Tô pô Zariski Luận văn Thạc sĩ Toán học

MỞ ĐẦUHình học đại số là một ngành của Toán học hiện đại sử dụng ngôn ngữ đại số để mô tả các đối tượng và nghiên cứu các tính chất hình học trong khônggian Afin và không gian xạ ảnh.. V

ĐẶNG THỊ TƯƠI

TÔ PÔ ZARISKI

Chuyên ngành: HÌNH HỌC VÀ TÔ PÔ

Mã số: 60 46 10LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG

Nghệ An - 2012

Mục lục 1

1.1 Vành Noether 31.2 Ideal căn và ideal nguyên tố 61.3 Tập đại số trong Kn 10

2.1 Tô pô Zariski trong Kn 162.2 Không gian tô pô Spm (A) 212.3 Mối liên hệ giữa tập đại số và ideal cực đại 27

MỞ ĐẦU

Hình học đại số là một ngành của Toán học hiện đại sử dụng ngôn ngữ đại

số để mô tả các đối tượng và nghiên cứu các tính chất hình học trong khônggian Afin và không gian xạ ảnh

Vào cuối thế kỉ 19, hình học đại số đã phát triển mạnh ở Italia với cáccông trình về đường cong và mặt đại số của Castelnuovo và Severi Vào nhữngnăm đầu của thế kỉ 20, Zariski và Weil đã sử dụng công cụ đại số giao hoán

để nghiên cứu hình học đại số Theo hướng này đã có nhiều công trình đẹp đẽ

về hình học đại số và chúng đã được trình bày ở các trường đại học của Mỹ.Vào những năm giữa thế kỉ 20, Serre và Grothendieck đã sử dụng lý thuyếtphạm trù vào các nghiên cứu về hình học đại số Và lúc này hình học đại sốmột lần nữa phát triển mạnh mẽ ở Pháp

Ngày nay, hình học đại số đã được giảng dạy và nghiên cứu rộng rãi trongnhiều trường đại học trên thế giới cũng như ở Việt Nam Đã có nhiều giáotrình viết về hình học đại số, của các tác giả như : Hartshorne, Mumford,Shafrevich, Ngô Bảo Châu, Ngô Việt Trung

Mục đích chính của luận văn này là sử dụng phương pháp tương tự nhưxây dựng tô pô Zariski của không gian các ideal nguyên tố Spec (A) ( xem[1] ) để xây dựng tô pô Zariski của không gian các ideal cực đại Spm (A), ởđây A là một vành giao hoán, có đơn vị 1 Từ đó, trình bày một số tính chấtcủa không gian Spm (A) với tô pô Zariski

Luận văn được chia thành hai chương :

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số các khái niệm và tính chất

cơ bản của Vành Noether, ideal căn và ideal nguyên tố, tập đại số trong Kn,với K là trường có vô hạn phần tử Chương 1 gồm các phần sau:

Chương 2 Tô pô Zariski

Chương này là nội dung chính của luận văn Trong chương này, chúng tôitrình bày tô pô Zariski củaKn, xây dựng tô pô Zariaki của Spm (A) và trìnhbày một số tính chất của không gian Spm (A) Ngoài ra, chúng tôi trình bàymối liên hệ giữa tập đại số của ideal I trong Kn và tập các ideal cực đại của

K [X] /I Chương 2 gồm các phần sau:

2.1 Tô pô Zariski trong Kn

2.2 Không gian tô pô Spm (A)

2.3 Mối liên hệ giữa tập đại số và ideal cực đại

Luận văn được hoàn thành vào 9/2012 tại Trường Đại học Vinh Nhân dịpnày, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy giáo PGS.TS NguyễnHữu Quang, người đã đặt bài toán và hướng dẫn tác giả thực hiện nội dungluận văn Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong chuyên ngànhHình học - Tô pô đã giảng dạy và góp nhiều ý kiến cho tác giả trong quátrình học tập và hoàn thiện luận văn Cũng nhân dịp này, tác giả xin gửi lờicảm ơn tới gia đình và bạn bè đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợicho tác giả trong quá trình học tập tại Trường Đại học Vinh

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi luôn giả thiết A là một vành giao hoán cóđơn vị 1 và K [x1, , xn] (hoặc K [X]) là tập tất cả các đa thức n biến trêntrường K có vô hạn phần tử Như chúng ta đã biết, K [X] cùng với phépcộng và phép nhân các đa thức thông thường lập thành một vành giao hoán,

có đơn vị là 1 Một đa thức f là một biểu thức hình thức dạng:

Ta quy ước rằng deg f = −∞ nếu f = 0

Một điểm a (a1, , an) ∈ Kn (Kn được gọi là không gian Afin n chiều)được gọi là nghiệm của f nếu f (a) = 0

1.1 Vành Noether

Mục đích chính của mục này là chỉ ra rằng K [X] là vành Noether và do

đó mọi ideal của K [X] đều hữu hạn sinh

1.1.1 Định nghĩa Vành A được gọi là vành Noether nếu mọi ideal của A

đều hữu hạn sinh

1.1.2 Ví dụ Trường K là vành Noether vì mọi trường K chỉ có hai ideal

là {0} và K, trong đó ideal {0} sinh bởi phần tử 0 ∈ K và ideal K sinh bởiphần tử đơn vị 1 của K

1.1.3 Mệnh đề (xem [4]) Các điều kiện sau là tương đương :

Giả sử M là một tập không rỗng các ideal trong A mà M không có phần

tử cực đại Khi đó với mọi I ∈ M, đều có J ∈ M sao cho I ⊂ J Tức là,trong A có một chuỗi các ideal không dừng I1 ⊂ I2 ⊂ ⊂ In ⊂ Điều nàymâu thuẫn với giả thiết

(c) ⇒ (a) Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Giả sử A có ideal M không hữu hạn sinh Khi đó, hf1, f2, , fni 6=

M ; ∀fi ∈ M

Như vậy, có fn+1 ∈ M \ hf1, , fni, và do đó ta có thể xây dựng được mộtchuỗi tăng các ideal không dừng

hf1i ⊂ hf1, f2i ⊂ ⊂ hf1, , fn+1i ⊂

Chuỗi này không có ideal cực đại Điều này mâu thuẫn với giả thiết.1.1.4 Hệ quả Giả sử A là một vành Noether và I là một ideal tùy ý trong

A Khi đó, mọi hệ sinh của I đều chứa một hệ sinh hữu hạn

Chứng minh Nếu I = {0} thì hệ quả hiển nhiên đúng

Giả sử I 6= 0 Cho f1, , fn là các phần tử trong hệ sinh nào đó của I.Nếu I 6= hf1, , fni thì có một phần tử fn+1 ∈ I mà fn+1 ∈ hf/ 1, , fni Tiếptục quá trình này thì I không có hệ hữu hạn sinh Điều này mâu thuẫn vớigiả thiết A là vành Noether

Bây giờ ta kiểm tra tính Noether đối với vành K [X] Trước hết ta chứngminh tính Noether của vành đa thức một biến K [x]

1.1.5 Bổ đề (Định lí cơ sở của Hilbert, xem[4]) Nếu A là vành Noether thìvành đa thức một biến A [x] cũng là vành Noether

Chứng minh Giả sử M là một ideal trong A [x] Ta kí hiệu

Ai = ai ∈ A/f = aixi+ + a1x + a0 ∈ M

Ta nhận thấy rằng Ai là các ideal của A và A0 ⊂ A1 ⊂ ⊂ Ai ⊂

Mặt khác, A là vành Noether nên chuỗi ideal ở trên dừng, nghĩa là

Thật vậy, giả sử f là đa thức bậc d trong M, tức là deg f = d > r Khi

đó các hệ số cao nhất của các đa thức xd−rfr1, , xd−rfrnr sinh ra Ad Do

đó có các hệ số c1, , cnr sao cho g = f − c1xd−rfr1− − cnrxd−rfrnr có bậcnhỏ thua d, do g nằm trong M

Từ g có bậc nhỏ thua d nên g biểu thị qua các {fij} Do vậy, f biểu thịqua {fij}

1.2 Ideal căn và ideal nguyên tố

1.2.1 Định nghĩa Cho I là một ideal tùy ý của vành A Ta kí hiệu

I thì I được gọi là ideal căn

1.2.2 Nhận xét Giả sửI là ideal tùy ý của vành A Khi đó √

I cũng là mộtideal của vành A

Thật vậy, giả sử f, g ∈ √

I Khi đó, tồn tại m, n ∈ N+ sao cho fm ∈

I, gn ∈ I

I.J = √

I ∩√

J ;(c) ) √

I ∩ J = √

I ∩√

J.Chứng minh (a) Với mọi f ∈ I và với m = 1 thì fm = f ∈ I

⇒ f ∈ √I

⇒ I ⊂ √I

⇒ √I ⊂

q√I

Vậy I ⊂ √

I = p√

I.(b) Với mọi g ∈ √

I.J thì tồn tại m ∈ N+ sao cho fm ∈ I.J Suy ra

I ∩ J thì tồn tại m ∈ N+ sao cho fm ∈ I ∩ J hay

1.2.4 Định nghĩa Giả sửI là một ideal thực sự của vành A Khi đó I đượcgọi là ideal nguyên tố nếu từ điều kiện f.g ∈ I, ta suy ra được f ∈ I hoặc

g ∈ I

Ví dụ I = {0} ⊂ K [X] Khi đó I là một ideal nguyên tố, vì tích của hai

đa thức f, g 6= 0 không thể là không

1.2.5 Nhận xét Cho I1, I2 là hai ideal thỏa mãn I1.I2 ⊂ I Khi đó, nếu I

là ideal nguyên tố thì ta suy ra được I1 ⊂ I hoặc I2 ⊂ I

Trước hết, nhắc lại rằng I1.I2 là ideal sinh bởi tập {f.g/f ∈ I1, g ∈ I2}.Bây giờ, giả sử rằng I1 * I và I2 * I Khi đó, tồn tại f ∈ I1 và g ∈ I2 saocho f, g /∈ I Vì I là ideal nguyên tố nên f.g /∈ I Điều này mâu thuẫn với

f.g ∈ I1I2 ⊂ I

1.2.6 Mệnh đề (xem[4])Giả sử I là ideal căn Khi đó, I nguyên tố khi vàchỉ khi I không phân tích được thành giao của hai ideal căn lớn hơn I

Chứng minh Điều kiện cần Cho I là ideal căn và là ideal nguyên tố Giả

sử ngược lại I = I1 ∩ I2 , trong đó I1, I2 là hai ideal căn lớn hơn I Khi đó,

ta có I1.I2 ⊂ I Do I là ideal nguyên tố nên I1 ⊂ I hoặc I2 ⊂ I Điều nàytrái với giả thiết I1, I2 lớn hơn I

Điều kiện đủ Chứng minh bằng phản chứng

Giả sử I không nguyên tố Khi đó, tồn tại f, g /∈ I sao cho f.g ∈ I

Đặt I1 = phI, f i và I2 = phI, gi

Khi đó, ta có I ⊂ (I1 ∩ I2) Lấy h ∈ (I1 ∩ I2) ta có h ∈ I1, h ∈ I2.Suy ra tồn tại m1, m2 ∈ N+ sao cho hm1 ∈ hI, f i , hm 2 ∈ hI, gi Do đó

hm1 +m 2 ∈ hI, f i ∩ hI, gi

Đặt m = m1 + m2 thì

1.3.1 Định nghĩa Tập tất cả các nghiệm của một họ các đa thứcS ⊂ K [X]

được gọi là một tập đại số trong Kn và được kí hiệu là Z (S)

1.3.2 Nhận xét (a) Tập rỗng ∅ là một tập đại số trong Kn, vì ∅ là tậpnghiệm của phương trình 1 = 0

(b) Một điểm a (a1, , an) ∈ Kn là một tập đại số, vì a là nghiệm của hệ S:

(b) Giao của một họ tùy ý các tập đại số trong Kn là một tập đại số trong

Kn

Chứng minh (a) Trước hết ta chứng minh hợp của hai tập đại số trong Kn

là một tập đại số trong Kn Giả sử A1, A2 là hai tập đại số trong Kn Khi

i∈H

Si

.Ngược lại, nếu a là nghiệm của mọi tập Si thì a cũng là nghiệm của tậpS

i∈H

Si



Vậy giao của một họ tùy ý các tập đại số trong Kn cũng là một tập đại

số trong Kn

1.3.4 Bổ đề Nếu I là ideal sinh bởi S ⊂ K [X] thì Z (I) = Z (S)

Chứng minh Do I ⊇ S nên Z (I) ⊆ Z (S)

Ngược lại, giả sử a ∈ Z (S) Với mọi f ∈ I, ta có sự biểu diễn

f = h1.f1 + + hr.fr,

trong đó f1, , fr ∈ S; h1, , hr ∈ K [X] Do fi(a) = 0, i = 1, , r nên

f (a) = 0 Từ đây suy ra a ∈ Z (I) Hay Z (S) ⊂ Z (I)

Vậy Z (I) = Z (S)

1.3.5 Định lý (xem[4]) Một tập đại số bất kì trong Kn là tập nghiệm củamột hệ gồm hữu hạn các đa thức f1, f2, , fk ∈ K [X]

Chứng minh Giả sử M là tập đại số bất kì trong Kn, M = Z (S) , S ⊂

K [X] Khi đó, M = Z (hSi), ở đây hSi là ideal sinh bởi các phần tử của S.Mặt khác, theo Hệ quả 1.1.6 ta có K [X] là vành Noether nên hSi có hữuhạn phần tử sinh f1, f2, , fk Từ đó, ta có

Vậy M chính là tập nghiệm của hệ {f1, , fk} ⊂ K [X]

1.3.6 Mệnh đề (xem[4]) Cho I và J là hai ideal tùy ý trong K [X] Khi đó(a) Z (I) ∪ Z (J ) = Z (I ∩ J ) = Z (I.J ),

(b) Z (I) ∩ Z (J ) = Z (I + J )

Chứng minh Đặt S = {f.g/f ∈ I, g ∈ J }

(a) Ta có: I, J ⊃ I ∩ J ⊃ I.J ⊃ S Do đó

Z (I) , Z (J ) ⊂ Z (I ∩ J ) ⊂ Z (I.J ) ⊂ Z (S)

Mặt khác, theo Mệnh đề 1.3.3 ta có Z (I) ∪ Z (J ) = Z (S).

Từ đó suy ra Z (I) ∪ Z (J ) = Z (I ∩ J ) = Z (I.J )

(b) Ta nhắc lại rằng I + J = {a + b/a ∈ I, b ∈ J } là ideal sinh bởi I ∪ J

Ta gọi IV là ideal liên kết với tập V trong K [X]

1.3.7 Nhận xét (a) IV là ideal lớn nhất có tập nghiệm chứa V

Hơn nữa, nếu có f ∈ K [X] nhận V làm nghiệm thì f ∈ IV

Vậy IV là ideal lớn nhất có tập nghiệm chứa V

(b) I∅ = K [X], vì theo quy ước ∅ là nghiệm của mọi đa thức f ∈ K [X].(c) Cho a (a1, , an) ∈ Kn Khi đó, f được viết dưới dạng

f = (x1 − a1) h1 + + (xn − an) hn+ λ

Rõ ràngf (a1, , an) = f (a) = 0 nếu và chỉ nếuλ = 0 Vì vậyf ∈ I{a} khi

và chỉ khif = (x1 − a1) h1+ +(xn − an) hn, hayI{a} = hx1 − a1, , xn − ani.(d) IKn = 0, vì phương trình 0 = 0 có tập nghiệm là Kn

1.3.8 Mệnh đề Cho M, N là các tập điểm tùy ý trong Kn Khi đó,

(a) Nếu M ⊂ N thì IM ⊃ IN,

(b) IM ∩ IN = IM ∪N,

(c) IM + IN ⊂ IM ∩N

Chứng minh (a) Giả sử f ∈ IN ⇒ f (b) = 0, ∀b ∈ N Do M ⊂ N nên

∀a ∈ M thì a ∈ N Suy ra f (a) = 0, ∀a ∈ M Do đó f ∈ IM

Vậy nếu M ⊂ N thì IM ⊃ IN

(b) Ta có

M, N ⊂ M ∪ N ⇒ IM ∪N ⊂ IM, IN

⇒ IM ∪N ⊂ IM ∩ IN

Đảo lại, giả sử

f ∈ IM ∩ IN ⇒ f (a) = 0, ∀a ∈ M, ∀a ∈ N

⇔ f (a) = 0, ∀a ∈ M ∩ N

⇔ f ∈ IM ∩N

Vậy IM + IN ⊂ IM ∩N.

CHƯƠNG 2

TÔ PÔ ZARISKI

Trong mục này, chúng tôi trình bày các tính chất của tô pô Zariski trong

Kn Và từ việc xây dưng tô pô Zariski của không gian Spm (A), chúng tôitrình bày một số tính chất của không gian Spm (A), và mối liên hệ giữa tậpđại số của ideal I trong Kn với các ideal cực đại của K [X] /I

2.1 Tô pô Zariski trong Kn

Ta kí hiệu : τZ = {U/U = Kn\M }; trong đó M là tập đại số trong Kn.2.1.1 Mệnh đề τZ là một tô pô trong Kn

Chứng minh Ta kiểm tra ba tiên đề về tô pô của τz:

2.1.2 Định nghĩa Tô pô τZ được gọi là tô pô Zariski trong Kn.

Như vậy, mỗi tập đóng trong Kn là một tập đại số trong Kn

2.1.3 Mệnh đề Tập đóng trong K là tập ∅, hoặc K, hoặc tập hữu hạn điểmcủa K

Chứng minh Để chứng minh mệnh đề này ta cần đến bổ đề sau

2.1.4 Bổ đề Giả sử I là ideal trong vành đa thức một biến K [x] Khi đó, I

là ideal chính

Chứng minh Giả sử I là ideal trong K [x] và I 6= 0 Giả sử g ∈ I, deg g ≥ 0,

và g có bậc bé nhất so với bậc của các phần tử trong I, và giả sử f là đathức bất kì trong I Theo thuật toán Euclid, ta luôn tìm được các đa thức q

và r trong K [x] sao cho : f = q.g + r và deg r < deg g

Do hgi là ideal chính nên M = Z (hgi) = Z (g).

Một đa thức g bậc n trên trườngK có nhiều nhất nnghiệm ( n ≥ 1 ) Do

đó, nếu g = 0 thì Z (g) = K, nếu g 6= 0 thì Z (g) hoặc là ∅, hoặc là tập hữuhạn điểm

2.1.5 Nhận xét Với tô pô Zariski τZ, khi đó, không gian tô pô Kn có cáctính chất sau

(a) Kn là T1-không gian

(b) Ta kí hiệu: D (f ) = Kn\Z (f ) ; f ∈ K [X] Khi đó {D (f )}f ∈K[X] là cơ

sở của τZ

(c) ) Kn không phải là tô pô Haussdoff ( T2-không gian )

(d) Tô pô Zariski τZ yếu hơn tô pô tự nhiên τ trong Kn

Chứng minh (a) Giả sửa (a1, , an)vàb (b1, , bn)là hai điểm phân biệt trong

Kn Khi đó, chẳng hạna, blần lượt là hai nghiệm của hệS = (x1 − a1, , xn − an);

S0 = (x1 − b1, , xn− bn) Ta có lân cận Ub = Kn\Z (S) là lân cận của điểm

bmà Ub không chứaa vàUa = Kn\Z S0
là lân cận của điểma màUa khôngchứa b

Vậy Kn là T1-không gian

Do {D (f )}f ∈K[X] là cơ sở của τZ nên với U1, U2 ∈ τZ thì U1 = S

f ∈S

D (f )

Như vậy, trong không gian Kn hai tập mở không rỗng bất kì luôn giaonhau Do đó, với hai điểm a, b ∈ Kn, a 6= b thì mọi lân cận Ua của a và lâncậnUb củabta đều cóUa∩Ub 6= ∅ Do đó Kn không là không gian Haussdoff.(d) Giả sử M là một tập đóng trong Kn theo tô pô τZ Khi đóM =

Z (S) , S ⊂ K [X] Suy ra M = Z (f1) ∩ Z (f2) ∩ ∩ Z (fk), với S =

hf1, , fki Do mỗi đa thức fi ∈ K [X] , ∀i = 1, , k đều liên tục theo tô pô

τ nên Z (fi) đóng theo τ Do đó M đóng theo τ

Như vậy, mỗi tập đóng theo tô pô τZ đều đóng theo tô pô τ Hay nói cáchkhác, mỗi tập mở theo tô pô τZ đều mở theo tô pô τ ( τZ ⊂ τ )

Điều ngược lại chưa chắc đúng Chẳng hạn, ta xét K1 = K là một trường.Khi đó, mỗi tập đóng trong K theo tô pô τZ là tập ∅, hoặc là K, hoặc là tậphữu hạn điểm trong K Khi đó, ta có [a, b] , a 6= b, đóng theo tô pô τ, nhưngkhông đóng theo tô pô τZ Vì vậy Kn\ [a, b] mở theo τ nhưng không mở theo

2.2 Không gian tô pô Spm (A)

Trong mục này, ta luôn giả sử A = K [X]là vành tất cả các đa thức n-biếntrên trường đóng đại số K, có đơn vị là 1 Ta kí hiệu Spm (A) là tập hợp tất

cả các ideal cực đại thực sự của A Với I là một ideal nào đó của A, ta kíhiệu V (I) là tập hợp tất cả các ideal cực đại của A chứa I, nghĩa là

V (I) = {P/P ∈ Spm (A) , I ⊂ P } ,

và kí hiệu U (I)là tập hợp tất cả các ideal cực đại của A không chứa I, nghĩalà

U (I) = {P/P ∈ Spm (A) , I 6⊂ P }

Ta nhận thấy rằng, với I = A thì V (I) = ∅ và U (I) = Spm (A); với

I = {0} thì V (I) = Spm (A) và U (I) = ∅.

2.2.1 Nhận xét (a) Giả sử I là ideal cực đại của A Khi đó I là idealnguyên tố

(b) Giả sửI1, I2 là hai ideal của A thỏa mãn U (I1 + I2) = spm (A) Khi đó

(d) Giả sử I1, I2 là hai ideal của A và I1 ⊂ I2 Khi đó V (I2) ⊂ V (I1) và

U (I2) ⊃ U (I1)

Chứng minh (a) Giả sử I không là ideal nguyên tố Khi đó ∃a, b ∈ A saocho a.b ∈ I và a, b /∈ I Rõ ràng I ⊂ phI, ai Như vậy I không là ideal cựcđại Điều này mâu thuẫn với giả thiết Vậy I là ideal nguyên tố

(b) Thật vậy, từ giả thiết U (I1 + I2) = Spm (A) ta suy ra không có mộtideal cực đại nào củaAchứaI1+I2 Điều này chỉ có thể xảy ra nếuI1+I2 = A.Tức là có a ∈ I1, b ∈ I2 để a + b = 1.

(c)

(i) Ta đặt V (I1) ∪ V (I2) = M ; V (I1.I2) = N Giả sử P ∈ M Khi đó

P ⊃ I1 hoặc P ⊃ I2 Từ đây suy ra P ⊃ I1.I2 hay P ∈ N

Ngược lại, giả sử B ∈ N, ta cần chứng minh B ∈ M, nghĩa là chứng minh

B ⊃ I1 hoặc B ⊃ I2 Ta chứng minh bằng phản chứng

Giả sử B không chứaI1 và B không chứaI2 Khi đó, tồn tại a ∈ I1 nhưng

a /∈ B và tồn tại b ∈ I2 nhưng b /∈ B Như vậy a.b /∈ B ( vì B nguyên tố ).Điều này mâu thuẫn với giả thiết B ∈ N