Bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh THCS khá và giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị trong hình học phẳng

1 Lời cảm ơn Nhân dịp em xin tỏ lòng biết ơn đến TS.Trần Anh Tuấn, ngời đà trực tiếp hớng dẫn nhiệt tình chu đáo suốt thời gian làm luận văn Qua cho em đợc tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo khoa Toán, thầy tổ Bộ môn Lý luận PPGD Toán đà giảng dạy thời gian vừa qua Em xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trờng THCS Nhân Thành tập thể GV đà tạo điều kiện để em đợc tham gia khoá học 14 đào tạo Thạc sĩ Vinh, cảm ơn gia đình, ngời thân, bạn bè đà cổ vũ động viên, giúp đỡ thời gian tham gia khoá học Vinh 12/ 2008 Học viên: Nguyễn Thanh Tùng Quy ớc chữ viết tắt sử dụng luận văn Viết tắt HS : GV: NXB: THCS: SGK: KHGD: Viết đầy đủ Học sinh Giáo viên Nhà xuất Trung học sở Sách giáo khoa Khoa học giáo dục Mục lục Trang Mở đầu .1 Lý chọn đề tài Môc ®Ých nghiªn cøu .2 Gi¶ thuyÕt khoa häc NhiÖm vơ nghiªn cøu Phơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiªn cøu lý luËn 5.2 Điều tra khảo sát 5.3 Thùc nghiƯm s ph¹m Những đóng góp luận văn .4 6.1 VỊ mỈt lý ln 6.2 VỊ mỈt thùc tiƠn Cấu trúc luận văn Ch¬ng 1: C¬ së lý ln vµ thùc tiƠn 1.1 T sáng tạo số thành tố đặc trng t sáng tạo 1.1.1 T .5 1.1.2 T sáng tạo 1.1.3 Một số thành tố đặc trng t sáng tạo 10 1.2 Toán cực trị hình học chơng trình toán THCS 15 1.2.1 Bài toán cực trị hình học .15 1.2.2 Tác dụng tập cực trị hình häc ®èi víi HS 16 1.2.3 TiÕn trình phát triển tập cực trị hình học chơng trình toán THCS .17 1.2.4 C¸c møc độ phát triển tập cực trị hình học .19 1.2.5 Mét sè kiÕn thøc thêng dïng để giải toán cực trị hình học 21 1.2.6 Một số ý dạy học giải tập cực trị hình học .23 1.3 Vài nét nhận thức HS bậc THCS giỏi 25 1.3.1 VỊ nhËn thøc cđa HS bËc THCS giỏi 25 1.3.2 Một số biểu t sáng tạo HS bËc THCS häc tËp 28 1.4 Thực trạng dạy học giải toán cực trị hình học trờng THCS yêu cầu phát triển t sáng tạo HS 29 1.5 KÕt luËn ch¬ng 30 Chơng 2: Biện pháp chủ yếu bồi dỡng số yếu tố t sáng tạo cho HS bậc THCS giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị hình học 32 2.1 Một số để xây dựng biện pháp 32 2.1.1 Dựa vào định hớng đổi phơng pháp dạy học 32 2.1.2 Bài toán cực trị hình học cần đợc xây dựng sở thích hợp với nội dung kiến thức quy định chơng trình SGK hành .33 2.1.3 Hệ thống toán cực trị hình học đa sở làm rõ mối quan hệ toán học thực tiễn, tăng cờng khả ứng dụng 33 2.1.4 Bài toán cực trị hình học cần đợc xây dựng khai thác sở phù hợp với đối tỵng HS, phï hỵp víi q thêi gian 33 2.1.5 Dựa vào thành tựu nghiên cứu t sáng tạo tâm lý học đại ngành khoa học khác 34 2.2 Các dạng tập cực trị hình học góp phần bồi dỡng mét sè 34 2.3 C¸c biƯn ph¸p chđ u ®Ĩ thùc hiƯn 40 2.3.1.BiƯn pháp 1: Xác định hớng tiếp cận khác để giải toán cực trị hình học .40 2.3.2 Biện pháp 2: Bồi dỡng t sáng tạo kết hợp với hoạt động trí tuệ khác 46 2.3.3 BiƯn ph¸p 3: Båi dìng t sáng tạo thông qua rèn luyện khả phát vấn đề giải vấn đề 63 2.4 KÕt luËn ch¬ng 80 Chơng 3: Thực nghiệm s phạm 82 3.1 Mơc ®Ých thùc nghiƯm .82 3.2 Tỉ chøc vµ néi dung thùc nghiƯm 82 3.2.1 Tỉ chøc thùc nghiƯm .82 3.2.2 Néi dung thùc nghiÖm 82 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm 85 3.4 KÕt luËn chung vỊ thùc nghiƯm s ph¹m 86 KÕt luËn 88 Tµi liƯu tham kh¶o 89 Mở đầu lý chọn đề tài Đất nớc ta đờng đổi mới, cần có ngời phát triển toàn diện động sáng tạo Muốn phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo dục đào tạo phải đổi mặt nh: Mục tiêu, chơng trình, nội dung, phơng pháp tổ chức quản lý Điều đà đợc khẳng định nghị hội nghị lần thứ t Ban chấp hành trung ơng Đảng cộng sản Việt Nam khoá VII "Đổi phơng pháp dạy học tất cấp, bậc học, áp dụng phơng pháp giáo dục bồi dỡng t sáng tạo, lực giải vấn đề" Với mục tiêu hoạt động dạy học không dừng lại ë viƯc trun thơ cho HS nh÷ng kiÕn thøc, kü mà đặc biệt quan tâm đến việc hình thành phát triển t sáng tạo cho HS cách hiệu Theo A.AStolia Dạy toán dạy hoạt động toán học, hoạt động chủ yếu hoạt động giải toán Bài tập toán mang nhiều chức nh chức giáo dục, chức giáo dỡng, chức kiểm tra đánh giá Dạy học tập toán đợc xem tình điển hình dạy học môn toán, khối lợng tập toán trờng THCS phong phú đa dạng, có toán đà có thuật giải, nhng có toán cha có thuật giải Đứng trớc toán cha có thuật giải ngời GV cần gợi ý, hớng dẫn HS tìm đờng lối giải toán việc làm mà ngời GV phải thờng xuyên quan tâm ý Bài tập toán phơng tiện dạy häc hÕt søc quan träng, nhiỊu tµi liƯu lý ln dạy học toán đà xem tập phơng tiện thực hành giúp HS hiểu sâu kiến thức toán học, biết phân tích, tổng hợp vận dụng kiến thức vào thực tiễn Việc giải vấn đề liên quan đến toán cực trị hình học chứa đựng nhiều tiềm phát triển t cho HS, giúp HS rèn luyện cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo Do việc dạy toán trờng phổ thông bên cạnh truyền thụ tri thức khoa học cần phải dạy cho HS suy nghĩ cách phát giải vấn đề, phát triển t sáng tạo cho HS Việc phát triển lực t sáng tạo cho HS học toán có ảnh hởng trực tiếp đến chất lợng dạy học điều kiện tốt để HS tiếp thu kiến thức, rèn luyện khả vận dụng toán, t toán học phát triển đòi hỏi phẩm chát trí tuệ khác phát triển theo Tiến hành hoạt động t toán học đa đến việc hình thành tri thức phơng pháp để xem xét, giải vấn đề mong muốn Việc giải toán cực trị hình học giúp HS lực liên hệ toán học với thực tiễn Điều hoàn toàn có sở đắn, biết toán cực trị hình học thờng có ngn gèc xt ph¸t tõ thùc tiƠn Trong thùc tiƠn, có nhiều vấn đề đòi hỏi phải giải cho có lợi Đà có nhiều tài liệu nghiên cứu t sáng tạo chẳng hạn nh sách tiếng: Sáng tạo toán học, Giải toán nh nào, Toán học suy luận có lý G.Polia, T hoạt động toán học Trần Thúc Trình, Xây dựng hệ thống câu hái vµ bµi tËp nh»m båi dìng mét sè u tố t sáng tạo cho HS giái to¸n ë trêng THCS ViƯt Nam ln ¸n TS Tôn Thân v.v Tất công trình khẳng định cần thiết phải rèn luyện số lực t sáng tạo cho HS Xuất phát từ lý chọn đề tài nghiên cứu: "Bồi dỡng số yếu tố t sáng tạo cho học sinh THCS giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị hình học phẳng" Mục đích nghiên cứu - Mục đích nghiên cứu luận văn hệ thống số dạng toán cực trị hình học chơng trình hình học trờng THCS hớng tiếp cận để giải toán - Đề xuất số biện pháp s phạm gãp phÇn båi dìng mét sè u tè cđa t sáng tạo cho HS bậc THCS giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị hình học Giả thuyết khoa học Trên sở tôn trọng nội dung chơng trình SGK toán hành trờng THCS trình dạy học giải toán cực trị hình học xây dựng đợc biện pháp s phạm thích hợp để bồi dỡng số yếu tố t sáng tạo cho HS góp phần nâng cao chất lợng dạy học toán trờng THCS Nhiệm vụ nghiên cứu - Phân tích, tổng hợp, cụ thể hóa khái niệm t duy, t sáng tạo - Tìm hiểu trình sáng tạo lực t sáng tạo HS bậc THCS học tập - Lựa chọn dạng toán cực trị hình học có tác dụng rèn luyện t sáng tạo cho HS - Xác định biện pháp s phạm cần thực nhằm bồi dỡng số yếu tố t sáng tạo cho HS - Tiến hành làm thực nghiệm s phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiệu đề tài Phơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu tài liệu giáo dục học môn toán, tâm lí học, phơng pháp dạy học toán - Tìm hiểu sách báo, viết khoa học toán, công trình nghiên cứu có vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài 5.2 Điều tra khảo sát - Khảo sát thực tiễn dạy học trờng phổ thông cách dự giờ, quan sát việc dạy GV việc học HS, thăm dò ý kiÕn GV 5.3 Thùc nghiƯm s ph¹m - TiÕn hành làm thực nghiệm s phạm lớp học thực nghiệm lớp học đối chứng - Phân tích, xử lý kết thực nghiệm để so sánh kết thu đợc rút kết luận Những đóng góp luận văn 6.1 Về mặt lý luận - Góp phần hệ thống hoá số dạng toán cực trị hình học, làm sáng tỏ số vấn đề t sáng tạo, đa số hớng tiếp cận để giải toán cực trị hình học 6.2 Về mặt thực tiễn - Xây dựng số biện pháp s phạm có tác dụng bồi dỡng số yếu tố t sáng tạo cho HS bậc THCS thông qua giải toán cực trị hình học, đáp ứng đợc yêu cầu đổi phơng pháp dạy học - Luận văn làm tài liệu tham khảo cho HS GV dạy toán, góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn toán trờng THCS Cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo luận văn có chơng Chơng 1: Cơ sở lý luận thực tiễn Chơng 2: Biện pháp chđ u båi dìng mét sè u tè cđa t sáng tạo cho HS bậc THCS giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị hình học Chơng 3: Thực nghiệm s phạm Chơng Cơ sở lý luận thực tiễn 1.1 T sáng tạo số thành tố đặc trng t sáng tạo 1.1.1 T 1.1.1.1 T gì? T trình suy nghĩ diễn trí óc, nhận thức phản ánh thuộc tính chất, mối quan hệ có tính quy luật vật tợng thực khách quan Nhà tâm lý học X.L.Rubintein viết: T khôi phục ý nghĩ chủ thể khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện so với t liệu cảm tính xuất tác động khách thể Theo từ ®iĨn triÕt häc “T duy, s¶n phÈm cao nhÊt cđa vật chất đợc tổ chức cách đặc biệt nÃo, trình phản ánh tích cực giới khách quan khái niệm phán đoán, lý luận T xuất trình hoạt ®éng s¶n xt x· héi cđa ngêi, t đợc thực mối liên hệ chặt chẽ với lời nói kết t đợc ghi nhận ngôn ngữ Tiêu biểu cho t trình nh trừu tợng hoá, phân tích tổng hợp, việc nêu lên vấn đề nhận định tìm cách giải chúng Từ định nghĩa ta rút đặc điểm sau t duy: - T sản phẩm nÃo ngời trình phản ánh tích cực giới khách quan - Kết trình t ý nghĩ đợc thể qua ngôn ngữ - Bản chất t phân biệt tồn độc lập đối tợng đợc phản ánh với hình ảnh nhận thức đợc qua khả hoạt động suy nghĩ ngời nhằm phản ánh đợc đối tợng - T trình phát triển động sáng tạo - T nảy sinh gặp hoàn cảnh có vấn đề, t cã tÝnh kh¸i qu¸t, cã tÝnh gi¸n tiÕp - T cã mèi quan hƯ mËt thiÕt víi nhận thức cảm tính, thờng nhận thức cảm tính Dù t có tính khái quát trừu tợng đến đâu nội dung t chứa đựng thành phần cảm tính (cảm giác, hình tợng tổng quan,) 1.1.1.2 Quá trình t T trình hoạt động trí tuệ Nghĩa t có nảy sinh diễn biến kết thúc Quá trình t bao gồm bớc bản: 1) Xác định đợc vấn đề, biểu đạt thành nhiệm vụ t Nói cách khác tìm đợc câu hỏi cần giải đáp 2) Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tởng, hình thành giả thiết cách giải vấn đề, cách trả lời câu hỏi 10 3) Xác minh giả thiết thức tiễn, giả thiết qua bớc sau, sai phủ định hình thành giả thiết 4) Quyết định đánh giá kết quả, đa sử dụng Sơ đồ trình t K.K.Platônôp xây dựng theo [33] nh sau: Nhận thức vấn đề Xuất liên tưởng Sàng lọc liên tưởng hình thành giả thuyết Kiểm tra giả thuyết Chính xác Khẳng định Phủ định hoá Giải vấn đề Hoạt động tư Nh trình t trình hoạt động trí tuệ có nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào trình t cụ thể nh: Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá khái quát hoá Kết trình t ý nghĩ biểu khả ngời xây dựng đợc khái niệm chung gắn liền với trình bày quy luật tơng ứng 1.1.2 T sáng tạo Theo định nghĩa từ điển sáng tạo tìm cách giải vấn đề không bị gò bó phụ thuộc vào đà có Nội dung sáng tạo bao gồm hai ý chính: Có tính (khác với cũ, đà biết) có lợi ích 65 Cho hai điểm phân biệt A, B đờng thẳng d Tìm điểm M thuộc đờng thẳng d cho tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất? Trong toán đờng thẳng d chia mặt phẳng thành phần Giả thiết toán không nói rõ hai điểm A, B vị trí mặt phẳng so với đờng thẳng d mà nói cách chung chung Chính điều mà toán HS phải tìm tiêu chí cho phân chia trờng hợp Xét trờng hợp sau: Trờng hợp 1: Điểm A B thuộc d Lúc điểm M cần tìm điểm thuộc đoạn thẳng AB Trờng hợp 2: Điểm A điểm B thuộc d suy điểm M cần tìm trùng với điểm thuộc d Trờng hợp 3: Hai điểm A B nằm hai mặt phẳng bờ d Ta tìm đợc điểm M giao điểm d với đoạn thẳng AB Trờng hợp 4: Hai điểm A B nằm nửa mặt phẳng bờ d Lời giải: (Hình 27) Gọi A điểm tơng đối xứng A qua đờng thẳng d Suy A cố định, A B không đổi MA • = MA’ xÐt ba ®iĨm M, A’, B ta cã: MA’ +  MB ≥ A B ’ ⇔ MA + MB AB (không đổi) Dấu = xảy ⇔ M ≡ Mo ∈[A B] ’   Hay M giao điểm đờng thẳng d đoạn thẳng AB Ví dụ 23: Cho tam giác ABC vuông cân A HÃy nội tiếp tam giác hình chữ nhật có diện tích lớn nhÊt?  •        Lời giải: (Hình 28) 66 Trờng hợp 1: Hình chữ nhật có điểm thuộc cạnh huyền Hình chữ nhật ADEF nội tiếp tam giác vuông cân ABC có E BC Đặt AB = AC = a, AD = x µ ∆ BDE vuông D có B = 45o BDE vuông cân D BD = DE Do DE = a - x SADEF = x (a - x) =-  a2  x −a x +    a2 a a2 a2  +  = − x −2  + Dâu = xảy x = a Trờng hợp ( Hình 29) Hình chữ nhật có đỉnh thuộc cạnh huyền Hình chữ nhật DE GF nội tiếp tam giác vuông cân ABC có E BC, G BC Đặt AB = AC = a, AD = x 2 ∆ EBD vuông cân E DE = (a - x) Mặt khác ADF vuông cân A ⇒ DF =x  Ta cã: SDEGF = DF DE = x x = (a  - x) (x - a) a  2 a2 a a2  − x −  ≤ 2  = DÊu “=” x¶y ⇔ x =      Nh hai trờng hợp diện tích lớn hình chữ nhật đạt đợc a2  67 Tãm l¹i: Song song víi hoạt động trên, em đà đợc làm quen víi c¸c phÐp suy ln, c¸c phÐp chøng minh, c¸c quan hệ, lập luận có trình bày mạch lạc tuân theo quy luật quy tắc suy luận, quy luật logic hình thøc Nãi mét c¸ch chđ quan r»ng, HS sau vận dụng thành thạo nội dung đà trình bày góp đợc phần vào việc rèn luyện, phát triển t logic sử dụng ngôn ngữ xác cho HS 2.3.3 Biện pháp : Bồi dỡng t sáng tạo thông qua rèn luyện khả phát vấn đề giải vấn đề Nh đà phân tích chơng trên, nét đặc trng bật t sáng tạo tạo đợc Qua việc giải hệ thống tập đợc thiết kế, chọn lọc, HS đợc rèn luyện nhiều khả tìm hớng (có thể tìm nhiều lời giải khác cho toán), khả tìm kết (có thể khai thác kết toán xem xét khía cạnh khác toán) Khả phát vấn đề giải vấn đề khả quan trọng mà ta cần quan tâm bồi dỡng cho HS, khả thể rõ nét chỗ đề xuất đợc toán toán hoàn toàn mới, mở rộng, đào sâu toán đà biết Để góp phần có thêm đợc khả đó, tác giả quan tâm bồi dìng cho HS mét sè vÊn ®Ị sau: 2.3.3.1 RÌn luyện khả nhận biết, tìm tòi phát toán liên quan sáng tạo toán Thông qua hoạt động dạy học giải tập, HS đợc lôi vào hoạt động, hội tìm tòi, khám phá phát vấn đề việc làm cần thiết Với cách dạy học đề cao vai trò chủ thể ngời thầy HS có đợc hội số luyện tập hạn chế HS đợc phát vấn đề mà thờng lập lại phát vấn đề đợc GV đà đa ra, HS thờng bị động tiếp nhận kiến thức từ phía GV Cách dạy học nh làm hạn chế khả 68 tìm kiếm, tự phát vấn đề HS, điều trái với quan điểm việc học theo xu hớng hoạt động hoá ngời học, lấy ngời học làm trung tâm, việc hoà biến đổi thân để trở nên có kiến thức mới, phơng pháp t thực đợc phê bình, để tự hiểu thân Chính điều mà dạy học, ngời GV phải biết trọng công tác bồi dỡng HS lực nhận biết tìm tòi, phát triển vấn đề để giúp HS rèn luyện kỹ t vào thói quen phát triển tìm tòi, thông qua số thao tác trí tuệ Việc thờng xuyên rèn luyện cho HS lực tạo cho HS thói quen luôn tích cực khám phá kiến thức lúc, nơi Muốn làm tốt điều đòi hỏi HS phải trải qua trình tìm tòi, mò mẫm, dự đoán, suy xÐt ë nhiỊu gãc ®é ®Ĩ råi thư nghiƯm VÝ dụ 24: Tìm kích thớc tam giác có diện tích lớn nội tiếp đờng tròn (O, R) cho trớc? ã Quá trình mò mẫm dự đoán: Giả sử có tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O, R) cho trớc (Hình 30) Vì toán chứa đựng yếu tố quan trọng diện tích tam giác ABC ta phải tạo yếu tố phụ đờng cao AH ABC Lúc diện tÝch tam gi¸c ABC: S∆ABC = AH BC Có thể nói Chìa khoá để ta tiếp tục trình tìm tòi, mò mẫm, dự đoán để phát vấn đề.Thật ta cố định đoạn BC ã H diện tÝch tam gi¸c ABC sÏ lín nhÊt AH lín nhất, lúc A nằm cung BC tam giác ABC cân A.Tơng tự ta tiếp tục cho cố định đoạn AB diƯn tÝch tam gi¸c ABC lín nhÊt tam gi¸c ABC cân C 69 Vì từ điều phân tích mà ta đến dự đoán đợc SABC lớn ABC tam giác Dễ thấy tứ giác OB A C hình bình hành (Hình 31) Suy ra: AH = 3R BC = R Nªn S∆ABC =   3 R2    Từ gợi cho ta thực phép chứng  minh S∆ABC ≤ 3.R  Cách giải 1: (Hình 30 + Hình 31) Với tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O, R) kẻ AH OK vuông góc với BC Đặt OK = x (0 x < R) Ta cã BC = R −x mµ AH ≤ AK ≤ OA + OK = R + x Do ®ã: S∆ABC = R −x = 3 AH BC ≤  3R    (R + x)  R −x  +   ( R −x 3x =R R x ) áp dụng BĐT Côsi cho số không âm dẫn đến: SABC  3R 2 2   + R −x  + x + R −x    S∆ABC ≤ 3 R2 ( DÊu “=” x¶y ) R −x + x 70   H ≡ K gi÷a   AB = AC ⇔  ⇔  O n»m A vµ K o  ∠ BAC = 60   R = R2 − x2 = x  Tøc lµ ∆ ABC có cạnh R Trong trình tiếp cận giải toán cực trị hình học đó, HS không nhìn toán từ góc độ mà phải xem xét toán theo quan điểm toàn diện, không chấp nhận cách giải quen thuộc nhất, từ luôn suy nghĩ, tìm tòi đề xuất đợc nhiều cách giải khác cho toán nhằm rèn luyện tính linh hoạt, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo t Tức rèn luyện khả từ hoạt động trí tuệ sang trí tuệ khác, nhìn nhận đối tợng toán học, vấn đề, toán dới nhiều góc độ khác nhau, nhìn mối tơng quan với tợng khác, tìm cách giải mới, sáng tạo Mặt khác, tìm nhiều lời giải cho toán giúp HS có cách nhìn toàn diện, biết hệ thống hoá sử dụng kiến thức, kỹ phơng pháp giải toán cách chắn, mềm dẻo, linh hoạt Đó yếu tố đặc trng t sáng tạo Ta có số cách giải khác cho toán đà xét sau: Cách giải 2: Nếu ta cố định cạnh BC Suy SABC lớn ABC cân A Trong lý luận cách giải thứ ta đà lập luận tìm đợc tam giác ABC nội tiếp thoả mÃn yêu cầu toán tam giác chứng minh S ABC 3 R2 Nhng cách giải ta nhìn toán dới góc độ khác từ SABC lớn ABC cân A (theo lËp luËn ë c¸ch 1) 71 Trong c¸c tam giác ABC cân nội tiếp (O, R) cho trớc Ta hÃy tìm tam giác có diện tích lớn nhÊt ThËt vËy: Theo nh lËp luËn ë c¸ch Ta cã: S∆ABC = (R + x) R −x Tõ ®ã ta cã: S∆ABC = ( R +x ) ( R −x ) = 3 ( R +x ) ( R +x ) ( R +x ) (3R −3 x ) ( R + x + R + x + R + x +3R −3x ) 4 = ≤ 3 R2 DÊu “=” x¶y ⇔ R + x = 3R - 3x ⇔ x = ⇔ BC = R (không đổi) R ằ Sđ BC = 1200 A = 600 ABC Cách giải 3: Theo lập luận cách ta có: SABC = (R + x) R −x , 2 S∆ABC= ( R + x ) ( R −x ) = ( (R +2 Rx + x )(3R −3 x ) ) ≤ R + Rx + x +3R −3 x = − x + Rx + R 2 3 =   R2 −  x −Rx +    ≤ 9R 3 R2 = 4 DÊu “=” xảy x = ABC Ví dụ 25: ( )  9R  9 R R   + − x −    =   2       R ⇔ BC = R ằ Sđ BC = 120o = 60o A 72 Bài toán 1: Cho đờng tròn (O, R), dây cung BC A điểm chuyển động cung lớn (cung nhỏ) BC HÃy xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác ABC lớn nhất? Lời giải (Hình 32) Gọi A điểm ’      chÝnh gi÷a cđa cung lín (cung nhá) BC VÏ xy lµ tiÕp tun cđa đờng tròn (O, R) A suy ®iĨm A thc cung lín (cung nhá) BC ®Ịu n»m hai đờng thẳng song song xy BC (Đối với cung nhỏ BC đờng thẳng xy tiếp tuyến điểm cung nhỏ BC) A A khoảng cách từ A đến BC nhỏ khoảng cách từ A’ ®Õn BC Do ®ã S∆ABC < S ∆A BC Nên diện tích tam giác ABC đạt giá trị lín nhÊt ⇔ A ' ≡ A’ · NhËn xÐt: Khi điểm A di động toàn đờng tròn BAC = có giá trị không đổi Do toán ta phát biểu đợc dới dạng khác nh sau: Bài toán 2: Trong tất tam giác ABC có độ dài cạnh BC góc A không đổi HÃy tìm tam giác cã diƯn tÝnh lín nhÊt ? NhËn xÐt: NÕu ta gọi D, E hai điểm cố định (D BC, E BC) DE cố định Khi ®iĨm A di ®éng trªn cung lín (cung nhá) BC độ dài đờng cao AH ADE thay ®ỉi, dÉn ®Õn diƯn tÝch ∆ ADE cịng thay ®ỉi vµ diƯn tÝch ∆ ADE lín nhÊt ⇔ A A, H H Từ ta có toán sau: Bài toán 3: Cho BC dây cung cố định đờng tròn (O, R), D E hai điểm cố định thuộc đờng thẳng BC, A điểm chuyển động cung lớn (cung nhỏ) BC HÃy xác định vị trí A để diện tích tam giác ADE đạt giá trị lớn nhất? 73 à Nhận xét: Nếu ta gọi I tâm đờng tròn nội tiếp ABC = BIC = 180o - µ µ ( B + C ) = 180o - (180o - A) = 900 + A (không đổi) Khi A chuyển động cung lớn (cung nhỏ) BC I chuyển động cung chứa góc = 90o + A dựng đoạn BC Gọi điểm I điểm cung chứa góc , lúc diƯn tÝch ∆ IBC lín nhÊt ⇔ I ≡ I’ A A Từ ta lại có toán sau: Bài toán 4: Cho BC dây cung cố định đờng tròn (O, R), A điểm chuyển động cung lớn (cung nhỏ) BC, I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC HÃy xác ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm A ®Ĩ: a DiƯn tÝch tam giác IBC đạt giá trị lớn nhất? b Chu vi tam giác IBC đạt giá trị lớn nhất? Nhận xét: Ta ý từ kết toán quỹ tích A chuyển động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn trực tâm H chuyển động cung chứa góc = 180o - dựng đoạn BC Do diện tÝch ∆ HBC A lín nhÊt ⇔ H ≡ H’ A A Trong H điểm cung chứa góc Ta lại đề xuất đợc toán khác nh sau: Bài toán Cho BC dây cung cố định đờng tròn (O, R) A điểm động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Gọi H trực tâm tam giác ABC Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác HBC đạt giá trị lín nhÊt? Trong thùc tÕ häc tËp hiƯn nay, ®a phần HS sau tìm đợc lời giải cho toán đà coi nh hoàn thành công việc Làm nh em đà bỏ qua giai đoạn quan träng vµ bỉ Ých cho viƯc häc hái, nãi chung trình độ nhận thức, khắc sâu phơng pháp giải cho lớp toán có dạng tơng tự nh toán 74 đà cho Việc phân tích lời giải giúp HS có nhìn toàn diện, mối liên hệ qua lại với đối tợng khác, hệ thống hoá sử dụng đợc kiến thức, kỹ phơng pháp giải toán cách chắn, mềm dẻo, linh hoạt Khi giải toán, ngời ta thờng mong muốn có lời giải ngắn gọn, độc đáo Nhng lời giải dài, phơng pháp giải tự nhiên, dễ hiểu, thông dụng quý Nhng lời giải hay, phức tạp có lại áp dụng để giải toán tơng tự từ phát triển đợc chuỗi toán với mức độ khó hơn, mang tính tổng quát, đa ta đến vấn đề điều đáng đợc quan tâm 2.3.3.2 Rèn luyện khả nhìn nhận giải toán dới nhiều góc độ khác Con ngời giải vấn đề nảy sinh sống cách vận dụng kiến thức, kỹ đà đợc học, đợc rèn luyện nhà trờng Nhng hiƯn trêng häc l¹i cha chó träng båi dỡng cho HS nhiều kiến thức để sau vận dụng Khi giải vấn đề HS phải thực tập xem xét đánh giá thông tin, lựa chọn phơng thức giải hợp lý, xử lý liệu cách khách quan, xác, từ hình thành thái độ học tập Năng lực giải vấn đề bao gồm khả trình bày giả thuyết, xác định cách thức giải lập kế hoạch giải vấn đề, khảo sát khía cạnh khác Trong việc dạy cho HS kiến thức khoa học cần coi trọng dạy cho HS lực nhìn nhận vấn đề dới nhiều góc độ khác Xem kỹ thuật giải vấn đề vừa công cụ nhận thức, nhng đồng thời mục tiêu việc dạy học theo định hớng phong trào phát triển t sáng tạo, phát hớng giải vấn đề thông qua việc tìm mối liên hệ yếu tố giả thiết kết luận, liên tởng đến vấn đề đà biết để tìm đờng lối giải vấn đề 75 Khi HS đà nhận hiểu rõ vấn đề, GV tổ chức cho HS tiến hành hoạt động nh: Phân tích, tổng hợp, khái quát hoá đặc biệt hoá để tìm cách giải vấn đề Ví dụ 26: Xét toán Cho đờng tròn (O, R) dây AB cố định cho  o · AOB = 120 Hai tiÕp tuyến A B đờng tròn cắt C Các điểm I, J, K thay đổi lần lợt BC, CA, à AB cho K không trùng với A B IKJ = 60o Tìm giá trị lớn tích AJ BI ? Để giải toán GV dẫn dắt HS câu hỏi định hớng bám vào giả thiết toán Chẳng hạn nh: - Trong toán đại lợng cố định, đại lợng thay đổi? - Dựa vào giả thiết đà cho toán xác định đợc mối quan hệ hai tam giác AKJ tam giác BIK không? - Nếu xác định đợc mối quan hệ hai tam giác ta xác định đợc mối liên hệ tích AJ BI AK BK nh nào? - Căn vào đại lợng đà biết toán ta tính đợc AB theo R bao nhiêu? - Từ mối liên hệ tính AJ BI AK, BK vµ AB = AK + KB lµm cho ta liên tởng đến điều gì? Với câu hỏi định hớng nh dẫn dắt HS suy nghĩ, tìm tòi, giải toán nh sau: Cách giải 1: (Hình 33) Kẻ OH AB (H AB) Suy H trung điểm AB o Ta cã: S® » = S® · AOB = 120 AB · · ABC = CAB = S® » = 60o AB  76 o · · AKJ + JKI = · AKJ + 60 AKI = · o · · · · AKJ = KIB + KBI = KIB + 60 , (góc tam giác tỉng gãc kh«ng kỊ víi nã) · Suy ra: · AKJ = KIB nªn: · · ∆ AKJ ~ ∆ BIK (v× KAJ = IBK = 60o, · AKJ = ·AIB ) ⇒ AK AJ = BI BK ⇒ AJ BI = AK BK AK NK = AK (AB - AK) = AB AK - AK2 = 1  AB − AB −AB AK +AK  4  = 1 1  AB − AB −AK  ≤ AB 4   Trong ®ã AB = 2AH = R cos 30o = R 3R Do ®ã: AJ BI = AK BK ≤ DÊu “=” x¶y ⇔ AK = AB ⇔ K H Hay K trung điểm AB Vậy giá trị lớn AJ BI 3R K trung điểm AB Nhận xét: Do A cố định, K điểm thay đổi đoạn AB nên ta xem độ dài đoạn thẳng AK thay đổi, ta đặt AK = AB + x Và HS giải toán theo cách nh sau: Cách giải 2: Từ AK = AK BK = AB - x2 ≤ AB AB + x, BK = AB - AK = = 3R Cách giải 3: - x Vậy giá trị lớn AJ BI điểm AB AB 3R đạt đợc x2 = ⇔ K lµ trung 77 (AK - BK)2 ≥ ⇔ (AK + BK)2 - 4AK BK ≥ ⇔ 4AK BK ≤ (AK + BK) ⇔ AK BK ≤ VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cđa AJ BI b»ng 3R AB = 3R đạt đợc AK = BK hay K trung điểm AB Ngoài ba cách giải toán ý đến mối quan hệ đoạn AB AK BK Ta áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm để giải toán nh sau: Cách giải 4: AK BK ⇒ AK BK ≤  AB      AK + BK AB ⇒ AK BK ≤ 2 ⇒ AJ BI ≤ Vậy giá trị lớn AJ BI = AB 3R = 3R đạt đợc AK = BK K trung điểm AB Ví dụ 27: Xét toán: Cho tam giác vuông cân A, có BC = a Các điểm D, E di chuyển cạnh AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí D E để DE đạt giá trị nhỏ nhất? Phân tích toán: Dựa vào điều kiện toán ta có mối quan hệ yếu tố phải tìm yếu tố đà cho nhờ áp dụng định lý Pitago tam giác vuông ADE ABC Vì AB = AC không đổi nên ta đặt AB = AC = b Từ ta biểu thị đợc DE qua x b dới dạng tổng biểu thức không âm đại lợng không đổi Vận dụng bất đẳng thức đại số ta tìm đợc cực trị DE Cách giải (Hình 34) A Đặt AB = AC = b, BD = AE = x, ¸p dụng định x E lý Pitago cho tam giác vuông ADE ABC ta có: DE2 = x2 + (b - x)2 = 2(x - b )2 + b2 D x (1) C B    78 a 2b2 = a2 ⇒ b2= (2) a2 Tõ (1) vµ (2) ⇒ DE2 ≥ ⇒ (DE) = a D trung điểm AB E trung điểm AC - Hớng dẫn HS khai thác lời giải cách ta cã min(DE) = BC nªn ta cã thĨ nghÜ ®Õn viƯc chøng minh DE = AM, ®ã AM đờng trung tuyến tam giác vuông ABC vận dụng bất đẳng thức tam giác tìm đợc điều kiện để DE nhỏ Từ ta có cách giải A Cách giải (Hình 35) Gọi M trung điểm BC, I trung ®iĨm cđa DE Ta cã: E D · ∆BDM = ∆AME (c.g.c) ⇒ BMD = · · · AME ⇒ DME = BMA = 90 ⇒ DE = DI + IE = I B M AI + IM ≥ AM ⇒ (DE) = AM = a C I trung điểm AM D trung điểm AB E trung điểm AC Tiếp tục phân tích cách giải toán ta có: Từ cách giải có (DE) = AM làm ta nghĩ đến có điểm M thuộc đoạn BC, ta ph¶i chøng minh DE = AM VËn dơng quan hƯ đờng xiên đờng vuông góc ta tìm ®iỊu kiƯn ®Ĩ AM nhá nhÊt Tõ ®ã ta cã cách giải khác nh sau: Cách giải 3: (Hình 36) Dùng DM ⊥ AB, (M ∈ BC) A x ⇒ DBM vuông cân D E ADM = DAE (c.g.c) ⇒ DE = AM ⇒ DE nhá nhÊt ⇔ AM đờng cao D x B C M    79 ∆ABC Do ®ã (DE) = AM = BC = a ⇔ D trung điểm AB E trung điểm AC Tóm lại: Qua toán HS phải biết nhìn toán cách khái quát để định hớng lựa chọn phơng pháp giải, nhiều lần thực hoạt động phân tích toán, liên kết yếu tố đà cho với yếu tố cha biết toán để từ lựa chọn công cụ thích hợp khai thác tìm cách giải khác toán Nh HS đà biết nhìn toán nhiều khía cạnh khác nhau, để từ huy động kiến thức, phơng pháp, công cụ phù hợp tìm nhiều cách giải toán, biết so sánh lời giải để tìm cách giải tối u Với toán đà giải HS đà nhìn toán theo nhiều khía cạnh riêng biệt để tìm cách đa toán dạng quen thuộc nh dạng toán vận dụng hệ thức lợng tam giác, bất đẳng thức đại số (cách giải 1), dạng toán vận dụng bất đẳng thức tam giác (cách giải 2), dạng toán vận dụng quan hệ đờng xiên đờng vuông góc (cách giải 3) Với cách làm nh đà kết hợp đợc cách hữu với hoạt động trí tuệ từ cã thĨ gióp HS rÌn lun c¸c u tè cđa t sáng tạo 2.3.3.3 Rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào thực tiễn Tất kiến thức toán học nói riêng khoa học khác nói chung không ứng dụng vào thực tế sống kết cuối việc học tập HS không đợc thể thực tiễn Các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dơng Thụy [13], khẳng định vị trí toán thực tiễn Khi đà có kiến thức toán học rồi, luôn nghĩ đến việc vận dụng kiến thức vào việc giải toán thực tiễn, đặc biệt kỹ thuật, lao động sản xuất quản lý thực tế Trong đời sống thực tế có nhiều toán đòi hỏi phải giải cho có lợi nhất, đạt đợc hiệu kinh tế cao Các toán cần đa chúng vào toán học hoá thực tế Lúc công việc chủ yếu ngời làm toán vận dụng kiến thức ... hợp Do để bồi dỡng số yếu tố t sáng tạo cho HS thông qua dạy học hình học nói chung dạy học giải tập Cực trị hình học nói riêng cần quan tâm bồi dỡng cho HS số hoạt động trí tuệ qua tạo cho HS tìm... Sáng Tạo cho hS bậc THCS giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị hình học 2.1 Một số định hớng để xây dựng biện pháp Trong chơng trình toán bậc THCS nói chung có toán cực trị hình học nhng toán. .. t sáng tạo cho học sinh THCS giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị hình học phẳng" Mục đích nghiên cứu - Mục đích nghiên cứu luận văn hệ thống số dạng toán cực trị hình học chơng trình hình