Tính chất mở rộng và thu hẹp iđêan đối với các t nửa nhóm luận văn thạc sĩ toán học

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGÔ THỊ THANH TÚ TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGÔ THỊ THANH TÚ TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ QUỐC HÁN VINH – 2011 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Iđêan quan hệ Grin nửa nhóm 1.2 Nửa nhóm xyclic 13 Chương TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC t-NỬA NHÓM 18 2.1 Tính chất mở rộng iđêan mở rộng tương đẳng t – nửa nhóm 18 2.2 Tính chất mở rộng thu hẹp Iđêan t – nửa nhóm 29 2.3 Tính chất thu hẹp iđêan nửa nhóm tách 33 Kết luận 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 MỞ ĐẦU Hai khái niệm sau nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu vào cuối kỷ 20 đầu kỷ 21 Một nửa nhóm S gọi có tính chất mở rộng iđêan nửa nhóm T S iđêan I T có iđêan J S cho J ∩ T = I Một nửa nhóm S gọi có tính chất thu hẹp iđêan S nửa nhóm đơn với iđêan I S, tồn thu hẹp đồng cấu ϕ : S → I Luận văn dựa báo “On t – semigroups” J.A.Dumesnil đăng tạp chí Semigroup Forum số 50 (1995) để tìm hiểu tính chất mở rộng thu hẹp iđêan iđêan Luận văn gồm hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng trình bày khái niệm tính chất iđêan,các quan hệ Grin nửa nhóm xyclic Chương Tính chất mở rộng thu hẹp iđêan t – nửa nhóm 2.1 Tính chất mở rộng iđêan mở rộng tương đẳng t – nửa nhóm 2.2 Tính chất mở rộng thu hẹp Iđêan t – nửa nhóm 2.3 Tính chất thu hẹp iđêan nửa nhóm tách Luận văn hoàn thành Trường Đại Học Vinh hướng dẫn PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy,người định hướng thường xuyên giúp đỡ chúng trình học tập tập dượt nghiên cứu khoa học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy cô khoa toán – Trường Đại Học Vinh, đặc biệt thầy cô chuyên nghành đại số lý thuyết số tận tình dạy chúng hai năm qua Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới khoa Sau Đai Học - Trường Đại học Vinh Trường Đại học Sài Gòn tạo điều kiện để hoàn thành chương trình học tập cũng luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn be để luận văn hoàn thành tốt Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả Ngô Thị Thanh Tú CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 IĐÊAN VÀ CÁC QUAN HỆ GRIN TRÊN NỬA NHÓM 1.1.1 Định nghĩa Giả sử I tập không rỗng nửa nhóm S Khi đó: i) I gọi iđêan trái (tương ứng, phải) nửa nhóm S (tương ứng, IS ii) I gọi iđêan S I vừa idêan trái, vừa iđêan phải Từ định nghĩa trực tiếp suy 1.1.2 Hệ Giả sử I tập khác rỗng nửa nhóm S Thế i) I iđêan trái (tương ứng, phải) S với có ii) (tương ứng, , với ) Nếu I iđêan trái S I nửa nhóm S iii) Nếu I J iđêan trái (phải) S với iđêan trái (phải) S 1.1.3 Định nghĩa Giả sử I iđêan S Ta định nghĩa quan hệ ρ I xác định ρ I = I × I ∪ is (nghĩa x ρ I y hoặc x, hoặc x = y) Khi ρ I tương đẳng S gọi tương đẳng Rixơ S liên kết với I Để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.3 hợp lý, ta cần chứng minh ρ I tương đẳng, điều suy trực tiếp từ định nghĩa Nửa nhóm thương S ρ I ký hiệu Rixơ iđêan I S I S I , gọi thương có phần tử I phần tử khác {x}, với x ∈ S Để đơn giản ký hiệu, chúng ta đồng phần tử {x} = x ρ I với I phần tử Tích phần tử Ix = I = xI với sau x.y =xy với x, y Do I phần tử không (zero) I 1.1.4 Định nghĩa Một iđêan I nửa nhóm S gọi iđêan tối tiểu với iđêan J S,J ⊆ I kéo theo J = I 1.1.5 Bổ đề Giả sử I iđêan tối tiểu J iđêan tùy ý S Thế I ⊆ J Chứng minh Trước hết , S, nên Hơn nữa Mặt khác, I, suy , Thật vậy, I J những iđêan Do iđêan S, nên từ tính tối tiểu Từ bổ đề 1.1.5 trực tiếp suy 1.1.6 Hệ Nếu nửa nhóm S có iđêan tối tiểu, iđêan tối tiểu S Chú ý nửa nhóm có hoặc iđêan tối tiểu Xét nửa nhóm ( , +) Các iđêan nhóm ( , +) thực chất tập n+ = Hơn nữa m ≥ n Do đó, ( , +) iđêan tối tiểu Tuy nhiên, nửa nhóm hữu hạn S có iđêan tối tiểu, iđêan có số phần tử (iđêan tồn S iđêan S S có hữu hạn phần tử) 1.1.7 Định nghĩa Một nửa nhóm S gọi nửa nhóm đơn, iđêan khác S 1.1.8 Bổ đề Nửa nhóm đơn S = SxS, với x S Chứng minh Rõ ràng rằng, với x có SxS = S iđêan S, S đơn SxS = S Đảo lại, giả thiết với x có SxS = S Khi I đêan S x 1.1.9 S = SxS I nên I = S Vậy S đơn Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Ta định nghĩa quan hệ L, , sau S L S1a, aS1và S1aS1là iđêan trái, phải iđêan S sinh a Theo định nghĩa, aL Từ định nghĩa trực tiếp suy quan hệ L, tương đương S Thực ra, quan hệ tương đẳng phải tương đẳng trái S Với x , ta ký hiệu Lx L - lớp tương đương chứa x: x ={y S / xL y} Tương tự, Rx Jx ký hiệu lớp tương đương theo tương ứng chứa x 1.1.10 Ví du (1) Xét nửa nhóm S ={a, b, c} với phép nhân xác định bảng Thế S1a = {a, b, c}, S1b = {b,a}, S1c = {c}, a b c a b c a b c b a b c c c aS1 ={a, b, c}, bS1 = {a, b, c}, cS1 = {b, c} lớp tương đương theo quan hệ L La = {a}, Lb = {b}, Từ a Lc = {c}, theo quan hệ Ra = {a},{ b} = Rb, Rc = {c} (2) Giả sử TX nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi tập X Thế α, β TX : α Do định kéo theo α(X) = β(X) Mặt khác, α(X) = β(X) xác bởi: Thế ký hiệu trên, có nên α , 1.1.11 Định lý Các quan hệ L giao hoán : L o Chứng minh Giả sử (x,y)∈L o Thế có phần tử z = oL S cho xL z, z y Do tồn phần tử s, s’, r, r’ S cho x = sz, z = s’x, z = yr, y = zr’ Ký hiệu t = szr’ Thế t = szr’ = xr’, x =sz = syr =szr’r =tr nên x t Ta lại có: t = szr’ = sy, y = zr’ = s’szr’ = s’t nên Lt Suy (x, y) oL Tương tự, có L o nên Lo oL ⊂Lo nên L o 1.1.12 Định nghĩa Giả sử L = oL. quan hệ tương đương xác định theo Định nghĩa 1.1.9 Ta xác định quan hệ S bởi: 10 D =Lo = oL H = L Khi H quan hệ tương đương lớn S chứa L theo lý thuyết tập hợp Ta chứng minh D quan hệ tương đương bé chứa L Thật vậy, L quan hệ tương đương nên D = L o cũng quan hệ tương đương Hơn nữa, xLx x x với x∈S1 nên L ⊆ D ⊆ L Nếu T quan hệ tương đương S chứa L, nên D quan hệ tương đương bé chứa L D ⊆ T, an hệ L, , D, H xác định đươc gọi quan hệ Grin nửa nhóm S Biểu đồ bao hàm quan hệ Grin cho hình với chú ý D ⊆ T T D R L H Ký hiệu Dx Hx D – lớp H – Lớp tương ứng chứa x ∈ S Khi với x có Lx ∩ x = Hx 1.1.13 Bổ đề Đối với nửa nhóm S, ta có 24 khác ta nói a có số vô hạn Chỉ số a ký hiệu index(a) (iii) Đối với phần tử a nửa nhóm S, index(a) số nguyên dương n nhỏ cho a n = M ( a ) M ( a ) ≠ ∅ index(a) = ∞ M ( a ) = ∅ (chú ý: S nửa nhóm M(S) ký hiệu iđêan tối tiểu S iđêan tồn tại) (iv) Ta định nghĩa index(S) giá trị cực đại (maximum) index(a) a chạy khắp S, giá trị tồn Trong trường hợp ngược lại, ta định nghĩa index(a) = ∞ 2.1.9 Bổ đề Nếu S t – nửa nhóm xyclic index(S) ≤ Chứng minh Giả sử S t – nửa nhóm xyclic Giả thiết index(S) = n + ≥ Chúng ta viết S = {a, a , a3 , , a n } ∪ M ( S ) Giả sử I = {a , a , , a n} ∪ M ( S ) K = {a , a , , a n } ∪ M ( S ) Thế I iđêan S K iđêan I K iđêan S Thật vậy, a = a a ∈ SK a3 ∉ K Điều mâu thuẫn với giả thiết S t – nửa nhóm Do index(S) ≤  2.1.10 Định nghĩa Một nửa nhóm S gọi có tính chất mở rộng tương đẳng (congruaence extension property – CEP) nửa nhóm T S tương đẳng σ , σ có mở rộng S 2.1.11 Định lý Một nửa nhóm xyclic a có tính chất mở rộng tương đẳng index(a) ≤ Chứng minh • Giả thiết a có số Thế T = {a2, a3,…} nửa nhóm a I = {a2, a4, a5…} iđêan T Giả sử σ = I × I  ∆ T (trong ∆T quan hệ đồng T: ( a, b ) ∈ ∆ T ⇔ a = b với 25 a, b ∈ T ) Giả sử σ tương đẳng S = a sinh σ Vì ( a, a ) ∈ a × a ( a ,a ) ∈σ ⊆ σ nên ( a, a ) ( a , a ) = ( a , a ) ∈ σ Khi ( a , a ) ∈ σ ( T × T ) , ( a ,a ) ∉ σ Suy σ 3 5 mở rộng σ từ a tính chất mở rộng tương đẳng • Đảo lại, giả thiết index(a) ≤ Ta chứng minh a có tính chất mở rộng tương đẳng Đặt i = index(a ) Xét khả xảy ra: (1) Nếu i = a nhóm xyclic hữu hạn a có tính chất mở rộng tương đẳng (2) Nếu i = a = a ∪ M ( a ) ,trong M ( a xyclic nửa nhóm thực T (3) Nếu i = ) nhóm a nhóm M a = {a, a2} ∪ M nữa nhóm thực T a hoặc nhóm M hoặc có dạng T = {a2} ∪ H với H nhóm M, trường hợp này, T = {a2} hoặc T = {a2} ∪ M Phần còn lại cần chứng minh khẳng định: Nếu T nhóm M, tương đẳng T mở rộng thành tương đẳng a Thật vậy, giả sử σ tương đẳng T với T nửa nhóm M, tồn tương đẳng σ * M mở rộng σ Giả sử σ : = σ * ∪ ∆ a Thế σ mở rộng σ lên a Thật vậy, trực tiếp kiểm tra để cần chứng tỏ (x, y) ∈ σ mở rộng σ lên σ z ∈ a (xz, yz) ∈ a , σ Nếu 26 z ∈ M điều hiển nhiên Nếu z = a hoặc z = a2 σ * xác định nhóm chuẩn tắc K M cho (x, y) ∈ σ xy −1 ∈ K Khi (xa)(ya)–1 = xy–1 (x2a)(y2a)–1 = xy–1 nên (xa, ya) ∈ σ * ⊆ σ (xa2,ya2) ∈ σ * ⊆ σ (x,y) ∈ σ Hơn nữa σ ∩ (T × T ) = (σ * ∪ ∆ ) ∩ (T × T ) = σ * ∩ (T × T ) = σ  2.1.12 Hệ Giả sử S nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng, index(S) ≤ 2.1.13 Định nghĩa Một phần tử a nửa nhóm S gọi nhiễu xạ (disruptive element) tồn iđêan T S cho a ∈ T JT(a) ⊂ 1 JS(a) ∩ T (chứa thực sự), J T (a) = T 1aT J S ( a ) = S aS iđêan T S tương ứng sinh a Năm 1991, J I Garcia chứng minh ba điều kiện sau nửa nhóm S tương đương : (1) S có tính chất mở rộng iđêan (2) S có tính chất mở rộng iđêan (3) S phần tử nhiễu xạ (Xem [9]) Từ đó, ta nhận kết sau 2.1.14 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm giao hoán T nửa nhóm S.Thế phần tử quy T nhiễu xạ T Chứng minh Giả sử r phần tử quy T, tồn phần tử t ∈ T cho rtr = r Giả sử p ⊂ JS(r) ∩ T p = sr với s ∈ S1 p ∈ T Do đó, ptr = srtr = sr = p Vì p, t ∈ T nên p ∈ JT(r), từ JT = Js(r) ∩ T Vậy r phần tử nhiễu xạ T 27 2.1.15 Hệ Giả sử e phần tử lũy đẳng nửa nhóm giao hoán S Khi e phần tử nhiễu xạ S Chứng minh Vì e lũy đẳng S nên e2 = e, từ e.e.e = e nên e quy S Áp dụng Mệnh đề 2.1.14 với T = S, ta suy e phần tử nhiễu xạ S  2.1.16 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm giao hoán với tính chất mở rộng tương đẳng Khi S có tính chất mở rộng iđêan Chứng minh Giả thiết S tính chất mở rộng iđêan Thế S chứa phần tử nhiễu xạ a theo Hệ 2.1.15, tồn J T ( a ) ⊂ J S ( a ) ∩ T (chứa thực sự) Giả sử s ∈ S cho sa ∈ T sa ≠ ta với t nhiễu xạ nên a lũy đẳng (a, a2) sa2 = (sa)a a ∈ T cho ∈ T1 Vì a phần tử ∈ T×T Khi đó, sa ∈ T ∈ T, từ (sa, sa2) ∈ αS(a, a2) ∩ (T×T) αS(a, a2) tương đẳng S sinh cặp (a, a2) Do đặc trưng αT(a, a2) theo điều kiện sa ≠ ta với t ∈ T1 sa ≠ sa2, nên chuyển tiếp vào T nối sa với sa2 Suy (sa, sa2) ∉ αT(a, a2) từ αS(a, a2) ∩ (T×T ) ≠ αT (a, a2) Điều mâu thuẫn với giả thiết S có tính chất mở rộng tương đẳng  2.1.17 Định lý Giả sử S nửa nhóm xyclic Khi điều kiện sau tương đương: (1) (2) (3) (4) S t – nửa nhóm; S có số nhỏ 3; S có tính chất mở rộng tương đẳng; S có tính chất mở rộng iđêan 28 Chứng minh Giả sử S nửa nhóm xyclic, cách áp dụng Bổ đề 2.1.9, Định lý 2.1.11, Định lý 2.1.17 Mệnh đề 2.1.16 ta nhận (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1)  2.1.18 Mệnh đề Giả sử r phần tử quy nửa nhóm S I iđêan S chứa r Khi r phần tử nhiễu xạ I Chứng minh Vì r phần tử quy S nên tồn t ∉ S cho rtr = r, trt = t Do t ∉ I I iđêan S Giả sử p ∉ JS (r) ∩ I Thế p = urv với u, v ∉ S1 Khi p = urv = u(rtr)v = ur(trt)rv = (urt)(trv) ∉ I1rI1 = Jr(r) Từ đó, JI(r) = JS(r) ∩ I nên r phần tử nhiễu xạ I  2.1.19 Hệ Giả sử S nửa nhóm quy Khi S t – nửa nhóm Chứng minh Giả sử S nửa nhóm quy, I iđêan S K iđêan I Thế Vì UJ ( x) S x∈k   K = U J I ( x ) = U  J S ( x ) ∩ I  =  U J S ( x ) ÷∩ I x∈K x∈k  x∈k  iđêan S I cũng iđêan S nên K iđêan S Vậy S t – nửa nhóm  (chú ý phần tử a ∈ S gọi phần tử quy tồn s ∈ S cho asa = a Khi tồn s ∈ S cho asa = a, sas = s Nửa nhóm S gọi nửa nhóm quy phần tử S phần tử quy) Ta nhắc lại nửa nhóm S gọi băng (band) phần tử S phần tử lũy đẳng (nghĩa s2 = s với s∈ S) 2.1.20 Hệ Mỗi băng t – nửa nhóm Chứng minh Vì băng nửa nhóm quy (các lũy đẳng phần tử quy). 29 Chú ý S t – nửa nhóm S1 = S ∪ {1} nửa nhóm thu cách ghép thêm đơn vị (nếu S chưa có đơn vị), nữa E tập hợp lũy đẳng S1 ES1 = S1E = S1 S1 chưa phải t – nửa nhóm 2.1.21 Định lý Giả sử S nửa nhóm có tính chất mở rộng tương đẳng Khi S t – nửa nhóm Chứng minh Giả sử S nửa nhóm có tính chất mở rộng tương đẳng Giả thiết phản chứng S t – nửa nhóm Thế tồn iđêan I S iđêan K I cho K iđêan S Khi tồn a ∈ K cho J S ( a ) ⊄ K Giả sử s, t ∈ S1 cho sat ∉ K Thế sat ∈ I sat ≠ uav với u, v ∈ I1 Khi đó, K iđêan I nên J I ( a ) ⊆ K I iđêan S nên J S ( a ) ⊆ I Như vậy, J S ( a ) ⊄ K , J I (a) ⊆ K J S ( a ) ⊆ I nên J S ( a ) ≠ J I ( a ) Do a phần tử nhiễu xạ I Theo Mệnh đề 2.1.18, a phần tử quy, nói riêng, a2 ≠ a Giả sử β tương đẳng Rees cách cho K thành phần tử zero Vì a, a3 ∈ K nên αI(a, a3) ⊆ β Hơn nữa, sat ∉ K nên (sat, sa3t) ∉ β (sat, sa3t) ∉ αI(a, a3) Do đó, αS(a, a3) ∩ (IxI) ≠ αI(a, a3) mâu thuẫn với S có tính chất mở rộng tương đẳng Vậy S t – nửa nhóm  Ta kết thúc tiết ví dụ chứng tỏ chiều ngược lại Định lý 2.1.21 không đúng 2.1.22 Ví du Giả sử S = {1,2,3,4} nửa nhóm với bảng nhân Cayley: 1 1 30 1 1 1 1 3 Thế S t – nửa nhóm giao hoán tính chất mở rộng tương đẳng Các iđêan S {1}, {1,2}, {1,3}, {1,2,3}, {1,3,4} {1,2,3,4} Suy S t – nửa nhóm Để chứng tỏ S tính chất mở rộng tương đẳng, ta xét nửa nhóm T = {1,2,3} S tương đẳng σ = {(2,3), (3,2)}∩ΔT T Thế ta có s = {(2,3), (3,2), (1,3), (3,1), (1,2), (2,1)} ∪ ΔS rõ ràng mở rộng σ Như vậy, mở rộng σ làm S tồn tại, từ S tính chất mở rộng tương đẳng 2.2 TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM 2.2.1 Định nghĩa Một nửa nhóm S gọi có tính chất thu hẹp iđêan (IRP) thỏa mãn hai điều kiện: (i) S nửa nhóm đơn, nghĩa S có iđêan thực (ii) Với iđêan I S, tồn thu hẹp đồng cấu ϕ : S→I, nghĩa ϕ đồng cấu nửa nhóm ϕ I = 1I , 1I đồng I 2.2.2 Ví du Giả sử S = {1,2,3,4} nửa nhóm với bảng nhân Cayley: 1 1 1 1 1 1 31 4 4 Ta có iđêan S S, E = {1,4}, {1,3,4} {1,2,4} Kiểm tra trực tiếp với iđêan I S, ánh xạ ϕ : S→I cho x ∈ I x ∉ I x ϕ ( x) =  1 đồng cấu nửa nhóm ϕ I = 1I Vì vậy, S nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan 2.2.3 Ví du Ví dụ sau chứng tỏ tính chất thu hẹp iđêan không di truyền Giả sử S = {1,2,3,4,5,6} nửa nhóm với bảng nhân : 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Khi S có tính chất thu hẹp iđêan T = {1,5,6} nửa nhóm S Hơn nữa, T tính chất thu hẹp iđêan I = {1,6} iđêan T không tồn thu hẹp đồng cấu từ T lên I 2.2.4 Ví du Ta đưa ví dụ nửa nhóm hữu hạn có tính chất mở rộng tương đẳng mở rộng iđêan S tính chất thu hẹp iđêan Xét nửa nhóm S = {1,2,3} với bảng nhân sau: 3 1 1 2 32 Ta có I ={1,2} iđêan S thu hẹp đồng cấu từ S lên I, S tính chất thu hẹp iđêan Trực tiếp thử S có tính chất mở rộng iđêan mở rộng tương đẳng Những ví dụ chứng tỏ lớp nửa nhóm (IEP), (CEP) (IRP) thực khác Bây giờ ta xét tính chất thu hẹp iđêan t – nửa nhóm 2.2.5 Ví du Xét nửa nhóm S = {1,2,3} với phép nhân cho bảng Cayley: 3 1 1 1 1 Ta có S t – nửa nhóm, S = {1,2,3} iđêan S Tuy nhiên thu hẹp đồng cấu từ S lên J, ảnh Như tồn những t – nửa nhóm tính chất thu hẹp iđêan Tuy nhiên ta có: 2.2.6 Định lý Nếu S nửa nhóm với tính chất thu hẹp iđêan, S t – nửa nhóm Chứng minh Giả sử S nửa nhóm với tính chất thu hẹp iđêan, J iđêan S I iđêan J Khi tồn thu hẹp đồng cấu ϕ : S → I Giả sử p ∈ I s ∈ S Trước hết ta chú ý ps ∈ J p ∈ I ⊆ J J iđêan S Thế ps = ϕ ( ps ) = ϕ (p) ϕ (s) = p ϕ (s) ∈ I, p ∈ I, ϕ (s) ∈ J I iđêan J Như I iđêan S S t – nửa nhóm. 33 Ta nêu lên kết tương tự Định lý 2.1.17 tính chất thu hẹp iđêan với nửa nhóm xyclic 2.2.7 Định lý Giả sử S nửa nhóm xyclic với phần tử sinh a Khi S có tính chất thu hẹp iđêan a có số Chứng minh Trước hết chú ý S nửa nhóm giao hoán Nếu S có số 1, S nhóm S nửa nhóm đơn nên S nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan Giả thiết a có số Thế G = {an / n ≥ 2} nhóm iđêan S Giả sử e đơn vị G Thế ánh xạ ϕ : S → G xác định ϕ (x) = ex, ∀ x ∈ S thu hẹp đồng cấu từ S lên G S nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan Cuối cùng, giả thiết S có tính chất thu hẹp iđêan a có số lớn hoặc Thế I = {an / n ≥ 2} iđêan thực S Giả sử ϕ : S → I thu hẹp đồng cấu từ S lên I Khi ϕ (a) = an với n ≥ Suy a2 = ϕ (a2) = [ ϕ (a)]2 = a2p 2p > (vì p ≥ 2) Như a có số 2, mâu thuẫn dẫn tới phép chứng minh Định lý 2.2.7 hoàn thành  2.3 TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC NỬA NHÓM TÁCH ĐƯỢC Định nghĩa Một nửa nhóm S gọi tách (separative) 2.3.1 thỏa mãn điều kiện: từ a, b ∈ S, a = b =ab =ba kéo theo a = b 34 Ta nhắc lại nửa nhóm S gọi rút gọn yếu (weakly reductive) a, b ∈ S cho at = bt tb = ta với t ∈ S kéo theo a = b 2.3.2 Bổ đề Nếu I iđêan nửa nhóm tách S I rút gọn yếu Chứng minh Xem [ 8] 2.3.3 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm với tính chất thu hẹp iđêan ϕ : S → T đồng cấu từ S lên nửa nhóm T, I iđêan rút gọn yếu T Thế tồn thu hẹp đồng β : T→I cho α oγ = β oϕ , α : S → ϕ −1 ( I ) đồng cấu thu hẹp γ : ϕ −1 ( I ) → I thu hẹp ϕ −1 ( I ) Chứng minh Giả sử t ∈ Τ u, v ∈ S cho ϕ (u ) = ϕ (v) Thế ϕ ( α ( u ) ) = ϕ ( α ( v ) ) Thật vậy, giả sử p ∈ I Thế p = ϕ ( q ) với q ∈ ϕ − ( I ) Như pϕ ( α ) = ϕ ( q ) ϕ ( α ( u ) ) = ϕ ( qα ( u ) ) = ϕ ( α ( q ) α ( u ) ) = ϕ ( α ( qu ) ) = qu = ϕ ( q ) ϕ ( u ) = ϕ ( q ) ϕ ( v ) = ϕ ( qv ) = ϕ ( α ( qv ) ) = ϕ ( α ( q ) α ( v ) ) = ϕ ( qϕ ( v ) ) = ϕ ( q ) ϕα ( v ) = pϕα ( v ) tương tự ϕα ( u ) p = ϕα ( v ) p Vì I rút gọn yếu nên ϕ ( α ( u ) ) = ϕ ( α ( v ) ) −1 Xác định β : T → I β ( t ) = ϕ ( α ( u ) ) với u ∈ φ ( t ) Thế thì, từ lập luận trên, β hoàn toàn xác định Để chứng minh β đồng cấu, giả sử a, b ∈ T x, y ∈ S cho ϕ ( x ) = a, ϕ ( y ) = b Thế α ( x ) α ( y ) thuộc ϕ −1 ( I ) , ϕα ( x ) = β ( a ) ,ϕα ( y ) = β ( b ) 35 Từ suy ϕ ( xy ) = ϕ ( x ) ϕ ( y ) = ab β ( ab ) = βϕ ( xy ) = ϕα ( xy ) = ϕα ( x ) ϕ ( y ) = β ( a ) β ( b ) , β đồng cấu Để chứng tỏ thu hẹp β I ánh xạ đồng nhất, giả sử c ∈ I d ∈ S cho ϕ ( d ) = c d ∈ φ − ( I ) Như β ( c ) = βϕ ( d ) = α ( d ) = c d ∈ φ − ( I ) β thu hẹp I ánh xạ đồng Vậy : β : T → Ι thu hẹp đồng cấu trực tiếp thử thấy α oγ = 2.3.4 β o θ Từ Bổ đề 2.3.2 Mệnh đề 2.3.3, suy ra. Hệ Nếu S có tính chất thu hẹp iđêan ϕ : S → T đồng cấu từ S lên nửa nhóm tách không đơn T, T có tính chất thu hẹp iđêan Định nghĩa Giả sử k số nguyên, k ≥ 2, S nửa nhóm 2.3.5 Khi S gọi rút gọn k mũ (k-power cancel lative) từ a, b ∈ S, ak = bk kéo theo a = b Mệnh đề Nếu S nửa nhóm rút gọn k mũ, S tách 2.3.6 Chứng minh Giả thiết k ≥ a2 = b2 = ab = ba với a,b ∈ S Nếu k chẵn, k = 2p với p ∈ ¢ , p ≥ từ ak = a2p = (a2)p = (b2)p = b2p = bk nên a = b Nếu k lẻ, k = 2p +1 với p ∈ ¢ , p ≥ ak = a2p+1 = a.a2p = a.(a2)p = a.(b2)p = a.b2p = ab: b2p+1 = bk =b.b2p= b.(b2)p = b(a2)p = b.a2p = ba từ a = b Vậy S tách  2.3.7 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm k số nguyên, k ≥ Khi S gọi k-chia (duy nhất) (k-divisible (uniquely)) a ∈ S, tồn (duy b) cho bk = a 36 Rõ ràng S nửa nhóm k – chia rút gọn k – mũ được, S nửa nhóm chia Trong [ 8] chứng tỏ rằng: 2.3.8 Mệnh đề Giả sử k số nguyên dương S nửa nhóm hữu hạn Khi ba điều kiện sau tương đương: (i) S k- chia được; (ii) S k – chia nhất; (iii) S = Ε ∪ Ηe , He nhóm hữu hạn cấp nguyên tố với k e ∈ E (E tập hợp tất lũy đẳng S) 2.3.9 Hệ Mỗi nửa nhóm k – chia hữu hạn nửa nhóm tách Chứng minh Giả sử S nửa nhóm k – chia hữu hạn Theo Mệnh đề 2.3.8, S k – chia từ S nửa nhóm rút gọn k – mũ Theo Mệnh đề 2.3.6, S tách  2.3.10 Hệ Nếu S nửa nhóm k-chia với tính chất thu hẹp iđêan ϕ : S →T đồng cấu từ S lên nửa nhóm hữu hạn T Thế T có tính chất thu hẹp iđêan Chứng minh Trực tiếp chứng minh ảnh đồng cấu nửa nhóm k – chia nửa nhóm k – chia Do từ Hệ 2.3.9 Hệ 2.3.4 suy T có tính chất thu hẹp iđêan  37 KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành những vấn đề sau: Hệ thống khái niệm tính chất iđêan nửa nhóm,các quan hệ Grin nửa nhóm nửa nhóm xyclic 2.Chứng minh số tính chất t – nửa nhóm (Mệnh đề 2 ,Địnhlý 2.1.6) Chứng minh điều kiện cần đủ để nửa nhóm xyclic có tính chất mở rộng tương đẳng (Định lý 2.1.11),mối liên hệ giữa t – nửa nhóm có tính chất mở rộng iđêan mở rộng tương đẳng (Định lý2.1.17, Định lý2.1.21) Chứng minh tính chất thu hẹp iđêan cửa t – nửa nhóm nửa nhóm xyclic (Định lý 2.2.6, Định lý 2.2.7) 5.Tìm hiểu số tính chất đặc trưng cửa nửa nhóm tách (Mệnh đề 2.3.6, Hệ 2.3.9) TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 38 [1] A H Cliphớt – G B Prestơn (1976), Lý thuyết nửa nhóm, dịch tiếng Việt Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp [2] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trường Đại Học Vinh [3] Lê Quốc Hán (2008), Lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh [4] K D Aucoin, J A Dumensnil and J A Hidebrrant (2003), Semigroups with the ideal retraction property, Semigroup Forum 66, 416432 [5] B Biro, E Wkiss and P R Palfy (1977), On the congruence extention property, Colloq Math 29, 129-151 [6] D R Brown and J A Hildebrant (1990), Embedding compact t – semigroups into compact uniquely divisible semigroups, Semigroup Forum 41, 61 – 82 [7] J H Carruth, J A Hildebrant, R J Koch (1983), The Theory of topological semigroups I, Pure and Applied Mathematics series, Marcel Dekker, Inc., New York [8] J Garcia (1991), The congruences extension preperty for algebraic semigroups, Semigroup Forum 43, 1- 18 [...]... 1 1 2 Ta có S là m t t – nửa nhóm, S = {1,2,3} là m t iđêan của S Tuy nhiên không có m t thu hẹp đồng cấu nào t S lên J, vì không có ảnh nào đối với 3 Như vậy t n t i những t – nửa nhóm nhưng không có t nh ch t thu hẹp iđêan Tuy nhiên ta có: 2.2.6 Định lý Nếu S là m t nửa nhóm với t nh ch t thu hẹp iđêan, thế thì S là m t t – nửa nhóm Chứng minh Giả sử S là m t nửa nhóm với t nh ch t thu hẹp iđêan, ... 1 1 4 1 6 1 Khi đó S có t nh ch t thu hẹp iđêan và T = {1,5,6} là nửa nhóm con của S Hơn nữa, T không có t nh ch t thu hẹp iđêan vì I = {1,6} là m t iđêan của T và không t n t i thu hẹp đồng cấu nào t T lên I 2.2.4 Ví du Ta đưa ra m t ví dụ nửa nhóm hữu hạn có t nh ch t mở rộng t ơng đẳng và mở rộng iđêan nhưng S không có t nh ch t thu hẹp iđêan X t nửa nhóm S = {1,2,3} với bảng nhân sau: 0 1 2... I với 3 ∈ I và * Vậy * không phải là t – nửa nhóm 2.1.5 Định nghĩa M t nửa nhóm S được gọi là có t nh ch t mở rộng iđêan (ideal extension property – IEP) nếu đối với mỗi nửa nhóm con T của S và mỗi iđêan I của T có m t iđêan J của S sao cho J ∩ T = I 2.1.6 Định lý Mỗi nửa nhóm với t nh ch t mở rộng iđêan là m t t – nửa nhóm Chứng minh Giả sử S là m t nửa nhóm với t nh ch t với t nh ch t mở rộng iđêan. .. 2 3 32 Ta có I ={1,2} là m t iđêan của S và không có thu hẹp đồng cấu nào t S lên I, do đó S không có t nh ch t thu hẹp iđêan Trực tiếp thử được rằng S có t nh ch t mở rộng iđêan và mở rộng t ơng đẳng Những ví dụ trên chứng tỏ rằng các lớp nửa nhóm (IEP), (CEP) và (IRP) thực sự khác nhau Bây giờ ta x t t nh ch t thu hẹp iđêan đối với các t – nửa nhóm 2.2.5 Ví du X t nửa nhóm S = {1,2,3} với phép... cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng chỉ số và chu kỳ 20 CHƯƠNG 2 T NH CH T MỞ RỘNG VÀ THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM 2.1 T NH CH T MỞ RỘNG IĐÊAN VÀ MỞ RỘNG T ƠNG ĐẲNG ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM 2.1.1 Định nghĩa Giả sử S là m t nửa nhóm Khi đó S được gọi là m t t – nửa nhóm (t- semigroup) nếu quan hệ “là iđêan của” có t nh ch t bắc cầu (transitive) trong t p hợp các iđêan của S Cụ thể... m t t – nửa nhóm Để chứng tỏ rằng S không có t nh ch t mở rộng t ơng đẳng, ta x t nửa nhóm T = {1,2,3} của S và t ơng đẳng σ = {(2,3), (3,2)}∩ T trên T Thế thì ta có s = {(2,3), (3,2), (1,3), (3,1), (1,2), (2,1)} ∪ ΔS rõ ràng không phải là m t mở rộng của σ Như vậy, không có mở rộng nào của σ làm S t n t i, và t đó S không có t nh ch t mở rộng t ơng đẳng 2.2 T NH CH T THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC t. .. t các nhóm con chuẩn t ́c của m t nhóm, nên các t – nửa nhóm t ơng t các t – nhóm Chẳng hạn năm 1977, B.Biró, E.W.Kiss và P.R.Páfy đã chứng minh được rằng: m t nhóm hữu hạn G có t nh ch t mở rộng t ơng đẳng nhóm nếu và chỉ nếu G là m t t – nhóm giải được Chúng ta t m hiểu mối liên hệ giữa các t – nửa nhóm với sự mở rộng hoặc thu hẹp iđêan và t nh ch t mở rộng t ơng đẳng trên nửa nhóm T Định... gọi là ru t gọn yếu (weakly reductive) nếu a, b ∈ S sao cho at = bt và tb = ta với mọi t ∈ S kéo theo a = b 2.3.2 Bổ đề Nếu I là m t iđêan của nửa nhóm t ch được S thì I r t gọn yếu Chứng minh Xem [ 8] 2.3.3 Mệnh đề Giả sử S là m t nửa nhóm với t nh ch t thu hẹp iđêan và ϕ : S → T là m t đồng cấu t S lên nửa nhóm T, I là m t iđêan r t gọn yếu của T Thế thì t n t i m t thu hẹp đồng của β : T I sao cho... Giả sử I là m t iđêan của S và K là m t iđêan của I Vì S có t nh ch t mở rộng iđêan nên t n t i m t iđêan J của S sao cho K = I ∩ J Vì giao (khác rỗng) của các iđêan của S lại là m t iđêan của S nên K là iđêan của S Vậy S là m t t – nửa nhóm  2.1.7 Chú ý T n t i những t – nửa nhóm không có t nh ch t mở rộng iđêan X t lại Ví dụ 2.1.3 ở trên Ta thấy S là m t t – nửa nhóm theo nhận x t trên, nhưng S... 2.3.6, S t ch được  2.3.10 Hệ quả Nếu S là nửa nhóm k-chia được với t nh ch t thu hẹp iđêan và ϕ : S T là m t đồng cấu t S lên nửa nhóm hữu hạn T Thế thì T có t nh ch t thu hẹp iđêan Chứng minh Trực tiếp chứng minh được rằng ảnh đồng cấu nửa nhóm k – chia được là nửa nhóm k – chia được Do đó t Hệ quả 2.3.9 và Hệ quả 2.3.4 suy ra T có t nh ch t thu hẹp iđêan  ... ch t mở rộng thu hẹp iđêan t – nửa nhóm 2.1 T nh ch t mở rộng iđêan mở rộng t ơng đẳng t – nửa nhóm 2.2 T nh ch t mở rộng thu hẹp Iđêan t – nửa nhóm 2.3 T nh ch t thu hẹp iđêan nửa nhóm t ch Luận. .. t- NỬA NHÓM 18 2.1 T nh ch t mở rộng iđêan mở rộng t ơng đẳng t – nửa nhóm 18 2.2 T nh ch t mở rộng thu hẹp Iđêan t – nửa nhóm 29 2.3 T nh ch t thu hẹp iđêan nửa nhóm t ch 33 K t luận 36 T I LIỆU THAM... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO T O TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGÔ THỊ THANH T T NH CH T MỞ RỘNG VÀ THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUY T SỐ MÃ SỐ: 60.46.05