Tính chất mở rộng và thu hẹp iđêan đối với các t nửa nhóm luận văn thạc sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNGÔ THỊ THANH TÚ TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH – 2011... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ THỊ THANH TÚ

TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP

IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

VINH – 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ THỊ THANH TÚ

TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP

IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

MÃ SỐ: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ QUỐC HÁN

VINH – 2011

MỤC LỤC

Trang

1.1 Iđêan và các quan hệ Grin trên nửa nhóm 4

Chương 2 TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP IĐÊAN

2.1 Tính chất mở rộng iđêan và mở rộng tương đẳng đối với

Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng iđêan nếu đối với mỗi nửa nhóm con T của S và mỗi iđêan I của T có một iđêan J của S sao

cho J T I

Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất thu hẹp iđêan nếu S không phải là nửa nhóm đơn và với mọi iđêan I của S, tồn tại một thu hẹp đồng

cấu  :S  I

Luận văn của tôi dựa trên bài báo chính “On t – semigroups” của

J.A.Dumesnil đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 50 (1995) để tìm hiểutính chất mở rộng và thu hẹp iđêan các iđêan

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất củacác iđêan,các quan hệ Grin trên nửa nhóm xyclic

Chương 2 Tính chất mở rộng và thu hẹp iđêan đối với các t – nửa nhóm.

2.1 Tính chất mở rộng iđêan và mở rộng tương đẳng đối với các t –

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô ở khoa toán – Trường Đại

Học Vinh, đặc biệt là các thầy cô trong chuyên nghành đại số và lý thuyết

số đã tận tình dạy chúng tôi trong hai năm qua Tôi xin bày tỏ lòng biết ơntới khoa Sau Đai Học - Trường Đại học Vinh và Trường Đại học Sài Gòn

đã tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành chương trình học tập cũng như bảnluận văn này

Mặc dù đã hết sức cố gắng song luận văn không tránh khỏi nhữngthiếu sót Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô bạn bè

để luận văn được hoàn thành tốt hơn

Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả

Ngô Thị Thanh Tú

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 IĐÊAN VÀ CÁC QUAN HỆ GRIN TRÊN NỬA NHÓM.

1.1.1 Định nghĩa Giả sử I là một tập con không rỗng của nửa nhóm S.

Khi đó:

i) I được gọi là iđêan trái (tương ứng, phải) của nửa nhóm S nếu

(tương ứng, IS

ii) I được gọi là iđêan của S nếu I vừa là idêan trái, vừa là iđêan phải.

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra

1.1.2 Hệ quả Giả sử I là tập con khác rỗng của nửa nhóm S Thế thì

i) I là iđêan trái (tương ứng, phải) của S nếu với mọi , với mọi

ii) Nếu I là iđêan trái của S thì I là một nửa nhóm con của S.

iii) Nếu I và J là các iđêan trái (phải) của S với

cũng là iđêan trái (phải) của S.

1.1.3 Định nghĩa Giả sử I là một iđêan của S Ta định nghĩa một quan hệ

I

 xác định bởi

I I I i s

   

(nghĩa là xI y nếu và chỉ nếu hoặc x, hoặc x = y) Khi đó I là một

tương đẳng trên S và được gọi là tương đẳng Rixơ trên S liên kết với I.

Để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.3 hợp lý, ta cần chứng minh rằng I làmột tương đẳng, nhưng điều đó được suy ra trực tiếp từ định nghĩa

Nửa nhóm thương

I

S

 sẽ được ký hiệu là SI , và được gọi là thương

Rixơ của iđêan I SI có một phần tử là I và các phần tử khác {x}, với

x I Để đơn giản ký hiệu, chúng ta đồng nhất phần tử {x} = xI với

phần tử Tích các phần tử trong như sau x.y =xy với x, y I và

1.1.4 Định nghĩa Một iđêan I của nửa nhóm S được gọi là iđêan tối tiểu

nếu với mọi iđêan J của S,J  I kéo theo J = I.

1.1.5 Bổ đề Giả sử I là iđêan tối tiểu và J là iđêan tùy ý của S Thế thì

I  J

Mặt khác, , và do đó là iđêan của S, nên từ tính tối tiểu của I, suy ra và do đó

Do đó, ( , +) không có iđêan tối tiểu Tuy nhiên, mọi nửa nhóm hữu hạn S đều có một iđêan tối tiểu, đó chính là iđêan có số phần tử ít nhất (iđêan như vậy tồn tại vì S là một iđêan của S và S chỉ có hữu hạn phần tử).

1.1.7 Định nghĩa Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm đơn, nếu nó

không có iđêan khác S.

1.1.8 Bổ đề Nửa nhóm đơn nếu và chỉ nếu S = SxS, với mọi x S.

Chứng minh Rõ ràng rằng, với mọi x có SxS = S là iđêan của S, và do đó

nếu S đơn thì SxS = S.

Đảo lại, giả thiết rằng với mọi x có SxS = S Khi đó nếu I là một đêan của S và x nào đó thì S = SxS I nên I = S Vậy S đơn

1.1.9 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Ta định nghĩa các quan hệ

L, , sau đây trên S

L

trong đó S 1 a, aS 1 và S 1 aS1là các iđêan chính trái, chính phải và iđêan chính

của S được sinh ra bởi a Theo định nghĩa,

a L

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra các quan hệ L, là các quan hệ

tương đương trên S Thực ra, là một tương đẳng phải và là một tương đẳng trái trên S.

Với mỗi x , ta ký hiệu L x là L - lớp tương đương chứa x:

b c

a b c

b a c

c b c

Do đó kéo theo α(X) = β(X) Mặt khác, nếu α(X) = β(X) thì xác

định bởi:

Thế thì ký hiệu trên, có , và do đó

z, z y Do đó tồn tại các phần tử s, s’, r, r’ S sao cho

x = sz, z = s’x, z = yr, y = zr’

Ký hiệu t = szr’ Thế thì t = szr’ = xr’, x =sz = syr =szr’r =tr nên x t.

Ta lại có: t = szr’ = sy, y = zr’ = s’szr’ = s’t nên Lt.

Suy ra (x, y) oL nên oL  L o

Tương tự, có L o L o nên L o = oL.

1.1.12 Định nghĩa Giả sử L và là các quan hệ tương đương đã được

xác định theo Định nghĩa 1.1.9 Ta xác định các quan hệ trên S bởi:

Khi đó H là quan hệ tương đương lớn nhất của S được chứa trong L

và theo lý thuyết tập hợp Ta chứng minh D là quan hệ tương đương bé

nhất chứa cả L và

Thật vậy, vì L và là quan hệ tương đương nên D = L o cũng là

quan hệ tương đương Hơn nữa, x Lx và x x với mọi xS1 nên L D và

 L.

H được xác định như trên đươc gọi là các quan hệ Grin trên nửa nhóm S

Biểu đồ bao hàm của các quan hệ Grin được cho bởi hình dưới đây vớichú ý D  T

Ký hiệu D x và H x là các D – lớp và H – Lớp tương ứng chứa x  S.

Khi đó với mọi x có L x  x = H x

1.1.13.Bổ đề Đối với mỗi nửa nhóm S, ta có

R L

H D T

Giả sử S là một nửa nhóm Với

mỗi s  S chúng ta xác định một

ánh xạ:

1.1.14 Bổ đề Giả sử S là một nửa nhóm, x Ly và giả sử s,s’  S 1 sao cho

sx = y và s’y = x Thế thì

i) s : R xR y và s,: R y R x là các song ánh;

ii) s,=s1 là hàm ngược của s hạn chế trên R x,

iii) s bảo toàn các H - lớp, nghĩa là đối với mọi u,v  x :

R x ∩ L y

R

x {

L y

u Hv  s (u) Hs (v).

Chứng minh Trước hết, phải chứng minh s ánh xạ R x vào y Muốn vậy,

giả sử z  x , nghĩa là zS1 = xS1 Thế thì sxS1 = yS1 Do đó s (z) = sz  y.Lập luận tương tự, ta có s, ánh xạ R y vào R x

Nếu z x thì z x, và do đó có các phần tử u, u’ S1 sao cho

Để chứng minh iii), chúng ta chú ý rằng u H v nếu và chỉ nếu uLv và

u v do đó u Hv  s (u) Ls v và s (u) (v)  s (u) Hs (v) s

(v) do ii) và vì là một tương đẳng trái (và s (u) = su, s (v) = sv) Mặt

khác, nếu s (u) Hs (v), nghĩa là su H sv thì uHv, vì do (1.1), u = s’su

và

v = s’sv (và do là một tương đẳng trái và s giữ nguyên các L - lớp)

Nói riêng, s ánh xạ mỗi H - lớp H 2 (với z  x) song ánh vào

iii) r : bảo toàn các lớp, nghĩa là w λ r (w) với mọi w  L y

1.1.16.Hệ quả

i) Giả sử e  E s là một lũy đẳng Nếu x Le thì xe = x Nếu x e thì ex = x;

ii) Mỗi H – lớp chứa không quá một lũy đẳng

Chứng minh i) Nếu x Le thì x  L s nghĩa là x = se với s  S1 nào đó Thế

thì x = se = se2 = se.e = xe Chứng minh khẳng định còn lại tương tự.

ii) Giả sử e, f  E S và e Hf Khi đó L và nên e (vì đối

xứng) Do đó i) có ef = e và ef = f 

1.1.17 Hệ quả Các H – lớp nằm trong một D – lớp có cùng lực lượng, nghĩa là tồn tại một song ánh giữa H x và H y nếu x Dy.

Chứng minh Thật vậy, nếu x, z  S nằm trong cùng một lớp D – sao cho

x Ly, y z Với sx = y, s’y = x, yr = z, zr’ = y thì theo các bổ đề trên,

Chứng minh Trước hết ta giả sử rằng xy  x  L y Vì y Lxy, chúng ta có

thể chọn s = x trong Bổ đề 1.1.15, và như vậy p x : R y  Rxy làsong ánh Vì xy

x nên R xy = R x , do đó p x : R y  x là một song ánh Ánh xạ x bảo toàn các

L - lớp và do đó  x ánh xạ Ry  L x vào R x  L x = H x Do đó tồn tại

z  R y  L x sao cho x (z) = x, nghĩa là zx = x.

Vì z Lx nên tồn tại u  S1 sao cho z = ux Khi đó xux = xz = z và do

Trong Định lý Grin sau đây, G được gọi là một nhóm con nửa nhóm

S nếu G là một nửa nhóm con mà bản thân G là một nhóm.

1.1.19 Bổ đề Giả sử e, f  E S Thế thì với mọi x  R e  L f , tồn tại

1.1.20 Định lý Giả sử H là một H – lớp của nhóm S Thế thì các điều

kiện sau đây là tương đương:

ii) Tồn tại x, y  H sao cho xy  H;

iii) H là một nhóm con của S.

Chứng minh.

i)  ii): là hiển nhiên, vì ta có thể chọn x = e = y với lũy đẳng e  H

ii) iii): Do đó H chứa một lũy đẳng e, và theo khẳng định ngược lại

của Định lý 1.1.18 chúng ta biết rằng H là một nửa nhóm con của S Hơn

nữa, H là vị nhóm con với đơn vị là e theo Hệ quả 1.1.16 Rồi áp dụng Bổ

đề 1.1.19 với e = f Điều này suy ra H là một nhóm.

i): Vì phần tử đơn vị của một nhóm con H là một lũy đẳng của

S 

1.2 NỬA NHÓM XYCLIC

Ta nhắc lại rằng, tập hợp con A khác rỗng của nửa nhóm S được gọi là

một nửa nhóm con của S nếu A khép kín dưới phép lấy tích, nghĩa là với

Chứng minh Thật vậy, giả sử x, y  A thì x, y  A i với mọi i  I Vì A i là

nửa nhóm con của S với mọi i  I nên xy  

I i A i hay xy  A Vậy A là nửa nhóm con của S 

Giả sử X là một tập hợp con khác rỗng của nửa nhóm S, ta ký hiệu [X] S

là giao của tất các các nửa nhóm con của S chứa X Theo Bổ đề 1.2.1 [ X] S

là một nửa nhóm con của S và gọi là nửa nhóm con sinh bởi X, và nó là nửa nhóm con bé nhất của S chứa X Trong trường hợp S đã được xác định rõ ràng trong ngữ cảnh đang xét thì ta sẽ viết [X] thay cho [X] S

Nếu X = {x 1 ,x 2 ,…} là một tập hữu hạn hay vô hạn đếm được thì ta sẽ

viết [x 1 ,x 2 …] thay cho [{x 1 ,x 2 …}] Nói riêng, nếu X là một tập đơn tử

X = {x} thì ta sẽ viết [x] thay cho [{x}] S

1.2.2 Mệnh đề Giả sử X là một tập con không rỗng của nửa nhóm S.

Chứng minh Ký hiệu A =

 1

n

X n Khi đó A là nửa nhóm con của S Mặt

khác, X n  [X] S , với mọi n  1 nên từ [X] S là nửa nhóm con của S chứa X

ta có điều phải chứng minh 

1.2.3 Mệnh đề Giả sử  : S  P là một đồng cấu của nhóm và XS Khi

đó  ([X] S ) = [ (X)] P.

Chứng minh Nếu y  ([X] S ) thì có x  ([X] S ) sao cho y =  (x) Khi đó

tồn tại x 1 , x 2, …,xn  X sao cho x = x 1 x 2 …x n Vì  là đồng cấu nên

y =  (x) =  ( x 1 x 2 …xn) =  (x1)  (x2)…  (xn)  [ (X)] P (Vì

 (x i)  (X) với mọi i = 1, 2 n) Do đó  ([X] S) [ (X)] P Đảo lại, nếu

y  [ (X)] P thì tồn tại y 1 , y 2, …,y m [X] sao cho y= y 1 y 2 …y m Với mỗi

j = 1,2,…, m có x j  X sao cho  (xj) = yj Khi đó x = x 1 x 2 …x m [X]S và

y =  (x1)  (x2)…  (x m) =  (x 1 x 2 …x m) =  (x)  ([X] S) nên [ (X)] P

 ([X] s) và do đó  ([X]S) = [ (X)]P.

Từ Bổ đề 1.2.1, trực tiếp suy ra

1.2.4 Hệ quả Nếu A là nửa nhóm con của S và  :S  P là một đồng cấu

Bây giờ, ta xét trường hợp đặc biệt X chỉ gồm một phần tử a Khi đó [X] s được gọi là nửa nhóm con xyclic sinh bởi a

Theo Mệnh đề 1.2.2, nửa nhóm con [a] của S gồm các lũy thừa nguyên dương của a

[a] = {a, a2, a3…}

Hai khả năng xảy ra:

i) Hoặc mỗi lũy thừa a điều khác nhau, khi đó [a] có vô hạn đếm

được phần tử, hơn nữa ánh xạ:  [a] đặt tương ứng mỗi số nguyên dương n với phần tử a n

 [a] là một đẳng cấu từ nửa nhóm cộng các số

nguyên dương * lên [a] nên [a]  * Trong trường hợp này, ta nói rằng

[a] là nửa nhóm xyclic vô hạn

ii) Hoặc tồn tại số nguyên dương k sao cho [a] = {a,a2, ,a k – 1} gồm

k – 1 phần tử riêng biệt Khi đó, tồn tại số nguyên dương r sao cho a k

= a n + m với mọi n  r Trong trường hợp này, m được gọi là

chu kỳ và r được gọi là chỉ số của nửa nhóm con [a]

Ta tổng kết các kết quả trên vào mệnh đề sau

1.2.5 Mệnh đề Gỉả sử a là một phần tử của nửa nhóm S và [a] là nửa

nhóm xyclic sinh bởi a Nếu [a] là nửa nhóm xyclic vô hạn thì mọi lũy thừa của a khác nhau Nếu [a] là nửa nhóm xyclic hữu hạn với chỉ số r và chu kì

m của thì a m + r = a r và [a] ={a,a 2 ,…,a r , a r + 1 ,…,a m + r – 1 }.Khi đó số phần tử

[a] bằng m + r – 1 Tập K a = { a r , a r + 1 ,…, a m + r – 1 } là nhóm con xyclic cấp

m của nửa nhóm S.

S Thật vậy, dễ thấy K a là nửa nhóm con của S Đặt a n  Ka (r  n  r + m – 1 ) và xét ánh xạ : a n  (m) + n trong đó (m) + n là lớp

thặng dư theo mod m Khi đó  là một đẳng cấu từ K a lên tất cả các

lớp thặng dư theo mod m Từ đó K a là nhóm con xyclic cấp m của S 

1.2.6 Chú ý Ta thấy, (a n ) = (m) khi và chỉ khi n chia hết cho m Do đó, đơn vị của K a là phần tử a n thỏa mãn r  n  m + r – 1 sao cho n 0(mod )

Nếu [ ] là nửa nhóm xyclic vô hạn thì [ ] đẳng cấu với nhóm cộngcác số nguyên dương * Do đó, cấu trúc của các nửa nhóm xyclic vô hạnxem như đã được mô tả một cách tường minh Tuy nhiên, kết quả sau đâykhá bất ngờ.

1.2.7 Mệnh đề Mỗi ảnh đồng cấu của nửa nhóm xyclic vô hạn là một

nhóm xyclic hữu hạn, và mỗi nhóm xyclic hữu hạn là ảnh đồng cấu của nửa nhóm xyclic vô hạn

nửa nhóm G ( là nửa nhóm cộng các số tự nhiên) và  (1)= y Khi đó,

với mỗi g  G, tồn tại k  sao cho  ( ) k  g  g = y k nên G là một nhóm xyclic sinh bởi y.

Mặt khác, nếu  là tương đẳng hạt nhân cảm sinh bởi  (nghĩa là a

b nếu và chỉ nếu  ( ) a   ( ) b thì hay Do đó:

+) Hoặc  = thì G mâu thuẫn vì G là một nhóm mà là nửa

nhóm

+) Hoặc  ≠ thì hữu hạn nếu G hữu hạn thì G là nhóm

xyclic hữu hạn

Đảo lại, nếu G là nhóm xyclic cấp m thì Hơn nữa, tương ứng

:  Z m, (k) = k là một đồng cấu từ lên nên là ảnh đồng

cấu của Từ đó suy ra G là ảnh đồng của nửa nhóm 

Ta quan tâm đến các nhóm xyclic hữu hạn Đối với hai số nguyên

dương cho trước r và m, có thể xây dựng nửa nhóm xyclic [a] mà chỉ số bằng r và chu kỳ bằng m Chẳng hạn, nếu:

X = {0, 1, 2,…, r, r +1, …, r + m – 1} và A là nửa nhóm con của nửa

nhóm đầy đủ các phép biến đổi T X sinh bởi phần tử

r

m r m

r r r

1

1

3

2

1

1 2

1

2

1

0

hạn chỉ số r và chu kỳ m Hiển nhiên, hai nửa nhóm xyclic hữu hạn đẳng

cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng chỉ số và chu kỳ

CHƯƠNG 2 TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP IĐÊAN

ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM.

2.1 TÍNH CHẤT MỞ RỘNG IĐÊAN VÀ MỞ RỘNG TƯƠNG

ĐẲNG ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM.

2.1.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Khi đó S được gọi là một t

– nửa nhóm (t-semigroup) nếu quan hệ “là iđêan của” có tính chất bắc cầu

(transitive) trong tập hợp các iđêan của S.

Cụ thể hơn, S là một t – nửa nhóm nếu điều kiện sau đây được thoả mãn: Nếu J là một iđêan của S và I là một iđêan của J thì I là iđêan của S.

Ta nhắc lại rằng một nhóm G được gọi là t – nhóm nếu quan hệ “là

nhóm con chuẩn tắc của” có tính bắc cầu trong tập hợp các nhóm con của

G, nghĩa là: Nếu L, M, N là các nhóm con của G sao cho L M , M N thì

N

L Vì các iđêan của một nửa nhóm theo một nghĩa nào đó tương tự các

nhóm con chuẩn tắc của một nhóm, nên các t – nửa nhóm tương tự các t –

nhóm Chẳng hạn năm 1977, B.Biró, E.W.Kiss và P.R.Páfy đã chứng minh

được rằng: một nhóm hữu hạn G có tính chất mở rộng tương đẳng nhóm nếu và chỉ nếu G là một t – nhóm giải được Chúng ta tìm hiểu mối liên hệ giữa các t – nửa nhóm với sự mở rộng hoặc thu hẹp iđêan và tính chất mở

rộng tương đẳng trên nửa nhóm

Từ Định nghĩa 2.1.1, suy ra

2.1.2 Mệnh đề.

i) Ảnh đồng cấu của một t – nửa nhóm là một t – nửa nhóm;

ii) Tích trực tiếp tuỳ ý của các t – nửa nhóm là một t – nửa nhóm.

Chứng minh.