Đa diện lồi trong Rn Luận văn thạc sĩ toán học

Trong chương này, trước tiên tôi trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến đa diện lồi trong không gian Rn và một số tính chất của đa diện lồi trong không gian Rn Luận văn được hoàn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VŨ THÚY NGA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN, 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VŨ THÚY NGA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

LỜI MỞ ĐẦU

Hình học lồi có nguồn gốc từ giữa thế kỷ thứ 19 Nhưng trong vài thập niên gần đây thì hình học lồi trở thành một trong những nhánh của hình học đương đại sống động nhất Trong suốt chiều dài phát triển mạnh mẽ của hình học làm cho hình học lồi trở thành một lĩnh vực độc lập, như một ngành trung tâm của hình học tô pô Sau các kết quả đầu tiên của H.Minkowski (1910) về tập lồi và hàm lồi thì đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học như : C.Caratheodory, W Fench, J.J.Moreau, W.V.Jensen, ……

“Hình học Euclide” được biết đến từ xa xưa trong các tác phẩm “Nguyên lý” của Euclide (330 – 275 tr.CN) Trải qua nhiều thế kỷ, loài người đã hoàn thiện môn khoa học này và nó đã được gọi với cái tên mới: “Hình học sơ cấp”

Một trong các khái niệm quan trọng, làm nền tảng để xây dựng lên các hình hình học cũng như làm nền tảng để xây dựng độ đo, tính toán là đa diện lồi Trên

cơ sở tìm hiểu một số tài liệu tham khảo có thể có được trong điều kiện hiện nay, chúng tôi tìm hiểu, hệ thống một số vấn đề về các đa diện lồi trong Rn

Nội dung luận văn gồm 2 chương

Chương I Kiến thức cơ bản Trong chương này, tôi trình bày các vấn đề tổng

quan về không gian Euclide và các tập con của nó

Chương II Đa diện lồi trong R n Trong chương này, trước tiên tôi trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến đa diện lồi trong không gian Rn và một số tính chất của đa diện lồi trong không gian Rn

Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa học, tận tình, chu đáo của thầy giáo PGS.TS.NGƯT Phạm Ngọc Bội Nhân dịp hoàn thành luận văn, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn tận tình trong quá trình học

tập và nghiên cứu Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Vinh, các bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này.

Mặc dù đã có cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 9 năm 2013

Tác giả

Vũ Thúy Nga

BẢNG KÝ HIỆU

(x,A)

clA:clA: bao đóng của tập A

( )A ε : ε −bao của A.

bd(A): biên của tập A

diam A: đường kính của tập hợp A

aff(A): bao affine của tập A

relbd(A): biên tương đối của tập A.

conv(A): bao lồi của tập A

ext(A): tập tất cả các điểm cực biên của tập A

int(A): phần trong của tập A

CHƯƠNG I Kiến thức cơ bản

Cho X là tập khác rỗng Hàm ñ: X Xx ® R+ , được gọi là một metric nếu

thỏa các điều kiện sau :

(*) ñ(x, y) 0; (³ ñ x, y =) 0 nếu và chỉ nếu x = y,

(**) ñ(x, y)=ñ(y,x),

(***) ñ(x, y)+ ñ(y,z)³ ñ(x,z)

Khi đó ( X,ñ) được gọi là một không gian metric.

1.1 Khoảng cách giữa điểm và tập hợp

Cho x=limx k Theo tính chất bất đẳng thức tam giác (điều kiện (***) ở

trên ) và theo tính chất cận trên :

Vì thế, chỉ cần chứng minh rằng

clÎ

Với mỗi A⊂ X và ε >0, đặt ( ) : {A ε = xΣX | (ñ x, Aε) }

Tập ( )A ε được gọi là ε-bao của A hay hình cầu suy rộng của A

Bao hàm ⊂ đúng do tính compact của A, trong khi bao hàm ⊃ là hiển

nhiên đúng với mọi A.

Tập{a}ε là mặt cầu tâm a bán kính ε; kí hiệu B a, ε( ) ( hoặc B (X a, ε))

(ii) $ε >0, $ Îx X, AÌ B (X x, ε).

1.1.10 ĐỊNH NGHĨA

Với bất kì hai không gian metric ( , )X ñ và ( , ')X' ñ , ánh xạ f X: ® X¢

là một phép nhúng đẳng cự ( đối với ñ và ñ') nếu "x, yÎ X :

Đặt X = f(R )n Dĩ nhiên f R: n →X là một phép đẳng cự, nó bảo toàn

tính đầy đủ và tính liên thông, do đó X là tập con đóng liên thông của Rn

Hiển nhiên, X không compact vì f là phép đồng phôi của Rn lên X.

Với n = 1 Giả sử X ¹ R Thì X là nửa đường thẳng đóng với điểm cuối a Tập X \{a} liên thông Trong khi đó R\ f-1( )a không liên thông R Điều

này không thể vì f là phép đồng phôi Vậy X = R.

Bây giờ, giả sử n ≥ 2 Từ trường hợp n = 1, chúng ta thấy rằng ảnh f (L)

của của bất kì đường LÌ Rn cũng là một đường thẳng Thật vậy, giả sử

: R ® L

f là phép đẳng cự từ R vào L thì hàm ψ: R® f L( )được xác định

bởi ψ x( ):= f f ( )x là phép đẳng cự từ R vào f(L).

Với p X∈ , đặt Rn là hợp tất cả họ L các đường thẳng đi qua p :

A B B A

A B

Vậy ñHthỏa điều kiện (*) Rõ ràng ñH cũng thỏa điều kiện (**)

Ta kiểm tra điều kiện (***)

Gọi A,B,C∈C X( ); theo điều kiện (*), chúng ta có thể coi rằng A,B,C đôi

một khác nhau Đặt ε0 :=ñH(A,B) và :δ0 =ñH(B,C)

Chúng ta dễ thấy tập {{ε> 0 | AÌÌ ( ) và B ε B ( ) }A ε là đóng, do vậy cận dưới ε A,BH( ) của nó thuộc về nó, nghĩa là AÌ ( ) và B ε o BÌ ( ) A ε o

Tương tự, BÌ ( ) và C δ o CÌ ( ) B δ o

Do đó theo 1.1.6, Ì ( )ε oδ+ và Ì ( )o δ ε +

A C C A

Vì vậy , ñH(A,Cε + δ)£ o o Þ ñA,C H( )£ ñA,B H( )+ ñB,C H( ) ,

Metric ñH được gọi là metric Hausdorff; giới hạn trong không gian

( ( ), C X ñH) được gọi là giới hạn Hausdorff.

inf (S ÇS )=max{inf ,inf }S S

Do tính đối xứng của điều kiện (1.5) đối với A và B chỉ cần chứng minh

Một không gian ( , )X ñ được gọi là hữu hạn compact nếu mỗi tập con

đóng, bị chặn của ( , )X ñ là compact.

1.2.4 MỆNH ĐỀ

Cho không gian metric ( , )X ñ , các điều kiện sau là tương đương

(i) ( , )X ñ là compact hữu hạn

(ii) mỗi hình cầu trong ( , )X ñ là compact

(iii) mỗi dãy bị chặn trong ( , )X ñ là dãy con hội tụ.

Hiển nhiên, mọi không gian compact là không gian compact hữu hạn Không gian Rnlà không gian compact hữu hạn nhưng không compact Ví dụ này cho thấy tính đầy đủ bao hàm tính compac hữu hạn Nhưng ý nghĩa này không đúng, chẳng hạn, mặt phẳng R2 với “đường metric” ñ% được xác định

bởi: ( ) khi 0 aff ( )

là đầy đủ nhưng không compact hữu hạn, vì hình cầu tâm (0,0) là không compact

Tương tự, không gian l2, tức là, không gian của dãy thực với chuỗi hội tụ của hình vuông, với metric ñ được định nghĩa bằng công thức

là đầy đủ nhưng không compact hữu hạn

Do đó hình cầu trong không gian metric là đóng và bị chặn, suy ra tất cả không gian compact hữu hạn là compact địa phương

1.2.5 BỔ ĐỀ

Nếu một không gian ( , )X ñ là compact hữu hạn thì mọi dãy giảm ( )A n nÎN

A I A Theo tính compact hữu hạn của ( , )X ñ , từ định lý Cantor

ta suy ra tập A khác rỗng Từ AÌ A n , n" , hơn nữa, " >ε 0, "n, AÌ ( ) A nε

I Giả sử ngược lại hệ thức này

sai, khi đó: $ε > 0 và dãy tăng ( )k n nÎN sao cho A kεn Ë ( ) A (1.6)

cùng có được vì dãy ( )k n nÎN tăng).

I bị chặn nên nó là tập con của

Sau đây chúng ta nghiên cứu các tập con của Rn (n ≥ 1), hay chính xác hơn

của không gian metric (R , )n ñ

, với ñlà metric Euclide, tức làmetric cảm sinh

từ metric chuẩn tắc sau Giả sử x=( , , ) và x1 x n y=( , , )y1 y n ,

2 1

(ii) Cho AÌ Rn và t∈R, tập tA: { |= ta aÎ A} được gọi là tích của A và t.

Phép toán này được gọi là phép nhân A với một số.

Rõ ràng tA là ảnh của A qua phép vị tự tâm 0 tỉ số t

Ta gọi chung hai phép toán này là các phép toán Minkowski.

Như hệ quả trực tiếp của 2.1.1, chúng ta có hai mệnh đề đơn giản sau

1.3.2 MỆNH ĐỀ

(i) Tập đơn {0} là phần tử trung hòa của phép cộng Minkowski;

(ii) Phép cộng có tính kết hợp và giao hoán;

(iii) Với A,BÎ Rn và t,k Î R, ta có

Dễ thấy tA là tập compact Ta chỉ cần chứng minh A+ B là tập compact.

Thật vậy, vì A, B compact nên A B = a,b ax { ( ) | Î A, b BÎ } cũng là tập

1.3.5 MỆNH ĐỀ

Với AÎ Cn và e > 0, ( )A ε =AεB+ n

Nhận xét: Ý nghĩa của Mệnh đề là cộng vào một tập compact hình cầu bán

kính ε, chúng ta có được ε – bao của tập đó

Chứng minh.

Cố định xÎ Rn Từ metric và |{x} Añ ´ , là liên tục bởi tính compact của

A Suy ra: xÎ ( )Aε Û $ Îa A x a- £ Ûε x A εBÎ + n ,

(i) Phép cộng Minkowski là liên tục trên Cn´ Cn

(ii) Phép nhân vô hướng không âm là liên tục trên Cn

Chứng minh

(i): Như đã biết, hội tụ trong tích Decac là tương đương hội tụ “ theo tọa độ

” nó độc lập với sự lựa chọn metric tích

ñH A ,B i i ñ A , A 1 2 B ,B 1 2 i , thì phép cộng Minkowski liên

tục đều với metric ñˆ và .ñ

(ii) Phép nhân với số không âm tùy ý t ,Aa tA liên tục đều (đối với ñH)

1.4 Siêu phẳng và siêu phẳng tựa.

Hai nửa không gian xác định bởi siêu phẳng H được ký hiệu là H , H+ -

b) Cho A là tập con đóng khác rỗng của Rn Một nửa không gian đóng E được gọi là một nửa không gian tựa của A nếu AÌ E và AÇbdE¹ Æ

Khi đó, siêu phẳng H := bdE được gọi là siêu phẳng tựa của A, tập hợp A ∩

H được gọi là tập hợp tựa, mỗi điểm của tập hợp đó được gọi là một điểm tựa,

và vecto pháp tuyến ngoài v của nửa không gian E được gọi là vecto pháp

tuyến ngoài của H

Ký hiệu o là tích vô hướng trong Rn xác định như sau: nếu

"x EÎ$Î x k k Pk E x k = x k

Chứng minh.

Đặt E k =f (v ,t k k), E=f ( ), v,t v=lim , v t k =lim t k

(i): Nếu x k Î E k, theo (1.10), x v = t k o k k; thật vậy x v = to do tính liên tục

của tích vô hướng Vậy x ∈ E.

" x i k k ÎÇPk E i k A x o = x k ÞÎÇx o E o A, và

(b) ( ) N ¥ 1( ) lim

= Î

"x o ÎÇ$ÎÇE 0 A x k k Pk E k A x o = x k

Thật vậy, vì A đóng nên điều kiện (a) được suy ra trực tiếp từ 1.4.5 (i)

Chúng ta chứng minh (b) Rõ ràng chúng ta có thể giả sử rằng E E0, , 1

đôi một khác nhau Giả sử x o Î E o ÇA x, 1 Î E1Çint \ { }A x o và giả sử x k là

giao của E k và aff{ , }x x0 1 thì x k Î A.

Giả sử v k ^ E v k, o =limv k, và giả sử β k =Ð((x1- x v o), ) , k k =0,1,

Việc còn lại là chứng minh (2.8) Với xÎ relbd(Y ÇE) chúng ta chọn một

vecto pháp tuyến ngoài Î n-1

Chú ý rằng α x không chỉ phụ thuộc vào x, mà còn phụ thuộc vào sự lựa

chọn của u x; tuy nhiên, từ EÇintY ¹ Æ, suy ra α x ¹ 0 độc lập với lựa chọn

Tập relbd(Y ÇE) là compact; do đó nếu δ=0, thì α x =0 với x nào đó

nên δ> 0 Do cách chọn δ như trên nên Y δ Ç ÌE (YÇE)ε

1.4.9.ĐỊNH LÝ

Với mỗi AÎ Cn và mỗi v¹ 0, tồn tại siêu phẳng tựa duy nhất của A với vectơ pháp tuyến ngoài v.

Chứng minh

Giả sử H là họ các siêu phẳng trực giao với v và L là một đường thẳng có

vectơ chỉ phương là v Ta xây dựng ánh xạ π∧ : H →L như sau: với mỗi H∈

H , ảnh của H là x ∈L được xác định như sau x = H∩L Ánh xạ π∧ cảm sinh

ra phép chiếu trực giao πL: Rn→ L Với mỗi x∈ Rn , πL(x) = π∧ (H), trong đó H

là siêu phẳng đi qua x, và thuộc H Dễ thấy πL lá ánh xạ liên tục Do A compact và khác rỗng cho nênπL( )A compact, khác rỗng Giả sử a∈πL( )A

và t :=sup{o tÎ R |a + t vπ A· Î L( )} thì rõ ràng ˆ (- 1 · )

o

a + t v

Chúng ta kí hiệu H A,v( ) và E A,v( ) lần lượt là siêu phẳng tựa và nửa

không gian tựa của tập compact A với vecto pháp tuyến ngoài v, và kí hiệu

cách giữa chúng, ký hiệu là dist( ( , ), ( ,H A v H A v- )) được xác định bởi

1 2

dist( ( , ), ( ,H A v H A v- ))=r(h ,h )

1.4.12 ĐỊNH NGHĨA

Với AÎ Cn, ta gọi dist( ( , ), ( ,H A v H A v- )) là bề rộng của A theo hướng

của vectơ, được ký hiệu là b A v( , ).

inf ( , )

v b A v được gọi là bề rộng cực tiếu A, được ký hiệu là d(A)

Ta có nhận xét sau: A BÌ Þ ( , )"v b A v £ b B v( , ), với mọi A, B Î Cn.

1.4.13 ĐỊNH LÝ

Với AÎ Cn, diamA=sup ( , ).v b A v

Chứng minh

Nếu A là tập đơn (chỉ gồm 1 điểm) thì đẳng thức là hiển nhiên.

Giả sử cardA ≥ 2 Với x, yÎ A,

(i) Cho hai điểm x, y, tập hợp các điểm {z=λx+ −(1 λ) y,0≤ ≤λ 1} được

gọi là đoạn thẳng có các các điểm cuối là x, y, ký hiệu là [x, y]

(ii) Tập hợp A ⊂R n được gọi là lồi nếu với mỗi cặp điểm của nó là { }a b, ,

đoạn thẳng [x, y] chứa trong A

Đối với mỗi tập con khác rỗng A của Rn các điều kiện sau là tương đương

(i) A là tập lồi

(ii) C A( ) = A

Chứng minh.

Phép kéo theo (ii) ⇒ (i) suy ra trực tiếp từ 1.5.2

(i) ⇒ (ii): Chúng ta hãy lưu ý rằng đối với mỗi A, A C AÌ ( ) Cho A là tập

lồi Để chứng minh rằng C(A)Ì A ta chứng minh rằng đối với bất kỳ k Î N,

Với k = 1 điều kiện (1.12) là hiển nhiên

Với k ≥ 2 Giả sử rằng (1.12) là đúng với k −1;

x = t a b do đó x C AÎ ( )+ C B( ).

b) C A+ B( )É C A( )+ C B( ). Bây giờ giả sử x C AÎ ( )+ C B( ),

tồn tại t1, , , , ,t s k 1 s l Î [0,1] sao cho

Tồn tại a1, ,a k Î A sao cho x C aÎ ({ , , })1 a k

và tồn tại t1, ,t k Î [0,1] sao cho

Giả sử { , , }a1 a k là tập phụ thuộc affine, nghĩa là một trong các điểm của nó là tổ hợp của một số điểm khác Khi đó tồn tại

t

i k s

m m

hệ số trong tổ hợp này là không âm, tổng chúng bằng 1, và α m =0 Vì vậy x

là tổ hợp lồi của k − 1 điểm, trái với giả thiết rằng k là nhỏ nhất. ,

Với m = +n 1, Định lý đúng theo giả thiết.

Giả sử Định lý đúng cho m = ≥ +k n 1, ta chứng minh Định lý đúng cho

∪

M = N P,N ∩P = ∅, N ≠ ∅,P≠ ∅ và co( )N ∩co( )P ≠ ∅ Không

mất tính tổng quát ta giả sử N = {x1, ,x r} và P = {x r+1, ,x k+1} Chú ý rằng N⊂C , , Cr+1 k+1, suy ra N C∈ r+1∩ ∩ Ck+1 Vì giao đó là một tập lồi nên co N( ) ⊂Cr+1∩ ∩ Ck+1 Suy ra lấy x co∈ ( )N ∩co( )P thì

Lấy Ao∈χ và đặt χo ={ Ao ∩A A| ∈χ} Ta có χo ⊂K n và Uχo = Ao,

từ đó, χo gồm tập hợp con đóng của không gian compact Ao Ta chứng minh

họ χo có tính chất giao hữu hạn, nghĩa là mỗi họ con hữu hạn của χo có giao khác rỗng Sử dụng 1.4.13, suy ra mỗi họ con hữu hạn của χ có giao khác

CHƯƠNG 2 Đa diện lồi trong Rn

2.1 Đa diện lồi, tập lồi đa diện

2.1.1.ĐỊNH NGHĨA

a) Giao của một số hữu hạn nửa không gian đóng được gọi là tập lồi đa diện b) Bao lồi của hữu hạn điểm được gọi là đa diện lồi Nếu H là một siêu phẳng tựa của đa diện lồi P, ta gọi F =HÇP là mặt của đa diện P.

c) Nếu { , , }a a0 1 a k độc lập affine (tức là hệ vectơ

{ a1−a a a0, 2− 0, ,a n −a0 } độc lập lập tuyến tính) thì tập hợp

0

({ , , })k

k-đơn hình) và các điểm a0, ,a k là được gọi là các đỉnh của nó Đơn

hình với các đỉnh a0, ,a k được ký hiệu D(a0, ,a k)

2.1.2 NHẬN XÉT Đa diện lồi là compact.

2.1.3 VÍ DỤ:

a) Đơn hình 1- chiều (1-đơn hình) D a a( , )1 2 là đoạn thẳng [a a1, 2].

b) Đơn hình 2- chiều (2-đơn hình) D a a a( , , )1 2 3 là hình tam giác với các đỉnh

Cho Î Rn

a , ,a Giả sử P=conv{ a , ,a 0 k} và F =HÇP, trong đó

H= < x,a> =α là siêu phẳng tựa của P Ta chứng minh H đi qua một số

đỉnh nào đó trong số các đỉnh a , ,a 0 k Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử PÌ H+ Nếu H không đi qua điểm nào trong số các điểm a , ,a 0 k thì

+ 0

{ , , } int H a a k Ì Vậy < x,a> = +a β j , β j > 0 , j=1, ,k

Điểm x thuộc tập lồi C được gọi là điểm cực biên nếu nó không là điểm

trong của đoạn thẳng nào có hai điểm mút thuộc C Tập hợp tất cả các điểm cực biên của tập lồi C ký hiệu là ext(C)

a ⇒ b) Giả sử C\{x} không lồi, tồn tại y, z ∈ C\{x} sao cho đoạn thẳng

[y, z] ⊄C \ x{ } Vì C lồi nên [y, z] ⊂C Vậy x thuộc khoảng mở (y, z), mâu thuẫn vì x là điểm cực biên

b ⇒ a) Giả sử x∈(y, z) , y, z C∈ Suy ra y, z C \ x∈ { } Nhưng [y, z] ⊄

C\{x} Vậy C không lồi; mâu thuẫn với giả thiết

2.1.7 ĐỊNH LÝ (Krein – Milman)

Giả sử C là tập lồi compact trong R n Khi đó ext(C) là tập bé nhất (theo nghĩa bao hàm ) sao cho co(ext(C)) = C

Chứng minh