Nửa nhóm số đối xứng và siêu đối xứng luận văn thạc sĩ toán học

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỖ PHƯỚC TÀI NỬA NHÓM SỐ ĐỐI XỨNG VÀ SIÊU ĐỐI XỨNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Vinh – 2012 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỖ PHƯỚC TÀI NỬA NHÓM SỐ ĐỐI XỨNG VÀ SIÊU ĐỐI XỨNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS.LÊ QUỐC HÁN Vinh – 2012 3 Mục lục Trang Bảng chỉ dẫn các kí hiệu và định nghĩa . 1 Mở đầu 2 Chương 1. Nửa nhóm số. Nửa nhóm số đối xứng . 4 1.1. Nửa nhóm số . 4 1.2. Nửa nhóm số đối xứng 9 Chương 2. Nửa nhóm số đối xứng sinh bởi ba phần tử và nửa nhóm số siêu đối xứng . 18 2.1. Nửa nhóm số đối xứng sinh bởi ba phần tử . 18 2.2. Nửa nhóm số siêu đối xứng . 24 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo . 31 4 BẢNG CHỈ DẪN CÁC KÍ HIỆU VÀ ĐỊNH NGHĨA 1. S : nửa nhóm số. 2. : S x y t S x t y≤ ⇔ ∃ ∈ + = 3. ( ) { } ax :F S m x x S= ∈ ∉¢ : Số Frobenius của S . 4. ( ) { } :g S g S s s S− = − ∈ với ( ) g F S= . 5. S là nửa nhóm đối xứng nếu ( ) S g S∪ − = ¢ . 6. ( ) { } ' : , , , 0S x x S x a S a S a= ∈ ∉ + ∈ ∀ ∈ >¢ 7. Dạng của S : type ( ) 'S S= . 8. ( ) { } ax : ,h S m x x S x g S= ∈ ∉ ∈ −¢ . 9. { : g S S S= là nửa nhóm với ( ) } F S g= . 10. ( ) { } :S s t S t s S= ∈ − ∉ với , 0s S s∈ ≠ . 11. ( ) ( ) ( ) { } 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 , , ., : . t t t t t t L s s s s S s α α α α α α − − − − = ∈ + + + ∈¥ 12. n bội dương nhỏ nhất của t s thuộc nửa nhóm 1 2 1 , , ., t s s s − : Điểm gốc của t S . 13. 1 2 , , ., t S s s s= là nửa nhóm t s - siêu đối xứng nếu , 1,2, ., 1 t i i s n s S i t− + ∉ ∀ = − kéo theo 1 1 t t i i i s n s S − = − + ∉ ∑ . 14. 1 2 , , ., t S s s s= là nửa nhóm siêu đối xứng nếu S là i s - siêu đối xứng với mọi 1,2, ., 1i t= − . 5 MỞ ĐẦU Năm 1884, J.J.Sylvester đã phát biểu và giải bài toán sau:” Giả sử 1 s , 2 s là hai số nguyên tố cùng nhau. Xác định số nguyên lớn nhất g không biểu diễn được dưới dạng một tổ hợp tuyến tính 1 1 2 2 n s n s+ trong đó 1 n và 2 n là những số nguyên không âm”. Câu trả lời là 1 2 1 2 g s s s s= − − . Tuy nhiên, Sylvester cũng đã chỉ ra trong khoảng [ ] 0,g có những số không âm biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính nguyên không âm của 1 s , 2 s và cũng chứa những số nguyên không âm không biểu diễn được dưới dạng ấy. Tính chất đặc trưng đó của nửa nhóm S sinh bởi 1 s , 2 s được Sylvester gọi là tính đối xứng. Năm 1942, Frobenius và Braur đã tổng quát hóa bài toán của Sylvester như sau: “Giả sử 1 s , 2 s , ., k s là các số tự nhiên với ước chung lớn nhất bằng 1. Xác định số nguyên lớn nhất không biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính nguyên của 1 s , 2 s , ., k s ”. Số nguyên này được gọi là số nguyên Frobenius. Việc giải quyết bài toán trên đã làm xuất hiện một hướng nghiên cứu mới về các nửa nhóm được gọi là nửa nhóm số. Luận văn của chúng tôi dựa trên các công trình On numerial semigroups đăng trên Semigroup Forum số 35 năm 1987 và The double of a numerial semigroups đăng trên Journal of Pure and Applied Algebra số 213 (2009) để tìm hiểu các nửa nhóm số đối xứng và siêu đối xứng. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia làm hai chương: 6 Chương 1. Nửa nhóm số. Nửa nhóm số đối xứng. Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm nửa nhóm số, nửa nhóm số đối xứng và một số tính chất của chúng. Chương 2. Nửa nhóm số đối xứng sinh bởi ba phần tử và nửa nhóm số siêu đối xứng. Trong chương này chúng tôi trình bày về nửa nhóm số đối xứng sinh bởi ba phần tử , nửa nhóm số siêu đối xứng trong đó trình bày một số tính chất đặc trưng của nửa nhóm số với ba phần tử sinh và chứng minh một kết quả liên quan đến số Frobenius của nửa nhóm số. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Cũng nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Vinh, các bạn bè cao học Toán khóa 18 – Chuyên ngành Đại số và Đại số, các thầy cô trong khoa Sau đại học của trường Đại học Đồng tháp đã có những đóng góp quý báo để tác giả hoàn thành luận văn này. Mặt dù hết sức cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên. Vinh, tháng 10 năm 2012 Tác giả 7 CHƯƠNG 1 NỬA NHÓM SỐ. NỬA NHÓM SỐ ĐỐI XỨNG 1.1. Nửa nhóm số Trong tiết này, các phép toán trên nửa nhóm S được kí hiệu theo lối cộng. Ta nhắc lại rằng, một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm xyclic nếu tồn tại phần tử a S∈ sao cho { } ,2 , ., , .S a a a na= = . Có hai trường hợp xảy ra: Thứ nhất, với hai số nguyên ,m n khác nhau thì ma na≠ , khi đó S đẳng cấu với nửa nhóm cộng *Ν các số nguyên dương và S có cấp vô hạn. Thứ hai, tồn tại m n≠ nhưng ma na= , ta được kết quả sau 1.1.1. Mệnh đề.( [1, Định lý 1.9] ). Giả thiết rằng S a= là một nửa nhóm xyclic sao cho ma na= với các số nguyên dương ,m n khác nhau nào đó. Giả sử k là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ka ra= với r k< và giả sử m k n= − (1) Đối với p q r≥ ≥ , đẳng thức pa qa= đúng nếu và chỉ nếu m chia hết cho p q− ; (2) ( ) { } ,2 , ., 1S a a k a= − có lực lượng 1k − ; (3) ( ) ( ) { } , 1 , ., 1G ra r a k a= + − là một nhóm con của S ; đơn vị của G là ha , trong đó h là số nguyên thỏa mãn 1r h m r< < + − và h chia hết cho m . Phần tử a được gọi là phần tử sinh của nửa nhóm S a= , r được gọi là chỉ số và m gọi là chu kỳ của a ( và cũng được gọi là chỉ số và chu kỳ của nửa nhóm xyclic hữu hạn S a= ), còn số nguyên 1m r+ − được gọi là cấp của phần tử a ( và cũng được gọi là cấp của nhóm xyclic S a= ). 8 Chỉ số và chu kỳ của một nửa nhóm xyclic hữu hạn xác định duy nhất sai khác đẳng cấu. Hơn nữa, đối với hai số nguyên dương r và m , tồn tại nửa nhóm xyclic hữu hạn ( ) ,C r m chỉ số r và chu kì m . Nửa nhóm xyclic ( ) ,r m là một nhóm nếu và chỉ nếu 1r = , hơn nữa ( ) 1,C m là nhóm xyclic cấp m . Mặt khác, mỗi nửa nhóm xyclic ( ) ,C r m chứa một lũy đẳng duy nhất, đó chính là đơn vị của nhóm G trong Mệnh đề 1.1.1. Nửa nhóm cộng *¥ tất cả các số nguyên dương là nửa nhóm xyclic vô hạn và nửa nhóm cộng các số nguyên không âm ¥ là vị nhóm nhận được từ *¥ bằng cách bổ sung thêm phần tử không. 1.1.2. Định nghĩa. Các vị nhóm con của một nửa nhóm cộng ¥ được gọi là các nửa nhóm số nếu S là tập sinh của nhóm cộng các số nguyên ¢ . Giả sử S là một nửa nhóm số khác không và d là ước chung lớn nhất của các phần tử thuộc S . Thế thì .S d T= , trong đó T S≅ và ước chung lớn nhất của các phần tử thuộc T bằng 1; chúng ta giả sử các nửa nhóm T như vậy là các nửa nhóm số nguyên thủy. Để xác định tất cả các nửa nhóm số, ta cần xác định các nửa nhóm số nguyên thủy. Trước hết ta chứng minh các kết quả sau 1.1.3. Mệnh đề. Giả sử a và b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Nếu ( ) ( ) 1 1n a b≥ − − thì tồn tại các số nguyên không âm x và y sao cho n xa yb= + . Chứng minh. Trong trường hợp a hoặc b bằng 1 là tầm thường, vì vậy chúng ta có thể giả thiết rằng 1 a b< < . Chúng ta viết i i ib q a r= + , trong đó 0 i r a≤ < và 0 1i a≤ ≤ − . Vì 1 (mod )b a≡ nên tập hợp { } 1 0 a i i r − = là một tập đầy đủ các thặng dư moda . Nếu ( ) ( ) 1 1n a b≥ − − , chúng ta viết n ta r= + , trong đó 0 r a≤ < , và từ đó r ∈ { } 1 0 a i i r − = . Nếu j r r= , thế thì j t q≥ ; đối với j t q< kéo theo 9 j j j ta r n q a r jb+ = < + = . Do đó jb n− chia hết cho a . Nhưng ( ) ( ) ( ) 1 1 1jb a b a− − − ≤ − : mâu thuẫn. Do đó j t q≥ và từ đó ( ) ( ) j j j j n t q a q a r t q a jb= − + + = − + . Từ Mệnh đề 1.1.3 suy ra rằng nửa nhóm số chứa hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau sẽ chứa một iđêan { } \k x x k+ = ∈ ≥¥ ¥ của ¥ , trong đó k là số nguyên dương nào đó. Kết quả tiếp theo chứng tỏ rằng mỗi nửa nhóm số nguyên thủy khác không chứa một cặp số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. 1.1.4. Mệnh đề. Nếu S là một nửa nhóm số nguyên thủy khác không thế thì tồn tại các số nguyên dương ,a b nguyên tố cùng nhau sao cho ,a b S∈ . Chứng minh. Tồn tại một tập con hữu hạn { } 1 2 , , ., n a a a của *S ∩ ¥ với ước chung lớn nhất bằng 1. Chọn các số nguyên 1 2 , , ., n x x x sao cho: 1 1 2 2 1 . n n x a x a x a= + + + . Thế thì ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 1 1 . n n n n n n n k a a a x a x ka a x ka a − − − + + + + − = + + + +     đối với mỗi số nguyên k , và đối với k đủ lớn, mỗi i n x kx+ là các số nguyên dương sao cho ( ) ( ) 1 1 1 1 1 n i n i n n n i x ka a k a a x a S − − = + = + + + − ∈     ∑ và nguyên tố cùng nhau với n a S∈ . 1.1.5. Mệnh đề. Giả sử S là nửa nhóm số khác không và d là ước chung lớn nhất của các phần tử khác không thuộc S . (1) Tồn tại một số nguyên dương k sao cho S chứa md với mỗi m k≥ ; (2) S hữu hạn sinh. Từ đó, ¥ thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng ( ) . .a c c trên các nửa nhóm con; (3) Tồn tại một tập con hữu hạn B các phần tử sinh nửa nhóm S sao cho nếu C là một tập sinh tùy ý của S (xét như một vị nhóm) thì B C⊆ . 10 Chứng minh. Khẳng định (1) suy ra trực tiếp từ các Mệnh đề 1.1.3 và Mệnh đề 1.1.4. Để chứng minh (2), chúng ta chú ý rằng tập hợp { } 1 t i i s = các phần tử thuộc S mà bé hơn kd là hữu hạn, và S được sinh bởi: { } ( ) ( ) { } 1 , 1 , ., 2 1 t i i s kd k d k d = ∪ + − . Khẳng định nói rằng mỗi vị nhóm con của ¥ hữu hạn sinh suy ra điều kiện chuỗi tăng ( ) . .a c c trên các vị nhóm con được thỏa trong ¥ . Để chứng minh (3), giả sử 1 k là phần tử dương nhỏ nhất của S . Thế thì 1 b thuộc vào mỗi tập sinh C của S . Nếu { } 1 b sinh ra S như một vị nhóm thì hãy lấy 1 B b= . Ngược lại, giả sử 2 b là phần tử nhỏ nhất của S không nằm trong vị nhóm 1 b được sinh bởi 1 b . Thế thì { } 1 2 ,b b C⊆ đối với tập sinh C bất kỳ của S . Tiếp tục quá trình này ta nhận được 1 2 , , ., n b b b S= đối với n nào đó vì ¥ thỏa mãn điều kiện ( ) . .a c c trên các vị nhóm con, và ta hãy lấy { } 1 2 , , ., n B b b b= . Chúng ta đã thấy rằng mỗi nửa nhóm số đẳng cấu với một vị nhóm nguyên thủy. Kết quả tiếp theo chứng tỏ rằng các nửa nhóm số nguyên thủy khác nhau không đẳng cấu với nhau. 1.1.6. Mệnh đề. Giả thiết rằng S và T là các nửa nhóm số. Nếu : S T ϕ → là một đồng cấu thì tồn tại số hữu tỉ q không âm sao cho ( ) s qs ϕ = với mỗi s S∈ . Như vậy, ϕ hoặc đơn ánh hoặc ánh xạ tất cả các phần tử của S thành 0 . Nếu S và T là các vị nhóm nguyên thủy và ϕ là đẳng cấu từ S lên T thì S T= . Chứng minh. Giả sử s là phần tử khác không của S và ( ) t s ϕ = , giả sử t q s = . Lấy 's S∈ .