Một số yếu tố của hình học vi phân trên giả cầu trong không gian lorentz minkowski luận văn thạc sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ MỸ HẠNH MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA HÌNH HỌC VI PHÂN TRÊN GIẢ CẦU TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ-MINKOWSKI Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số : 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Duy Bình Nghệ An, 12/2012 2 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu ………………………………………………………………… 1 Chương I. Kiến thức cơ sở §1. Không gian Lorentz-Minkowski……………………………………3 §2. Đa tạp nửa Riemann ……………………………………………….7 Chương II. Một số yếu tố của Hình học vi phân trên giả cầu trong không gian Lorentz-Minkowski §1. Toán tử dạng và độ cong của siêu mặt trong đa tạp nửa Riemann ………………………………………………………………………………19 §2. Độ cong và tính rốn trên giả cầu trong ……………………….22 §3. Đường trắc địa …………………………………………………….24 Kết luận …………………………………………………………………….32 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 33 3 LỜI NÓI ĐẦU Chúng ta đã biết ánh xạ Weingarten trong hình học vi phân cổ điển là tự đồng cấu tuyến tính đối xứng, từ đó đưa đến khái niệm độ cong, điểm rốn, …. Trên siêu mặt trong không gian nửa Riemann , ánh xạ Weingarten là công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các tính chất của siêu mặt. Mục đích của luận văn là dựa trên các khái niệm độ cong, điểm rốn, đường trắc địa trên siêu mặt nửa Riemann để khảo sát chúng trên giả cầu trong không gian Lorentz-Minkowski. Với mục đích đó, được sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Duy Bình chúng tôi chọn đề tài luận văn là “Một số yếu tố của Hình học vi phân trên giả cầu trong không gian Lorentz-Minkowski”. Nội dung chính của luận văn được chia làm hai chương Chương I. KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản về không gian Lorentz-Minkowski, đa tạp nửa Riemann, liên thông Levi-Civita trên đa tạp nửa Riemann, trên đa tạp con nửa Riemann. Chúng là cơ sở cho việc trình bày các vấn đề trong chương II. Chương II. MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA HÌNH HỌC VI PHÂN TRÊN GIẢ CẦU TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ-MINKOWSKI Chương này gồm các mục sau: §1. Toán tử dạng và độ cong của siêu mặt trong đa tạp nửa Riemann Trong mục này chúng tôi đưa ra các khái niệm về siêu mặt, toán tử dạng, độ cong, tính rốn của siêu mặt. §2. Độ cong và tính rốn của giả cầu trong không gian Lorentz-Minkowski 4 Từ khái niệm độ cong và các hệ thức liên quan tới độ cong của siêu mặt chúng tôi áp dụng tính độ cong của giả cầu đồng thời chứng minh tính rốn của giả cầu. §3. Đường trắc địa Trong mục này chúng tôi mô tả được các đường trắc địa trên giả cầu và chỉ ra các đặc trưng của chúng tương ứng với đặc trưng của 2-phẳng qua gốc trong không gian Lorentz-Minkowski. Luận văn này được thực hiện và hoàn thành vào tháng 09 năm 2012 tại Khoa Sau Đại học trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, cảm ơn các thầy giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn các vấn đề liên quan tới đề tài nghiên cứu. Chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo làm việc tại Khoa Sau Đại học, các đồng nghiệp bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót nên chúng tôi mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng 09 năm 2012 Lê Thị Mỹ Hạnh 5 CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu các khái niệm cơ bản của không gian Lorentz – Minkowski và tổng quát là đa tạp nửa Riemann. §1. Không gian Lorentz–Minkowski Trong mục này, chúng ta xét không gian cùng với một dạng song tuyến tính không suy biến với chỉ số quán tính , nó được gọi là không gian Lorentz–Minkowski, kí hiệu là . Để thuận tiện cho việc trình bày, các khái niệm giả tích vô hướng, giả trực giao, giả pháp véc tơ, . . . trong lần lượt gọi là tích vô hướng, trực giao, pháp véc tơ, … mà không giải thích gì thêm. 1.1 Không gian Lorentz–Minkowski Cho là không gian véc tơ n-chiều. Với và Ta gọi là không gian Lorentz–Minkowski n-chiều và kí hiệu thay cho . Với x∈ , độ dài của véc tơ x được xác định theo tích vô hướng là 6 ||x||=. Khi được gọi là véc tơ đơn vị. 1.2 Các loại véc tơ và tích có hướng của n véc tơ Cho x∈ . Khi đó (+) được gọi là véc tơ tựa không gian nếu (+) được gọi là véc tơ tựa ánh sáng nếu (+) được gọi là véc tơ tựa thời gian nếu Hai véc tơ và được gọi là trực giao với nhau nếu Cơ sở trong thoả mãn được gọi là cơ sở trực chuẩn. Nhận xét 1.1 (i) Hai véc tơ tựa ánh sáng phụ thuộc tuyến tính thì trực giao với nhau. (ii) Hệ gồm hai loại véc tơ khác loại thì độc lập tuyến tính với nhau. (iii) Với , nếu , và thì Nói cách khác, một véc tơ nếu khác không trực giao với véc tơ tựa thời gian thì nó là một véc tơ tựa không gian. Thật vậy (i) Giả sử là hai véc tơ tựa ánh sáng phụ thuộc tuyến tính với nhau suy ra tồn tại sao cho . Ta có Hay trực giao với nhau. 7 (ii) Với tương ứng là các véc tơ tựa không gian, tựa thời gian và tựa ánh sáng. Giả sử phụ thuộc tuyến tính suy ra tồn tại sao cho Ta có (vô lí) do đó độc lập tuyến tính. Tương tự ta cũng có các hệ độc lập tuyến tính. (iii) Từ giả thiết ta có (1) Từ (1) ta có nên ta có : Ta lại có 8 Nếu thì , suy ra (vô lý) Vậy nên hay là véc tơ tựa không gian. 1.3 Các loại siêu phẳng trong không gian Lorentz–Minkowski Với một véc tơ và một số thực . Ta xác định siêu phẳng trực giao với . Khi đó, được gọi là véc tơ pháp tuyến của siêu phẳng Cho là một m-phẳng trong : (+) gọi là m-phẳng tựa không gian nếu không gian chỉ phương của chỉ chứa các véc tơ tựa không gian hoặc véc tơ không. (+) gọi là m-phẳng tựa thời gian nếu không gian chỉ phương của chỉ chứa ít nhất một véc tơ tựa thời gian. (+) gọi là m-phẳng tựa ánh sáng nếu không gian chỉ phương của chỉ chứa ít nhất một véc tơ tựa ánh sáng và không chứa véc tơ tựa thời gian nào. Nhận xét 1.2 (i) Cho là một m-phẳng trong . Khi đó chỉ có thể là m-phẳng tựa không gian, m-phẳng tựa thời gian hoặc m-phẳng tựa ánh sáng. (ii) Xét siêu phẳng trong . Khi đó lần lượt là siêu phẳng tựa không gian, siêu phẳng tựa thời gian, siêu phẳng tựa ánh sáng nếu và chỉ nếu tương ứng là véc tơ tựa thời gian, véc tơ tựa không gian, véc tơ tựa ánh sáng. 1.4 Các loại giả cầu và n-không gian trong không gian Lorentz– Minkowski. 9 (i) Các loại giả cầu thường gặp Tập được gọi là siêu mặt hyperbolic (n-1)- chiều. Tập được gọi là không gian desitter (n-1)-chiều. Tập được gọi là nón ánh sáng với đỉnh (ii) Các loại (n-1)-không gian (n-1)-không gian hyperbolic, kí hiệu , được xác định bởi (n-1)-không gian hyperbolic tâm bán kính ký hiệu và được xác định (n-1)-không gian desitter tâm bán kính ký hiệu và được xác định Tập được gọi là nón ánh sáng tương lai tại gốc Với là một véc tơ tựa ánh sáng thì . Thật vậy, giả sử mà là tựa ánh sáng, ta có (mâu thuẫn vì x là véc tơ tựa ánh sáng thì ) Vậy . Khi đó 10 Đặt và gọi là nón ánh sáng (n-2)-cầu. . Đa tạp nửa Riemann Trong mục này chúng tôi giả thiết: là đa tạp khả vi thực với cơ sở đếm được và hệ bản đồ là không gian các véc tơ tiếp xúc với tại điểm là tập các hàm khả vi trên là tập các trường véc tơ khả vi trên đa tạp 2.1 Đa tạp nửa Riemann 2.1.1 Định nghĩa. Giả sử ánh xạ , trong đó là dạng song tuyến tính và thoả mãn: 1) phụ thuộc vào một cách khả vi (nghĩa là là hàm khả vi theo với mỗi cặp trường véc tơ ). 2) đối xứng; 3) không suy biến; 4) có chỉ số hằng;