7. Cấu trúc của luận văn
2.2. Các dạng bài tập cực trị hình học góp phần bồi dỡng một số
tố đặc trng của t duy sáng tạo.
a. Bài tập có nhiều cách giải:
Cấu tạo: Bài tập có những đối tợng, những quan hệ có thể xem xét dới nhiều khía cạnh khác nhau.
Tác dụng: Rèn luyện khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, rèn luyện khả năng nhìn một đối tợng toán học dới nhiều khía cạnh khác nhau. Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những phơng pháp khác.
Ví dụ 3: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại Avà B. Một cát tuyến chung bất kỳ CBD (B nằm giữa C và D) cắt các đờng tròn (O) và (O’) tại C và D. Xác định vị trí của cát tuyến CBD để tam giác ACD có chu vi lớn nhất ?
Phân tích tìm cách giải: Cho HS thấy (O) ∩ (O’) ={ A, B} ⇒ ẳAmB = ẳ
AnB (không đổi) ⇒ ∆ACD có các góc không đổi nên chu vi tam giác lớn nhất khi một cạnh của nó lớn nhất. Chẳng hạn là cạnh AC, mà AC là dây của (O) nên nó lớn nhất ⇔AC là đờng kính.
Hoặc có thể hớng dẫn HS nhìn bài toán ở khía cạnh ∆ACD đồng dạng với một tam giác cố định, rồi lập tỉ số giữa chu vi
hai tam giác với các cạnh của chúng từ đó suy ra vị trí cát tuyến CBD n m O' O D D' C C' B A
Cách giải 1. ( Hình 6): Ta có số đo các góc của ∆ACD không đổi ⇒ ∆ ACD có chu vi lớn nhất khi một cạnh của nó, chẳng hạn là AC lớn nhất. AC là dây của (O) nên AC lớn nhất khi AC là đờng kính của (O). Khi đó AD là đờng kính của (O’), cát tuyến CBD ≡ C’BD’ và vuông góc với dây chung AB.
Cách giải 2. ( Hình 6): Ta có ∆ACD ~∆AOO’ (Cà =Oà ,àD = Oà') ⇒
AO AC P P AOO ACD =
' . Do chu vi ∆AOO’ và AO không đổi ⇒ chu vi ∆ACD lớn nhất ⇔AC lớn nhất ⇒ AC là đờng kính của đờng tròn (O). Khi đó AD là đờng kính của đờng tròn (O’), cát tuyến CBD ≡ C’BD’ và vuông góc với dây chung AB.
Nhận xét: Thông qua những bài toán dạng này rèn luyện cho HS những hoạt động trí tuệ nhằm củng cố, vận dụng những kiến thức về đờng tròn vào giải bài toán cực trị hình học.
b, Bài tập có nội dung biến đổi:
Cấu tạo: Bài tập gồm 2 phần. Phần thứ nhất là bài toán a, phần thứ hai là bài toán a nhng có biến đổi một vài yếu tố của nó. Do đó nội dung và cách giải của bài toán biến đổi hẳn đi (gọi là bài toán b)
Tác dụng: Rèn luyện khả chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác nhằm khắc phục tính ỳ của t duy.
Ví dụ 4: Cho góc nhọn xOy và điểm A nằm trong góc đó. Xác định điểm B
thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và AB + AC nhỏ nhất ?
Khai thác bài toán: Hớng dẫn HS biến đổi điều kiện của bài toán bằng cách thay góc nhọn xOy bằng góc xOy và tìm điểm B thuộc Ox và điểm C thuộc Oy sao cho chu vi ∆ABC nhỏ nhất. Ta lại có bài toán tơng tự sau:
Bài toán 1: Cho góc xOy và điểm A nằm trong đó. Xác định vị trí điểm B
thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất ? Nếu hớng dẫn HS thay đổi điều kiện của bài toán 1 để nó trở thành bài toán mà ta có thể áp dụng ngay đợc phơng pháp giải của bài toán trên và ta có bài toán tơng tự sau:
Bài toán 2: Cho tam giác nhọn ABC. Tìm các điểm M ∈ BC, N ∈ AC, P ∈ AB sao cho∆MNP có chu vi nhỏ nhất ?
Nếu tiếp tục thay đổi điều kiện của bài toán 2 bằng cách thay tam giác nhọn bằng hình chữ nhật để nó trở thành bài toán có thể áp dụng ngay đợc ph- ơng pháp giải của bài toán trên và ta lại có bài toán tơng tự nh sau:
Bài toán 3: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD. Xác định
vị trí các điểm F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất ?
c. Bài tập thuận nghịch:
Cấu tạo: Bài tập dạng này gồm một cặp bài có nội dung ngợc nhau (cái phải tìm của bài này trở thành cái đã cho của bài kia và ngợc lại)
Tác dụng: Rèn luyện tính thuận nghịch của t duy.
Ví dụ 5: a. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là điểm bất kỳ trên đoạn BC. Gọi P, Q theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Tìm vị trí M để PQ có độ dài bé nhất ?
Nhìn vào hình vẽ (Hình 7) ta có ∆
ABC vuông cân tại A⇔ Bà = Cà ⇔ M’P’ + M’Q’ = MP + MQ⇔ Các hình chữ nhật APMQ và AP’M’Q’ có cùng chu vi.
Hoạt động lật ngợc vấn đề:
Từ hình vẽ ta có hai điểm M và M’ trên cạnh huyền BC (khác B và C) của tam giác vuông cân ABC và có hình chiếu lên hai cạnh góc vuông tạo thành những hình chữ nhật tơng ứng có cùng chu vi. Lật ngợc vấn đề đi đến bài toán mới:
b. Chứng minh rằng nếu từ hai điểm bất kỳ trên cạnh BC (khác B và C) của tam giác vuông ABC có hình chiếu lên hai cạnh góc vuông tạo thành hai hình
E P P' Q Q' M M' C B A
chữ nhật tơng ứng có cùng chu vi thì tam giác vuông đó phải là tam giác vuông cân. ?
d. Bài tập có tính đặc thù:
Cấu tạo: Bài tập có số liệu cụ thể, có cách giải riêng do tính cá biệt của nó. Tác dụng: Chống suy nghĩ rập khuôn, áp dụng công thức, thuật toán một cách máy móc.
Việc giải bài tập có tính đặc thù nhằm rèn luyện cho HS thói quen biết nghiên cứu những điều kiện cụ thể của bài tập trớc khi áp dụng các thuật toán tổng quát.
Ví dụ 6: Từ một tờ giấy đủ rộng có hình dạng là một góc, bằng một nhát
kéo thẳng (chiều dài lỡi kéo bằng a) hãy cắt ra một tam giác có diện tích lớn nhất ?
Gọi ãxAy là góc đã cho. Ta chứng minh trong các tam giác ABC có đáy BC
= a không đổi thì tam giác cân ở đỉnh A có diện tích lớn nhất. Thật vậy xét ∆ABC cân ở A và ∆A’BC có àA = àA'
=α (A và A’ nằm cùng phía đối với BC) ⇒ A và A’ cùng thuộc cung chứa góc α dựng trên đoạn BC, trong đó A là điểm chính giữa của cung. Gọi d là tiếp tuyến với cung chứa góc tại A⇒ khoảng cách từ A đến BC lớn hơn khoảng cách từ A’ đến BC. Do đó SABC ≥ SA’BC . Nh vậy cắt tờ giấy thành một tam giác cân có cạnh đáy bằng a với một nhát cắt kéo ta đợc một tam giác có diện tích lớn nhất.
Nhận xét: Với ví dụ này ta vận dụng quỹ tích để giải bài toán cực trị. Ta đã cố định BC và xét sự chuyển động của điểm A, điểm A chuyển động trên cung chứa góc α dựng trên BC và nhờ sự chuyển động ấy mà xác định đợc vị trí điểm A để ∆ABC có diện tích lớn nhất.
e. Bài tập mở: a C B A' A d Hình 8
Cấu tạo: Bài tập mở là dạng bài tập trong đó điều phải tìm hoặc điều phải chứng minh không đợc nêu một cách rõ ràng, ngời học phải tự xác định điều ấy thông qua mò mẫm, dự đoán và thí nghiệm.
Tác dụng: Bài tập mở kích thích óc tò mò khoa học, đặt HS trớc một tình huống có vấn đề với những cái cha biết, những cái cần khám phá, làm cho HS thấy có nhu cầu, có hứng thú và quyết tâm huy động kiến thức, năng lực t duy sáng tạo bản thân để tìm tòi, phát hiện kết quả còn tiềm ẩn trong bài toán. Bài tập mở còn góp phần rèn luyện khả năng nhìn nhận ra vấn đề trong điều kiện quen thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối tợng quen biết, tác động rõ rệt đến tính mềm dẽo của t duy.
Ví dụ 7:
a. Cho đờng thẳng d và hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ là d. Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất ?
b. Cho đờng thẳng d và hai điểm A, B .Tìm điểm M trên d sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất ?
Bài toán a, là bài toán không có tính mở, bài toán b có tính mở vì:
Các điều kiện A, B cha xác định cụ thể là nằm ở vị trí tơng đối nào so với đờng thẳng d nên khi giải phải phân chia thành 4 trờng hợp sau:
- A và B thuộc đờng thẳng d - A hoặc B thuộc đờng thẳng d
- A và B cùng nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là d - A và B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng d
f. Bài tập không theo mẫu:
Cấu tạo: Bài tập dạng này không thể áp dụng thuật toán hoặc công thức để giải do đó nó cũng không có cấu tạo nhất định.
Tác dụng: Rèn luyện khả năng tìm ra những liên tởng và những kết hợp mới, khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong sự kiện bên ngoài tởng nh không có liên hệ với nhau.
Ví dụ 8:
a. Cho góc nhọn xOy và điểm điểm A ở trong đó. Tìm điểm M ∈ Ox, và điểm N ∈ Oy sao cho chu vi ∆AMN nhỏ nhất ?
b. Cho góc nhọn xOy và 2 điểm A, B ở trong đó. Tìm M ∈ Ox, N ∈ Oy sao cho tứ giác AMNB có chu vi nhỏ nhất ?
Khi giải bài toán a, ta dựng hai điểm phụ A1, A2 lần lợt là các điểm đối xứng của điểm A qua các tia Ox và Oy.
Khi giải bài toán b, ta dựng hai điểm phụ A1, A2 lần lợt là các điểm đối xứng của điểm A và B qua các tia Ox và Oy.