Nửa môđun xạ ảnh trên nửa vành Nđịnh giá được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NHUNG NỬA MÔĐUN XẠ ẢNH TRÊN NỬA VÀNH N-ĐỊNH GIÁ ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NHUNG NỬA MÔĐUN XẠ ẢNH TRÊN NỬA VÀNH N-ĐỊNH GIÁ ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ QUỐC HÁN Nghệ An - 2013 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Những kiến thức sở nửa vành 1.2 Những kiến thức sở nửa môđun nửa vành Nửa môđun tự Nửa môđun xạ ảnh 15 2.1 Nửa môđun tự 15 2.2 Nửa môđun xạ ảnh 17 Nửa môđun xạ ảnh nửa vành N-định giá 22 3.1 Nửa vành N-định giá 22 3.2 Nửa môđun xạ ảnh nửa vành N-định giá 30 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 MỞ ĐẦU Những khảo sát khác tính tự nửa môđun xạ ảnh vành dẫn tới nhiều kết ấn tượng: Định lý Quilen - Suslin góp phần minh hoạ cho giả thuyết tiếng Serre trùng lớp môđun tự môđun xạ ảnh vành đa thức với hệ tử trường Hiện có số kết liên quan đến tính tự nửa môđun xạ ảnh nửa vành Năm 1969, P.A Grillet chứng minh nửa môđun xạ ảnh nửa vành số nguyên không âm N nửa môđun tự Năm 2002, O Sokratova chứng minh với nửa vành lũy đẳng cộng tính, giao hoán khác không tùy ý S, S-nửa môđun tự tạo thành lớp thực lớp S-nửa môđun xạ ảnh Năm 2004, Y Katsov mở rộng kết lên lớp rộng nửa vành quy cộng tính Dựa báo Projective semimodules over semirings with valuations in nonnegative intergers A Patchkoria đăng tạp chí Semigroup Forum năm 2009, tìm hiểu nửa môđun nửa vành với định giá tập số nguyên không âm N Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, hệ thống khái niệm tính chất nửa vành, nửa môđun để làm sở cho việc trình bày chương sau Chương Nửa môđun tự nửa môđun xạ ảnh Trong chương này, trình bày hai lớp nửa môđun liên quan đến nội dung luận văn, lớp nửa môđun tự lớp nửa môđun xạ ảnh Chương Nửa môđun xạ ảnh nửa vành N-định giá Trước hết, trình bày khái niệm nửa vành N-định giá chứng minh số tính chất nửa vành N-định giá Sau trình bày tính chất đáng ý nửa môđun nửa vành N-định giá được: Nếu A nửa vành N-định giá A-nửa môđun xạ ảnh tự Từ định lý suy nhiều hệ có ý nghĩa độc lập Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Lê Quốc Hán Thầy định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt trình hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo tổ Đại số khoa Toán - Trường Đại học Vinh động viên giúp đỡ tác giả trình học tập chỉnh sửa luận văn Tác giả xin cảm ơn phòng sau đại học - Trường Đại học Vinh phòng tổ chức - Trường Đại học Sài Gòn tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành khoá học Mặc dù có nhiều cố gắng chắn luận văn nhiều sai sót mong muốn nhận bảo quý báu thầy giáo, cô giáo bạn học viên Nghệ An, tháng 08 năm 2013 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Những kiến thức sở nửa vành 1.1.1 Định nghĩa Tập A khác rỗng gọi nửa vành xác định hai phép toán cộng nhân cho điều kiện sau thỏa mãn: (i) (A, +) vị nhóm với đơn vị 0; (ii) (A, ) nửa nhóm; (iii) Phép nhân phân phối phép cộng; (iv) 0.a=0=a.0, ∀a ∈ A Nửa vành A gọi nửa vành với đơn vị (A, ) vị nhóm với đơn vị = Nửa vành A gọi nửa vành giao hoán phép nhân A có tính chất giao hoán Nửa vành A gọi nửa vành bất khả đối từ a + b = kéo theo a = b = (a, b ∈ A) 1.1.2 Định nghĩa Giả sử A nửa vành Khi tập khác rỗng B A gọi nửa vành B với phép toán A cảm sinh B nửa vành Điều tương đương với ∈ B , a + b ∈ B ab ∈ B , ∀a, b ∈ B 1.1.3 Định nghĩa Giả sử A nửa vành Ký hiệu I + (A) := {a ∈ A | a + a = a} I X (A) := {a ∈ A | a2 = a} tương ứng tập hợp lũy đẳng cộng tính nhân tính A Thế A gọi nửa lũy đẳng I(A) = A, I(A) = I + (A) I X (A) Phần tử a ∈ A gọi phần tử vô hạn a + x = a, ∀a ∈ A, ∀x ∈ A Nếu A có phần tử vô hạn nửa vành A phần tử vô hạn phải Thật vậy, giả sử a, a’ hai phần tử vô hạn A a = a + a = a +a = a Nếu A có đơn vị phần tử vô hạn, 0+1 = = Nửa vành A gọi nửa vành đơn phần tử vô hạn, nghĩa + a = 1, ∀a ∈ R Giả sử A nửa vành đơn Khi + = nên a + a = a, ∀a ∈ A, nghĩa A nửa vành lũy đẳng cộng tính Đảo lại, A nửa vành luỹ đẳng cộng tính tập hợp B = { a ∈ A |a+1=1} nửa vành A A nửa vành đơn B = A Giả sử A nửa vành tùy ý Ký hiệu: P (A) := {0} ∪ {a + | a ∈ A} Thế P(A) nửa vành A Theo nhận xét trên, A nửa vành đơn P (A) = {0, 1} 1.1.4 Ví dụ Tập hợp N số nguyên không âm với phép toán cộng phép nhân số thông thường nửa vành giao hoán, bất khả đối không lũy đẳng cộng tính Cùng cấu trúc nửa vành Q+ tất số hữu tỷ không âm, nửa vành R+ tất số thực không âm Ta nêu lên nửa vành hữu hạn mà vành Với số nguyên dương n xét tập hợp Xn := {−∞, 0, 1, , n} gồm n + phần tử, với giả thiết −∞ ≤ i (−∞) + i = −∞, ∀i ∈ Xn Định nghĩa phép cộng phép nhân Xn bởi: i + h = max{i, h}, ih = min{i + h, n} Xn nửa vành giao hoán bất khả đối nên vành (Smith, 1996) 1.1.5 Chú ý Giữa lý thuyết dàn lý thuyết nửa vành có mối liên quan chặt chẽ với Giả sử (A, ∨, ∧) nửa dàn phân phối giới nội có phần tử nhỏ nhất phần tử lớn nhất A nửa vành đơn lũy đẳng giao hoán với phép toán A cho a + b = a ∨ b, ab = a ∧ b Thực ra, tính chất đặc trưng dàn phân phối giới nội: Nếu A nửa vành giao hoán lũy đẳng, (A, +, ) dàn phân phối giới nội phần tử nhỏ phần tử lớn Đặc trưng dàn phân phối giới nội sau: (A, ∨, ∧) dàn phân phối giới nội có phần tử nhỏ nhất phần tử lớn nhất nửa vành lũy đẳng a ∧ (a ∨ b) = a ∨ (a ∧ b), ∀a, b ∈ A Vì dàn đối ngẫu dàn phân phối dàn phân phối, nên (A, ∧, ∨) nửa vành đơn, giao hoán lũy đẳng 1.1.6 Định nghĩa Một gian dàn đầy đủ mà giao phân phối hợp tùy ý Ví dụ đơn giản gian B = {0, 1} Nửa vành xây dựng từ gian B = {0, 1} gọi nửa vành Bun Chú ý cấu trúc nửa vành Bun khác với cấu trúc nửa vành Z2 , B có + = 1, Z2 có + = 1.1.7 Định nghĩa (i) Giả sử A nửa vành a ∈ A, a = Khi a gọi ước không bên phải (bên trái) tồn phần tử b ∈ A, b = cho ab = (tương ứng ba = 0) Phần tử a ∈ A, a = gọi ước không vừa ước không bên phải, vừa ước không bên trái (ii) Nửa vành A gọi nguyên A ước không 1.1.8 Tích trực tiếp Giả sử {Ai | i ∈ I} họ nửa vành Thế tích trực tiếp A = Ai có cấu trúc nửa vành với phép toán cộng nhân i∈I theo thành phần: (ai )i∈I + (bi )i∈I = (ai + bi )i∈I ; (ai )i∈I (bi )i∈I = (ai bi )i∈I Rõ ràng nửa vành A lũy đẳng cộng tính (bất khả đối, đơn) nửa vành Ai lũy đẳng cộng tính (tương ứng: bất khả đối, đơn) 1.1.9 Chú ý Nếu S = A nửa vành As nửa vành, gọi nửa vành tập S nhân giá trị A Tên gọi xuất phát từ thực tế sau: Mỗi tập T S xác định hàm đặc trưng χt ∈ T s cho χt = s ∈ T χt (s) = với s ∈ S \ T Như T s đồng tắc với nửa vành sub(s) tất tập S Nếu f ∈ As giá trị f supp(f ) = {a ∈ A | f (a) = 0} Giả sử S tập vô hạn A nửa vành, tập {f ∈ As | f có giá hữu hạn} nửa vành As không chứa đơn vị phép nhân Nếu A nửa vành nguyên bất khả đối tập {0} = ∪{f ∈ As | f ∈ S \ supp(f ) hữu hạn} nửa vành As 1.2 Những kiến thức sở nửa môđun nửa vành 1.2.1 Định nghĩa Giả sử A nửa vành với đơn vị Khi vị nhóm cộng giao hoán (X, +) gọi A-nửa môđun trái xác định phép nhân vô hướng A × X → X , (a, x) → ax thỏa mãn điều kiện sau a, a ∈ A x, y ∈ X : (i) (aa )x = a(a x); (ii) a(x + y) = ax + ay ; (iii) (a + a )x = ax + a x; (iv) 1x = x; (v) a0 = 0a = 0, đơn vị vị nhóm cộng X Nửa môđun phải định nghĩa tương tự Từ sau, làm việc với nửa môđun trái, kết tương ứng nửa môđun phải thừa nhận mà không cần nhắc đến 1.2.2 Định nghĩa Giả sử A B nửa vành Thế (X, +) gọi (A,B)-song nửa môđun (X, +) vừa A-nửa môđun trái đồng thời B-nửa môđun phải thỏa mãn điều kiện bổ sung (ax)b = a(xb), ∀a ∈ A, ∀b ∈ B 1.2.3 Định nghĩa Giả sử X A-nửa môđun x ∈ X Nếu tồn x ∈ X cho x + x = x gọi nghịch đảo cộng tính x Ký hiệu V (X) = {x ∈ X | ∃x ∈ X : x + x = 0} Vì ∈ V (X) nên V (X) = Một A-nửa môđun gọi bất khả đối V (X) = {0} Rõ ràng A vành X A-nửa môđun X A-môđun V (X) = X 1.2.4 Định nghĩa Giả sử X A-nửa môđun Y tập khác rỗng X Khi Y gọi nửa môđun X Y đóng phép cộng phép nhân vô hướng, nghĩa là: ∀x, y ∈ Y , ∀a ∈ A có x + y ∈ Y ax ∈ Y Giả sử X A-nửa môđun Trên tập hợp nửa môđun X ta thứ tự theo quan hệ bao hàm Tập thứ tự môđun X ký hiệu ssm(X) Một nguyên tử ssm(X) môđun tối tiểu X 1.2.5 Chú ý Giả sử X A-nửa môđun Y nửa môđun CHƯƠNG NỬA MÔĐUN XẠ ẢNH TRÊN NỬA VÀNH N-ĐỊNH GIÁ ĐƯỢC 3.1 Nửa vành N-định giá Trước hết, xin nhắc lại số khái niệm ký hiệu sử dụng chương Giả sử X vị nhóm, tập hợp tất phần tử khả nghịch X ký hiệu U(X) Nếu A nửa vành U(A, +, 0) nhóm tất phần tử khả nghịch phép cộng A U(A) nhóm tất phần tử khả nghịch phép nhân A, ý A∗ = A\{0} Sau số kết quen thuộc sử dụng chương (xem [8], trang 2) Kết 1.Giả sử A nửa vành ước không F A-nửa môđun tự Nếu λx = 0, λ ∈ A, x ∈ F λ = x = Kết 2.Giả sử A nửa vành ước không với U (A, +, 0) = Nếu λ1 , λ2 , , λn ; λ1 , λ2 , , λn phần tử khác không A λ1 λ1 + λ2 λ2 + + λn λn = Kết Giả thiết A nửa vành M vị nhóm nhân tùy ý A[M ] A-nửa môđun tự sinh phần tử x ∈ M gồm tất tổng hữu hạn tích x∈M λx x với hệ tử λx ∈ A Tích M cảm sinh 23 λx x x∈M λy y = y∈M (λx λy )xy x,y∈M Khi A[M ] trở thành nửa vành, gọi “nửa vành vị nhóm M với hệ tử nửa vành A” 3.1.1 Mệnh đề Giả sử M vị nhóm A nửa vành với U (A, +, 0) = ước không Thế phần tử w nửa vành A[M ] khả nghịch phép nhân w = λx, λ ∈ U (A) x ∈ U (M ) Chứng minh Giả thiết w.w = = w w với w ∈ A[M ] Nếu biểu diễn w, w theo A - sở M: m λi xi , λi = 0, i = 1, , m, w = λ1 x1 + λ2 x2 + + λm xm = i=1 n w = λ1 y1 + λ2 y2 + + λn yn = j=1 λj yj , λj = 0, j = 1, , n Thế theo kết 2, có xi yj = = yj xi , i = 1, , m, j = 1, , n Do m = n = Tập N tất số nguyên không âm với phép cộng nhân số thông thường nửa vành Hơn nữa, N-nửa môđun X vị nhóm giao hoán 3.1.2 Định nghĩa Giả sử A nửa vành Một hàm v : A → N gọi N-định giá (trái) A điều kiện sau thỏa mãn: (i) Nếu λ = v(λ + λ ) > v(λ ); (ii) Nếu λ = 0, λ = λ ∈ / U (A) v(λλ ) > v(λ ); (iii) Nếu λ ∈ U (A) v(λλ ) = v(λ ), ∀λ ∈ A Nửa vành với N-định giá gọi nửa vành N-định giá Chú ý từ định nghĩa 3.1.2 trực tiếp suy v(λ) = kéo theo λ = v(λ) = kéo theo λ ∈ U (A) Hơn nữa, v không cần thỏa mãn điều kiện v(0) = hay v(λ) = với λ ∈ U (A) Cũng cần ý nửa 24 vành thừa nhận N-định giá phần tử khả nghịch trái (hay phải) phép nhân thực chất khả nghịch hai phía phép nhân 3.1.3 Mệnh đề Giả sử A nửa vành N-định giá Thế thì: (i) U (A, +, 0) = (ii) A nửa vành ước không (iii) Nếu λ + λ = 1, λ, λ ∈ A λ = λ = (iv) A\U (A) iđêan hai phía A, nghĩa A nửa vành địa phương Chứng minh (i) Giả thiết U (A, +, 0) = Khi tồn λ, λ ∈ A∗ (A∗ = A \ {0}) cho λ + λ = Thế v(0) = v(λ + λ ) > v(λ ) = v(λ + 0) > v(0): mâu thuẫn Vậy U (A, +, 0) = (ii) Giả thiết λλ = với λ, λ ∈ A∗ Thế v(0) = v(λλ ) > v(λ ) = v(λ +0) > v(0) : mâu thuẫn Vậy A vành ước không (iii) Giả sử λ + λ = với λ, λ ∈ A∗ Thế v(1) = v(λ + λ ) > v(λ ) = v(λ 1) ≥ v(1): mâu thuẫn Vậy λ + λ = 1, λ, λ ∈ A, kéo theo λ = λ = (iv) Chỉ cần chứng tỏ J = A\U (A) iđêan trái A (thật vậy, giả thiết J iđêan trái A Giả sử α ∈ J, β ∈ A αβ ∈ / J Thế αβγ = βγ ∈ / J với γ ∈ A đó; từ α ∈ U (A): mâu thuẫn với α ∈ J = A\U (A) Như J iđêan hai phía A) Giả sử λ1 , λ2 ∈ J λ1 + λ2 ∈ / J Thế tồn λ ∈ U (A) cho (λ1 + λ2 )λ = hay λ1 λ + λ2 λ = Theo (iii), λ1 λ = λ2 λ = Từ λ2 λ = λ1 λ = 1, nên λ2 ∈ U (A) λ1 ∈ U (A): mâu thuẫn với λ1 λ2 ∈ J = A\U (A) Như J vị nhóm vị nhóm (A, +, 0) Bây giờ, giả thiết ρ ∈ A, w ∈ J ρw ∈ / J , nghĩa ρw ∈ U (A) Khi v(1) = v(ρw.1) = v(ρw) > v(w) = v(w.1) > v(1): mâu thuẫn Vậy J iđêan trái A 25 3.1.4 Chú ý Kết sau biết từ lâu: Tất môđun xạ ảnh vành địa phương môđun tự Kết luận không cho nửa môđun xạ ảnh nửa vành địa phương (chú ý: vành (nửa vành) A gọi vành (nửa vành) địa phương A có iđêan tối đại nhất) Thật vây, giả sử M vị nhóm với hai phần tử lũy đẳng, nghĩa M = {1, x} với 1.x = x.1 = x.x 1.1 = Nửa vành vị nhóm N[M ] nửa vành N-định giá (Nếu v : N[M ] → N định giá, v(x) = v(x.x) > v(x) : mâu thuẫn) Tuy nhiên, theo Mệnh đề 3.1.3, N[M ] nửa vành địa phương (Hơn nữa, (i), (ii) (iii) Định nghĩa 3.1.2 thỏa mãn N[M ]) Rõ ràng, Nx N[M ]-nửa môđun N[M ], π : N[M ] → Nx, m + nx → (m + n)x, ∀m, n ∈ N N[M ]-đồng cấu Do đó, π(nx) = nx, ∀n ∈ N, nên Nx N[M ]-nửa môđun xạ ảnh hữu hạn sinh Tuy nhiên, rõ ràng Nx N[M ]-nửa môđun tự (xem [4], trang 4) 3.1.5 Ví dụ Nửa vành N N-định giá cách hiển nhiên vo : N → N, n → n hàm đồng N Hơn nữa, hàm v : N → N N-định giá v hàm tăng chặt (nghĩa từ n > m v(n) > v(m)) Giả sử R trường số thực Đặt A := {0, 1} ∪ {r ∈ R | r ≥ 2} Thế A nửa vành R, hàm nguyên lớn [ ] : A → N N-định giá Đối với nửa vành A tùy ý, A = {(λ, n) ∈ A × N | n ≥ 2} ∪ {(λ, 1) ∈ A × N | λ ∈ U (A)} ∪ {(0, 0)} nửa vành N-định giá nửa vành A × N Thật vậy, hàm v : A −→ N, (λ, n) → n N-định giá Từ kết sau suy nhiều ví dụ nửa vành N-định 26 giá 3.1.6 Mệnh đề Giả sử A nửa vành định giá ϕ : A → A đồng cấu nửa vành thỏa mãn điều kiện Ker(ϕ) = ϕ−1 (U (A)) = U (A ) Thế A’ nửa vành N-định giá Chứng minh Trước Ker(ϕ) = {λ ∈ A | ϕ(λ ) = 0A } Hơn nữa, v : A → N N-định giá v ◦ ϕ : A → N, λ → v[ϕ(λ )] N-định giá (Kiểm tra trực Định nghĩa 3.1.2) 3.1.7 Hệ Giả sử D tập hợp, S nửa vành A nửa vành N-định giá S, L nửa vành nửa vành tất hàm từ D vào S (với phép cộng phép nhân ánh xạ thông thường), giả sử a ∈ D Ký hiệu L1 = {f ∈ L | f (a) ∈ A\(U (A) ∪ {0A })}; L2 = {f ∈ U (L) | f (a) ∈ U (A)} ∪ {0L } Thế L = L1 ∪ L2 nửa vành N-định giá Chứng minh Bằng cách sử dụng Mệnh đề 3.1.3, kiểm tra L’ nửa vành nửa vành L Hơn nữa, p : L → A xác định p(f ) = f (a) đồng cấu nửa vành với Ker(p) = 0L p−1 (U (A)) = U (L ) Từ đó, theo Mệnh đề 3.1.6, L’ nửa vành N-định giá 3.1.8 Ví dụ Giả thiết H nửa vành nửa vành tất hàm giá trị phức xác định tập hợp D Thế theo Ví dụ 3.1.5(mục 2) Hệ 3.1.7, a ∈ D, A nửa vành N-định giá H Ở đây, A = A1 ∪ A2 ∪ {0H }, A1 = {f ∈ H | f (a) ∈ [2; +∞)}; A2 = {f ∈ U (H) | f (a) = 1} 27 3.1.9 Định nghĩa Vị nhóm M gọi N-định giá tồn hàm r : M → N (được gọi hàm N-định giá (trái) M) cho hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) r(xy) > r(y), ∀x ∈ M \U (M ), ∀y ∈ M ; (ii) r(xy) = r(y), ∀x ∈ U (M ), ∀y ∈ M 3.1.10 Ví dụ Nhóm G tùy ý N-định giá cách tự nhiên hàm định giá r : G → N; r(g) = (∀g ∈ G) Giả sử F (T ) vị nhóm tự tập hợp T Hàm bậc deg : F (T ) → N gắn x ∈ F (T ) với bậc (chú ý vị nhóm tự tùy ý có sở nhất) hàm N-định giá Hơn nữa, thu hẹp deg tới vị nhóm tùy ý F (T ) hàm N-định giá Tương tự, vị nhóm giao hoán tự vị nhóm chúng vị nhóm N-định giá Nếu ψ : M → M đồng cấu vị nhóm với ψ −1 (U (M )) = U (M ) M N-định giá được, theo Mệnh đề 3.1.6, M’ nửa vành N-định giá Điều chứng tỏ Ví dụ 3.1.10 cho phép tìm ví dụ vị nhóm N-định giá Trước hết ta nhắc lại khái niệm nửa vành vị nhóm Giả sử A nửa vành (M, +) vị nhóm cộng Gọi T tập hợp ánh xạ từ M vào A với hữu hạn giá trị khác không T = {f : M → A | f (m) = 0A với hữu hạn m ∈ M } Trên T xác định phép cộng phép nhân cho (f + g)(m) = f (m) + g(m) (f g)(m) = f (m1 )g(m2 ) m1 +m2 tổng chạy qua tất cặp (m1 , m2 ) ký hiệu m1 +m2 M cho m1 + m2 = m, hiểu (f g)(m) = 0A m không biểu thị dạng m1 + m2 với m1 , m2 ∈ M 28 Thế T với hai phép toán nửa vành, gọi nửa vành vị nhóm M A, ký hiệu A[M ] 3.1.11 Mệnh đề Giả sử A nửa vành M vị nhóm Nếu A M N-định giá nửa vành vị nhóm A[M] N-định giá Chứng minh Giả sử v r hàm N-định giá A M tương ứng Định nghĩa hàm u : A[M ] → N u( λx x) = v( x∈M λx ) x∈M Theo Định nghĩa 3.1.2 Mệnh đề 3.1.3 (i), có u(a + b) > u(b), ∀a ∈ (A[M ])∗ , ∀b ∈ A[M ]; (1) u(λb) > u(b), ∀λ ∈ A \ (U (A) ∪ {0}), ∀b ∈ (A[M ])∗ ; (2) u(λb) = u(b), ∀λ ∈ U (A), ∀b ∈ A[M ] (3) Mặt khác, theo định nghĩa u, u(xb) = u(b), ∀x ∈ M, ∀b ∈ A[M ] (4) Bây xác định hàm s : A[M ] → N sau: s( λx x) = max{r(x) | λx = 0} x∈M λx x = ; s(0) = x∈M Theo Định nghĩa 3.1.2 Mệnh đề 3.1.3 (ii), (iii) có s(a + b) s(b), ∀a, b ∈ A[M ]; (5) s(xb) > s(b), ∀x ∈ M \ U (M ), b ∈ (A[M ])∗ ; (6) s(xb) = s(b), ∀x ∈ U (M ), ∀b ∈ A[M ]; (7) s(λb) = s(b), ∀λ ∈ A∗ , ∀b ∈ A[M ] (8) Mục đích chứng minh w = u + s : A[M ] → N hàm N-định giá nửa vành A[M] Từ (1) (5) suy w(a + b) > w(b), ∀a ∈ [A(M )]∗ , ∀b ∈ A[M ], (9) 29 nghĩa Điều kiện 3.1.2(i) với w Giả sử λ ∈ A, x ∈ M, λx ∈ U (A[M ]) b ∈ A[M ]) Từ Mệnh đề 3.1.3 suy λ ∈ U (A) x ∈ U (M ) Điều với (3), (4), (7) (8) nhận w(λx.b) = u(λx.b) + s(λx.b) = u(λ(x.b)) + s(λ(x.b)) = u(x.b) + s(x.b) = u(b) + s(b) = w(b) Như w(λx.b) = w(b), ∀λ ∈ A, ∀x ∈ M với λx ∈ U (A[M ]) ∀b ∈ A[M ] (10) Từ theo Mệnh đề 3.1.1 suy w thoả mãn điều kiện 3.1.2 (iii) Để chứng tỏ w thoả mãn điều kiện 3.1.2(ii), ta giả thiết λ ∈ A, x ∈ M, b ∈ A[M ], λ = 0, b = λx ∈ / U (A[M ]) Từ điều kiện cuối suy λ ∈ / U (A) x ∈ / U (M ) Do theo (2), (3), (4), (6), (7) (8), có w(λx.b) = u(λx.b) + s(λx.b) = u(x.λb) + s(λ(x.b)) = u(λb) + s(x.b) > u(b) + s(b) = w(b) Như w(λx.b) > w(b), ∀λ ∈ A∗ , x ∈ M với λx ∈ / U (A[M ]), ∀b ∈ (A[M ])∗ (11) Bây giả thiết a, b ∈ A[M ], a = 0, b = a ∈ / U (A[M ]) Biểu diễn a theo A - sở M: a = λ1 x1 + + λn xn ; λ1 , , λn ∈ A∗ ; x1 , , xn ∈ M Nếu n = theo (11), w(ab) > w(b) Giả thiết n > Vì U (A, +, 0) = (theo Mệnh đề 3.1.3(i)) A ước không (theo Mệnh đề 3.1.3(ii)), có λi xj b = 0, ∀j = 1, 2, , n Sử dụng kết (9), (10), (11) nhận w(ab) = w(λ1 x1 b+ +λn xn b) > w(λ2 x2 b+ +λn xn b) > > w(λn xn b) > w(b) N hư vậy, w thoả mãn điều kiện 3.1.2(ii) Từ Ví dụ 3.1.10 Mệnh đề 3.1.11 suy hệ sau 30 3.1.12 Hệ Giả sử A nửa vành N-định giá G nhóm tuỳ ý Thế A[G] nửa vành N-định giá 3.1.13 Hệ Giả sử A nửa vành N-định giá E vị nhóm vị nhóm tự do, vị nhóm vị nhóm giao hoán tự Thế A[E] nửa vành N-định giá 3.2 Nửa môđun xạ ảnh nửa vành N-định giá Chúng ta bắt đầu mục với nhận xét sau: 3.2.1 Bổ đề Giả sử A nửa vành với hàm N-định giá v : A → N, giả sử F(T) A-nửa môđun tự tập T Thế l : F (T ) → N, λt t → v( t∈T λt ) thoả mãn điều kiện sau: t∈T (i) l(a + b) > l(b), ∀a ∈ F (T )\{0}, ∀b ∈ F (T ); (ii) l(λb) > l(b), ∀λ ∈ A\(U (A) ∪ {0}), ∀b ∈ F (T )\{0}; (iii) l(λb) = l(b), ∀λ ∈ U (A), ∀b ∈ F (T ) (Xem phép chứng minh Mệnh đề 3.1.11) Như vậy, l hàm định giá A-nửa môđun F(T) Như Hệ trực tiếp (i), (ii), (iii), có: (iv) Nếu a = λ1 a1 + + λm am ; λ1 , , λm ∈ A; a1 , , am ∈ F (T ), m > λ1 a1 = 0, , λm am = 0, l(a) > l(aj ), j = 1, 2, , m Bây phát biểu chứng minh kết chương phát biểu số hệ 3.2.2 Định lý Nếu A nửa vành N-định giá A-nửa môđun xạ ảnh A-nửa môđun tự Chứng minh Giả sử P A-nửa môđun xạ ảnh không tầm thường Vì A-nửa môđun xạ ảnh tuỳ ý co rút A-nửa môđun tự nên ta có biểu đồ 31 π j F (T ) → − P → − F (T ) F(T) A-nửa môđun tự tập hợp T, π j A-đồng cấu thoả mãn π ◦ j = 1p (1p tự đẳng cấu đồng P) Ngoài ta giả thiết j phép bao hàm π(t) = 0, ∀t ∈ T Chúng ta chứng tỏ tập hợp S = {s ∈ T | ∃t ∈ T, λ ∈ U (A) : s = λπ(t)} A-cơ sở P Rõ ràng, S ⊂ T π(t) tập hợp A-phần tử sinh A-nửa môđun P, nên cần chứng minh t ∈ T tuỳ λts s với λts ∈ A ý, π(t) = s∈S Vì A nửa vành N-định giá được, nên theo ý ta có hàm l : F (T ) → N thoả mãn điều kiện (i)-(iv) Bổ đề 3.2.1 Hàm l tập hợp π(T ) xác định dãy (hữu hạn vô hạn) tăng ngặt n1 < n2 < < nk < nk+1 < số nguyên sau Số nguyên dương n thành phần dãy tồn t ∈ T cho l(π(t)) = n (Theo Bổ đề 3.2.1(i), có l(a) > a = 0) Tiếp theo, t ∈ T tuỳ ý, ta biểu diễn π(t) theo A-cơ sở T: π(t) = λt1 t1 + + λtm tm ; λt1 , , λtm ∈ A∗ ; t1 , , tm ∈ T (1) Áp dụng π cho kết cách sử dụng Mệnh đề 3.1.3(ii) Kết (mục 3.1), nhận π(t) = λt1 π(t1 ) + + λtm π(tm ); λt1 π(t1 ), , λtm π(tm ) = (2) Giả sử (1) biểu diễn π(t) với l(π(t)) = n1 Thế m = λt1 ∈ U (A) Thật vậy, m > hay λt1 ∈ / U (A), ta nhận được, theo (2) Bổ đề 3.2.1(ii) (iv), n1 = l(π(t)) > l(π(t1 )) : mâu thuẫn với n1 = min{l(π(t)) | t ∈ T } 32 Như vậy, l(π(t)) = n1 π(t) = λs, λ ∈ U (A), s ∈ S Điều gợi ý cho ta tiếp tục chứng minh quy nạp theo k Giả thiết t ∈ T λts s, giả sử (1) biểu diễn π(t) tuỳ ý số l(π(t)) ≤ nk có π(t) = s∈S với l(π(t)) = nk+1 Nếu m = λt1 ∈ U (A), π(t) = λs λ = λt1 s = t1 ∈ S , Giả thiết m > hay λt1 ∈ / U (A) Thế từ (2) Bổ đề 3.2.1(ii) (iv) suy l(π(t)) > l(π(tj ), j = 1, 2, , m Nghĩa l(π(tj )) ≤ nk , j = 1, 2, , m Từ theo giả thiết quy nạp, π(tj ) = m j = 1, 2, , m Do đó, π(t) = j=1 λts s, λts = s∈S n j=1 λtj π(tj ), ta có π(t) = m ( s∈S j=1 (j) λs s; s∈S (j) λtj λs )s = (j) λtj λs ∈ A Từ Ví dụ 3.1.5 Định lý 3.2.2 trực tiếp suy 3.2.3 Hệ N-nửa môđun xạ ảnh tuỳ ý (nghĩa vị nhóm giao hoán xạ ảnh tuỳ ý) tự Từ Mệnh đề 3.1.11 Định lý 3.2.2 suy 3.2.4 Hệ Nếu A nửa vành N-định giá M vị nhóm N-định giá được, A[M ]-nửa môđun xạ ảnh tuỳ ý tự Từ Định lý 3.2.2 Hệ 3.1.12 suy 3.2.5 Hệ Giả sử A nửa vành N-định giá G vị nhóm tuỳ ý Thế A[G]-nửa môđun xạ ảnh tuỳ ý tự Nói riêng, ta có: 3.2.6 Hệ Với nhóm G cho trước, N[G]-nửa môđun xạ ảnh tuỳ ý tự Từ Định lý 3.2.2 Hệ 3.1.13, suy ra: 3.2.7 Hệ Giả sử A nửa vành N-định giá E vị nhóm vị nhóm tự do, vị nhóm vị nhóm giao 33 hoán tự Thế A[E]-nửa môđun xạ ảnh tuỳ ý tự Như trường hợp đặc biệt Hệ 3.2.7, ta có 3.2.8 Hệ Đối với nửa vành N-định giá tuỳ ý A, lớp nửa môđun tự xạ ảnh nửa vành đa thức A[x1 , , xn ] trùng Nói riêng, tất N[x1 , , xn ]-nửa môđun xạ ảnh tự KẾT LUẬN Qua Luận văn, hoàn thành vấn đề sau: Trình bày khái niệm tính chất sở nửa vành, nửa môđun nửa vành, nửa môđun tự nửa môđun xạ ảnh Trình bày khái niệm nửa vành N-định giá số tính chất (Mệnh đề 3.1.3, Mệnh đề 3.1.6) Trình bày khái niệm vị nhóm N-định giá chứng minh chi tiết kết quả: Nếu A M tương ứng nửa vành vị nhóm N-định giá nửa vành vị nhóm A[M ] N-định giá được(Mệnh đề 3.1.11) Trình bày khái niệm nửa môđun nửa vành N-định giá chứng minh chi tiết kết quả: Mọi nửa môđun xạ ảnh nửa vành N-định giá môđun tự (Định lý 3.2.2) TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Quốc Hán (2009), Bài giảng đại số đại, Trường Đại học Vinh [2] Trần Giang Nam (2011), Tính đơn đặc trưng đồng điều nửa vành, Luận án tiến sĩ, Trường Đại học Vinh [3] Đỗ Phú Quốc (2011), Một số lớp nửa môđun nửa vành, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh [4] J S Golan (1992), The theory semirings with applications in mathematics and theoretical computer science, Longman Scientific Technical complished in the United States with John and Sons Ins New Yorks [5] J S Golan (1999), Semirings and their applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [6] P A Grillet (1969), On free commutative semigroups, J Natur Sci Math 9, 71-78 [7] Y Katsov (2004), Toward homological characterization of semirings: Serre’s conjecture and Bass’s perfectness in a semirings context, Algebra Univers 52, 197-214 36 [8] A Patchkoria (2009), Projective semimodules over semirings with valutations in nonnegative intergers, Semigroup Forum, Puslished online of April 2009 [9] O Sokratova (2002), On semimodules over commutative, additively idempotent semirings, Semigroup Forum 64, 1-11 [...]... các lớp nửa môđun tự do và xạ ảnh trên nửa vành đa thức A[x1 , , xn ] trùng nhau Nói riêng, tất cả các N[x1 , , xn ] -nửa môđun xạ ảnh là tự do KẾT LUẬN Qua bản Luận văn, chúng tôi đã hoàn thành được những vấn đề sau: 1 Trình bày các khái niệm và tính chất cơ sở của nửa vành, nửa môđun trên nửa vành, nửa môđun tự do và nửa môđun xạ ảnh 2 Trình bày khái niệm nửa vành N-định giá được và một số tính chất... 3.1.6) 3 Trình bày khái niệm vị nhóm N-định giá được và chứng minh chi tiết kết quả: Nếu A và M tương ứng là nửa vành và vị nhóm N-định giá được thì nửa vành vị nhóm A[M ] cũng N-định giá được( Mệnh đề 3.1.11) 4 Trình bày khái niệm nửa môđun trên nửa vành N-định giá được và chứng minh chi tiết kết quả: Mọi nửa môđun xạ ảnh trên nửa vành N-định giá được là môđun tự do (Định lý 3.2.2) TÀI LIỆU THAM KHẢO... các môđun xạ ảnh trên vành địa phương là môđun tự do Kết luận này không đúng cho nửa môđun xạ ảnh trên nửa vành địa phương (chú ý: vành (nửa vành) A được gọi là vành (nửa vành) địa phương nếu A chỉ có một iđêan tối đại duy nhất) Thật vây, giả sử M là một vị nhóm với hai phần tử lũy đẳng, nghĩa là M = {1, x} với 1.x = x.1 = x.x và 1.1 = 1 Nửa vành vị nhóm N[M ] không phải là nửa vành N-định giá được. .. 3.2.3 Hệ quả N -nửa môđun xạ ảnh tuỳ ý (nghĩa là vị nhóm giao hoán xạ ảnh tuỳ ý) là tự do Từ Mệnh đề 3.1.11 và Định lý 3.2.2 suy ra 3.2.4 Hệ quả Nếu A là nửa vành N-định giá được và M là vị nhóm N-định giá được, thế thì A[M ] -nửa môđun xạ ảnh tuỳ ý là tự do Từ Định lý 3.2.2 và Hệ quả 3.1.12 suy ra 3.2.5 Hệ quả Giả sử A là nửa vành N-định giá được và G là vị nhóm tuỳ ý Thế thì A[G] -nửa môđun xạ ảnh tuỳ ý... là A -nửa môđun trái và {Xi | i ∈ I} là họ các nửa môđun con của X Thế thì ∩{Xi | i ∈ I} là một nửa môđun con của 11 nửa môđun X và là nửa môđun con lớn nhất của X chứa trong mỗi Xi Nói riêng, nếu S là một tập con của A -nửa môđun trái X thì giao tất cả các nửa môđun con của X chứa S là một nửa môđun con của X Đó là nửa môđun con nhỏ nhất của X chứa S, và được gọi là nửa môđun con sinh bởi S Nửa môđun. .. cũng được thỏa mãn nên P là môđun xạ ảnh 2.2.8 Hệ quả Cái co rút tùy ý của một R -nửa môđun xạ ảnh là xạ ảnh Chứng minh Điều này suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.2.7 2.2.9 Ví dụ Giả sử R là một nửa vành và I + (R) = {r ∈ R | r + r = r} là nửa môđun con lũy đẳng của R, được xét như một nửa môđun trái trên chính nó Nếu nửa môđun trên R là chính quy cộng tính (nghĩa là ∀r ∈ R, ∃r ∈ R : r + r = r) thì ánh xạ. .. sự N-định giá 3 Đối với nửa vành A tùy ý, A = {(λ, n) ∈ A × N | n ≥ 2} ∪ {(λ, 1) ∈ A × N | λ ∈ U (A)} ∪ {(0, 0)} là một nửa vành con N-định giá được của nửa vành A × N Thật vậy, hàm v : A −→ N, (λ, n) → n là một sự N-định giá Từ kết quả sau đây có thể suy ra được nhiều ví dụ về các nửa vành N-định 26 giá được 3.1.6 Mệnh đề Giả sử A là nửa vành định giá được và ϕ : A → A là một đồng cấu nửa vành thỏa... một cơ sở trên R được gọi là một R -nửa môđun tự do 2.1.3 Chú ý Nếu R là một vành và M là R -môđun trái, thì từ định nghĩa trên quy về định nghĩa thông thường của môđun tự do Vì không phải mỗi môđun trên một vành là tự do, nên từ đó suy ra không phải mỗi nửa môđun trên nửa vành là tự do Từ Định nghĩa 2.1.2 trực tiếp nhận được 2.1.4 Hệ quả Mỗi R -nửa môđun trái tự do R-đẳng cấu với một R -nửa môđun R(A)... → M bởi β = θi βi và βi = đó P là R -nửa môđun xạ ảnh θi βi Khi đó α + β = α + β Do CHƯƠNG 3 NỬA MÔĐUN XẠ ẢNH TRÊN NỬA VÀNH N-ĐỊNH GIÁ ĐƯỢC 3.1 Nửa vành N-định giá được Trước hết, xin nhắc lại một số khái niệm và ký hiệu sẽ sử dụng trong chương này Giả sử X là một vị nhóm, khi đó tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của X được ký hiệu bởi U(X) Nếu A là một nửa vành thì U(A, +, 0) là nhóm tất cả các... định Giả sử Y là một nửa môđun con của A -nửa môđun X và ρY là tương đẳng Izuka Khi đó nửa môđun thương X/ρY được ký hiệu đơn giản bởi X/Y 1.2.18 Mệnh đề Giả sử X là A -nửa môđun và Y, Y’ là các nửa môđun của X và Y ⊆ Y Thế thì tương ứng X/Y −→ X/Y , xρY −→ xρY là một A-đồng cấu toàn ánh và ổn định Chứng minh Xem [4], trang 160 CHƯƠNG 2 NỬA MÔĐUN TỰ DO NỬA MÔĐUN XẠ ẢNH 2.1 Nửa môđun tự do 2.1.1 Định ... 3.2.2 Định lý Nếu A nửa vành N-định giá A -nửa môđun xạ ảnh A -nửa môđun tự Chứng minh Giả sử P A -nửa môđun xạ ảnh không tầm thường Vì A -nửa môđun xạ ảnh tuỳ ý co rút A -nửa môđun tự nên ta có biểu... lớp nửa môđun xạ ảnh Chương Nửa môđun xạ ảnh nửa vành N-định giá Trước hết, trình bày khái niệm nửa vành N-định giá chứng minh số tính chất nửa vành N-định giá Sau trình bày tính chất đáng ý nửa. .. kiến thức sở nửa vành 1.2 Những kiến thức sở nửa môđun nửa vành Nửa môđun tự Nửa môđun xạ ảnh 15 2.1 Nửa môđun tự 15 2.2 Nửa môđun xạ ảnh