Một số lớp nửa moodun trên nửa vành luận văn thạc sĩ toán học

Luận văn của chúng tôi dựa trên cuốn sách The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science của Jonathan S.Golan 1992 xem [4] để trình bày những

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TÀO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Nghệ An-12.2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐỖ PHÚ QUỐC

MỘT SỐ LỚP NỬA MÔĐUN

TRÊN NỬA VÀNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS: LÊ QUỐC HÁN

Nghệ An-12.2011

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC … … ……… ……… ……… 1

MỞ ĐẦU ……… ……… ……… 2

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT NỬA MÔĐUN TRÊN NỬA VÀNH 1.1 Nửa môđun trên nửa vành ………….……….……….……… 4

1.2 Đồng cấu nửa môđun ………… ………… ……….……… 10

1.3 Tương đẳng và nửa môđun thương ………….……… ……….14

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ LỚP NỬA MÔĐUN TRÊN NỬA VÀNH 2.1 Nửa môđun giản ước được ……….……….20

2.2 Nửa môđun tự do ………… ……… ………24

2.3 Nửa môđun xạ ảnh ……… ……….….……… 28

2.4 Nửa môđun nội xạ ……….….……… 33

KẾT LUẬN ……….………39

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… ……… 40

MỞ ĐẦU

Trong thế kỷ hai mươi, lý thuyết môđun đã đạt được nhiều thành tựu rực

rỡ Cấu trúc của nhiều lớp môđun đã được thiết lập và được áp dụng vào các lĩnh vực khác của toán học hiện đại

Do nhu cầu phát triển của nội bộ toán học, vào những năm giữa thế kỷ hai mươi lý thuyết nửa vành và lý thuyết nửa môđun trên nửa vành ra đời và đã thu hút nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu Dựa trên những thành tựu đạt được về lý thuyết môđun, nhiều kết quả về môđun đã được chuyển sang nửa môđun với những sự thay đổi thích hợp và khá tinh tế

Luận văn của chúng tôi dựa trên cuốn sách The theory of semirings with

applications in mathematics and theoretical computer science của Jonathan

S.Golan (1992) (xem [4]) để trình bày những kiến thức cơ sở về lý thuyết nửa môđun trên nửa vành và đi sâu vào tìm hiểu các lớp nửa môđun cơ bản: nửa môđun tự do, nửa môđun xạ ảnh và nửa môđun nội xạ

Nội dung luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 Cơ sở lý thuyết nửa môđun trên nửa vành

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm: nửa môđun trên nửa vành, đồng cấu nửa môđun, tương đẳng, nửa nhóm thương và các tính chất của chúng

Chương 2 Một số lớp nửa môđun trên nửa vành

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và tính chất cơ bản của các lớp nửa môđun: nửa môđun giản ước được, nửa môđun tự do, nửa môđun

xạ ảnh và nửa môđun nội xạ

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đến PGS TS Lê Quốc Hán đã

định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Tác giả xin chân thành cám ơn về những giúp đỡ, chỉ bảo quý báo của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số - Khoa Toán – Trường Đại học Vinh đã động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, cũng như trong quá trình viết và chỉnh sửa luận văn này

Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu, tác giả đã nhận được sự giúp

đỡ, trao đổi chân thành của các bạn trong lớp Cao học 17(Đồng Tháp), chuyên ngành Đại số-Lý thuyết số Tác giả rất biết ơn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các quý thầy giáo,

cô giáo và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Tác giả

1.1.1. Định nghĩa Giả sử R là một nửa vành Một R-nửa môđun trái là một vị

sau đây ∀r r, ' ∈ ∀R m m; , ' ∈M :

(1) ( ')rr m r r m= ( ' )(2) r m m( + ')=rm rm+ '

Nếu R và S là các nửa vành thế thì một (R,S)- song nửa môđun (M,+) là

một R- nửa môđun trái đồng thời là S- nửa môđun phải thỏa mãn điều kiện bổ

sung (rm)s=r (ms) đối với tất cả m M r R∈ , ∈ và s S∈

Nếu M là một R– nửa môđun trái thì nó là một (R, C(R) ) -song nửa

môđun, với phép nhân vô hướng được định nghĩa bởi m.r =m.r Nói riêng, nếu

R là nửa vành giao hoán thì R – nửa môđun trái tùy ý một (R,R) – song nửa

môđun

1.1.2 Định nghĩa Nếu m là một phần tử của R – môđun M thì một phần tử

'

đảo cộng tính, nếu tồn tại duy nhất và sẽ được ký hiệu là -m

Ký hiệu V M( ) ={m M m∈ ∃ ∈ ' M m m: + ' =O M}

1.1.3 Định nghĩa Một tập con khác rỗng N của một R – nửa môđun trái M

được gọi là nửa môđun con của M nếu N đóng dưới các phép cộng và nhân vô

hướng

Chẳng hạn: Nếu A là một tập con khác rỗng của một R- nửa môđun trái M

và nếu I∈Ideal (R) thì tập hợp các tổng hữu hạn dạng r1 m 1 + + r k m k (r i∈ I và

m i ∈A) là một nửa môđun con của M.

Một nửa môđun con mà nó là một R – môđun là một môđun con Như vậy V(M) là một môđun con của R – nửa môđun phải hay trái tùy ý chứa tất cả các môđun khác của M

Chú ý rằng nếu N là một nửa môđun con của R – nửa môđun trái M và nếu

m M thì (N:m)= {a R|am N} là một iđêan trái của R Nói chung, nếu A là

một tập con khác rỗng của M thì chúng ta sẽ đặt

( N :A ) = ∩{( : )N m m A∈ }

Để thuận tiện, ta viết ( 0:A ) thay cho ({0}, A).

Vì giao của một họ tùy ý các iđêan trái là một iđêan trái nên (N:A) là một

iđêan trái của R.

Kết quả sau đây đã được chứng minh trong [4], trang 139

1.1.4 Mệnh đề Nếu N và N’ là các nửa môđun của một R – nửa môđun trái M

và nếu A,B là các tập con khác rỗng của M thì :

(1) A ⊆B kéo theo (N :B) ⊆ (N:A)

(2) (N ∩N’:A) ⊆ (N:A) ∩ (N’:A)

(3) (N:A)∩ (N:B) ⊆ (N:A+B), đẳng thức xảy ra nếu O M A∩ B.

1.1.5 Chú ý Nếu γ : R →S là đồng cấu của các nửa vành và nếu M là một

S-nửa môđun trái thì nó cũng là một R – S-nửa môđun trái với phép nhân vô hướng

một S- nửa môđun trái thì M là R nửa môđun trái đối với mỗi nửa vành con R của S

1.1.6 Ví dụ a) Các ¥ – nửa môđun chính là các vị nhóm cộng giao hoán

dương Cũng như vậy, mỗi nửa vành R là một N– nửa môđun Nếu ( M,+) là một vị nhóm lũy đẳng giao hoán, thế thì M là một N – nửa môđun trái với phép

nhân vô hướng đã được định nghĩa bởi Om=OM đối với tất cả m M và im = m đối với tất cả m M và tất cả o<i N.

b) Nếu M là một R – nửa môđun trái và A là một tập hợp khác rỗng thì

nghĩa theo phần tử: nếu f,g M A và r R thì (f + g)(a) = f(a) +g(a) và (rf)

(a)=r[f(a)] với mọi a A Hơn nữa, M (A) ={f M A | f có giá hữu hạn} là một nửa

Như vậy, tập hợp tất cả các quan hệ R được định giá giữa các tập hợp không

rỗng A và B là một ( R,R) – song nửa môđun, như là tập hợp tất cả các đồ thị R

– được định giá trên một tập hợp các vectơ

c) Nếu R là một nửa vành bất khả đối nguyên và M là một R – môđun trái,

và nếu vô cùng là một phần tử không nằm trong M, thế thì có thể định nghĩa R

và nhân vô hướng từ M được mở rộng bằng cách đặt m’+∞=∞+m’=∞ với tất

cả m’ M{∞ }, r∞= ∞ đối với tất cả o ≠ r R và o∞=oM.

d) Nếu γ : R →S là một đồng cấu của các nửa vành thì S là một (R,R) –

song nửa môđun bằng cách định nghĩa r.s = γ (r)s ca sr = s γ(r) đối vói tất cả r

R và s S Mỗi nửa vành lũy đẳng cộng tính là một (R,R) – song nửa môđun.

e) Giả sử R là một nửa vành và giả sử M là một R – nửa môđun Thế thì

(O;M) = {r R|rm = O M đối với tất cả m M} là một iđêan của R Hơn nữa,

R và m M.

1.1.7 Chú ý Một phần tử m của một R – nửa môđun trái M là lũy đẳng nếu và

nửa môđun con của M, được kí hiệu là I(M) Nếu I(M) = M thì M được gọi là

lũy đẳng cộng tính Nếu M là một – nửa môđun trái thì C(R) – nửa môđun trái

ssm(M) là lũy đẳng cộng tính.

1.1.8 Định nghĩa Giả sử M là một R – nửa môđun trái và {N i |i Ω} là một họ

môđun con lớn nhất của M được chứa trong mỗi Ni Nói riêng, nếu A là một tập

con của R – nửa môđun trái M thì giao của tất cả các nửa môđun con của M

chứa A là một nửa môđun con của M, được gọi là môđun con sinh bởi A

Môđun con này chính là

RA ={r1 a 1 + + r n a n |r i R, a i A}

Nếu A sinh ra toàn bộ nửa môđun M thì A được gọi là tập sinh của M Tập

sinh tùy ý đối với M chứa một tập sinh tối tiểu

Một R – nửa môđun có một tập sinh hữu hạn được gọi là nửa môđun hữu

Rm={rm|r R} là nửa môđun con của M Rõ ràng: ∑ {Rm m M∈ }

1.1.10 Ví dụ Giả sử R là nửa vành và giả sử M là một R-nửa môđun trái Thế

thì ssm(M) là một Iđêan (r) – nửa môđun trái, trong đó phép nhân vô hướng được xác định như trên Nói riêng, Iđêan(R) là Iđêan (R) – nửa môđun trái.

1.1.11 Định nghĩa Tập con N của R-nửa môđun trái M là được gọi trừ được

Mỗi môđun con của một R – nửa môđun trái là trừ được Thật vậy, nếu N

Nói riêng, V(M) là một nửa môđun con trừ được của R – nửa môđun con

nửa môđun con trừ được của N và N là nửa môđun con trừ được của M thì N’ là

được (mạnh) của M Như vậy mỗi nửa môđun con của R-nửa môđun trái M được chứa trong một nửa môđun trừ được (mạnh) nhỏ nhất của M, được gọi là

bao trừ được (tương ứng, bao mạnh).

Một R-nửa môđun trái tùy ý M có hai nửa môđun con trừ được: {0} và M Nếu M chỉ có hai nửa môđun con trừ được đó thì M được gọi là austere.

Từ định nghĩa suy M là austere nếu và chỉ nếu nó là bao đóng trừ được của nửa môđun trừ được của mỗi nửa môđun con khác không của nó

Các kết quả sau đây đã được chứng minh trong [4], trang 144-145

1.1.12 Mệnh đề Nếu M là một R – nửa môđun trái austere thế thì (0 : M) = (0:

m) đối với tất cả m M, m ≠ 0.

1.1.13 Mệnh đề Giả sử R là một nửa vành và giả sử M là một R – nửa môđun

trái Nếu N,N’ và N” là các nửa môđun con của M thỏa mãn:

(1) N trừ được;

(2) N’’⊆ N.

Thế thì N ∩ (N’ +N”) = N’ + (N∧N”).

1.1.14 Mệnh đề Nếu I là iđêan của nửa vành R và M là một R – nửa môđun

trái thì N={m M|Im = {O M }} là môđun trừ được của M.

1.1.15 Mệnh đề Nếu N là một nửa môđun con trừ được của một R – nửa

môđun trái M và nếu φ ≠ ⊂A M thì (N:A) là iđêan trái trừ được của R.

1.1.16 Ví dụ Nếu r và S là các nửa vành và nếu M là một (R, S)-song nửa

môđun thì tập hợp A tất cả các ma trận dạng a r m s÷

là nửa vành với các phép toán cộng và nhân ma trận thông thường Chú ý rằng

có một cấu xạ vành từ R x S đến A cho bởi

mở rộng tầm thường của vành R bởi (R, R) – song nửa môđun M.

1.2 ĐỒNG CẤU NỬA MÔĐUN

1.2.1 Định nghĩa Nếu R là nửa vành và M, N là các R – nửa môđun trái thì

thỏa mãn:

môđun phải và song nửa môđun được định nghĩa tương tự nhưng được viết như tác động về bên trái

1.2.2 Ví dụ Nếu M là một R – nửa môđun trái sinh bởi một tập con của A thì

ta có toàn ánh R (A)  M được xác định bởi f a ∑ ( f m m m( ) ) , ∈ supp f( ) Nói

1.2.3 Ví dụ Giả sử R là một nửa vành và {M i |i Ω} là họ các R – nửa môđun

Ω} Tương tự Π{M i | Ω} = {< m i > ∈ ΠM i |m i = 0 đối với tất cả trừ một số

cấu chính tắc π Πh: M i →M h và λh:M h → ΠM iđược xác định tương ứng bởi Πh

:<m i > mh và mλ =< >h u i trong đó ui = o nếu i ≠ h và u h = m h

Giả sử M và N là các R-nửa môđun trái và giả sử α và β là các R-đồng cấu

một kết quả đã cho biết trong lý thuyết phạm trù, chúng ta thấy rằng vì phạm trù tất cả các R – đẳng cấu dàn trái có các tích và các cái cân bằng, nó có các giới hạn bất kỳ

1.2.4 Ví dụ Giả sử R là một nửa vành và M là một nửa môđun trái Nếu

: M R

M bằng cách đặt m⊗α n = (mα )n Khi đó (M,+,α ) là một nửa vành mà

không có đơn vị

1.2.5 Nhận xét Chú ý rằng nếu γ : R→S là một cấu xạ của các nửa vành và

M là một S – nửa môđun trái thì M cũng là R – nửa môđun trái với phép nhân

– môđun trái thì nó cũng là một R – đồng cấu

Ở đây phải chú ý đến một điểm quan trọng mà theo đó các nửa môđun trên nửa vành khác với các môđun trên vành Giả sử R là một nửa vành và giả sử

: M N

nhưng điều đó không đúng cho nửa môđun trên nửa vành

1.2.6 Chú ý Nếu M và N là các R – nửa môđun trái thì ta sẽ kí hiệu tập hợp tất

Nếu α β ∈ , Hom M N R( , ) thế thì α β + : M →N cho bởi m(α β + ) =mα +mβ sẽ

tích vô hướng xác định bởi s : m (ms) Nếu N là một (R,S) – song nửa

định bởi αs m: a (m sα) .

Một R– đồng cấu từ một nửa môđun M đến chính nó được gọi là một tự

đồng cấu của M Tập hợp tất cả R – tự đồng cấu của M được kí hiệu bởi

End R (M) Trên End R (M) phép nhân được cho bởi phép hợp thành ánh xạ : :m

(m ) đối với tất cả m M

1.2.7 Mệnh đề Nếu R là một vành và M ≠{0} là một R – nửa môđun trái thế thì

S = End R (M) là một nửa vành và M là một (R,S) – song nửa môđun.

Chứng minh Chứng minh S là một nửa vành với đơn vị cộng tính là

1.2.8 Ví dụ a) Một nửa vành R có thể liên kết với nửa vành S = End(R) x

End(R) bao gồm các cặp ( ) : R R, thành phần thứ nhất là một đồng cấu

của nửa vành môđun phải và thành phần thứ hai là một đồng cấu của các nửa

môđun trái Phép cộng và nhân trên S được xác định theo thành phần Phần tử (

) thuộc S là một phép nhân kép trên R nếu và chỉ nếu a( b) = (a )b đối với

tất cả b R Tập hợp bim(R) tất cả các phép nhân kép trên R tạo thành một nửa

= ar và a (r) = ra, r S thực chất là các cấu xạ nửa vành Hơn nửa, là đẳng

) = (a) nên là toàn ánh (Cornigh, 1971).

b) Giả sử R là một nửa vành, giả sử M {o} là một R – nửa môđun trái,

nghĩa cấu trúc nửa vành trên R x M bằng cách định nghĩa phép cộng và phép

( , ).( ',r m r m') = (rr rm', ' +mθ ( '))r đối với tất cả r,r’ R và m,m’ M Kí

một R– đồng cấu tử Mi đến Mj Định nghĩa phép cộng và phép nhân trong S bằng cách đặt [ ij ] + [ ij ] = [ ij + ij ] và [ ij ].[ ij ] = [ ij ], trong đó ij = { ih

End(M) biến [ ij ] thành tự đồng cấu của M được xác định bởi (m 1 , ,m n ) = ( m 1 a i1 , , m i a im ) Đối với mỗi 1≤ i≤ n, giả sử λi:M i →M là phép

chính tắc lên phần thử i Thế thì mỗi R – tự đồng cấu của M là ảnh dưới của

[ i j ] và do đó là toàn ánh Hơn nữa, là đơn ánh và do đó nó là một đẳng

cấu của các nửa vành

Thế thì là chính quy nhân tính vì nó lũy đẳng nhân tính Hơn nữa, (0,1) (1,1)

1.3 TƯƠNG ĐẲNG VÀ NỬA MÔĐUN THƯƠNG

Các quan hệ tương đẳng đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết nửa vành và hy vọng chúng đóng một vai trò tương tự như trong lý thuyết nửa nhóm

1.3.1 Định nghĩa Giả sử R là một nửa vành và M là một R – nửa môđun trái

Một quan hệ tương đương trên m được gọi là một quan hệ R – tương đẳng

Kí hiệu tập hợp tất cả các quan hệ R – tương đẳng trên M Bởi R –

m = m’ và quan hệ phổ dụng u cho bởi m u m’ với mọi m, m’∈M Nếu M

{0 M } và R – cong(M) chỉ có hai phần tử t và u thì M được gọi là R – nửa

môđun đơn.

Nếu thuộc R – cong(M) đối với một R – nửa môđun trái M nào đó và

am am’ Dễ kiểm tra là một quan hệ R– tương đẳng biến (R – cong(M),V)

thành một C(R)_ môđun trái.

Nếu N là một nửa môđun của R – nửa môđun trái M và nếu thuộc R – cong(M) thì cái thu hẹp của đến N là một quan hệ R – cong(M) trên N Như vậy, có một ánh xạ chính tắc tử R – cong(M) đến R – cong(N) được cho bởi cái

thu hẹp Nếu N là một nửa môđun trái M và nếu là một quan hệ R– tương đẳng đã cho trên N thì tồn tại một quan hệ R – tương đẳng maximal trên M sao

của nó trên N là quan hệ đồng nhất

sử m/ là lớp tương đương chứa m ứng với quan hệ đó Tập hợp M/ = {m/ |

m M} cùng với các phép toán cộng và nhân vô hướng trêm M/ bằng cách đặt m/ + n/ = (m + n)/ và r(m/ ) = (rm)/ đối với tất cả m,n M và r∈R

Thế thì M/ là một nửa môđun trái và được gọi là nửa môđun thương của M bởi Ngoài ra, chúng ta có một R – toàn cấu M M/ được xác định bởi m m/

Giả sử N là một nửa môđun con của một R – nửa môđun trái M và giả sử

là một quan hệ R – tương đẳng trên M sao cho cái thu hẹp của nó trên N là

thế thì ta có một R – đơn cấu N/ M/ được xác định bởi n/ n/ Nói riêng, cái thu hẹp của đến N là quan hệ đồng nhất thì ánh xạ N N/ được cho bởi n n/ là đơn cấu Nếu là một r – tương đẳng trên M/ thế thì

* là một quan hệ R tương đẳng trên M thỏa mãn * [ ] Ánh xạ * là một cấu xạ từ nửa dàn đầy đủ R – cong(M/ ) đến nửa dàn đầy đủ R – cong(M).

1.3.2 Nhận xét Nếu : M N là một R – đồng cấu của các r – nửa môđun

1.3.3 Chú ý Nếu R là một nửa vành và A là một nửa nhóm con của C(R) thì A

tất cà các phần tử giản ước được theo phép nhân của R Nếu quan hệ R – tương

xoắn cổ điển

1.3.4 Định nghĩa Nếu N là một nửa môđun con của R – nửa môđun trái M thì

' '

m n m n+ = + ’

đó nếu m M thì am/N = 0/N đối với tất cả a (M:m) Nếu N là một nửa

môđun con của R – nửa môđun M thì 0/N là nửa môđun con trừ được của M, và

là nửa môđun con trừ được nhỏ nhất của M chứa N

Chúng ta cũng đã chú ý rằng cả hai ssm(M) và R – cong(M) là các C(R)–

nửa môđun trái Một hệ quả trực tiếp của các định nghĩa là ánh xạ :ssm(M)

và do đó 0≡N’ n Như vậy tồn tại n ’ , n ” N ’ sao cho n+n ’ =n ” Vì N’ trừ được nên

n N ’ và do đó N N ’ Bao hàm thức ngược lại được chứng minh tương tự và

do đó N=N ’

Nếu N là một môđun con của một R – nửa môđun trái thế thì N cảm sinh

một phần tử m ’’ M sao cho m + n + m ” = m ’ +n ’ +m ”

Nếu m M thì ta viết m[/]N thay thế cho m/[≡]N

1.3.5 Chú ý Nếu α: M →N là một R – đồng cấu của các R – nửa môđun và m,

m ’ N thỏa mãn m≡ ker(α) m’ thế thì m≡α m ’ nhưng đảo lại có thể không đúng

Nếu quan hệ ≡α và ≡ker(α) trùng nhau, thế thì R – đồng cấu α được gọi là ổn

định.

ker(α)={0}.

Các kết quả sau đây đã được chứng minh trong [4], trang 152-153

1.3.6 Mệnh đề Nếu là một R – tự đồng cấu ổn định của một R –nửa môđun

trái M, thì α k ổn định với mỗi k ≥ 1.

1.3.7 Mệnh đề Giả sử R là một nửa vành và giả sử N’ N là các nửa môđun

con của R – nửa môđun trái M Thế thì ánh xạ α : M/N ’ M/N xác định bởi α:m/N ’ a m/N là một R – đồng cấu toàn ánh ổn định.

1.3.8 Định nghĩa Nếu α: M →N là một R – đồng cấu của các R – nửa môđun

trái thì ta định nghĩa đối ảnh (coimage) của α là coim(α)=M/ker(α) và đối hạt

nhân (cokernel) của α là coker(α)=N/Mα.

Hai kết quả sau đã được chứng minh trong [4], trang 153-154

1.3.9 Mệnh đề Nếu M là một R – nửa môđun trái đơn thì M không có nửa

môđun con trừ được nào ngoài {0 M } và chính nó Khẳng định ngược là đúng nếu

M là một R – môđun.

1.3.10 Mệnh đề Nếu N là nửa môđun con của R-nửa môđun trái M thì các

quan hệ R-tương đẳng ≡ N và ≡ 0/N trùng nhau

1.3.11 Định nghĩa Nếu M và N là các R-nửa môđun trái thì R- đồng cấu α : M

R là một R- đơn cấu xạ nếu và chỉ nếu khi β : M ’ M và β ’ :M ’ M ’ là các

R-toàn cấu xạ nếu và chỉ nếu khi β:N N ’ , β ’ :N N ’ là các R-đồng cấu phân biệt

vừa R-đơn cấu xạ được gọi R-đẳng cấu xạ.

Một đồng cấu toàn ánh có kernel={0} là một nửa đẳng cấu xạ Các

R-đẳng cấu xạ là các R-nửa R-đẳng cấu xạ, nhưng điều ngược lại có thể không đúng Nếu M là một R-nửa môđun đơn trái thì R-tự đồng cấu toàn ánh của M là một

R-nửa đẳng cấu xạ Nếu α:M M’ và β:M’ M ” là các R-nửa đẳng cấu xạ thế

Các kết quả sau đã được chứng minh trong [4], trang 154-160

1.3.12 Mệnh đề Nếu α:M N là một R-đồng cấu giữa các R- môđun trái thì

(1) α là song ánh nếu và chỉ nếu α là một R-đơn cấu xạ.

(2) α là toàn ánh nếu và chỉ nếu α là một R-toàn cấu xạ và Mα là trừ được.

1.3.13 Mệnh đề Giả sử R là một nửa vành và giả sử M là một R-nửa môđun

trái Thế thì một tập hợp con N của M là một nửa môđun con trừ được nếu và chỉ nếu tồn tại một R-đồng cấu : M M’ thỏa mãn N = ker( ).

1.3.14 Mệnh đề Giả sử R là một nửa vành và : M N là một R-đồng cấu của

các R-nửa môđun trái Nếu N’ là nửa môđun con trừ được của N và M’ = n’ -1

M thì:

(1) M’ là nửa môđun con trừ được của M chứa ker( )

(2) cảm sinh một R-đồng cấu : M/M’ N/N’ có hạt nhân bằng {0}.

1.3.15.Hệ quả Giả sử là một nửa vành và giả sử α : M→N là một R-đồng cấu

toàn ánh của các R-nửa môđun Thế thì tồn tại một nửa R-nửa đồng cấu M/ker(

α ) →N.

1.3.16.Hệ quả Nếu R là một nửa vành và N’⊆N là nửa môđun con của R-nửa môđun trái M, thế thì M/N là R-đẳng cấu với (M/N’)/(N/N’).

1.3.17 Mệnh đề Giả sử R-là một nữa vành Nếu N và N’ là các R-nửa môđun

con của một R-nửa môđun trái M, thế thì tồn tại một R-đồng cấu toàn ánh α:N’/ [N∩N’]→[N+N’]/N mà nó là một R-nửa đẳng cấu nếu N trừ được.