7. Cấu trúc của luận văn
2.3. Các biện pháp chủ yếu để thực hiện
2.3.1. Biện pháp 1: Xác định các hớng tiếp cận khác nhau để giải bài toán cực trị hình học
2.3.1.1. Hớng 1
Ta vẽ một hình có chứa các đại lợng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các điều kiện của đại lợng bằng các đại lợng tơng đơng (có khi phải chọn một đại lợng nào đó trong hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ giữa ẩn số đó với các đại lợng khác trong hình, nhng đại lợng này có thể do đầu bài cho sẵn, nhng cũng có thể cho ta làm xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán. Biểu thị ẩn số theo các đại lợng đã biết, các đại lợng không đổi rồi biến đổi tơng đơng biểu thức vừa tìm đợc để cuối cùng xác định đợc giá trị của đại lợng cần tìm, từ đó suy ra vị trí của hình để đạt cực trị).
Thờng dùng cách này khi đầu bài đợc cho dới dạng:
“Tìm một hình nào đó thoả mãn các điều kiện cực trị của bài toán”
Ví dụ 9: Trong các tam giác có cùng
đáy và cùng diện tích tam giác nào có chu vi
nhỏ nhất ? d B’ A’ A B C • • • • Hình 9
Lời giải (Hình 9)
Xét các tam giác có chung đáy là BC = a và có cùng diện tích là S. Gọi AH là đờng cao tơng ứng với đáy BC. Ta có:
S = 1 2 AH . BC ⇒ AH = BC 2S = a 2S (không đổi)
Suy ra: A di động trên đờng thẳng d // BC và cách BC một khoảng bằng
a 2S
⇒ Ta cần xác định vị trí của A trên đờng thẳng d để chu vi ∆ ABC có giá trị nhỏ nhất. Chu vi ∆ ABC = AB + BC + CA = AB + AC + a. Vì a không đổi nên chu vi ∆ ABC nhỏ nhất ⇔ AB + AC nhỏ nhất.
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d, B’C cắt d tại A’. Xét ∆ AB’C ta có: AB’ + AC ≥ B’C (1)
Thay AB’ = AB, A’B’ = A’B vào (1) ta có:
AB + AC ≥ A’B + A’C (2). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi B’, A, C thẳng hàng. Khi đó A ≡ A’.
Vì A’B = A’B’ = A’C nên ∆ A’BC cân tại A’.
Vậy trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác cân có chu vi nhỏ nhất.
Nhận xét: Khi giải bài toán đã cho ta đã thay các điều kiện của bài toán
bằng các điều kiện tơng đơng và tìm đợc tam giác cân thoả mãn điều kiện cực trị của bài toán.
2.3.1.2. Hớng 2
Ta đa ra một hình vẽ (theo yêu cầu của đầu bài) rồi chứng minh mọi hình khác có chứa các yếu tố (mà ta phải tìm cực trị) lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tơng ứng trong hình đã đa. Thờng dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình có cực trị đã đợc nói rõ trong đầu bài.
Ví dụ 10: Chứng mình rằng trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện
Phân tích bài toán: Đây là bài toán ta đã đề cập trong ví dụ 9, nhng ở đây đầu bài đã nói rõ hình phải chứng minh là một tam giác cân, nên đa ra một tam giác cân A’BC (Hình 9) rồi xét một tam giác không cân ABC có cùng đáy BC, đỉnh A chạy trên đờng thẳng d // BC, ta chỉ việc chứng minh: Chu vi ∆ ABC ≥ chu vi ∆ A’BC tứclà AB + AC ≥ A’B + A’C.
2.3.1.3. Hớng 3
Thay việc tìm cực đại của một đại lợng hình học này bằng việc tìm cực tiểu của một đại lợng khác và ngợc lại.
Ví dụ 11: Chứng minh rằng trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện
tích, tam giác cân có bán kính đờng tròn một tiếp lớn nhất.
Lời giải (Hình 10)
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của ∆ ABC, r là bán kính đờng tròn nội tiếp, S là diện tích ∆ ABC.
Ta có: S = SAIB + SBIC + SCIA
= 1
2 cr + 1
2 ar + 1
2 br= r
2(a + b + c)
⇒ r = a + b + c2 S . Vì S không đổi, ta suy ra r lớn nhất ⇔
(a + b + c) là chu vi của tam giác có giá trị nhỏ nhất, theo kết quả ở ví dụ 10, đó là tam giác cân.
Nhận xét: Ta phải chứng minh bán kính của đờng tròn nội tiếp tam giác
cân là lớn nhất, ta đa về việc đi chứng minh chu vi của tam giác đó là nhỏ nhất (ví dụ 10) bằng cách biểu thị bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác cân qua diện tích và chu vi của nó.
2.3.1.4. Hớng 4
Trong các bài toán cực trị, thờng có các điểm di chuyển trên các hình nhất định các hình đó có khi đợc cho ngay trong đề bài, có khi đợc tìm ra bởi một bài toán quỹ tích. Đó chính là: Vận dụng quỹ tích để giải bài toán cực trị.
• A c b B a H C I r Hình 10
Ví dụ 12: Cho các tam giác ABC có BC = a, BACã = α. Tam giác nào có diện tích lớn nhất?
Lời giải (Hình 11)
Xét các tam giác ABC có BC = a, ãBAC = α. Khi đó A nằm trên cung chứa góc α dựng trên cạnh BC của tam giác ABC. Gọi A’ là điểm chính giữa của cung chứa góc nói trên. Kẻ AH ⊥ BC, A’H’ ⊥ BC. Hiển nhiên AH ≤ A’H’. Do đó SABC ≤ SA BC' . Vậy trong các
tam giác nói trên tam giác cân có diện tích lớn nhất.
2.3.1.5. Hớng 5
Trong các bài toán cực trị hình học giải bằng phơng pháp đại số, ta thờng chọn một đại lợng làm biến (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, tỷ số lợng giác của một góc...), cũng có trờng hợp ta nên chọn hai biến, đồng thời chú ý đến các đại lợng không đổi để làm biến cho hợp lý.
Tiếp cận theo hớng này ta gọi là:
Chọn biến để giải các bài toán cực trị hình học.
Ví dụ 13: Cho tam giác ABC có góc B, C nhọn, BC = a, đờng cao AH = h,
xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M ∈ BC, N ∈ AC, P, Q ∈ BC. Hình chữ nhật MNPQ ở vị trí nào thì diện tích của nó có giá trị lớn nhất?
Lời giải (Hình 12) Đặt MQ = x, MN = y Ta có: SAMN + SBMNC = SABC Suy ra: ( ) ( ) 1 2 2 2 y h x− + x a y+ = a.h ⇔ h.y + a.x = ah ⇒ y = a h(h - x) Gọi diện tích hình chữ nhật MNPQ là S, ta có: A M h-x N y x B Q H P C Hình 12 A A’ C B H H’ •o α Hình 11
S = x.y = a
h . (h - x) . x. Do a và h là các hằng số dơng nên S lớn nhất.
⇔ Tích (h - x) . x lớn nhất, hơn nữa tổng (h - x ) + x = h (không đổi) nên
tích (h - x) . x lớn nhất ⇔ x = h - x ⇔ x = h
2. Khi đó MN là đờng trung bình của ∆ ABC.
Chú ý:
a. Có trờng hợp để tìm cực trị của một đại lợng A, ta chia đại lợng A thành tổng của nhiều đại lơng khác. Chẳng hạn nh A = B + C +...
Lúc này việc đi tìm cực trị của đại lợng A ta đi tìm cực trị của B và C... rồi từ đó phải chỉ ra đợc B, C.... đạt cực trị thì A cũng đồng thời đạt cực trị và ngợc lại.
Ví dụ 14: Cho tam giác ABC vuông tại A. ở bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đờng tròn có đờng kính AB, AC. Một nửa đờng thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đờng tròn theo thứ tự tại M, N (khác A). Hãy xác định hai điểm M, N sao cho chu vi tứ giác BC MN lớn nhất.
Lời giải (Hình 13)
Đặt: BM = x, AM = y, AN = z, NC = t
thì chu vi tứ giác BMNC = BC + x + y + z + t. Với hai đại lợng a, b bất kỳ ta luôn có:
(a - b)2≥ 0 ⇔ a2 + b2≥ 2ab
⇔ 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 (*)
∆ ABC vuông tại M, áp
dụng định lý Pitago ta có: x2 + y2 = AB2. áp dụng hệ thức (*): (x + y)2 ≤ 2AB2 ⇔ x + y ≤ AB 2 M y A z N d x t B C •
Dấu “=” xảy ra khi x = y Tơng tự: z + t ≤ AC 2
Dấu “=” xảy ra: khi z = t
Khi x = y thì điểm M là điểm chính giữa của cung AB, khi ∆ AMB vuông cân. Suy ra: MABã = 45o ⇒ CANã = 45o (vì M, A, N thẳng hàng). Suy ra: N là điểm chính giữa của cung AC. Vậy chu vi tứ giác BCMN lớn nhất khi M, N đồng thời là điểm chính giữa của các cung AB, AC.
Nhận xét: Ta phải xác định vị trí của M, N để chu vi tứ giác BCMN lớn
nhất, chu vi ∆ ABC. Không đổi nên chỉ phụ thuộc vào hai chu vi của hai tam giác AMB và ANC, tức là phụ thuộc vào các đại lợng x + y và z + t. Từ đó ta xác định đợc vị trí của M, N để thoả mãn điều kiện cực trị của bài toán.
b. Có những bài toán cực trị hình học trong quá trình giải có thể xảy ra nhiều khả năng tơng ứng với các trờng hợp khác
nhau của hình thì ta phải tìm cực trị trong từng tr- ờng hợp, cuối cùng so sánh các cực trị đó để tìm ra cực trị chúng của bài toán.
Ví dụ 15: Qua điểm A của tam giác ABC
dựng đờng thẳng d sao cho tổng khoảng cách từ các điểm B và C tới d là nhỏ nhất?
Lời giải (Hình 14 + Hình15)
Trờng hợp 1: Đờng thẳng d cắt cạnh BC tại
D. Với điểm D bất kỳ trên đoạn BC ta có: SBAD + SCAD = SABC
Suy ra: 1 2AD . BB ' + 1 2 AD . CC ' = SABC ⇒ (BB' + CC') = 2SABC AD ⇒ (BB' + CC') nhỏ nhất ⇔ 2SABC AD nhỏ nhất ⇔ AD lớn nhất. d B B’ A C D C’ •
Giả sử AD ≥ AB thì trong hai đờng xiên AD, AC đờng xiên AD có hình chiếu nhỏ hơn. Do đó AD ≤ AC, hằng số AD = AC ⇔ D ≡ C. Vậy d phải dựng chiếu cạnh lớn nhất trong hai cạnh AB và AC.
Trờng hợp 2:
Đờng thẳng d không cắt đoạn BC. Lấy E là điểm đối xứng với B qua A. Khi đó d ∩ CE = F Hạ EE’⊥d. Suy ra: BB' = EE’ Tơng tự trờng hợp 1 ta có: (BB’ + CC’) = 2SACE AF nhỏ nhất ⇔ AF lớn nhất. Giả sử AC ≥ AB mà AF ≤ AC, ⇒ AF = AC ⇔ F ≡ C.
Vậy đờng thẳng d phải dựng là đờng thẳng chứa cạnh lớn nhất trong hai cạnh AB và AC.
Kết luận: Trong cả hai trờng hợp trên ta đều dựng đợc đờng thẳng d là đ-
ờng thẳng chứa cạnh lớn nhất trong hai cạnh AB, AC của ∆ ABC.