Tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm Luận văn thạc sĩ Toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN TUẤN TÚ TƯƠNG ĐẲNG NHĨM TRÊN MỘT NỬA NHĨM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Nghệ An – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN TUẤN TÚ TƯƠNG ĐẲNG NHĨM TRÊN MỘT NỬA NHĨM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC CHUN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ QUỐC HÁN Nghệ An – 2014 MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nửa nhóm quan hệ tập 1.2 Tương đẳng Nửa nhóm thương 1.3 Băng nửa dàn Băng nhóm 14 Chương TƯƠNG ĐẲNG NHĨM TRÊN MỘT NỬA NHĨM 18 2.1 Tóm tắt kết P Dubreil R Croisot 18 2.2 Tương đẳng nhóm nửa nhóm 22 2.3 Nửa nhóm chuẩn tắc nửa nhóm 27 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 MỞ ĐẦU Giả sử S nửa nhóm ρ tương đẳng S Khi ρ gọi tương đẳng nhóm nửa nhóm thương S ρ nhóm Các tương đẳng nhóm nửa nhóm P Dubreil R Croisot nghiên cứu vào năm kỷ hai mươi Các kết mà P Dubreil R Croisot thu được ứng dụng rộng rãi Lý thuyết ngơn ngữ ơtơmat Tuy nhiên, kết phức tạp nhiều trường hợp khó áp dụng việc mơ tả cấu trúc chúng số lớp nửa nhóm cụ thể Gần đây, nhiều tác giả tìm phương pháp tiếp cận khác với việc khảo sát tương đẳng nhóm nửa nhóm thu nhiều kết đáng quan tâm Bản luận văn chúng tơi dựa báo Congruences and group congruences on a semigroup R S Gigon đăng tạp chí Semigroup Forum năm 2012 để tìm hiểu cấu trúc tương đẳng nhóm nửa nhóm Luận văn gồm hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi hệ thống kiến thức liên quan đến nửa nhóm quan hệ tập, tương đẳng nửa nhóm thương, băng nửa dàn để làm sở cho việc trình bày chương sau Chương Tương đẳng nhóm nửa nhóm Trong chương này, trước hết chúng tơi tóm tắt kết P Dubreil R Croisot tương đẳng nhóm nửa nhóm Sau trình bày kết R S Gigon tương đẳng nhóm nửa nhóm tùy ý Phần cuối luận văn trình bày khái niệm nửa nhóm chuẩn tắc nửa nhóm số đặc trưng Luận văn hồn thành với hướng dẫn khoa học bảo tận tình PGS.TS Lê Quốc Hán - Khoa Tốn Trường Đại Học Vinh Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tơi xin chân thành cảm ơn q quan tạo điệu kiện giúp đỡ mặt để luận văn hồn thành kế hoạch Tơi xin cảm ơn Thầy Cơ khoa Tốn, Phòng Đào tạo sau Đại Học Trường Đại Học Vinh Trường Đại Học Đồng Tháp, Thầy Cơ tham gia giảng dạy khóa Cao học tốn 2012 - 2014 lời cảm ơn sâu sắc cơng ơn dạy dỗ suốt q trình giáo dục, đào tạo nhà trường Đồng thời tơi gửi lời cảm ơn đến tập thể lớp Cao học Tốn Khóa 20 động viên giúp đỡ tơi suốt q trình làm luận văn Tuy nhiên hiểu biết thân thời gian học tập, nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong đóng góp ý kiến q Thầy Cơ độc giả quan tâm đến luận văn Nghệ An, ngày tháng Tác giả năm 2014 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nửa nhóm quan hệ tập 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X tập hợp tùy ý khác rỗng Khi tập ρ tích Descartes X × X gọi quan hệ tập X Nếu ( a, b ) ∈ ρ , a, b phần tử tập X ta viết aρ b nói “ a nằm quan hệ ρ với b ” Nếu ρ σ quan hệ X hợp thành ρ o σ chúng định nghĩa sau: ( a, b ) ∈ ρ o σ tồn phần tử x∈ X cho ( a, x ) ∈ ρ ( x , b ) ∈ σ Phép tốn ( o) kết hợp Thật vậy, ρ , σ τ quan hệ X điều khẳng định ( a, b ) ∈ ( ρ o σ ) oτ ( a, b ) ∈ ρ o ( σ oτ ) tương đương với điều khẳng định tồn phần tử x , y cho ( a, x ) ∈ ρ , ( x, y ) ∈ σ ( y, b ) ∈τ Do đó, tập Bx tất quan hệ hai ngơi X nửa nhóm ( o) Nửa nhóm Bx gọi nửa nhóm quan hệ X 1.1.2 Một số quan hệ hai ngơi đặc biệt Giả sử X tập tùy ý Quan hệ i gọi quan hệ (hay quan hệ đường chéo) ( a, b ) ∈ i a = b , với a, b ∈ X Quan hệ ω gọi quan hệ phổ dụng ( a, b ) ∈ ω với a, b ∈ X Dễ thấy i đơn vị ω phần tử khơng nửa nhóm Bx −1 Giả sử ρ ∈ Bx Khi đó, quan hệ ngược ρ ρ định nghĩa −1 sau: ( a, b ) ∈ ρ ( b, a ) ∈ ρ Thế thì: ( ρ −1 ) = ρ , ( ρ oσ ) = σ −1 o ρ −1 , ∀ρ ,σ ∈ Bx −1 −1 Giả sử ρ ,σ ∈ Bx Khi ρ ⊆ σ ρ tập σ , nghĩa a ρ b kéo theo a σ b Vì Bx bao gồm tất tập X × X nên ta thực Bx phép tốn Boole: hợp, giao phần bù Giả sử ρ quan hệ X Khi ρ gọi đối xứng ρ −1 ⊆ σ (và ρ −1 = σ ); quan hệ ρ gọi phản xạ i ⊆ ρ gọi bắc cầu ρ o ρ ⊆ ρ Một quan hệ ρ X gọi tương đương ρ phản xạ , đối xứng, bắc cầu Khi ρ lũy đẳng nửa nhóm Bx 1.1.3 Phân hoạch tập hợp Giả sử ρ quan hệ tùy ý X a ∈ X Khi đó, ta kí hiệu: ρ a := { x ∈ X | x ρ a} a ρ := { x ∈ X | a ρ x} Nếu ρ quan hệ tương đương, hai điều kiện sau thỏa mãn: i) a ∈ a ρ với a ∈ X ii) a ρ ∩ bρ ≠ φ suy a ρ = b ρ Như vậy, họ tập a ρ , a ∈ X phân hoạch tập X , tức tập khơng giao hợp chúng X ; ký hiệu họ X a ρ lớp tương đương tập X theo mod ρ chứa a Đảo lại, ρ Ta gọi phân hoạch P tập X xác định quan hệ tương đương ρ mà P =X hoạch ρ , cụ thể a ρ b a b thuộc tập phân P Ta gọi ánh xạ a a a ρ ánh xạ tự nhiên hay ánh xạ tắc từ tập X lên X ρ ký hiệu ánh xạ ρ φ Chú ý a ρ φ = a ρ với a ∈ X , để tránh nhầm lẫn ta dùng kí hiệu khác để quan hệ tương đương ρ tập X ánh xạ tự nhiên từ X lên X ρ 1.1.4 Quan hệ tương đương sinh quan hệ tùy ý cho trước Giả sử ρ quan hệ tùy ý X Ta định nghĩa bao đóng bắc cầu ρ / quan hệ ρ cách đặt: ∞ ρ / = U ρ n = ρ ∪ ( ρ o ρ ) ∪ ( ρ o ρ o ρ ) ∪ n =1 Hiển nhiên ρ / bắc cầu chứa quan hệ bắc cầu X , chứa ρ −1 Nếu ρ quan hệ tùy ý X , quan hệ ρ1 = ρ0 ∪ ρ0 ∪ i quan t hệ phản xạ đối xứng bé X , chứa ρ Bao đóng bắc cầu ρ = ρ1 quan hệ ρ1 quan hệ tương đương X chứa ρ Ta gọi ρ quan hệ tương đương X sinh ρ0 Giao họ tùy ý quan hệ tương đương quan hệ tương đương Khẳng định tương tự hợp theo lý thuyết tập hợp khơng trường hợp hai quan hệ Ta định nghĩa hợp ρ ∨ σ hai quan hệ tương đương ρ σ quan hệ tương đương sinh ρ ∪ σ , tức ρ ∨ σ bao đóng bắc cầu quann hệ ρ ∪ σ 1.1.5 Bổ đề Nếu ρ σ quan hệ tương đương X ρ o σ = σ o ρ ρ o σ quan hệ tương đương X ρ oσ = ρ ∨ σ Chứng minh Vì hiển nhiên ρ o σ chứa ρ ∨ σ , nên phải chứng tỏ ρ o σ quan hệ tương đương Từ i ⊆ ρ ⊆ ρ o σ suy −1 quan hệ ρ o σ phản xạ, đẳng thức ( ρ o σ ) = σ −1 o ρ −1 = σ o ρ = ρ o σ , chứng tỏ ρ o σ đối xứng Cuối cùng: ( ρ oσ ) o ( ρ oσ ) = ρ oσ o ρ oσ = ρ o ( σ o ρ ) oσ = ρ o ( ρ oσ ) oσ = ( ρ o ρ ) o ( σ oσ ) = ρ oσ , ρ o σ bắc cầu 1.1.6 Chú ý Giả sử ρ quan hệ X cho x ρ = với x ∈ X , ta đồng tập x ρ gồm phần tử xem ρ phép biến đổi x a x ρ tập X Nếu σ quan hệ khác thuộc loại X ρ o σ có tính chất nêu, ngồi ρ o σ trùng với hợp thành ρ σ xem phép biến đổi tập X Bằng đối ngẫu, x ρ = với x ∈ X ta xem ánh xạ x a ρ x phép biến đổi tập X Trong trường hợp ρ o σ hợp thành σ ρ Như Bx chứa τ X nửa nhóm con, τ X vị nhóm ánh xạ từ X vào với phép nhân ánh xạ Giả sử ϕ ánh xạ từ tập X vào tập X / Thế ϕ xem −1 / / quan hệ tập X ∪ X / Với x / ∈ X / , ta có ϕ ( x ) = { x ∈ X | ϕ ( x ) = x } Cái hợp thành ϕ −1 o ϕ chứa X × X , xem −1 quan hệ X ( x, y ) ∈ ϕ o ϕ ϕ ( x ) = ϕ ( y ) Từ ϕ −1 o ϕ quan hệ tương đương, ϕ cảm sinh ánh xạ - từ X −1 ϕ −1 o ϕ lên ϕ ( X ) Ta gọi ϕ o ϕ quan hệ tương đương X cảm sinh cách tự nhiên ϕ 1.2 Tương đẳng Nửa nhóm thương 1.2.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm ρ quan hệ S Khi ρ gọi ổn định bên phải (trái) a ρ b ( a, b ∈ S ) kéo theo ac ρ bc ( ca ρ cb ) , với c ∈ S Quan hệ ρ gọi tương đẳng phải (trái) ρ quan hệ tương đương ổn định phải (trái) Quan hệ ρ gọi tương đẳng S ρ vừa tương đẳng phải, vừa tương đẳng trái 1.2.2 Nửa nhóm thương Giả sử ρ tương đẳng nửa nhóm S Khi ρ quan hệ tương đương S , ta xét tập thương S ρ , tức tập lớp tương đương S theo mod ρ Giả sử A, B hai phần tử tùy ý S ρ Nếu a1 , a ∈ A b1 , b2 ∈ B Khi a1 ρ a2 suy a1b1 ρ a2b1 (vì ρ ổn định bên phải) Từ b1 ρ b2 suy a2b1 ρ a2b2 (vì ρ ổn định bên trái) Theo tính chất bắc cầu ρ ta suy a1b1 ρ a2b2 Do đó, tích AB lớp A B chứa lớp tương đương C Ta định nghĩa phép nhân ( o) S ρ cách đặt A o B = C Từ tính chất kết hợp S ta suy tính kết hợp S ρ , S ρ trở thành nửa nhóm Nửa nhóm S ρ gọi nửa nhóm thương S theo mod ρ 21 PH = { ( a, b ) ∈ S × S H a = H b} tương đẳng S gọi tương đẳng S tương ứng với tập H Tập WH = { a ∈ S H a = φ} gọi thặng dư kép H (ii) Tập H nửa nhóm S gọi tập mạnh kép với a,b ∈ S , ( H a ) ∩ ( H b ) ≠ φ kéo theo H a = H b 2.1.4 Định lý (Định lý 10.34[1]) Giả sử H nửa nhóm mạnh kép nửa nhóm S với thặng dư kép rỗng Thế H chứa PH - lớp U U nửa nhóm lập mạnh kép S với thặng dư rỗng Đẳng thức H = U thỏa mãn H lập Ngồi ra, PH = PU = ℜU S / PH nhóm Đảo lại, ρ tương đẳng S cho S ρ nhóm U đơn vị nhóm thương S ρ U nhóm lập, mạnh kép với thặng dư rỗng ngồi ra, ρ = PU Tương ứng U PU mơ tả - 2.1.5 Chú ý Ngồi kết P Dubreil R Croisot, hai báo đăng tạp chí Bull Calcutta Math năm 1944 1946, F W Lévi đưa kết tương tự với kết trình bày Lévi gọi nửa nhóm U nửa nhóm S nửa nhóm chuẩn tắc S với a, b, c ∈ S , từ giả thiết hai phần tử ab, ac, b thuộc N phần tử thứ ba thuộc N Tập N S gọi túy bên phải WN = φ Lévi chứng minh tồn song ánh 22 nửa nhóm chuẩn tắc túy bên phải nửa nhóm S tương đẳng nhóm S Một tương đẳng ρ N S tương ứng với nửa nhóm chuẩn tắc túy bên phải N xác định điều kiện ρ N = { ( a, b ) ∈ S tồn x ∈ S cho ax, bx ∈ N } Chú ý nửa nhóm N S chuẩn tắc túy bên phải N phản xạ, mạnh, lập với thặng dư WN = φ Hơn nữa, ρN = ℜN 2.2 Tương đẳng nhóm nửa nhóm 2.2.1 Định nghĩa (i) Một tập A nửa nhóm S gọi đầy đủ E ( S ) ⊆ A; gọi phản xạ ∀a, b ∈ S ab ∈ A kéo theo ba ∈ A; gọi trù mật với s ∈ S , tồn x, y ∈ S cho sx, ys ∈ A (ii) Tốn tử bao đóng ω S cho bởi: Aω = { s ∈ S ∃a ∈ S : as ∈ A} Tập A gọi đóng S Aω = A (iii) Nửa nhóm N nửa nhóm S gọi chuẩn tắc N đầy đủ, trù mật, phản xạ đóng Ký hiệu N ∗ Chú ý E ( ¥ ) = φ , nửa nhóm khơng có lũy đẳng có tương đẳng nhóm Tuy nhiên, ¥ ∗ khơng có tương đẳng nhóm nhỏ nhất, ρ n ⊃ ρm n < m Hơn nữa, ker ρ n = { n, 2n, 3n, } Hai kết sau thiết lập [3] 2.2.5 Bổ đề (i) Giả sử ρ tương đẳng nhóm nửa nhóm S Khi ker ( ρ ) ... 2.2 Tương đẳng nhóm nửa nhóm 22 2.3 Nửa nhóm chuẩn tắc nửa nhóm 27 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 MỞ ĐẦU Giả sử S nửa nhóm ρ tương đẳng S Khi ρ gọi tương. .. ρ gọi tương đẳng phải (trái) ρ quan hệ tương đương ổn định phải (trái) Quan hệ ρ gọi tương đẳng S ρ vừa tương đẳng phải, vừa tương đẳng trái 1.2.2 Nửa nhóm thương Giả sử ρ tương đẳng nửa nhóm. .. KẾT LUẬN Luận văn thực vấn đề sau Hệ thống kiến thức liên quan đến nửa nhóm quan hệ tập, tương đẳng nửa nhóm thương, băng nửa dàn Tóm tắt kết P Dubreil R Croisot mơ tả tương đẳng nhóm nửa nhóm