Một số lớp nửa vành luận văn thạc sĩ

- 1 - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ HỒNG THẮM MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN-12.2011 - 2 - MỤC LỤC Trang MỤC LỤC 1 LỜI NÓI ĐẦU 2 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT NỬA VÀNH 4 1.1. NỬA VÀNH: CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ 4 1.2. XÂY DỰNG VÀNH MỚI TỪ CÁC VÀNH ĐÃ BIẾT 12 CHƯƠNG 2. MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH LŨY ĐẲNG CỘNG TÍNH 19 2.1. NỬA VÀNH ĐƠN. NỬA VÀNH LŨY ĐẲNG CỘNG TÍNH 19 2.2. NỬA VÀNH GIẢN ƯỚC ĐƯỢC. NỬA VÀNH VỚI PHÉP CHIA. NỬA VÀNH GELFAND 26 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết vành ra đời từ thế kỷ 19 và đạt được nhiều thành tựu rực rỡ vào cuối thế kỷ này. Bước sang thế kỷ 20, dựa trên những thành tựu của lý thuyết môđun, các đặc trưng của một số lớp vành cũng được phát hiện khi nghiên cứu cấu trúc của các môđun trên chúng. - 3 - Vào những năm giữa thế kỷ 20, do nhu cầu của nội bộ toán học, lý thuyết nửa vành đã xuất hiện và thu hút nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Đặc biệt, vào những năm cuối thế kỷ 20 và đầu thế kỷ 21, do sự phát triển của công nghệ thông tin, lý thuyết nửa vành đã tỏ ra có nhiều ưu thế trong việc áp dụng toán học vào khoa học tính toán. Luận văn của chúng tôi dựa trên cuốn sách “The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science” của Jonathan S.Golan (1992) (xem [4]) để trình bày những kiến thức về lớp nửa vành lũy đẳng cộng tính, và tìm hiểu một số lớp nửa vành: nửa vành đơn, nửa vành lũy đẳng cộng tính, nửa vành giản ước được, nửa vành Gelfand… Luận văn gồm 2 chương: Chương 1. Cơ sở lý thuyết nửa vành Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày các khái niệm liên quan đến nửa vành và các thí dụ về nửa vành. Sau đó chúng tôi xây dựng như tích trực tiếp, nửa vành các ma trận trên các nửa vành đã biết. Chương 2. Một số lớp nửa vành lũy đẳng cộng tính Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm và tính chất của một số lớp nửa vành: nửa vành đơn, nửa vành lũy đẳng cộng tính, nửa vành giản ước được và nửa vành Gelfand. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS. TS. Lê Quốc Hán đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. - 4 - Tác giả xin chân thành cám ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số - Khoa toán – Trường Đại học Vinh đã động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình viết và chỉnh sửa luận văn này. Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT NỬA VÀNH 1.1. NỬA VÀNH: CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ - 5 - 1.1.1. Định nghĩa. a. Nửa vành là một tập hợp khác rỗng R mà trên nó đã xác định được hai phép toán cộng và nhân sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: (1) (R,+) là một vị nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là 0. (2) (R,.) là một nửa nhóm. (3) Phép nhân phân phối với phép cộng. (4) 00 rrr == đối với tất cả r ∈ R. b. Nửa vành R được gọi là nửa vành với đơn vị nếu (R,.) là một vị nhóm với đơn vị 1 thỏa mãn: (5) 1 ≠ 0. Chú rằng 0 là phần tử duy nhất của R thỏa mãn điều kiện (4): Nếu z là một phần tử thuộc R thỏa mãn zr=z=rz đối với tất cả r ∈ R thế thì zz == 00 . Một nửa vành R là chính quy nếu và chỉ nếu mỗi phần tử của R là chính quy nhân tính (Nghĩa là với mọi r ∈ R có s ∈ R sao cho rsr=r). Giả sử R là một nửa vành. Kí hiệu { } rrrRrRI =+∈= + |)( và }|{)( 2 rrRrRI x =∈= . Đặt )()()( RIRIRI X ∩= + . Chú ý rằng nếu )(RIa ∈ thế thì },0{ a là một nửa vành được chứa trong R , mặc dù nó không phải là nửa vành con trừ khi 1 = a . Một nửa vành R là lũy đẳng nếu và chỉ nếu RRI = )( . Một nửa vành R được gọi là bất khả đối nếu và chỉ nếu 0' =+ rr kéo theo 0' == rr . Thật ra nếu R là một vành thế thì (-1)+1=0 trong R, trong khi đó cả hai -1 và 1 không nhất thiết khác 0. Nếu R là một nửa vành bất khả đối, thế thì R’= { } ∪ 0 {r ∈ R|rb ≠ 0 đối với tất cả 0 ≠ b ∈ R} là một nửa vành con của R. Một phần tử khác 0 của một nửa vành R là một ước của 0 bên trái nếu và chỉ nếu tồn tại một phần tử khác không b ∈ R sao cho ab=0. Nó là ước của 0 bên phải nếu và chỉ nếu tồn tại phần tử khác không b ∈ R sao cho ba=0. Nó là ước của 0 nếu và chỉ nếu hoặc là ước của không bên trái hoặc là ước của không bên phải. Một nửa vành R không có ước của 0 được gọi là một miền nguyên. - 6 - Một phần tử a của nửa vành R là vô hạn nếu và chỉ nếu ara =+ đối với tất cả r ∈ R. Một phần tử như vậy cần phải duy nhất vì nếu a, a’ là các phần tử vô hạn của R thì a=a+a’=a’+a=a’. Chú ý rằng 0 có thể không phải là vô hạn vì 0110 ≠=+ . Một nửa vành R là đơn nếu và chỉ nếu 1 là phần tử vô hạn, nghĩa là nếu và chỉ nếu 11 =+ r đối với tất cả r ∈ R. Một cách tương đương, R là đơn nếu và chỉ nếu }1,0{)( = RP (Chú ý rằng đối với nửa vành R, kí hiệu }|1{}0{)( RrrRP ∈+∪= ). Khi đó )(RP là nửa vành con của R. Nếu R là đơn thì 1+1=1 nên 1 là lũy đẳng cộng tính và từ đó R là lũy đẳng cộng tính. Đảo lại, nếu R là lũy đẳng cộng tính thì }1|{ +∈ aRa là một nửa vành con của R và do đó R là đơn khi nửa vành con này là bản thân R. Sự tồn tại của các nửa vành đơn có nhiều hơn một phần tử (như sẽ chỉ ra dưới đây) chứng tỏ rằng phần tử vô hạn a của một nửa vành R không nhất thiết thỏa mãn aar = đối với tất cả Rr ∈≠ 0 . Một phần tử vô hạn a của R có tính chất ra=a=ar đối với tất cả Rr ∈≠ 0 được gọi là vô hạn mạnh. Các vành rõ ràng là nửa vành, nhưng có nhiều ví dụ khác về các nửa vành. Sau đây là một số ví dụ từ các ngành toán học khác nhau và ứng dụng của chúng. 1.1.2. Ví dụ. Tập N các số nguyên không âm với các phép toán cộng và nhân các số nguyên thông thường là một nửa vành nguyên, giao hoán, bất khả đối và không lũy đẳng cộng tính. Cùng một cấu trúc như vậy là nửa vành Q + tất cả các số hữu tỉ không âm, nửa vành R + các số thực không âm, và nói chung ++ ∩= RSS trong đó S là vành con tùy ý của R. Cho trước một bản số vô hạn c cố định tập hợp tất cả các bản số d ≤ c cũng có cấu trúc nửa vành. Rõ ràng, N là một nửa vành con của Q + và Q + là nửa vành con của R + . 1.1.3. Ví dụ. Giả sử R là một vành. Dedekind đã chỉ ra được rằng tập hợp Iđêan(R) gồm R và các iđêan của nó, với các phép toán cộng và nhân các iđêan thông thường, là một nửa vành bất khả đối lũy đẳng cộng tính mà không giao hoán hay nguyên. Họ tất cả các iđêan của một nửa vành cũng có cấu trúc như vậy. - 7 - Giả sử R là một vành giao hoán và A là tập hợp tất cả các phần tử của R mà chúng không có ước của 0. Giả sử RAS 1 − = là vành các thương của R. Một iđêan phân thức K của R là một R-môđun con của S thỏa mãn điều kiện RaK ⊆ đối với Ra ∈ nào đó. Tập hợp farct(R) tất cả các iđêan phân thức của R khép kín đối với phép lấy giao, tổng và tích. Hơn nữa, (farct(R),+,.) là nửa vành bất khả đối, lũy đẳng cộng tính, giao hoán với đơn vị phép cộng (0) và đơn vị phép nhân R. Họ tất cả các iđêan phân thức hữu hạn sinh của R là nửa vành con của nửa vành này. Một miền nguyên giao hoán R là một miền nguyên Priifer nếu và chỉ nếu mỗi iđêan phân thức hữu hạn sinh của R là nghịch đảo đối với phép nhân trong fract(R). Điều kiện đó tương ứng với điều kiện: trong Iđêan(R) giao phân phối trên phép cộng nghĩa là (Iđêan(R),+, ∩ ) là một nửa vành. Hơn nữa tập hợp tất cả các iđêan hữu hạn sinh của R là một nửa vành con của nửa vành này. Miền nguyên Priifer Nơte được gọi là miền Dedekind. Chúng chính là các miền nguyên giao hoán có tính chất: Mỗi iđêan có thể viết được duy nhất dưới dạng tích của các iđêan nguyên tố. Lý thuyết nhân các iđêan của một vành là một bài toán cơ bản trong lý thuyết nửa vành. 1.1.4. Ví dụ. Một lý thuyết liên quan chặt chẽ với lý thuyết nửa vành là lý thuyết dàn. Nếu (R, ∨ , ∧ ) là một dàn phân phối được giới nội có phần tử nhỏ nhất duy nhất 0 và phần tử lớn nhất duy nhất 1 thì nó là một nửa vành đơn lũy đẳng, giao hoán. Thực ra, các tính chất này đặc trưng duy nhất các dàn phân phối giới nội được. Nếu R là một nửa vành đơn lũy đẳng, giao hoán thì (R,+,.) là một dàn phân phối giới nội được với phần tử nhỏ nhất duy nhất 0 và phần tử lớn nhất duy nhất 1. Đặc trưng khác của dàn phân phối giới nội được như sau: (R, ∨ , ∧ ) là dàn phân phối giới nội được có phần tử nhỏ nhất duy nhất 0 và phần tử lớn nhất duy nhất 1 nếu và chỉ nếu nó là một nửa vành lũy đẳng giao hoán và a ∧ (a ∨ b)=a=a ∨ (a ∧ b) - 8 - đối với tất cả a, b thuộc R. Năm 1958, Henriken đã cho một đặc trưng khác của các dàn phân phối giới nội được trong họ các nửa vành bằng cách chứng tỏ rằng nửa vành giao hoán R là dàn phân phối giới nội được nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn đối với mỗi phần tử a ∈ R: (1) 111)1( 2 =+=>+=+ aaa (2) Tồn tại một số tự nhiên 1)( > an sao cho aa an = )( . Vì dàn đối ngẫu của một dàn phân phối là dàn phân phối, nên rằng (R, ∨ , ∧ ) cũng là một nửa vành đơn, giao hoán. Như một trường hợp riêng, chú ý rằng một gian là một nửa vành. Một gian là một dàn đầy đủ mà trong đó giao phân phối trên hợp tùy ý . Nếu a và b là các phần tử của gian (L, ∨ , ∧ ) thế thì giả bù của b tương đối của a, được kí hiệu ):( ba là phần tử lớn nhất duy nhất c của L thỏa mãn b ∧ c ≤ a. Giả bù của một phần tử a ∈ L là ):0( a . Nếu ):0( a , thế thì a trù mật trong L. Các phần tử trù mật của một gian thực chất là các phần tử không phải là ước của không. Ví dụ đơn giản nhất của một gian là { } 1,0 = B . Chú ý rằng cấu trúc của B không giống cấu trúc của trường )2/(Z vì 1+1=1 trong B trong đó 1+1=0 trong )2/(Z . Nửa vành B được gọi là nửa vành Bun có nhiều áp dụng trong lý thuyết ôtômát và trong lý thuyết mạch, ở đó nó thường được biết như đại số mạnh. Dàn tất cả các iđêan của một dàn phân phối là một gian. Chú ý rằng nếu R là một dàn phân phối giới nội được và Rr ∈≠ 0 thế thì r là lũy đẳng và do đó }'/'{],0[ rrRrrrRr ≤∈== là một nửa vành con của R và bản thân nó là một vành với đơn vị phép nhân r. 1.1.5. Ví dụ. Có nhiều các nửa vành hữu hạn. Chẳng hạn, đối với mỗi số nguyên dương n xét tập hợp { } nX n , .,1,0, ∞−= . Với giả thiết - ∞ thỏa mãn - ∞ i ≤ và −∞=+∞ i đối với tất cả các n Xi ∈ . Định nghĩa phép toán cộng và nhân bởi - 9 - },max{ hihi =+ và },min{ nhiih += . Thế thì n X là một nửa vành bất khả đối giao hoán. (Smith, 1966). 1.1.6. Ví dụ. Nếu (M, *) là một nửa nhóm, thế thì họ )(MSubR = là một nửa vành với phép toán cho bởi BABA ∪=+ và },|*{ BbAabaAB ∈∈= . Đơn vị phép cộng là . Nếu M là một vị nhóm thì Sub(M) là một nửa vành với đơn vị phép nhân là { } M 1 . Nửa vành này được khảo sát đầu tiên vào năm 1972 bởi Kunt-Zman. Các nửa vành bộ phận và các đại số bộ phận khác đã tìm thấy nhiều ứng dụng trong lý thuyết phân loại dữ liệu trừu tượng và khoa học máy tính lý thuyết (Manes và Atbib, 1986) 1.1.7. Ví dụ. Ví dụ sau đây đưa ra một trong các áp dụng quan trọng nhất của lý thuyết nửa vành. Nếu A là một tập hợp khác rỗng thế thì vị nhóm tự do A * là tập hợp tất cả các dãy hữu hạn a 1 …a n các phần tử thuộc A (bao gồm từ rỗng, được kí hiệu ε hay 1). Hai từ a 1 …a n = b 1 …b n bằng nhau nếu và chỉ nếu n=m và a 1 =b 1 với mọi i=1,2,…,n. Tích của hai từ a 1 …a n và b 1 …b n là a 1 a 2 …a n b 1 …b m . Khi đó A * trở thành một vị nhóm với đơn vị là từ rỗng ε . Nếu u= a 1 …a n ∈ A * \ { } ε thì n gọi là độ dài của từ u và được ký hiệu là u . Ta quy ước rằng ε =0. Thế thì vuuv += với mọi ∈ vu, A * . Đối với mỗi a ∈ A và u ∈ A * , kí hiệu a u là số lần xuất hiện của a trong từ u. hàm p gán mũ w ∈ A * với hàm p(w): A → N xác định bởi p(w)(a)= a w được gọi là ánh xạ Parikh. Các tập con của A * được gọi là ngôn ngữ (hình thức) trên bảng chữ cái A. Nếu B ≠ { } ε là một vị nhóm con của A * và B’=B\ { } ε , thế thì C=(B’)\(B’) 2 là tập sinh nhỏ nhất của B, được gọi là cơ sở của B. Một cơ sở của vị nhóm con tự do của A * được gọi là một mã (độ dài biến thiên) trên bảng chữ cái A. Giả sử C là tập con khác rỗng - 10 - của A * \ { } ε thỏa mãn điều kiện uv ∉ C đối với tất cả u ∈ C và ≠ ε w ∈ A * . Khi đó C là mã. Các mã quen thuộc như mã tiền tố. Nếu tập hợp A hữu hạn, A= { } k aa , , 1 thì có một hàm song ánh ϕ :A * → N xác định bởi )( εϕ =0 và ) .( )()1()0( niii aaa ϕ = ∑ = n h h khi 0 )( . Nếu m là một phần tử của nửa nhóm (M,*), thế thì tập hợp các ước bên trái của m là LD(m)={m’ ∈ M|m=m’.m” đối với phần tử m” nào đó thuộc M} và tập hợp các ước bên phải của m là RD(m)={m”| ∃ m’ ∈ M: m=m’.m”}. Các tập hợp này có thể rỗng đối với một nửa nhóm tùy ý M nhưng không rỗng nếu M là vị nhóm. Thật vậy, nếu M là một vị nhóm thì { } ⊆ m,1 LD(m) ∩ RD(m) đối với tất cả m ∈ M. Một vị nhóm (M,*) hữu hạn nếu và chỉ nếu phần tử tùy ý của M có thể được viết dưới dạng m’*m” đối với nhiều nhất là hữu hạn cách chọn của m’ và m” trong M. Chú ý rằng nếu w ∈ A * thế thì LD(w) và RD(w) luôn luôn hữu hạn, hơn nữa là các vị nhóm tự do hữu hạn. Tổng quát hơn, chúng ta có thể xét các vị nhóm dạng M=A 1 * x…xA n * , trong đó A i là các tập hợp không rỗng và phép nhân trên M được xác định bởi phép nhân thành phần: (x 1 ,…x n )(y 1 ,…y n )=(x 1 y 1 ,…x n y n ). Có thể mở rộng định nghĩa của A * với các từ có độ dài vô hạn. Giả sử A ∞ gồm A * cùng với các dãy vô hạn đếm được các từ trong A. Định nghĩa phép toán trên ∞ A bằng cách đặt ww’=w nếu w là một dãy vô hạn đếm được các phần của A. Thế thì (A ∞ ,.) là một vị nhóm với đơn vị là từ ε . Các tập con của A ∞ là các ngôn ngữ trên A. Giả sử A là một tập hợp khác rỗng. Như trong ví dụ 1.1.6, chúng ta có thể định nghĩa được phép toán cộng và nhân trên Sub(A * ) như sau: L+L’=L ∪ L’, LL’={ww’| w ∈ L, w’ ∈ L}. Thế thì (S(A * ),+,•) là một nửa vành nguyên lũy đẳng cộng tính với . thức về lớp nửa vành lũy đẳng cộng tính, và tìm hiểu một số lớp nửa vành: nửa vành đơn, nửa vành lũy đẳng cộng tính, nửa vành giản ước được, nửa vành Gelfand…. niệm và tính chất của một số lớp nửa vành: nửa vành đơn, nửa vành lũy đẳng cộng tính, nửa vành giản ước được và nửa vành Gelfand. Luận văn được hoàn thành