2.2.1. Định nghĩa. Một iđêan (trái, phải) của nửa vành R gọi là iđêan tối
đại nếu và chỉ nếu nó không được chứa thực sự trong một iđêan (trái, phải)
nào khác của R.
2.2.2. Ví dụ. (1) (Slowokowki và Zawadowski, 1955): Giả sử X là một không
gian tôpô Hausdoff compact và R là nửa vành giao hoán gồm tất cả các hàm liên tục từ X vào nửa vành ¡ +. Thế thì đối với mỗi x X∈ , {f ∈R f x| ( ) 0}= là iđêan tối đại của R và tất cả các iđêan tối đại của R đều có dạng đó.
(2) (Sancho de Salas, 1987): Tập hợp R các thành phần liên thông của các tập mở bị chặn trong ¡ n là một cơ sở đối với tôpô thông thường trong ¡ n và do đó ( , , )R ∩ ∪ là một nửa vành. Nửa vành này có một iđêan tối đại duy nhất
\ ( )
R U R .
2.2.3. Mệnh đề. Mỗi iđêan (trái, phải) của một nửa vành R được chứa
trong một iđêan (trái, phải) tối đại nào đó của R.
Chứng minh. Giả sử I là một iđêan (trái, phải) của R. Nếu I là iđêan tối đại thì chứng minh hoàn thành. Nếu ngược lại, tồn tại tập khác rỗng C các iđêan (trái, phải) của R chứa thực sự I. Nếu C ‘ là một tập con được sắp thứ tự tuyến tính của C thì ∪ C ‘ là một iđêan (trái, phải) của R thuộc C. Theo bổ đề Zorn,
C có phần tử tối đại. □
2.2.4. Ví dụ. Tập hợp \{1}¥ là một iđêan tối đại của nửa vành ¥ và nó chứa tất cả các iđêan của ¥ . Chú ý rằng iđêan này không phải là iđêan chính. Tương tự, nếu Ab là nửa vành giao hoán gồm tất cả các lớp đẳng cấu của các nhóm Aben cộng tính với phép toán cho bởi [ ] [ ] [G + H = G H⊕ ], [ ][ ] [G H = G H⊗ ] thì Ab\{[ ]}¢ là iđêan tối đại của Ab' chứa tất cả các iđêan của Ab, trong đó [ ]G là tập các nhóm Aben đẳng cấu với G (Feigelstock, 1980).
2.2.5. Chú ý. Như một hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 2.2.3, ta thấy rằng một
phần tử a của nửa vành R thuộc vào mỗi iđêan tối đại của R nếu và chỉ nếu (a) là một phần tử bé của ideal(R). Thật vậy, nếu a thuộc mỗi iđêan tối đại của R và I là một iđêan tùy ý của R thì theo Mệnh đề 2.2.3, I được chứa trong một iđêan tối đại H của R và do đó ( )a + ⊆ ⊂I H R. Đảo lại, nếu (a) là phần tử bé của ideal(R) và H là một iđêan tối đại của R thì ( )a + ≠H R nên ( )a + =H H , từ đó a H∈ . □
2.2.6. Mệnh đề. Đối với một phần tử a R∈ các điều kiện sau đây là tương đương:
(i) a U R∈ ( );
(ii) a không thuộc vào iđêan một phía tối đại nào của R.
Chứng minh. Giả thiết rằng a U R∈ ( )và H là một iđêan trái tối đại của R. Nếu a H∈ thì 1=a a H−1 ∈ nên H R= : mâu thuẫn. Vậy a H∉ . Tương tự,
a H∉ với mọi iđêan phải tối đại của R.
Đảo lại, giả sử a không thuộc vào iđêan tối đại nào của R. Theo Mệnh đề 2.2.3, Ra không phải là iđêan trái của R nên Ra R= , Tương tự, aR R= . Như vậy tồn tại các phần tử b, c thuộc R sao cho ba= =1 ac. Nhưng khi đó
1 ( ) ( ) 1
b b= =b ac = ba c= =c c nên a U R∈ ( ) và b a= −1. □
2.2.7. Mệnh đề. Các điều kiện sau đây đối với một nửa vành R là tương đương:
(i) R là nửa vành Gelfand;
(ii) Mỗi iđêan một phía tối đại của R là mạnh.
Chứng minh. ( )i ⇒( )ii : Giả sử I là một iđêan tối đại của R và , 'r r là các
phần tử thuộc R thỏa mãn r r+ ∈' I và r I∉ . Thế thì H = +{a br a I b R| ∈ , ∈ } là một tập con của R đóng dưới phép cộng và phép nhân từ trái bởi các phần tử thuộc R. Do I tối đại, H không phải là iđêan của R nên phải có H R= . Do đó, tồn tại các phần tử a I∈ và b R∈ sao cho a br+ =1. Suy ra 1+br'= + +a br br'= +a b r r( + ∈') I mâu thuẫn với thực tế từ (i) có
1+br U R'∈ ( ). Như vậy r r+ ∈' I kéo theo , 'r r ∈I. Phép chứng minh đối với iđêan phải tối đại tương tự.
( )ii ⇒( )i : Theo (ii) ta có nếu r R∈ thì 1+ ∉r I đối với iđêan trái và phải tối đại tùy ý của R. Theo Mệnh đề 2.2.6, có 1+ ∈r U R( ) đối với mỗi r R∈ .□
2.2.8. Mệnh đề. Giả sử R là một nửa vành Gelfand. Thế thì:
(i) Một phần tử a R∈ bé nếu và chỉ nếu nó thuộc vào mỗi iđêan một phía tối đại của R.
(ii) Nếu R đơn và 1≠ ∈d R thì phần tử a R∈ là d- bé nếu và chỉ nếu nó thuộc vào mỗi iđêan một phía tối đại chứa d của R.
Chứng minh. (i) Giả sử a là một phần tử bé của R và H là iđêan trái tối đại của R, a H∉ . Thế thì Ra H R+ = và do đó tồn tại r R h H∈ , ∈ thỏa mãn
1
ra h+ = . Theo Mệnh đề 2.1.2, ra cũng là phần tử bé trong R nên h U R∈ ( ). Do đó 1=h h H−1 ∈ : mâu thuẫn. Như vậy a thuộc vào mỗi iđêan trái tối đại của R. Tương tự, a thuộc vào mỗi iđêan phải tối đại của R.
Đảo lại, giả thiết rằng a thuộc mỗi iđêan một phía tối đại của R. Giả sử
b R∈ thỏa mãn a b U R+ ∈ ( ) . Nếu Rb là iđêan trái của R thì theo Mệnh đề 2.2.3, Ra được chứa trong iđêan trái tối đại H của R. Nhưng khi đó a H∈ và do đó c a b H= + ∈ : mâu thuẫn vì c U R∈ ( ). Như vậy phải có Rb R= . Tương tự, bR R= nên tồn tại , 'd d ∈R sao cho bd d b= ' =1. Nhưng khi đó
( ' ) '( ) '
d= d b d d bd= =d và do đó b R∈ , chứng tỏ rằng a bé trong R.
(ii) Bây giờ giả sử rằng R đơn và 1≠ ∈d R. Giả sử a là một phần tử d- bé trong R và a H∉ , trong đó H là một iđêan tối đại của R và d H∈ . Thế thì
Ra H R+ = và do đó tồn tại r R∈ thỏa mãn ra h+ =1 .Vì a là d- bé, nên theo Mệnh đề 2.1.2 có ra cũng là phần tử d- bé. Như vậy d h+ =1 và do đó 1∈H : mâu thuẫn. Suy ra a phải thuộc H.
Đảo lại, giả thiết rằng a là một phần tử thuộc R mà nó thuộc vào mỗi iđêan trái tối đại chứa d của R. Giả sử b R∈ thỏa mãn a b+ =1. Nếu (R d b+ ) là một iđêan trái của R thì nó được chứa trong một iđêan trái tối đại H của R.
Theo Mệnh đề 2.2.7, H mạnh và do đó ,d b H∈ . Theo cách chọn của a điều này kéo theo a H∈ và do đó 1= + ∈a b H: mâu thuẫn. Từ đó phải có
( )
R d b+ =R. Nói riêng, tồn tại r aR∈ thỏa mãn (r d b+ =) 1. Thế thì 1 1= + + =d b (rd d+ +) (rd b+ +) (rb b+ = +) d b và do đó a là phần tử d- bé trong R. □
2.2.9. Định nghĩa. Một iđêan (trái, phải) I ≠{0} của một nửa vành R được gọi là tối tiểu nếu và chỉ nếu nó không chứa một iđêan (trái, phải) nào của R ngoài {0} và bản thân nó.
2.2.10. Mệnh đề. Nếu H là một iđêan trái tối tiểu của một nửa vành R và
nếu 0≠ ∈e IX( )R ∩H thì eH là nửa vành chia được với đơn vị nhân tính là e.
Chứng minh. Rõ ràng (eH, )+ là một vị nhóm giao hoán và (eH,.) là một nửa nhóm, và phép nhân trong eH phân phối đối với phép cộng. Vì He là một iđêan trái khác không của R chứa H nên phải có He H= và do đó đối với mỗi phần tử a H∈ tồn tại b H∈ thỏa mãn a be= . Từ đó ( )ea e=(ebe e e be) = ( )=ea e ae= ( ), chứng tỏ rằng e là đơn vị của (eH,.). Như vậy eH là nửa vành với đơn vị.
Nếu 0≠ ∈ea eH thì ea e a Hea= 2 ∈ và do đó Hea là một iđêan trái khác không của R được chứa trong H. Như vậy H Hea= và do đó
=
eH eHea. Nói riêng, tồn tại d H∈ thỏa mãn ( )( )eh ed =e và do đó
( ) ( )
eh ehe eh edea= = = ehed ea ea= . Như vậy eH là nửa vành chia được. □
2.2.11. Mệnh đề. Nếu I là một iđêan trái tối tiểu của R và a R∈ thì Ia là iđêan trái của R và Ia hoặc tối tiểu hoặc bằng {0}.
Chứng minh. Rõ ràng Ia là iđêan trái của R. Giả thiết rằng Ia≠{0} và chứa thực sự một iđêan trái H ≠{0} của R. Thế thì ' {H = ∈r I ra H| ∈ } là một iđêan trái của R được chứa thực sự trong I và ' {0}H ≠ : mâu thuẫn với tính tối tiểu của I. Như vậy Ia phải tối tiểu. □
2.2.12. Mệnh đề. Nếu H là một iđêan của một nửa vành R chứa một iđêan trái tối tiểu thì tổng của tất cả các iđêan trái của R được chứa trong H là một iđêan của R.
Chứng minh. Giả sử H’ là tổng của tất cả các iđêan trái tối tiểu của R được chứa trong H. Thế thì H’ là iđêan trái của R. Nếu a R∈ và nếu I là một iđêan trái tối tiểu của R được chứa trong H thì Ia⊆H và do đó theo Mệnh đề 2.2.11, Ia⊆H'. Như vậy 'H a⊆H' đối với mỗi a R∈ , chứng tỏ rằng H’ là một iđêan của R. □