãn HK ⊆I. Thế thì H I+ và K I+ chứa thực sự I và do đó có giao khác rỗng với A. Nói riêng, tồn tại các tập con hữu hạn
1 1
{ ,..., , ,..., }a a bn br của I, { ,..., }h1 hn của H và { ,..., }k1 kt của K sao cho:
a=∑{hi +ai |1≤ ≤ ∈ ∩i n} A (H I+ ) và b=∑{kj +bj |1≤ ≤ ∈ ∩j t} A (K I+ ).
Vì A là m−hệ nên tồn tại r R∈ sao cho arb A∈ . Nhưng
[ ( ) ( )]
j i j i j i i j i j
arb=∑ ∑ a rb +b rb +∑ a rk +h rk ∈ +I HK ⊆I: mâu thuẫn với giả thiết I∩ = ∅A . Như vậy I nguyên tố. □
2.3.12. Hệ quả. Iđêan tối đại tùy ý của nửa vành R là nguyên tố.
Chứng minh. Đây là hệ quả của Mệnh đề 2.3.11, Chú ý 2.3.10 và nhận xét: một iđêan là tối đại nếu và chỉ nếu nó tối đại trong tất cả các iđêan của R không giao với U(R). □
2.3.13. Mệnh đề. Mỗi iđêan nguyên tố trong một nửa vành R chứa một
iđêan nguyên tố tối tiểu.
Chứng minh. Giả sử {H ii | ∈Ω} là một chuỗi giảm các iđêan nguyên tố của R (theo nghĩa, i≥ j trong Ω nếu và chỉ nếu Hi ⊆Hj) và đặt
{ i | }
H = ∩ H i∈Ω . Thế thì H là một iđêan của R. Giả sử a và b là các phần tử thuộc R thỏa mãn {arb r R| ∈ }⊆H và giả thiết rằng a H∉ . Thế thì tồn tại một phần tử k∈Ω sao cho a H∉ k. Theo Mệnh đề 2.2.3, điều này kéo theo
k
và do đó a H∉ i. Lại theo Mệnh đề 2.3.3 điều này kéo theo b H∈ i. Như vậy
i
b H∈ đối với tất cả i∈Ω, chứng tỏ rằng b H∈ . Như vậy, theo Mệnh đề 2.3.3, H nguyên tố. Bây giờ khẳng định của Mệnh đề 2.3.13 suy ra từ việc áp dụng Bổ đề Zorn đối với đối ngẫu của tập sắp thứ tự của tất cả các iđêan nguyên tố của R được chứa trong I. □
2.3.14. Mệnh đề. Nếu I là iđêan của nửa vành R và H là iđêan của R tối
tiểu trong số các iđêan của R chứa thực sự I thì K = ∈{r R H| ⊆I} là một iđêan nguyên tố của R.
Chứng minh. Trực tiếp thử được rằng K là iđêan của R. Giả sử K’ & K’’ là các iđêan của R sao cho ' ''K K ⊆K và ''K ⊄ K. Chúng ta phải chứng tỏ rằng
'
K ⊆K . Thật vậy, vì ' ''K K ⊆ K và ''K ⊄K nên ' ''K K H ⊆I và ''K H ⊄I . Do đó I ⊂ +I K H'' ⊆H , và do tính tối tiểu của H, có I K H+ '' =H . Do đó
' ' '' '
K I K K H+ =K H ⊆H nên 'K ⊆K . □
2.3.15. Định nghĩa. Đối với mỗi iđêan I của nửa vành R giả sử ( )V I
{H Spec R I( ) | H}
= ∈ ⊆ và ( )D I = ( )V I \ ( )D I . Đặt ( )V R = ∅ và ( )R =Spec R( )
D . Thế thì ( )V I ∪V( ')I =V( ')II đối với tất cả I và 'I là các
iđêan của R và ∩{V( ) |Ik k∈Ω =} V(∑{I kk | ∈Ω}) đối với một tập hợp { |I kk ∈Ω} các iđêan của R. Do đó, Zar R( )={V( ) |I I là một iđêan của R}
{ }
∪ ∅ là một họ các tập hợp đóng đối với một tôpô trên Spec(R), được gọi là tôpô Zariski.
Từ Hệ quả 2.3.12 suy ra rằng tập hợp mSpec(R) tất cả các iđêan tối đại của nửa vành R được chứa trong tập hợp Spec(R) và do đó tôpô Zariski trên Spec(R) cảm sinh một tôpô trên mSpec(R).
Nếu a R∈ thì ta sẽ viết ( )V a và ( )D a thay cho (V a ) và (D a ) tương ứng. Chú ý rằng { ( ) |D a a R∈ } là một cơ sở các tập mở đối với tôpô Zariski. Thật vậy, nếu I là một iđêan của R thì ( )V I = ∩{ ( ) |V a a I∈ }.
2.3.16. Mệnh đề. Nếu R là một nửa vành thì Spec(R) được tôpô hóa với
tôpô Zariski, là một T0−không gian tựa compact.
Chứng minh. Trước hết, ta chú ý rằng Spec(R) là T0−không gian. Thật vậy, nếu I ⊄I' là các phần tử của Spec(R) thì ( )D I là một lân cận mở của I’
và không chứa I.
Ta chứng minh Spec(R) tựa compact. Thật vậy, giả sử { |I kk ∈Ω} là họ các iđêan của R thỏa mãn ∅ = ∩{ ( ) |V Ik k∈Ω =} V(∑Ik). Nếu I =∑Ik ≠R
thì theo Bổ đề Zorn, I được chứa trong một iđêan tối đại nào đó của R và theo Hệ quả 2.3.12, nó là nguyên tố nên thuộc vào ( )V I . Vì điều này không thể
xảy ra nên phải có I =R và do đó 1∈I . Từ đây tồn tại một tập con hữu hạn ∧ của Ω sao cho 1 {∈ ∑I kk | ∈∧} và do đó ∅ = ∩{ ( ) |V Ik k∈∧}. □
2.3.17. Định nghĩa. Một iđêan I của nửa vành R được gọi là iđêan nửa
nguyên tố nếu đối với iđêan tùy ý H của R, H2⊆I kéo theo H ⊆I .
Từ định nghĩa suy ra: mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan nửa nguyên tố.
2.3.18. Mệnh đề. Giả sử I là một iđêan của nửa vành R. Khi đó các điều
kiện sau đây tương đương: (i) I là nửa nguyên tố.
(ii) {ara r R| ∈ ⊆} I nếu và chỉ nếu a I∈ .
Chứng minh. ( )i ⇒( )ii . Giả sử a R∈ và đặt ' {I = ara r R| ∈ }. Nếu a I∈ thì 'I ⊆I vì I là iđêan của R. Đảo lại, giả thiết rằng 'I ⊆I và giả sử H là tập hợp tất cả các tổng hữu hạn của các phần tử dạng rar', trong đó , 'r r ∈R. Thế thì H là một iđêan của R và H2 gồm tất cả các tổng của các phần tử dạng
'' '
rar ar trong đó , ', ''r r r ∈R. Nói riêng, 'I ⊆H và H2 được chứa trong iđêan tùy ý chứa I’ của R và từ đó H2 ⊆I. Theo (i), điều này kéo theo H ⊆I
( )i ⇒( )ii . Giả sử H là một iđêan của R thỏa mãn H2 ⊆I và giả sử a H∈ . Thế thì {ara r R| ∈ ⊆} H2⊆I và do đó theo (ii), a I∈ . Như vậy H ⊆I . □
2.3.19. Hệ quả. Mỗi iđêan nửa nguyên tố của một nửa vành R là trừ được.
Chứng minh. Phép chứng minh tương tự như phép chứng minh Hệ quả 2.3.6. □ Một cách phát biểu khác của Mệnh đề 2.3.18 như sau: một tập con khác rỗng A của một nửa vành R là p- hệ nếu và chỉ nếu a A∈ kéo theo tồn tại
r R∈ sao cho ara R∈ . Thế thì từ Mệnh đề 2.3.18 trực tiếp suy ra:
2.3.20. Hệ quả. Một iđêan I của nửa vành R là nửa nguyên tố nếu và chỉ nếu R I là p- hệ.\
Rõ ràng một m- hệ tùy ý của nửa vành là một p- hệ, và hợp của các p- hệ là một p- hệ. Hơn nữa:
2.3.21. Mệnh đề. Một tập con khác rỗng A của một nửa vành R là một p- hệ
nếu và chỉ nếu nó là hợp của các m- hệ.
Chứng minh. Từ chú ý trên ta thấy rằng hợp của các m- hệ là một p- hệ. Đảo lại, giả sử A là một p- hệ các phần tử của R và a A∈ . Thế thì tồn tại một phần tử r0∈R sao cho a1=a r a0 0 0∈A. Tương tự, tồn tại r R1∈ sao cho
2 = 1 1 1∈
a a r a A. Tiếp tục như vậy ta xác định được một tập con
0, ,1 2...}
{
B= a a a của A. Rõ ràng B là một m- hệ, chứa a0. Như vậy A là hợp của
các m- hệ. □
2.3.22. Mệnh đề. Một iđêan I của nửa vành R là nửa nguyên tố nếu và chỉ
nếu I = ∩V( )I .
Chứng minh. Giả sử I là một iđêan nửa nguyên tố của nửa vành R và \
A R I= . Thế thì theo Mệnh đề 2.3.20, A là một p- hệ và do đó theo Mệnh đề 2.3.21, A= ∪{ |B ii ∈Ω} trong đó mỗi Bi là một m- hệ được chứa trong A. Vì
i
iđêan Ki của R tối đại theo nghĩa không giao với Bi. Theo Mệnh đề 2.3.11, mỗi Ki nguyên tố. Do đó I ⊆ ∩{K ii| ∈Ω ⊆ ∩} { \R B ii| ∈Ω =} I. Từ đó I bằng giao ∩V( )I của tất cả các iđêan nguyên tố chứa I.
Đảo lại, giả thiết rằng I = ∩V( )I . Thế thì R I\ = ∪{ |R H H\ ∈V( )I }. Theo Mệnh đề 2.3.9, mỗi \R H là một m- hệ và do đó theo Mệnh đề 2.3.21,
\
R I là một p- hệ. Do đó theo Hệ quả 2.3.10, I là một iđêan nửa nguyên tố của R. □
2.3.23. Chú ý. Như một hệ quả của Mệnh đề 2.2.22, mỗi iđêan I của nửa
vành R được chứa trong một iđêan nửa nguyên tố tối tiểu duy nhất của R, đó chính là giao ∩V( )I . Nếu I là một iđêan của nửa vành R thì iđêan nửa nguyên tố ∩V( )I của R được ký hiệu bởi VI . Iđêan V( )0 là iđêan nil dưới của R. Đối với mỗi iđêan I của R, VI là tập hợp tất cả các phần tử r R∈ sao cho mỗi
m- hệ trong R chứa r có một giao khác rỗng với I.
2.3.24. Mệnh đề. Giả sử H và I là các iđêan của nửa vành R. Thế thì
(i) I ⊆H kéo theo IV ⊆VH ; (ii) VVI =VI ;
(iii) V[I H+ ]=V V[ I +VH].
Chứng minh. (i) và (ii) là hệ quả trực tiếp của định nghĩa. Hơn nữa, theo (i) ta có I H+ ⊆VI +VH và do đó [V I H+ ]⊆V V[ I +VH]. Cũng do (i), ta lại có VI +VH ⊆V[I H+ ], và do đó bằng cách sử dụng (ii), có
[ ] [ ]
[ I + H]⊆ I H+ = I H+
V V V VV V . Như vậy có (iii). □
2.3.25. Mệnh đề. Nếu I là một iđêan của nửa vành giao hoán I thì
{ | : n }
I = ∈ ∃ ∈a R n ¢ + a ∈I
V .
Chứng minh. Đặt K = ∈ ∃ ∈{a R n| ¢+:an∈I}. Nếu ,a b K∈ thì
, +: ,
∃m n∈¢ am∈I an∈I nên bởi R giao hoán, có (a b+ )n m+ −1=∑a bi j
tự, nếu r R∈ thì ( )ra m =r am m∈I nên ra K∈ . Chú ý rằng 1∉I nên 1∉K , do đó K là iđêan của R.
Giả sử c R K∈ \ . Nếu c2∈K thì tồn tại n∈¢+ sao cho cn =( )c2 n nên
c K∈ : mâu thuẫn vậy c2∉K hay c2∈R K\ nên \R K là một p- hệ suy ra K nửa nguyên tố.
Cuối cùng, giả sử H là một iđêan nguyên tố chứa I. Nếu a K∈ thì tồn tại
n∈¢ + sao cho an∈ ⊆I H và do đó a H∈ theo Mệnh đề 2.3.3. Từ đó
K ⊆H . Điều đó chứng tỏ rằng ( )V I ⊆V( )K . Bao hàm thức ngược lại là
hiển nhiên nên ( )V I =V( )K . Vì K nửa nguyên tố, do đó K =VK =VI . □
2.3.26. Mệnh đề. Nếu I và H là các nửa iđêan của nửa vành giao hoán R thì
[ ]IH = [I ∩H]= I ∩ H
V V V V .
Chứng minh. Vì IH ⊆ ∩ ⊆I H I H, nên
[ ]IH ⊆ [I ∩H]⊆ I ∩ H
V V V V . Đảo lại, giả sử a∈VI ∩VH thế thì tồn tại
, : n , m
m n∈¢ + a ∈I a ∈H . Khi đó an m+ ∈IH và do đó a∈V[IH]. Từ đó
[ ]
I ∩ H ⊆ IH
V V V . □
2.3.27. Định nghĩa. Một iđêan I của nửa vành R được gọi là bất khả quy
nếu và chỉ nếu đối với các iđêan H và K của R thỏa mãn I = ∩H K thì hoặc
I H= hoặc I K= .
Iđêan I được gọi là iđêan bất khả quy mạnh nếu và chỉ nếu đối với các iđêan I và K của R thỏa mãn H ∩ ⊆K I thì hoặc H ⊆I hoặc K ⊆I . Rõ ràng một iđêan bất khả quy mạnh là bất khả quy.
Một tập con A của nửa vành R được gọi là một i- hệ nếu và chỉ nếu