Bài toán cauchy và nửa nhóm - luận văn thạc sĩ khoa học

MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 − NỬA NHÓM 1.1 C0 − nửa nhóm 1.2 Bài toán Cauchy 12 1.3 Một số ví dụ 21 Chương - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ NỬA NHÓM n − LẦN TÍCH HỢP 30 2.1 Nửa nhóm n − lần tích hợp 30 2.2 Bài toán Cauchy ( n,ω ) − đặt chỉnh 37 2.3 Nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương 40 2.4 Một số ví dụ 50 KẾT LUẬN 58 Tài liệu tham khảo 59 -1- MỞ ĐẦU Bài toán Cauchy trừu tượng phương trình đạo hàm riêng tuyến tính toán có lịch sử lâu đời chuyên ngành Giải tích ứng dụng Nó áp dụng nhiều lĩnh vực khoa học vật lý học, sinh học, kỹ thuật, tài Khi xét toán ta thường gặp khả khác nghiệm Theo định nghĩa Hadamard, toán Cauchy gọi đặt chỉnh tồn nghiệm, nghiệm nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện toán Phương pháp nửa nhóm phát triển mạnh mẽ có vai trò quan trọng việc giải toán Cauchy cho phương trình vi phân tuyến tính không gian Banach với toán tử không bị chặn Luận văn nghiên cứu toán Cauchy trừu tượng dạng u ' ( t ) = Au ( t ) , u ( ) = x, t ≥ 0, (CP) A : X → X toán tử tuyến tính, đóng, không bị chặn không gian Banach X u : + → X Mục tiêu luận văn nhằm trình bày việc ứng dụng phương pháp C0 − nửa nhóm phương pháp nửa nhóm n − lần tích hợp không gian Banach X để nghiên cứu tính đặt chỉnh toán Cauchy Luận văn gồm hai chương: Chương - Trình bày khái niệm tính chất C0 − nửa nhóm Đây loại nửa nhóm đơn giản số lớp toán tử không bị chặn toán Cauchy tương ứng đặt chỉnh Từ đưa số ví dụ minh họa Chương - Trình bày lớp nửa nhóm mở rộng lớp nửa nhóm C0 nửa nhóm n − lần tích hợp nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương bị chặn -2- mũ, không suy biến Áp dụng phương pháp để nghiên cứu tính ( n,ω ) − đặt chỉnh toán Cauchy cho nhiều lớp phương trình Trong chương đưa số ví dụ minh họa dựa phương trình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, thời gian qua thầy dành nhiều thời gian công sức, tận tình giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Em xin trân trọng cảm ơn thầy phản biện, thành viên Xêmina thuộc tổ Giải tích trường ĐHKHTN đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho em để luận văn hoàn thiện Em xin trân trọng cảm ơn thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN, thầy Viện Toán học Việt Nam giáo sư nước tham gia giảng dạy trường Trong năm qua thầy cô tâm huyết truyền đạt kiến thức vô quý báu cho chúng em, giúp em có thêm nhiều kiến thức đặc biệt kiến thức chuyên ngành cần thiết để ứng dụng thực luận văn Cuối lời cảm ơn đến quan, gia đình, bạn bè tạo điều kiện cho tác giả học, động viên khích lệ giúp đỡ mặt để tác giả có thêm động lực học tập hoàn thiện luận văn Hà Nội, tháng năm 2011 -3- Chương - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 − NỬA NHÓM 1.1 C0 − nửa nhóm Cho X không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh) Họ toán tử tuyến tính, bị chặn {T (t ), t ≥ 0} không gian Banach X gọi C0 − nửa nhóm (nửa nhóm liên tục mạnh) (T1) T ( t + s ) = T ( t ) T ( s ) , ∀t , s ≥ (T2) T ( ) = I (I toán tử đồng nhất) (T3) tlim T ( t ) x = T ( t0 ) x, ∀x ∈ X , t , t0 ≥ →t Định nghĩa 1.1.2 (Định nghĩa toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh) A : D ( A) ⊂ X → X , Toán tử xác định T (h) − I x, h→0 h Ax := T ' ( ) x := lim với miền xác định ⎧ T ( h) − I h→0 h D ( A) = D ⎛⎜ T ' ( ) ⎞⎟ := ⎪⎨ x ∈ X ∃ lim ⎝ ⎠ ⎩⎪ ⎫ x ⎪⎬ , ⎭⎪ gọi toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh {T (t ), t ≥ 0} Định nghĩa 1.1.3 (Định nghĩa tập giải, tập phổ, giải thức) ( A, D ( A) ) λ∈ toán tử đóng không gian Banach X , tập giá trị −1 cho ( λ I − A ) song ánh (tức ( λ I − A ) toán tử tuyến tính bị chặn X ), gọi tập giá trị quy A (tập giải toán tử A ), ký hiệu ρ ( A) Tập σ ( A ) = \ ρ ( A ) gọi tập phổ toán tử -4- A Khi ( λ I − A) −1 := RA ( λ ) = R ( λ , A ) với λ ∈ ρ ( A ) gọi giải thức A Mệnh đề 1.1.1 Đối với toán tử sinh A nửa nhóm liên tục mạnh {T (t ), t ≥ 0} , ta có A : D ( A) ⊂ X → X toán tử tuyến tính; t lim+ ∫ T ( s ) xds = x ; t →0 t ∀x ∈ X , Cho x ∈ D ( A) , ta có T ( t ) x ∈ D ( A) d T ( t ) x = T ( t ) Ax = AT ( t ) x với ∀t ≥ ; dt t Cho ∀t ≥ 0, x ∈ X ta có ∫ T ( s )xds ∈ D ( A ) ; (1.1.1) (1.1.2) (1.1.3) Cho ∀t ≥ ta có t T ( t ) x − x = A∫ T ( s )xds x ∈ X , (1.1.4) t = ∫ T ( s ) Axds x ∈ D ( A) (1.1.5) Chứng minh Hiển nhiên, T (t ) toán tử tuyến tính tính chất giới hạn A ( x ) = lim+ h→0 T (h) x − x h t Đặt yt = ∫ T ( s )xds, ∀x ∈ X , ∀t > Vì lim+ T ( t ) x = x suy t →0 t0 ∀ε > 0, ∃δ > : < t < δ suy T ( t ) x − x < ε Theo định nghĩa tích phân, ∀ε > tồn phân hoạch [ 0,t ] -5- s0 = < s1 < < sn = t cho t ε n T (α i ) xΔsi ≤ t , với α i ∈ [ si −1 − si ] , i = 1, n ∫0 T ( s ) xds − ∑ i =1 Với ∀t : < t < δ ta có t t 1 n T s xds − x ≤ T s xds − ( ) ∑ T (α i ) xΔsi + ∫0 t ( ) t ∫0 t i =1 < ε n ∑ t T (α ) xΔs − x i =1 i ε ε + ∑ T (α i ) x − x Δsi < + = ε i =1 t 2 n t lim+ yt = lim+ ∫ T ( s )xds = x t →0 t →0 t Từ suy Lấy x ∈ D ( A) , từ định nghĩa toán tử sinh A suy lim+ h→0 Vậy lim+ h→0 T (t + h ) x − T (t ) x T (h) x − x = T ( t ) lim+ = T ( t ) Ax h→0 h h T ( h )T ( t ) x − T ( t ) x tồn Theo định nghĩa D ( A ) ta có h T ( t ) x ∈ D ( A ) AT ( t ) x = T ( t ) Ax Với x ∈ X , ∀t ≥ ta có t t ⎞ 1⎛ T h T s xds − T ( s ) xds ⎟⎟ ⎜⎜ ( ) ∫ ( ) ∫ h⎝ 0 ⎠ = 1t 1t + T h s xds T ( s ) xds − ( ) h 0∫ h 0∫ t +h 1t T ( s ) xds − ∫ T ( s ) xds = h h∫ h0 1t t +h 1h 1t = ∫ T ( s ) xds + ∫ T ( s ) xds − ∫ T ( s ) xds − ∫ T ( s ) xds hh h t h0 hh = t +h 1h T s xds − T ( s ) xds ( ) h ∫t h 0∫ -6- i 1h 1h = ∫ T ( t + s ) xds − ∫ T ( s ) xds h0 h0 1h 1h = T ( t ) ∫ T ( s ) xds − ∫ T ( s ) xds → T ( t ) x − x h → 0+ (Do (1.1.1)) h0 h0 t t 0 Suy ∫ T ( s )xds ∈ D ( A ) T ( t ) x − x = A∫ T ( s )xds với ∀x ∈ X Nếu x ∈ D ( A) , s → T ( s ) T ( h) x − x hội tụ ⎡⎣ 0,t ⎤⎦ đến hàm h s → T ( s ) A ( x ) h → 0+ (do T ( s ) ≤ M , ∀s ∈ ⎡⎣0, t ⎤⎦ ) Do t T ( t ) x − x = A∫ T ( s )xds = lim+ = lim+ h→0 h→0 t t ⎤ 1⎡ T h T s xds − T ( s )xds ⎥ ⎢ ( )∫ ( ) ∫ h ⎢⎣ ⎥⎦ 0 t t 1 − = lim T h I T s xds T s ( ) ( ) ( ) ( ) (T ( h ) − I )xds ∫ ∫ + h → h h 0 t = ∫ T ( s ) Axds t Vậy T ( t ) x − x = ∫ T ( s ) Axds với ∀x ∈ D ( A) Mệnh đề 1.1.2 Đối với toán tử sinh A nửa nhóm liên tục mạnh {T (t ), t ≥ 0} , ta có T ( t ) T ( s ) = T ( s ) T ( t ) với ∀t , s ≥ ; T toán tử bị chặn mũ, tức là: ∃K ≥ 1, ω ∈ , ∀t ≥ : T ( t ) ≤ Keωt ; D( A) = X A toán tử đóng; Với ∀λ ∈ : Re λ > ω , ∃( λ I − A) := RA ( λ ) (1.1.7) −1 ∞ RA ( λ ) x = ∫ e−λtT ( t )xdt , x ∈ X -7- (1.1.8) Chứng minh Do {T (t ), t ≥ 0} C0 − nửa nhóm, từ điều kiện (T1) Định nghĩa 1.1.1 ta dễ dàng chứng minh tính giao hoán T ( t ) T ( h ) với ∀t , h ≥ , T ( t ) T ( h ) = T ( t + h ) = T ( h + t ) = T ( h ) T ( t ) , với ∀t , h ≥ Vì T ( t ) x liên tục với x∈ X ⎡⎣ 0,1⎤⎦ nên { T (t ) x , t ∈ ⎡⎣0,1⎤⎦} tập bị chặn Theo nguyên lý bị chặn ta có T (τ ) ≤ K với ∀τ : ≤ τ ≤ T ( ) = suy K ≥ Với ∀t ≥ ta viết dạng t = n + τ , n∈ , ≤ τ < , ta có T ( t ) = T ( n + τ ) = T ( n ) T (τ ) n n T ( t ) = T ( n ) T (τ ) = T (1) T (τ ) ≤ T (τ ) T (1) ≤ K n+1 = Ken ln K ≤ Keωt , ω = ln K , ∀t {T (t ), t ≥ 0} C0 − nửa nhóm toán tử sinh A toán tử tuyến tính Ta phải chứng minh: a A toán tử đóng Giả sử lấy dãy { xn } ⊂ D ( A ) cho xn → x Axn → y ta phải chứng minh x ∈ D ( A ) Ax = y Do (1.1.5) ta có t T ( t ) xn − xn = ∫ T ( s )Axn ds, t ≥ 0 Do T ( •) Axn hội tụ ⎡⎣ 0, t ⎤⎦ ( T ( s ) ≤ M , ∀s ∈ ⎡⎣0, t ⎤⎦ ) -8- t T ( t ) x − x = ∫ T ( s ) yds , Cho n → ∞ ta có 1t (T ( t ) x − x ) = t ∫ T ( s ) yds, t suy 1t Cho t → giới hạn vế phải tồn ∫ T ( s ) yds → y, suy giới hạn vế t0 + trái tồn hội tụ tới Ax, suy x ∈ D ( A ) Ax = y Vậy A đóng b D( A) = X 1t Thật vậy, (1.1.3) ta có ∫ T ( s )xds ∈ D ( A) , (1.1.1) ta có t0 1t lim T ( s )xds = x, ∀x ∈ X t →0+ t 0∫ Suy D( A) = X ∀λ ∈ : Re λ > ω , −1 ∃( λ I − A) =: RA ( λ ) ∞ RA ( λ ) x = ∫ e−λtT ( t ) xdt , x ∈ X Từ (1.1.7) T ( t ) bị chặn mũ suy tích phân vế phải tồn với ∀x ∈ X , ∀λ ∈ , Re λ > ω Với ∀x ∈ D ( A ) A toán tử đóng ta có ∞ ∞ ∞ 0 −λ t −λ t −λ t ∫ e AT ( t ) xdt = A ∫ e T ( t ) xdt = ∫ e T ' ( t ) xdt Lấy tích phân phần ∞ ∞ −λtT ' ( t ) xdt = e−λtT ( t ) x +∞ + λ e−λtT ( t ) xdt e ∫ ∫ 0 ∞ = − x + λ ∫ e−λtT ( t ) xdt -9- Thác triển liên tục toàn không gian X = D( A) ta ∞ ( λ I − A) ∫ e−λtT ( t ) xdt = x, x ∈ X (1.1.9) Mặt khác lại có ∞ ∫e −λtT ( t ) ( λ I − A) xdt = x, x ∈ D ( A) (1.1.10) Từ (1.1.9) (1.1.10) suy tồn toán tử bị chặn X ∞ RA ( λ ) := ( λ I − A) RA ( λ ) x = ∫ e−λtT ( t ) xdt , x ∈ X −1 Mệnh đề 1.1.3 Cho T toán tử liên tục mạnh cho ∃K ≥ 1, ω ∈ , ∀t ≥ , T ( t ) ≤ Keωt Đặt ∞ R ( λ ) = ∫ e−λtT ( t ) dt , Re λ > ω Khi R ( λ ) thỏa mãn phương trình giải thức ( μ − λ ) R ( λ ) R ( μ ) = R ( λ ) − R ( μ ) , Re λ , Re μ > ω, (1.1.11) T thoả mãn T ( t + s ) = T ( t ) T ( s ) , ∀t , s ≥ Chứng minh Cho Re λ , Re μ > ω , từ Định lý phép biến đổi Laplace ta có ∞ R ( μ ) R (λ ) = ∫ e −μs - 10 - ∞ ∫e −λt T ( s )T ( t ) dsdt , Logarit hóa bất đẳng thức ( C 1+ λ n ) e−τ Reλ < γ < ta có ước lượng G (λ ) < γ , ( I − G ( λ ) ) −1 < −1γ , miền ⎧ n C⎫ Re λ > log (1 + λ ) + log ⎪⎬ Λ = ⎪⎨λ ∈ τ ⎩⎪ Do đó, tồn toán tử ( λ I − A ) −1 τ γ ⎭⎪ bị chặn D ( A ) = X ∃K > 0: ∀λ ∈Λ, ( λ I − A) Vì D ( A) = X , ta có ( λ I − A) −1 −1 n Kλ ≤ log (1 + λ ) = RA ( λ ) Định lý 2.3.2 Nếu cho toán tử A ∃ω : ∀τ ∈ ( 0, Τ ) , ⎧ sup ⎨ λ k RAk ( λ ) x ≤ ⎩ ≤ Cτ x k λ ⎫ ≤ τ , λ > ω , k = 0,1, ⎬ ⎭ (2.3.5) An Nếu Cτ số đó, A toán tử sinh nửa nhóm n − lần tích hợp {V ( t ) , ≤ t < Τ} địa phương Ngược lại, giả sử A toán tử sinh nửa nhóm n − lần tích hợp {V ( t ) , ≤ t < Τ} địa phương D ( A ) = X ρ ( A ) ≠ φ Khi (2.3.5) thỏa mãn - 45 - Chứng minh Nếu A toán tử sinh nửa nhóm n − lần tích hợp {V ( t ) , ≤ t < Τ} ( ) địa phương Khi từ mệnh đề 2.3.2 với x ∈ D An+1 , n ∈ N , tồn nghiệm toán Cauchy địa phương n u ( • ) = V ( ) ( • ) x =: T ( • ) x, cho T ( t ) x ≤ Kτ x An , ≤ t ≤ τ < Τ Cho T ( t ) x ta có τ A∫ e − λt T ( t )xdt = e −λτ τ T (τ ) x − x + λ ∫ e−λtT ( t )xdt Từ định lý 2.3.1 ta có τ RA ( λ ) x = ∫e − λt T ( t )xdt + e− λτ RA ( λ ) T (τ ) x, λ ∈ ρ ( A) Áp dụng công thức tích phân Cauchy ta có λ = k −1 k RAk −1) λ k k −1 ( R (λ ) x (λ ) x = ( k −1)! A λk τ e ( k −1)! ∫ −λt k −1 T ( t )xdt t ⎛ ξ⎞ e−ξτ ⎜1 − ⎟ + ∫ λ⎠ 2π i γ ⎝ = I1 + I −k RA (ξ ) T (τ ) xdξ Ta có I1 ≤ C1 x ∃ω : I ≤ C2 x An An , x ∈ D ( An ) , λ > 0, , x ∈ D ( An ) , k λ ∈ ⎡⎣0,τ ⎤⎦ , λ > ω Kết hợp với điều kiện (2.3.6) ta suy (2.3.5) Ngược lại, (2.3.5) thỏa mãn toán tử A, - 46 - (2.3.6) t T ( t ) x := lim ⎛⎜ I − A ⎞⎟ k →∞ ⎝ k ⎠ −k x, t ∈ ⎡⎣0, Τ ) , Τ∈ xác định với x ∈ D ( An ) Cho x ∈ D ( An+1 ) , u ( • ) = T ( •) x nghiệm toán Cauchy địa phương ổn định theo (2.3.6), A toán tử sinh nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương {V ( t ) , ≤ t < Τ} Định nghĩa 2.3.4 Họ toán tử tuyến tính, bị chặn {V ( t ) , ≤ t < Τ} , gọi nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương sinh A, với x ∈ D ( A) , AV ( t ) x = V ( t ) Ax t A∫ V ( s ) xds = V ( t ) x − tn x, x ∈ X n! Nếu A toán tử sinh {V ( t ) , ≤ t < Τ} miền xác định t ⎧ ⎫ tn D ( A) = D := ⎪⎨ x ∈ X ∃y : V ( t ) x = x + ∫ V ( s ) yds, t ∈ ⎡⎣0, T ) ⎪⎬ , n! ⎩⎪ ⎭⎪ y = Ax Thật cho x ∈ D ( A) , x ∈ D y = Ax Ngược lại, x ∈ D , λ ∈ ρ ( A ) t t tn V ( t ) RA ( λ ) x − RA ( λ ) x = ∫ V ( s ) RA ( λ ) yds = ∫ V ( s ) ARA ( λ ) xds, n! 0 với x ∈ D ( A ) y = Ax Bổ đề 2.3.2 Cho τ > A toán tử sinh nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương {V ( t ) , ≤ t < Τ} theo Định nghĩa 2.3.4 Khi với hàm liên tục H : ⎡⎣ 0,τ ) → ∀x ∈ X : t A∫ ( H •V ) ( s ) xds = ( H •V ) ( t ) x − ( H • F ) ( t ) x, ≤ t < τ - 47 - (2.3.7) Hơn nữa, H ∈ C1 {⎡⎣0,τ ) , } , với ∀x ∈ X , ≤ t < τ : A ( H •V ) ( t ) x = ⎜⎛ H ' •V ⎟⎞ ( t ) x − ⎜⎛ H ' • F ⎟⎞ ( t ) x + H ( ) ⎡⎣V ( t ) x − F ( t ) x ⎤⎦ , ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.3.8) t tn ( H •V ) ( t ) x := ∫ H ( s )V ( t − s ) xds, F ( t ) := n! Chứng minh Do A toán tử đóng, ta có t ∫ ( H •V ) ( s ) xds ∈ D ( A) , x∈ X , ≤ t A toán tử sinh nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương {V ( t ) , t ∈ ⎡⎣0,τ )} định nghĩa Định nghĩa 2.3.4 Khi với x ∈ X ≤ t , s < τ n −1 t t + s − r n−1 t + s −r) ( ( ) V r xdr V ( t )V ( s ) x = ∫ V ( r ) xdr − ∫ ( ) ( n −1)! ( n −1)! t+s s - 48 - Chứng minh Cho h > 0, định nghĩa Eh ( t ) := E ( t + h ) , với E ( t ) = t n−1 ( n −1)! Cho ≤ t , s < τ x ∈ X , ta định nghĩa toán tử w ( t ) := t +s ∫s t E ( t + s − r )V ( r ) xdr − ∫ E ( t + s − r )V ( r ) xdr Ta có w (t ) = t+s t s 0 ∫ E ( t + s − r )V ( r ) xdr − ∫ E ( t + s − r )V ( r ) xdr − ∫ E (t + s − r )V ( r ) xdr = ( E •V ) ( t + s ) x − ( Es •V ) ( t ) x − ( Et • V ) ( t ) x, với x ∈ X ≤ t , s < τ Áp dụng bổ đề 2.3.2, ta có t t t 0 A∫ w ( r )dr = A∫ ( E • V ) ( s + r )xdr − A∫ ( E •V ) ( r )xdr t − A∫ ( Er •V ) ( s )xdr t +s s 0 = A ∫ ( E •V ) ( r )xdr − A∫ ( E •V ) ( r )xdr t − A∫ ( Es •V ) ( r )xdr − A ⎡⎣( Ft •V ) ( s ) − ( F • V ) ( s ) ⎤⎦ = ( E •V ) ( t + s ) x − ( E • F ) ( t + s ) x − ( E •V ) ( s ) x + ( E • F ) ( s ) x − ( Es •V ) ( t ) x + ( Es • F ) ( t ) x − ( Et •V ) ( s ) x + ( Et • F ) ( s ) x − F ( t )V ( s ) x + F ( t ) F ( s ) x + ( E • V ) ( s ) x − ( E • F ) ( s ) x = ( E •V ) ( t + s ) x − ( Es •V ) ( t ) x − ( Et •V ) ( s ) x − F ( t )V ( s ) x + ⎡⎣ F ( t ) F ( s ) − ( E • F ) ( t + s ) + ( Es • F ) ( t ) + ( Et • F ) ( s ) ⎤⎦ x = w ( t ) − F ( t )V ( s ) x, ∀x ∈ X , - 49 - t tn F ( t ) = ∫ E ( s )ds = n! Ta có F ( t ) F ( s ) x = ( E • F ) ( t + s ) x − ( Es • F ) ( t ) x − ( Et • V ) ( s ) x = t +s ∫s t E ( t + s − r ) F ( r )xdr − ∫ E ( t + s − r ) F ( r )xdr , x ∈ X Do v ( • ) = w ( • ) nghiệm toán v ' ( t ) = Av ( t ) + F ( t )V ( s ) x , với ≤ t < τ , { (2.3.9) } v ( ) = 0, v ∈ C ⎡⎣0,τ ) , D ( A) ∩ C1 {⎡⎣0,τ ) , X } Vì V ( t )V ( s ) x, ≤ t , s < τ nghiệm toán này, nghiệm nên ta có w ( t ) = V ( t )V ( s ) x, ≤ t , s < τ 2.4 Một số ví dụ Ví dụ 2.4.1 (Nửa nhóm tích hợp với toán tử sinh không xác định trù mật) Xét toán Cauchy ∂u ( x, t ) ∂u ( x, t ) + = 0, t ≥ 0, x ∈ ⎡⎣0, +∞ ) ∂t ∂x u ( x,0 ) = f ( x ) (2.4.1) không gian Banach X = C ⎡⎣0, ∞ ) Dạng trừu tượng (2.4.1): u ' ( t ) = Au ( t ) , t ≥ 0, u ( ) = f , Trong A = − (2.4.2) d , với miền xác định dx D ( A) = {u ∈ C ⎡⎣0, ∞ ) u '∈ C ⎡⎣0, ∞ ) , u ( ) = 0} Giải phương trình ( λ I − A) g = λ g + g ' = f , Ta tìm nghiệm - 50 - g ∈ D ( A) x ( RA ( λ ) f ) ( x ) = ∫ e−λ ( x−s ) f ( s ) ds, λ > 0, x ∈ ⎣⎡0, ∞ ) Trường hợp RA ( λ ) thỏa mãn điều kiện Hille- Yosida Vì D( A) ≠ X nên A không sinh C0 − nửa nhóm không gian X = C ⎡⎣0, ∞ ) Tuy nhiên A sinh C0 − nửa nhóm không gian X = C0 ⎡⎣ 0, ∞ ) (không gian hàm liên tục ⎡⎣ 0, ∞ ) triệt tiêu 0) Từ (1.1.8) ta tìm toán tử tạo nên C0 − nửa nhóm không gian X = C0 ⎡⎣ 0, ∞ ) sinh A xác định bởi: (T ( t ) f ) ( x ) := ⎧⎪ f ( x − t ) , ⎨ ⎪⎩0, x≥t ≤ x ≤ t Từ chứng minh A toán tử sinh nửa nhóm − lần tích hợp V xác định bởi: (V ( t ) f ) ( x ) ⎧ x−t ⎪− ∫ f ( s ) ds, x ≥ t ⎪ x = ⎨0 ⎪ f ( s ) ds, ≤ x ≤ t , ⎪∫ ⎩x toán (2.4.2) (1,ω ) − đặt chỉnh Ví dụ 2.4.2 (Lớp toán tử sinh nửa nhóm tích hợp) Xét toán Cauchy u ' ( t ) = Au ( t ) , t ≥ 0, u ( ) = u Đặt { p ( ) × Lp ( ) , X = L u = u1 L p Xét toán tử A xác định bởi: - 51 - + u2 ⎛ u1 ⎞ , } u = ⎜ ⎟ L ⎜u ⎟ p ⎝ 2⎠ ⎛ −h Au = ⎜⎜ ⎝ −f ⎞ ⎟ u, −h ⎟⎠ với miền xác định ⎧⎛ u1 ⎞ p ∈ X gu1 + fu2 ∈ L ( ⎟ ⎩⎝ u2 ⎠ D ( A) = ⎨⎜ ⎫ ) , gu2 ∈ Lp ( )⎬ , ⎭ γ h ( x ) = + x , f ( x ) = x , γ > Xét toán tử t V ( t ) = ∫ e As ds , t ≥ 0, tương đương ( − ht ) tfe− ht + e− ht −1 f / h ⎞ ⎛⎜1 − e V (t ) u = h⎜ 1− e ⎝ − ht ⎟ u, với ⎟ ⎠ u∈ X - Nếu < γ ≤ , họ toán tử tuyến tính bị chặn {V ( t ) , t ≥ 0} thỏa mãn điều kiện (V1)-(V4) nên nửa nhóm − lần tích hợp nhận A toán tử sinh vì: λ I − R (λ ) −1 ⎛ ∞ − λt ⎞ = λ I − ⎜⎜ ∫ λ e V ( t ) dt ⎟⎟ ⎝0 ⎠ ⎛ ⎜λ+h = λ I − ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ f ⎞ − 2⎟ (λ + h) ⎟ λ+h ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ −1 −1 = A Tổng quát hơn, γ ≤ hàm toán tử Vk ( t ) , t ≥ xác định bởi: t Vk ( t ) u = ∫ Vk −1 ( s ) uds, u ∈ X , k ≥ 2, V1 = V , nửa nhóm K − lần tích hợp X nhận A toán tử sinh Trường hợp đặc biệt - 52 - t V2 ( t ) u = ∫ V ( s ) uds ⎛ − e − ht t− 1⎜ h = ⎜ h⎜ ⎜ ⎝ −tfe − ht − e − ht − e − ht tf ⎞ + f + f − ⎟ h h⎟ h2 u, u ∈ X , − e − ht ⎟ t− ⎟ h ⎠ xác định nửa nhóm − lần tích hợp V2 X - Nếu γ > 2, ta có ⎛ (λ + g ) −2 −1 ( λ I − A) u = ( λ + g ) ⎜⎜ ⎝ −f ⎞ ⎟ u, λ > λ + g ⎟⎠ −1 Nhận thấy ( λ I − A) , λ > không bị chặn, ∀λ > không thuộc ρ ( A ) Khi với ∀n toán tử A không sinh nửa nhóm n − lần tích hợp X Ví dụ 2.4.3 (Nửa nhóm tích hợp liên quan đến toán Cauchy cho phương trình truyền sóng) Phương trình truyền sóng: Cho Ω = ( 0,1) , trường hợp tổng quát Ω tập mở n Xét toán Cauchy-Diriclet X = L2 ( Ω ) : ∂u ( x, t ) ∂t − ∂ u ( x, t ) ∂x = 0, t ∈ [ 0, Τ] , x ∈ Ω u ( 0, t ) = u (1, t ) = 0, u ( x, ) = u ( x ) , ∂u ( x , ) = u1 ( x ) ∂t Đặt - 53 - (2.4.3) u { } dãy e k ∞ k =1 = ∞ u k ek ∑ k =1 u = ∞ u k ek , ∑ k =1 sở trực chuẩn L2 ( Ω ) : ek = sin kπ x, k ∈ Ta tìm nghiệm (2.4.3) ∞ ∑ u ( t )e u (t ) = k k =1 k , uk ( t ) = uk0 cos ( kπ t ) + u1k sin ( kπ t ) , k∈ kπ Do ta viết dạng hình thức ∞ u ( t ) = ∑ uk ( t ) ek k =1 = ∞ sin ( kπ t ) uk ek , k ∈ k π k =1 ∞ ∑ cos ( kπ t )u e + ∑ k k k =1 Xét toán Cauchy u '' ( t ) = Bu ( t ) , t ≥ 0, u ( 0) = x, u ' ( ) = y, không gian Banach X = L ( Ω ) , với toán tử tuyến tính B = với miền xác định D ( B ) = H (2.4.4) d2 dx ( Ω ) ∩ H ( Ω ) ⊂ L2 ( Ω ) ≡ X Ta định nghĩa toán tử tuyến tính bị chặn X C ( t ) x := sin ( kπ t ) ∑ cos ( kπ t )x e , S ( t ) y := ∑ kπ y e ∞ k =1 ∞ k k k =1 Khi nghiệm toán (2.4.4) có dạng u ( t ) = C ( t ) x + S ( t ) y, - 54 - k k x = ∞ x ek ∑ k =1 k y = ∞ y ek ∑ k =1 k Bài toán (2.4.4) thu gọn dạng toán Cauchy cấp w ' ( t ) = Φw ( t ) , ⎛ x⎞ w ( ) = ⎜⎜ ⎟⎟ , t ≥ , ⎝ y⎠ (2.4.5) ⎛0 I⎞ ⎟, ⎟ B ⎝ ⎠ Φ = ⎜⎜ ⎛ u (t ) ⎞ 2 w (t ) = ⎜ ⎟ ∈ L (Ω) × L (Ω) , ⎝ u '(t ) ⎠ D ( Φ ) = D ( B ) × L2 ( Ω ) Nghiệm w ( t ) (2.4.4) viết dạng sau: ⎛ C (t ) S (t ) ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ C (t ) x + S (t ) y ⎞ ⎛ x⎞ w (t ) = ⎜ T t = ≡ ( ) ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟, ' ' ' ' C t S t C t x S t y + y ( ) ( ) ( ) ( ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ với t ≥ x, y ∈ L2 ( Ω ) Với x ∈ L2 ( Ω ) ta có S ' ( t ) x = C ( t ) x , ta có ⎛ C (t ) S (t ) ⎞ T (t ) = ⎜ ⎟, t ≥ ' C t C t ( ) ( ) ⎝ ⎠ T ( t ) không xác định nơi X × X với t ≥ , hàm C ( • ) không khả vi X Do T ( t ) không C0 − nửa nhóm X Trên không gian L2 ( Ω ) × L2 ( Ω ) ta xét toán tử: ⎛ ⎜ S (t ) V (t ) = ⎜ ⎜ C (t ) − I ⎝ - 55 - t ⎞ ∫ S (τ ) dτ ⎟ S (t ) ⎟ , t ≥ ⎟ ⎠ Toán tử bị chặn liên tục mạnh thỏa mãn điều kiện (V1) - (V4) Định nghĩa 2.1.1 Do {V ( t ) , t ≥ 0} tạo nên nửa nhóm tích hợp sinh toán tử Φ Ví dụ 2.4.4 (Nửa nhóm tích hợp cho toán tử không bị chặn mũ) Cho X = l2 không gian dãy số {am } ⊂ ∞ cho a ∑ m=1 < +∞ m Ta định nghĩa toán tử A sau { ∞ Ax:= {am xm }m=1 , am = m + i e2m − m2 } 1/2 Khi toán tử ∞ T ( t ) x = {eamt xm }m=1 tạo nên nửa nhóm toán tử không bị chặn Toán tử t ⎧⎛ eamt ⎜ a ⎩⎪⎝ m V ( t ) x = ∫ T ( s )xds = ⎪⎨⎜ ⎞ ⎫ ⎟ ⎠ ⎭⎪ − 1⎟ xm ⎪⎬ ≡ {bm xm } , { bị chặn với ∀t ≥ 0, (do V ( t ) = sup bm = sup emt −m m m }=e t /4 ) Khi {V ( t ) , t ≥ 0} tạo thành nửa nhóm tích hợp không bị chặn mũ Ví dụ 2.4.5 (Nửa nhóm tích hợp n − lần địa phương) Cho X = l2 không gian dãy số {am } ⊂ ∞ cho ∑a m=1 m Ta định nghĩa toán tử A sau Ax:= ∞ {am xm }m=1 1/2 m ⎧⎪ e2m m2 ⎫⎪ với am = + i ⎨ − ⎬ , Τ ⎪⎩ m Τ ⎪⎭ với miền xác định D ( A) = { x ∈ l2 - 56 - Ax ∈ l2 } < +∞ Ta có tập phổ A σ ( A) = {λ ∈ Re λ = Re am = }, λ = am , m ∈ m , nên với ω ∈ Τ tồn λ ∈σ ( A ) cho ∞ Re λ > ω Khi toán tử T ( t ) x := {eamt xm }m=1 tạo nên nửa nhóm không bị chặn Lấy tích phân eamt ta thu nhân tử me− m , tiếp tục n − lần ta thu hàm bị chặn với t ≤ nΤ Từ ta thu nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương Vn ( t ) với A toán tử sinh: ∞ ⎧⎪ t ( t − s )n−1 ⎫⎪ am s Vn ( t ) x = ⎨ ∫ e xm ds ⎬ ⎪⎩ ( n − 1)! ⎪⎭m−1 n− p ⎤ n ⎧⎪ ⎡ − n a t ⎫⎪ −p t m = ⎨ ⎢ am e − ∑ ( am ) ⎥ xm ⎬ ( n − p )!⎦⎥ ⎭⎪ p =1 ⎩⎪ ⎣⎢ mt Do eamt = e Τ am = em , suy m n m e m⎛⎜ t −n ⎞⎟ ⎝Τ ⎠ (t − s ) ≤∫ −∑m e n −1 ( n −1)! n ≤m e Vậy Vn ( t ) p − pm p =1 t n m⎛⎜ t − n ⎞⎟ ⎝Τ ⎠ t n− p ( n − p )! eam s ds n p − pm +∑m e p =1 t n− p ( n − p )! ⎧ t ( t − s )n−1 ⎫ ⎪ am s = sup ⎨ ∫ e ds ⎪⎬ bị chặn ≤ t ≤ nΤ m∈N ⎪ ( n − 1)! ⎪⎭ ⎩ - 57 - KẾT LUẬN Luận văn bao gồm vấn đề sau: Trình bày phương pháp C0 − nửa nhóm, ứng dụng để nghiên cứu tính đặt chỉnh toán Cauchy trừu tượng (CP) Trong điều kiện (MFPHY) sử dụng tiêu chuẩn để xét tính đặt chỉnh toán Trình bày lớp nửa nhóm n − lần tích hợp mở rộng lớp nửa nhóm C0 , ứng dụng để nghiên cứu tính ( n, ω ) − đặt chỉnh toán Cauchy trừu tượng (CP) phương pháp nửa nhóm tích hợp địa phương bị chặn mũ, không suy biến để nghiên cứu tính n − đặt chỉnh toán Cauchy địa phương (LCP) Luận văn lấy ví dụ cụ thể minh họa dựa phương trình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu phương trình truyền nhiệt phương trình truyền sóng Bài toán Cauchy trừu tượng nghiên cứu mở rộng không gian trừu tượng nhiều phương pháp tiếp cận ứng dụng để nghiên cứu tính đặt chỉnh toán - 58 - Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thừa Hợp, Phương trình đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội, 2006 [2] Trần Đức Vân, Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội, 2005 [3] Nguyễn Thủy Thanh, Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2006 [4] Hoàng Tụy, Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội, 2005 [5] Irina V Melnikova Alexei Fininkov, Abstract Cauchy Problems: Three Approaches, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton London NewYork Washington, 2001 [6] A.Pazy, Semigroups of Linear Operators and Appications to Partial Differential Equation, Springer-Verlag, Berlin, 1983 [7] Klaus-Jochen Engel, Raimer Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Graduate Text Math 194 Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2000 [8] Jan Van Neerven, The Asymprotic Behaviour of Semigroups of Linear Operators, Mathematisches Institut Universitat Tubingen Auf der Morgenstelle 10 D-72076 Tubingen Germany - 59 - [...]... ( • )ν là nghiệm mạnh của bài toán T ( h) − I do đó A là toán tử sinh h h→0+ (1.3.5) Dễ kiểm tra A thỏa mãn A = lim của nửa nhóm liên tục mạnh {T ( t ) , t ≥ 0} Vậy bài toán Cauchy (1.3.5) đặt chỉnh đều trên D ( A ) - 29 - Chương 2 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ NỬA NHÓM n -LẦN TÍCH HỢP 2.1 Nửa nhóm n − lần tích hợp bị chặn mũ Định nghĩa 2.1.1 Cho n∈ , X là không gian Banach Họ các toán tử tuyến tính bị chặn... mãn điều kiện Hille- Yosida nhưng D( A) ≠ X (vì lấy u ∈ X sao cho u ( 0 ) > 0 khi đó không tồn tại dãy bất kỳ xn ∈ D ( A ) , xn ( 0 ) = 0 và xn → u ), do đó A không sinh ra C0 − nửa nhóm trên không gian X = C ⎡⎣ 0, ∞ ) Từ (1.1.8) suy ra A sinh ra C0 − nửa nhóm - 23 - trên không gian X = C0 ⎡⎣ 0, ∞ ) (không gian các hàm liên tục trên ⎡⎣ 0, ∞ ) và triệt tiêu tại 0) và toán tử nửa nhóm xác định bởi:... −∞,0 ⎤⎦ và { } D ( A) = u ∈ L2 ( −∞,0⎤⎦ u '∈ L2 ( −∞,0⎤⎦ , u ( 0 ) = 0 Nhận thấy với mọi λ > 0 thì λ ∉ ρ ( A) và khi đó bài toán Cauchy (1.3.1) chỉ giải được khi f ≡ 0 Ví dụ 1.3.2 (lớp các toán tử sinh của C0 − nửa nhóm) Xét bài toán Cauchy u ' ( t ) = Au ( t ) , t ≥ 0, u ( 0 ) = u 0 (1.3.3) Đặt { p ( ) × Lp ( ) , X = L u = u1 Lp + u2 Lp }, ⎛ u1 ⎞ X là không gian Banach, u = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ u2 ⎠ Xét toán. .. Cauchy không đặt chỉnh −1 - Nếu γ > 2 , thì toán tử ( λ I − A) , λ > 0 không bị chặn, và như vậy bài toán Cauchy cũng không đặt chỉnh trong trường hợp này - 26 - Ví dụ 1.3.3 (phương pháp nửa nhóm cho phương trình truyền nhiệt) Cho Ω = ( 0,1) , trong trường hợp tổng quát Ω là một tập mở trong n Xét bài toán Cauchy- Diriclet trên X = L2 ( Ω ) : ∂u ( x, t ) ∂t − ∂ 2 u ( x, t ) = 0, t ∈ [ 0, Τ] , x ∈ Ω... (Tiêu chuẩn cơ bản xét tính đặt chỉnh của (CP)) Giả sử A là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trên X Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (I) Bài toán Cauchy đặt chỉnh đều trên D ( A ) ; (II) A là toán tử sinh của C0 − nửa nhóm {T (t ), t ≥ 0} ; (III) Điều kiện Miyadera-Feller-Phillips-Hille-Yosida (MFPHY) đối với giải thức của toán tử A : tồn tại K > 0, ω ∈ RA( ) ( λ ) ≤ k sao cho Kk !... D( A) = X và ∀λ > 0 ta có λ ∈ ρ ( A ) , đồng thời λ R ( λ , A ) ≤ 1 c ( A, D ( A ) ) là toán tử đóng xác định trù mật D( A) = X và ∀λ ∈ với Re ( λ ) > 0 ta có λ ∈ ρ ( A ) , đồng thời R ( λ , A) ≤ - 11 - 1 Re ( λ ) 1.2 Bài toán Cauchy Xét bài toán Cauchy u ' ( t ) = Au ( t ) , u ( 0) = x, t ≥ 0, (CP) trong đó A là toán tử tuyến tính, đóng với miền xác định D ( A) ⊆ X , X là không gian Banach Định nghĩa... x Do A đóng, nên ta có thể thác triển đẳng thức này trên toàn không gian X và toán tử R T '(0) ( λ ) là một ánh xạ từ X vào D, do vậy D ⊂ D ( A) Vậy D ( A ) = D ⎛⎜ T ' ( 0 ) ⎞⎟ và A là toán tử sinh của C0 − nửa nhóm {T (t ), t ≥ 0} ⎝ ⎠ (II⇒III) Giả sử A là toán tử sinh của C0 − nửa nhóm {T (t ), t ≥ 0} , từ điều kiện (1.1.7) và (1.1.8) ta có RA ( λ ) = ∞ ≤K∫e ∞ ∞ 0 0 −λt −λt ∫ e T ( t ) dt ≤ ∫ e T... ⎣ Chú ý: Nếu nửa nhóm {V ( t ) , t ≥ 0} là không suy biến, thì toán tử R ( λ ) khả nghịch Từ (2.1.1) ta nhận thấy λ I − R ( λ ) tại duy nhất một toán tử A sao cho R ( λ ) −1 −1 phụ thuộc vào λ , nghĩa là tồn = ( λ I − A) với Re λ > ω Khi đó −1 A = λ I − R ( λ ) là toán tử sinh của nửa nhóm n − lần tích hợp {V ( t ) , t ≥ 0} Mệnh đề 2.1.2 Đối với ( A, D ( A) ) là toán tử sinh của nửa nhóm n − lần tích... khi đó bài toán (1.3.3) đặt chỉnh đều trên D ( A) Trong trường hợp tổng quát ta có: −1 ( λ I − A) u = ⎛ (λ + g ) −f ⎞ 1 ⎜ ⎟u 2⎜ ⎟ g λ + 0 ( ) g λ + ( ) ⎝ ⎠ −1 - Nếu 1 < γ ≤ 2 , thì toán tử ( λ I − A) , λ > 0 bị chặn và do đó ( λ I − A) −1 = RA ( λ ) ≤ K , λ > 0, tuy nhiên RA ( λ ) không thỏa mãn điều kiện MFPHY, do đó trong trường hợp này bài toán Cauchy không đặt chỉnh −1 - Nếu γ > 2 , thì toán tử... −ixz −λ x L2 tương đương - 22 - ≤ 1 λ , ∞ 0 = 1 iξ + λ RA ( λ ) ≤ 1 λ , ∀λ >0 Từ (1.1.8) suy ra A là toán tử sinh của C0 − nửa nhóm xác định bởi: (T (t ) f ) ( x ) := f ( x − t ) , x∈ , t ≥ 0 và với ∀f ∈ D ( A) hàm toán tử u ( x, t ) = (T ( t ) f ) ( x ) , t ≥ 0, x ∈ , là nghiệm duy nhất của (1.3.1), ổn định đối với điều kiện ban đầu f b Trường hợp ℜ = ⎡⎣ 0, ∞ ) Ta xét bài toán Cauchy (1.3.1) trên không