Đa diện lồi trong Rn Luận văn thạc sĩ toán học

B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH V THY NGA A DIN LI TRONG R n LUN VN THC S TON HC NGH AN, 2013 -1- B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH V THY NGA A DIN LI TRONG R n LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: Hỡnh hc Tụpụ Mó s: 60.46.10 Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS.PHM NGC BI NGH AN, 2013 -2- LI M U Hỡnh hc li cú ngun gc t gia th k th 19 Nhng vi thp niờn gn õy thỡ hỡnh hc li tr thnh mt nhng nhỏnh ca hỡnh hc ng i sng ng nht Trong sut chiu di phỏt trin mnh m ca hỡnh hc lm cho hỡnh hc li tr thnh mt lnh vc c lp, nh mt ngnh trung tõm ca hỡnh hc tụ pụ Sau cỏc kt qu u tiờn ca H.Minkowski (1910) v li v hm li thỡ ó thu hỳt c s quan tõm ca nhiu nh toỏn hc nh : C.Caratheodory, W Fench, J.J.Moreau, W.V.Jensen, Hỡnh hc Euclide c bit n t xa xa cỏc tỏc phm Nguyờn lý ca Euclide (330 275 tr.CN) Tri qua nhiu th k, loi ngi ó hon thin mụn khoa hc ny v nú ó c gi vi cỏi tờn mi: Hỡnh hc s cp Mt cỏc khỏi nim quan trng, lm nn tng xõy dng lờn cỏc hỡnh hỡnh hc cng nh lm nn tng xõy dng o, tớnh toỏn l a din li Trờn c s tỡm hiu mt s ti liu tham kho cú th cú c iu kin hin nay, chỳng tụi tỡm hiu, h thng mt s v cỏc a din li R n Ni dung lun gm chng Chng I Kin thc c bn Trong chng ny, tụi trỡnh by cỏc tng quan v khụng gian Euclide v cỏc ca nú Chng II a din li Rn Trong chng ny, trc tiờn tụi trỡnh by cỏc khỏi nim c bn liờn quan n a din li khụng gian R n v mt s tớnh cht ca a din li khụng gian Rn Lun c hon thnh ti Khoa Sau i hc Trng i hc Vinh, di s hng dn khoa hc, tn tỡnh, chu ỏo ca thy giỏo PGS.TS.NGT Phm Ngc Bi Nhõn dp hon thnh lun vn, chỳng tụi xin gi li cm n chõn thnh nht ti cỏc thy giỏo t Hỡnh hc ó ging dy v ch dn tn tỡnh quỏ trỡnh hc -3- v nghiờn cu Tỏc gi cng xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo Khoa Toỏn, Phũng Sau i hc, Trng i hc Vinh, cỏc bn bố v gia ỡnh ó to iu kin cho tỏc gi hon thnh lun ny Mc dự ó cú c gng song lun khụng th trỏnh nhng thiu sút Tụi mong nhn c s gúp ý ca quý thy cụ v cỏc bn lun c hon thin hn Tụi xin chõn thnh cm n! Vinh, thỏng nm 2013 Tỏc gi V Thỳy Nga -4- BNG Kí HIU ủ( x,A) : khong cỏch gia im x v A clA : clA : bao úng ca A ( A) : bao ca A bd(A): biờn ca A diam A: ng kớnh ca hp A aff(A): bao affine ca A relbd(A) : biờn tng i ca A conv(A): bao li ca A ext(A): tt c cỏc im cc biờn ca A int(A): phn ca A [ a, b] : on thng cú cỏc mỳt l a, b ủH ( A,B ) : khong cỏch Hausdorff gia hai A, B C( X ) : H khỏc rng, úng b chn ca khụng gian metric ( X , ủ) C n : H tt c cỏc khỏc rng, compact ca Rn ( xk ) k ẻ N ẻ PkƠ=1Ek : dóy ( xk ) k ẻ N c chn cho xk ẻ E k é(v,u ) : Gúc gia hai vect v v u H+ , H- : Cỏc na khụng gian xỏc nh bi siờu phng H -5- CHNG I Kin thc c bn Cho X l khỏc rng Hm ủ : X x X đ R+ , c gi l mt metric nu tha cỏc iu kin sau : (*) ủ( x, y ) 0;ủ( x, y ) = nu v ch nu x = y, (**) ủ( x, y ) = ủ( y,x), (***) ủ( x, y ) + ủ( y,z ) ủ( x,z ) Khi ú ( X,ủ) c gi l mt khụng gian metric 1.1 Khong cỏch gia im v hp 1.1.1 NH NGHA Vi mi A khỏc rng ca X v x X t ủ( x, A) := inf{ủ( x,a ) | a ẻ A} Khi ú ủ(x, A) c gi l khong cỏch gia im x v A 1.1.2 MNH Hm s ủ( ã, A) : X đ R + l liờn tc Chng minh: Cho x = limxk Theo tớnh cht bt ng thc tam giỏc (iu kin (***) trờn ) v theo tớnh cht cn trờn : - ủ( xk ,x) + ủ( x, A) ÊÊủ( xk , A) Do vy ủ( x, A) = limủ( xk , A) 1.1.3 MNH ủ( x, A) = ủ( x,clA) Chng minh: T A clA , ta suy ủ( x, A) ủ( x,clA) -6- ủ( xk ,x) + ủ( x, A) Vỡ th, ch cn chng minh rng a ẻ clA , ủ( x, A) Ê ủ( x,a ) (1.1) Nu a ẻ clA , thỡ a = lim ak vi dóy (ak ) k ẻ N A ú ủ( x, A) Ê ủ( x,ak ), " k Cho qua gii hn k đ Ơ , theo 1.1.2 ta cú c (1.1) , 1.1.4 MNH ủ( x, A) = ẻ x clA 1.1.5 NH NGHA Vi mi A X v > , t ( A) := {x ẻÊX | ủ( x, A) } Tp ( A) c gi l -bao ca A hay hỡnh cu suy rng ca A 1.1.6 MNH Vi mi khỏc rng A,B è X v , > , nu A è B thỡ ( A) è ( B ) v (( A) ) è ( A) + 1.1.7 MNH {a} Nu A l compact thỡ ( A) = aU ẻ A Bao hm ỳng tớnh compact ca A, bao hm l hin nhiờn ỳng vi mi A Tp {a} l mt cu tõm a bỏn kớnh ; kớ hiu B (a, ) ( hoc B X (a, ) ) 1.1.8 NH NGHA Tp A ca X c gi l b chn nu tn ti cn trờn ca {ủ( x, y ) | x, y ẻ A} Cn trờn ỳng ca ny c gi l ng kớnh ca A ; kớ hiu : diamA 1.1.9 MNH Vi mi A X cỏc tớnh cht sau l tng ng : (i) A b chn -7- (ii) $ > 0, $x ẻ X, A è B X ( x, ) 1.1.10 NH NGHA Vi bt kỡ hai khụng gian metric ( X , ủ) v ( X' , ủ') , ỏnh x f : X đ X  l mt phộp nhỳng ng c ( i vi ủ v ủ ' ) nu " x, y ẻ X : ủÂ( f(x), f(y)) = ủ(x, y) (1.2) Phộp nhỳng ng c ton ỏnh c gi l phộp ng c Khỏi quỏt hn, f ton ỏnh l ng dng vi t s l > , nu " x, y ẻ X : ủÂ( f(x), f(y)) = l ủ(x, y) Khụng gian ( X , ủ) v ( X' , ủ') l ng c (ng dng) nu tn ti phộp ng c (ng dng) f : X X Chng hn, R n l khụng gian ng c vi bt kỡ thc s ca nú 1.1.11 NH Lí Mi ỏnh x ng c f : R n đ R n l mt phộp ng c Chng minh: t X = f (R n ) D nhiờn f : R n X l mt phộp ng c, nú bo ton tớnh y v tớnh liờn thụng, ú X l úng liờn thụng ca R n Hin nhiờn, X khụng compact vỡ f l phộp ng phụi ca R n lờn X Vi n = Gi s X R Thỡ X l na ng thng úng vi im cui a Tp X \{a} liờn thụng Trong ú R\ f - ( a) khụng liờn thụng R iu ny khụng th vỡ f l phộp ng phụi Vy X = R Bõy gi, gi s n T trng hp n = 1, chỳng ta thy rng nh f (L) ca ca bt kỡ ng L è R n cng l mt ng thng Tht vy, gi s f : R đ L l phộp ng c t R vo L thỡ hm : R đ f ( L) c xỏc nh bi ( x) := f f ( x ) l phộp ng c t R vo f(L) -8- Vi p X , t R n l hp tt c h L cỏc ng thng i qua p : R n = UL (1.3) Vi mi L ẻ L , f - ( X ầ L) = f - ( X ) ầ f - ( L) = R n ầ f - ( L) = f - ( L), Suy X L = L nờn L X Do vy R n X , bi (1.3) Nh vy X = R n 1.2 Metric Hausdorff Gi C( X ) l h cỏc khỏc rng, úng b chn ca khụng gian metric ( X , ủ) Vi bõt k A,B C( X ) A >B 0| t ủH ( A,B) := inf{ èè B( ) v A ( ) } (1.4) (Cn di tn ti vỡ A, B b chn) 1.2.1 MNH Hm s ủH : C( X ) C( X ) đ R l mt metric Chng minh Hin nhiờn, ủH Vi A,B C( X ) Vỡ A, B úng X, theo 1.1.4 ta suy eI> 0( A) = A v eI> 0( B ) = B Do vy ủH ( A,B ) = " > ( A è ( B ) v B è ( A) } A è B v B è A A= B Vy ủH tha iu kin (*) Rừ rng ủH cng tha iu kin (**) Ta kim tra iu kin (***) Gi A,B,C C( X ) ; theo iu kin (*), chỳng ta cú th coi rng A,B,C ụi mt khỏc t := ủH ( A,B ) v := ủH ( B,C ) -9- Chỳng ta d thy { { > | A èè ( B) v B ( A) } l úng, vy cn di H ( A,B ) ca nú thuc v nú, ngha l A è ( B ) o v B è ( A) o Tng t, B è (C )o v C è ( B)o Do ú theo 1.1.6, A è (C ) o+ Vỡ vy , ủH ( A,C) Ê+ o o o v C è ( A)o ị ủ A,C H( + o )Ê ủ A,B H( ) + B,C ủH ( ) , Metric ủH c gi l metric Hausdorff; gii hn khụng gian (C( X ), ủH ) c gi l gii hn Hausdorff A = lim H An r lim H ( A,An ) = 1.2.2 NH Lí ủ(a,B ), sup ủ(b, A)} Vi A,B ẻ C( X ), ủH ( A,B) = max{sup aẻ A bẻ B (1.5) (Cụng thc (1.5) thng c dựng nh l nh ngha th hai ca metric Hausdorff) Chng minh Vi mi liờn thụng S1 ,S è R + vi giao khỏc rng thỡ: inf ( S1 ầ S2 ) = max{inf S1 ,inf S } Do tớnh i xng ca iu kin (1.5) i vi A v B ch cn chng minh ủ(a,B) = inf{A > 0B| rng: sup aẻ A è ( ) } ủ(a,B ) v := inf{ > | A è ( B) } t := sup aẻ A ) Ê a, " Aẻ Thỡ ủ(a,B v ú A è ( B ) nờn Gi s > ; thỡ $ ẻ (0; ) A è ( B) ủ(a,B) Ê < Vỡ th sup aẻ A , trỏi vi gi thit.Vy = 1.2.3 NH NGHA - 10 - , Cho a0 , ,ak ẻ R n Gi s P = conv { a0 , ,ak } v F = H ầ P , ú H = { < x,a > = } l siờu phng ta ca P Ta chng minh H i qua mt s nh no ú s cỏc nh a0 , ,ak Khụng mt tớnh tng quỏt ta cú th gi s P è H + Nu H khụng i qua im no s cỏc im a0 , ,ak thỡ {a0 , ,ak } è int H + Vy < x,a > = a + j , j > , j = 1, , k k Ly xẻ F thỡ k x= i , i =1 i = , i , i = 1, , k Vỡ i =1 xẻ F ị xẻ H k k k k i=1 i=1 i=1 i=1 Suy a =< x,a > = i < ,a > = i +ồ i i = +ồ i i k Vy i i = m i > 0,i = 1,2, ,k nờn = = k = mõu thun i=1 k vi i = Vy H i qua mt s im no ú s cỏc im a0 , ,ak i =1 Bõy gi ta chng minh F l a din li Khụng lm mt tớnh tng quỏt, gi s H i qua cỏc nh a1 , ,as , ú as+1 , ,as ẻ int H + Vy < x i ,a > = a , i = 1, , s v < x j ,a > = + j , j < , j = s + 1, , k Vi x ẻ F = PI H k thỡ x = i , i=1 k i = , i , i = 1, , k (do x ẻ P ) i=1 k s i=1 i =1 Suy < x,a > = i < ,a > = i + - 29 - k j =s + k j j = + j =1 j j Do x ẻ H nờn < x,a > = k i i = s + = = k = i =1 s Vy x ẻ F kộo theo x = i , i=1 s i = , i , i = 1, , s ngha l i=1 x ẻ co(a0 , ,ak ) Vy F è co(a0 , ,ak ) Mt khỏc { a0 , ,ak } è P ầ H nờn co(a0 , ,ak ) è P ầ H = F T ú suy F = co(a0 , ,ak ) , hay F l mt a din li 2.1.5 NH NGHA im x thuc li C c gi l im cc biờn nu nú khụng l im ca on thng no cú hai im mỳt thuc C Tp hp tt c cỏc im cc biờn ca li C ký hiu l ext(C) 2.1.6 NHN XẫT Nu C l li thỡ cỏc mnh sau tng ng a) x ext(C), b) C\{x} li Chng minh a b) Gi s C\{x} khụng li, tn ti y, z C\{x} cho on thng [ y, z ] C \ { x} Vỡ C li nờn [ y, z ] C Vy x thuc khong m (y, z), mõu thun vỡ x l im cc biờn b a) Gi s x ( y, z ) , y, z C Suy y, z C \ { x} Nhng [y, z] C\{x} Vy C khụng li; mõu thun vi gi thit 2.1.7 NH Lí (Krein Milman) Gi s C l li compact R n Khi ú ext(C) l nht (theo ngha bao hm ) cho co(ext(C)) = C Chng minh - 30 - Trc ht ta chng minh co ( ext ( C ) ) = C bng phộp quy np theo s chiu ca C Nhc li rng s chiu dimA ca A c nh ngha bi dimA := dim aff ( A ) Vi dimC = 1, , nh lý ỳng Gi s nh lý ỳng cho dimC = k Xột dimC = k Ta ch cn chng minh : C co ( ext ( C ) ) ,vỡ bao hm thc ngc li hin nhiờn Ly x tu ý thuc C, nu x l im biờn ca C, theo nh lý 1.4.9, tn ti siờu phng ta H ca C qua x Gi F = H C thỡ F li v compact v cú s chiu khụng vt quỏ k nờn theo gi thit quy np F = co ( ext ( F ) ) Mt khỏc ext ( F ) ext ( C ) cho nờn F co ( ext ( C ) ) Suy x co ( ext ( C ) ) Nu x C nhng x khụng l im biờn ca C thỡ tn ti cỏc im biờn ca C l y, z cho x [ y, z ] Theo chng minh trờn y, z thuc co(ext(C)) nờn x co ( ext ( C ) ) chng minh ext(C) l nht cho co ( ext ( C ) ) = C Gi s G l thc s ca ext(C) ú tn ti x ext ( C ) \ G Theo Nhn xột 2.1.6 thỡ C \ { x} li v G ext ( C ) \ { x} C \ { x} nờn co ( G ) C \ { x} C 2.1.8 NH Lí (nh lý Krein Milman cho a din li) Mi a din li l t hp li cỏc nh ca nú Chng minh - 31 - t vert ( P) l cỏc nh ca a din li P Ta s chng minh: vert ( P) è ext ( P) Tht vy, ly x ẻ vert ( P) , ú tn ti siờu phng ta H ca P ti x cho H ầ P = { x} (2.1) Gi s x ẽ ext ( P) ú tn ti y, z ẻ P , khỏc x cho [ y, z ] è P T tớnh cht ca siờu phng ta suy y, z khụng nm khỏc phớa vi H ngha l y, z ẻ H , iu ny mõu thun vi (2.1) Vy x ẻ ext ( P) ị vert ( P) è ext ( P) (2.2) Theo nh lý Krein Milman trờn v tớnh nht ca vert ( P) ta li cú: ext ( P) è vert ( P) (2.3) T (2.2) v (2.3) suy ra, vert ( P) = ext ( P) = P 2.2 Quan h gia a din li v li a din 2.2.1 NH Lí Mi a din li l mt li a din gii ni Chng minh Gi s P = conv { a1 , , ak } , a1 , , ak l cỏc nh ca a din P Gi s aff ( P ) = R n (nu dim aff ( P) = m < n thỡ ta coi aff ( P ) l R m ) Gi s Fi = P ầ Hi l mt ( n 1) chiu ca P v P è H i + , i = 1, , k t k P Â= I H i + Hin nhiờn P è P  i =1 Ta chng minh P Âè P Gi s x ẻ P  \ P - 32 - (2.4) Gi B l hp ca tt c cỏc phng qua x v r nh ca P, r Ê n - Vỡ int B= ặ nờn tn ti y ẻ (int P ) \ B on thng [ x, y ] ậ B (2.5) v ct biờn bd(P) ca P ti z Vỡ bd(P) l hp ca cỏc mt thc s ca P nờn z ẻ F l mt ca P Nu dim F < n - thỡ F cha nhiu nht l n - nh ca P nờn affine qua x v F è B ị y ẻ B , mõu thun vi (2.5) Vy dim F = n - Do ú aff(F) l mt cỏc siờu phng Hi , i = 1, , k Do y ẻ (int P ) \ B ị y ẻ int( P) è H i + v z ẻ F nờn x ẻ H i- hay x ẽ P Â, mõu thun vi (2.4) Vy P  \ P = ặ hay P Âè P 2.2.2 H QU Trong Rn phn ca n n hỡnh khỏc rng Chng minh Gi s P l n n hỡnh, P = conv { a1 , , ak } , a1 , , ak l cỏc nh ca P Theo chng minh nh lý 2.2.1 thỡ P l giao ca cỏc na khụng gian úng Hi + xỏc nh bi cỏc siờu phng H i , i = 1, , n + i qua cỏc mt (n 1) chiu ca P n+ Ly x = i , i , i =1 n+ i = Khi ú, x ẻ P v x khụng thuc bt i =1 c siờu phng Hi no v i = 1, , n + nờn khong cỏch t x ti chỳng khỏc Ly r nh hn tt c cỏc khong cỏch trờn, gi S l hỡnh cu m tõm x bỏn kớnh r Do x ẻ P nờn x ẻ H i + , i = 1, , n + Li chn r nh trờn nờn S è Hi + , i = 1, , n + Vy S è n+ I Hi+ = P i =1 2.2.3.NH Lí Mi li a din gii ni l mt a din li - 33 - Chng minh Gi s P l mt li a din gii ni Ta qui np theo s chiu ca P Ta gi s dim P = n ( vỡ nu dim P = m thỡ ta s xột R m ) Vi n = , nh lý hin nhiờn ỳng Gi s nh lý ỳng vi n = s - , ta chng minh nh lý ỳng vi n = s s + Gi s P = I Hi Gi Fi = P ầ H i , i = 1, , s thỡ Fi , i = 1, , s l li i =1 a din gii ni cú s chiu nh hn n nờn theo gi thit qui np Fi , i = 1, , s s l a din li Hin nhiờn l conv(U Fi ) è P (2.6) i=1 s Ta chng minh bao hm thc P è conv(U Fi ) (2.7) i =1 s Vi x tựy ý thuc P Nu x ẻ bd( P ) thỡ rừ rng x ẻ conv(U Fi ) Nu i =1 x ẻ int( P) , ly mt ng thng l qua x v khụng song song vi bt kỡ H i no, i = 1, , s Rừ rng l ầ P l mt li nờn nú l mt on thng [ y, z ] , ú y, z ẻ bd( P ) s Vy y ẻ Fr , z ẻ Fq ; r,q ẻ { 1, , s} ị x ẻ conv(UFi ) (2,6) c chng i=1 minh s s i =1 i =1 T v (2.6) v (2.7) ta suy P = conv(U Fi ) Nhng vỡ P è conv(U Fi ) l bao li ca tt c cỏc nh ca Fi , i = 1, , s nờn P l a din li 2.2.5 H QU - 34 - Mt hp R n l a din li v ch nú l li a din gii ni Núi khỏc i, hai danh t l a din li R n v li a din gii ni Rn l mt 2.3 c trng Euler Poincare ca a din 2.3.1 NH NGHA Gi s S l n hỡnh k chiu (k 0), S (0) l cỏc nh ca nú Ta gi mi mt n hỡnh m nh ca nú thuc S (0) l mt ca S, núi riờng ặv S cng l mt ca S Mt ca S nhng khỏc S c gi l mt thc s ca S Gi s S (i) l hp cỏc mt i chiu ca S, ta nh ngha quan h p trờn US (i) i nh sau: S1 p S S1 l mt ca S2 Mt hp T_cỏc n hỡnh c gi l phc n hỡnh nu (i) S1 , S ẻ T_ị S1 ầ S p Si , i = 1, , (ii) S ẻ T v SÂp S ị SÂẻ T Nu T_l phc n hỡnh thỡ P = ẩ { T | T ẻ T_} c gi l a din biu din ca T_, T_ c gi l tam giỏc phõn ca P 2.3.2 NH NGHA Cho phc n hỡnh T_ , s chiu ca T_c xỏc inh bi dim T== max { dim S | S T } Gi s ki (T ) l s i-n hỡnh ca T_ , c s EulerPoincare ca T_ ký hiu l (T ) , c xỏc nh bi (T ) := dimT (1) i =0 i ki ( T ) - 35 - Nu P a din biu din ca T_thỡ ta nh ngha c s EulerPoincare ca P, ký hiu l ( P ) c xỏc nh bi ( P ) := (T ) 2.3.3 NHN XẫT Nu a din biu din ca cỏc phc T_ v T_ trựng nhau, thỡ (T ) = (T Â) 2.3.4 V D Gi S l mt n hỡnh n-chiu thỡ ( S ) = v (bdS ) = - (- 1) n Tht vy, ta cú th kim tra hai cụng thc ny bi phộp tam giỏc phõn T_ v T_ ca a din S v bdS, ln lt nh sau : T_ gm ton b mt khỏc rng ca S v T_ gm ton b mt thc s ( khỏc rng ) ca S ổ n + 1ử ữ ữ Rừ rng, ki (T ) = ỗ ỗ ữ, i ẻ {0, , n} , ki (T Â) = ki (T ), i < n ỗ i + ố ứ v kn (T Â) = n+ ổ ổ n + 1ử j - ỗn + 1ữ ữ ỗ ( S ) = ( 1) = ( 1) ữ ữ Do ú ỗ ỗ ữ ữ= ỗ ỗ j ứ ố i + 1ứ ố i =0 j =1 n i v (bdS ) = - (- 1) n Mt tớnh cht quan trng ca cỏc c s Euler-Poincare ú l nú bt bin tụpụ 2.3.5 NH Lí Nu a din P1 v P2 l ng phụi thỡ ( P1 ) = ( P2 ) Tip theo, phn sau chỳng tụi trỡnh by mt cỏc c s Euler-Poincare R3 2.4 nh lý Descartes Euler v ng dng 2.4.1 NH Lí Trong R3, c s Euler-Poincare ca hỡnh a din li bng - 36 - nh lý trờn c phỏt biu cỏch khỏc : Tng ca s nh v s mt Z ca mt hỡnh, ln hn s cnh C ca nú l n v : + M C = (cụng thc Euler) Tht vy a din li P R cú loi mt : nh (mt 0-chiu), cnh (mt 1-chiu), ( P ) = M+ C- mt (mt 2-chiu) v P (mt 3-chiu) Vy - , ú ( P ) = v ch + M C = Nu v phi, cụng thc nh ngha ( P ) , ta ch xột cỏc mt thc s ca P thỡ c s Euler-Poincare ca hỡnh a din li R bng Theo quan im ny, Hỡnh hc s cp, ngi ta gi giỏ tr + M C l c s Euler (xem [1]) Chng minh Xột mt a tựy ý ca a din li P Xột tt c cỏc mt ca hỡnh a din k vi mt a Gi cỏc mt phng cha cỏc mt y ln lt l b1 , , bn v gi p1 , , pn l cỏc na khụng gian cựng mt phớa vi hỡnh a din ó cho i vi cỏc mt phng b1 , , bn Giao p = p1 ầ ầ pn ca cỏc hỡnh li ( na khụng gian) pi l mt hỡnh li cha a din P Gi p0 l na khụng gian xỏc nh bi mt phng a v khụng cha hỡnh a din P Chn im M ẻ p0 ầ p lm tõm chiu T im M, chiu tt c cỏc mt cũn li ca hỡnh a din lờn a , ta c mt li a giỏc no ú Trờn li ú mi nh ca hỡnh a din ng vi mt v ch mt nỳt, mi cnh ng vi mt v ch mt on thng Bõy gi ta s tớnh tt c cỏc gúc phng ca hỡnh a din theo hai cỏch khỏc Gi s cỏc mt ca hỡnh a din c ỏnh s th t, v mt cú s th t k cú rk cnh Qua phộp chiu mt mt bi no ú lờn mt a ta thu c mt hỡnh - 37 - a giỏc bi  cú cựng mt s cnh Vy tng cỏc gúc ca a giỏc bi bng tng cỏc gúc ca hỡnh chiu ca nú Tng cỏc gúc phng ca hỡnh a din P ( khụng cú mt a ) bng tng cỏc gúc ca tt c cỏc a giỏc c to thnh trờn mt a qua phộp chiu S nh ca tt c cỏc a giỏc y l Trong s ú, cú mt s nh ( ta kớ hiu m) nm trờn chu tuyn ca a giỏc a , v ( m) nh cũn li thỡ nm a giỏc a Vy tng cỏc gúc ca tt c cỏc a giỏc c to thnh bng : 4k ( - m) + 2k ( m - 2) Ta phi thờm vo tng trờn tng cỏc gúc phng ca mt a l 2k ( m - 2) Vy tng tt c cỏc gúc phng ca hỡnh a din l : = 4k ( - m) + 2k ( m - 2) + 2k ( m - 2) = 4k ( - 2) Tng ồ ( 1) cú th tớnh cỏch khỏc nh sau : = 2k ( r1 - 2) + 2k ( r2 - 2) + + 2k ( rz - 2) = 2k ( r1 + r2 + + rz ) - 4kz Nhng mi cnh thuc hai din nờn cỏch tớnh trờn mi cnh ó tớnh hai ln ngha l r1 + r2 + + rz = 2C Do ú, T ( 1) v ( 2) = 2k2C - 4kZ = 4k ( C - Z) ( 2) suy ra, 4k ( - 2) = 4k ( C - Z ) ị - = C - Z hay + Z - C = nh lý c chng minh H qu sau c xem l mt s cỏc ng dng ca nh lý Descartes Euler - 38 - S 2.4.2 H QU Trong R3 ch cú kiu hỡnh a din u Chng minh Cho hỡnh a din u cú s nh , s mt Z, s cnh C, s nh n ca mi mt, s mt s mi nh Ta tỡm mi liờn h gia , Z, C, n, s Mi mt n cnh, cú tt c Z mt nờn cú tt c nZ cnh Nhng õy mi cnh c tớnh hai ln (vỡ mi cnh l cnh chung ca hai din) Vy nZ = 2C ị Z = 2C n (2.8) Qua mi nh cú s cnh, cú tt c nh nờn tt c cú s cnh Nhng mi cnh c tớnh hai ln (vỡ mi cnh ni hai nh) Vy s = 2C ị = 2C s (2.9) Theo cụng thc Euler, ta cú : + Z - C = ị + Z = + C (2.10) T (2.8), (2.9) v (2.10) ta cú : 2C 2C 1 1 + = 2+ C ị + = + s n s n C Hin nhiờn n , s (2.11) (2.12) - 39 - Bõy gi chỳng ta tỡm cỏc s nguyờn dng n v s tha iu kin (2.11) v (2.12) Nhn xột : 1)Nu mt cỏc s n hoc s ln hn thỡ s th hai s bng Tht vy, gi s n v s thỡ 1 1 1 Ê v Ê ị + Ê mõu thun vi (2.11) n s n s 2) Khụng cú s no s n v s ln hn 1 Ê , theo nhn xột 1) thỡ s = n Tht vy, gi s n ị ị 1 1 + Ê + = mõu thun vi (2.11) n s Tng t, gi s s ị ị 1 Ê , theo nhn xột 1) thỡ n = s 1 1 + Ê + = mõu thun vi (2.11) n s Vy n, s ẻ { 3, 4,5} Ta cú th tỡm cỏc s n, s, , Z, C tha (2.11) c th bng sau : n s C Z Tờn gi 3 4 T din u 12 Bỏt din u - 40 - Hỡnh biu din 12 Lc din u 30 20 12 Thp nh din u 30 12 20 Nh thp din u - 41 - KT LUN Lun ó t c cỏc kt qu sau: Trỡnh by mt s khỏi nim, tớnh cht ca li R n Trỡnh by mt cỏch cú h thng khỏi nim, tớnh cht ca a din li Rn Cỏc kt qu ca lun c trỡnh by ri rỏc cỏc ti liu tham kho Tỏc gi ó hp cỏc ú theo mt h thng phự hp vi ch ó chn; chng minh chi tit nhiu tớnh cht, nh lý, h qu m ti liu tham kho a b qua chng minh - 42 - TI LIU THAM KHO [1] Argunop Banko (1997) , Hỡnh hc s cp, NXB Giỏo dc [2] Phm Ngc Bi (2012), Bi ging Hỡnh hc li, bi ging Cao hc i hc Vinh [3] Nguyn ng Khoa (2011), Mt s v th tớch hn tp, Lun thc s toỏn hc, Trng i hc Vinh [4] Vn Lu - Phan Huy Khi (2000), Gii tớch li, NXB Khoa hc v K thut H Ni [5] Peter M.Gruber (2009), Convex and Discrete Geometry, Springer - Berlin [6] Maria Moszynska (2006), Selected Topics in Convex Geometry, BirkhauserBoston-Basel-Berlin - 43 - [...]... H l x L c xỏc nh nh sau x = HL nh x cm sinh ra phộp chiu trc giao L: Rn L Vi mi x Rn , L(x) = (H), trong ú H l siờu phng i qua x, v thuc H D thy L lỏ ỏnh x liờn tc Do A compact v khỏc rng cho nờn L ( A ) compact, khỏc rng Gi s a L ( A ) - 20 - - 1 (a + to ãv) l siờu phng ta v t o :=sup{t ẻ R | a + tãvẻ A L ( )} thỡ rừ rng p duy nht ca A vi vect phỏp tuyn ngoi v , Chỳng ta kớ hiu H ( A,v )... minh h o cú tớnh cht giao hu hn, ngha l mi h con hu hn ca o cú giao khỏc rng S dng 1.4.13, suy ra mi h con hu hn ca cú giao khỏc rng Vi mi h A1 , , Ak , ta cú k k i =1 i =0 I( Ao Ai ) = IAi Do ú mi h con hu hn ca o cú giao khỏc rng, ta suy ra, h o cú giao khỏc rng Mt khỏc, Vy I o I I - 27 - CHNG 2 a din li trong Rn 2.1 a din li, tp li a din 2.1.1.NH NGHA a) Giao ca mt s hu hn na khụng... tp ph thuc affine, ngha l mt trong cỏc im ca nú l t hp ca mt s im khỏc Khi ú tn ti ( s1 , , sk ) ạ (0, ,0) , sao cho ồ k s a = 0 v i=1 i i ồ k s = 0 iu ú i =1 i chng t cú ớt nht mt trong cỏc s s1 , , sk l dng ti tm Do ú tp { | i ẻ {1, , k}, si > 0} khỏc rng Gi l s nh nht ca si sm k tm ãsi , i = 1, , k Lu ý rng x=aồ tp ny v t i := ti sm i =1 i i , ton b h s trong t hp ny l khụng õm, tng... minh A+ B v l A l cỏc tp compact D thy tA l tp compact Ta ch cn chng minh A+ B l tp compact Tht vy, vỡ A, B compact nờn A x B = { ( a,b) | a ẻ A, b ẻ B } cng l tp compact trong R n x R n f : Rnx Rn Xột ỏnh x ( x, y) đ Rn a x+ y Rừ rng f l ỏnh x liờn tc v qua ỏnh x f thỡ A x B bin thnh A + B Suy ra A + B l tp compact - 14 - 1.3.5 MNH n + Vi A ẻ Cn v e > 0 , ( A) = AB Nhn xột: í ngha ca Mnh l cng... nh ca P nờn tp affine qua x v F è B ị y ẻ B , mõu thun vi (2.5) Vy dim F = n - 1 Do ú aff(F) l mt trong cỏc siờu phng Hi , i = 1, , k Do y ẻ (int P ) \ B ị y ẻ int( P) è H i + v z ẻ F nờn x ẻ H i- hay x ẽ P Â, mõu thun vi (2.4) Vy P  \ P = ặ hay P Âè P 2.2.2 H QU Trong Rn phn trong ca n n hỡnh khỏc rng Chng minh Gi s P l n n hỡnh, P = conv { a1 , , ak } , a1 , , ak l cỏc nh ca P Theo chng minh... P = conv(U Fi ) Nhng vỡ P è conv(U Fi ) l bao li ca tt c cỏc nh ca Fi , i = 1, , s nờn P l a din li 2.2.5 H QU - 34 - Mt tp hp trong R n l a din li khi v ch khi nú l tp li a din gii ni Núi khỏc i, hai danh t l a din li trong R n v tp li a din gii ni trong Rn l mt 2.3 c trng Euler Poincare ca a din 2.3.1 NH NGHA Gi s S l n hỡnh k chiu (k 0), S (0) l tp cỏc nh ca nú Ta gi mi mt n hỡnh m nh ca nú thuc... bdS, ln lt nh sau : T_ gm ton b mt khỏc rng ca S v T_ gm ton b mt thc s ( khỏc rng ) ca S ổ n + 1ử ữ ữ Rừ rng, ki (T ) = ỗ ỗ ữ, i ẻ {0, , n} , trong khi ki (T Â) = ki (T ), i < n ỗ i + 1 ố ứ v kn (T Â) = 0 n+ 1 ổ ổ ử n + 1ử j - 1 ỗn + 1ữ ữ ỗ ( S ) = ( 1) = ( 1) ữ ữ Do ú ỗ ỗ ồ ữ ồ ữ= 1 ỗ ỗ j ứ ố i + 1ứ ố i =0 j =1 n i v (bdS ) = 1 - (- 1) n Mt tớnh cht quan trng ca cỏc c s Euler-Poincare ú l nú... Nu ủ l mt tớch metric tựy ý trong Cn Cn vi Ai ,Bi tha món iu kin ủH ( Ai ,Bi ) Ê ủ(( A1 , A2 ), ( B1 ,B2 )) , i = 1, 2 , thỡ phộp cng Minkowski liờn tc u vi metric ủ v ủ (ii) Phộp nhõn vi s khụng õm tựy ý t , A a tA liờn tc u (i vi ủH ) 1.4 Siờu phng v siờu phng ta 1.4.1 NH NGHA a) Mt siờu phng trong Rn l tp tt c cỏc nghim (x1 , , x n ) ca h phng n trỡnh n n ồ vi x i = b, trong ú vect v = (v1 , , v... minh Phộp kộo theo (ii) (i) suy ra trc tip t 1.5.2 (i) (ii): Chỳng ta hóy lu ý rng i vi mi A, A è C ( A) Cho A l tp li chng minh rng C(A) è A ta chng minh rng i vi bt k k ẻ N, al , , ak ẻ A, t1 , , tk ẻ [0,1] , v ồt i =1 ị c(a1 , , ak ; t1 , , tk ) ẻ A (1.12) Vi k = 1 iu kin (1.12) l hin nhiờn Vi k 2 Gi s rng (1.12) l ỳng vi k 1; Gi s a1 , , ak ẻ A, t1 , , tk ẻ [0,1] , v k ồt i... tp n l n hỡnh 0 - chiu b) Tp rng l n hỡnh (-1)- chiu 2.1.4 NH Lí Mi a din li cha cha hu hn mt, mi mt l a din li Chng minh - 28 - Cho a0 , ,ak ẻ R n Gi s P = conv { a0 , ,ak } v F = H ầ P , trong ú H = { < x,a > = } l siờu phng ta ca P Ta chng minh H i qua mt s nh no ú trong s cỏc nh a0 , ,ak Khụng mt tớnh tng quỏt ta cú th gi s P è H + Nu H khụng i qua im no trong s cỏc im a0 , ,ak thỡ ... compact nờn A x B = { ( a,b) | a ẻ A, b ẻ B } cng l compact R n x R n f : Rnx Rn Xột ỏnh x ( x, y) đ Rn a x+ y Rừ rng f l ỏnh x liờn tc v qua ỏnh x f thỡ A x B bin thnh A + B Suy A + B l compact... phộp chiu trc giao L: Rn L Vi mi x Rn , L(x) = (H), ú H l siờu phng i qua x, v thuc H D thy L lỏ ỏnh x liờn tc Do A compact v khỏc rng cho nờn L ( A ) compact, khỏc rng Gi s a L ( A ) -... khỏc rng S dng 1.4.13, suy mi h hu hn ca cú giao khỏc rng Vi mi h A1 , , Ak , ta cú k k i =1 i =0 I( Ao Ai ) = IAi Do ú mi h hu hn ca o cú giao khỏc rng, ta suy ra, h o cú giao khỏc rng