7. Cấu trúc của luận văn
1.5. Kết luận chơng 1
Qua việc tổng quan, tham khảo các tài liệu liên quan đến đề tài chúng tôi nhận thấy:
Trong chơng 1, Luận văn đã nêu đợc một số quan điểm của các nhà khoa học về khái niệm t duy, t duy sáng tạo. Các vấn đề bồi dỡng, rèn luyện và phát triển t duy sáng tạo cho HS đợc nhiều nhà tâm lý học, giáo dục học, toán học trong và ngoài nớc quan tâm nghiên cứu. Luận văn cũng đã góp phần làm sáng tỏ một số yếu tố đặc trng của t duy sáng tạo biểu hiện trong học tập toán của HS trong nhà trờng phổ thông.
Chuyên đề về bài tập cực trị hình học có một tiền năng phong phú để có thể phát triển t duy sáng tạo cho HS, điều quan trọng là GV phải có các biện pháp dạy học thích hợp để khơi dậy đợc sự hứng thú của HS trong học tập, trên cơ sở đó mới có thể khai thác đợc tiềm năng của chuyên đề bài tập cực trị hình học ở bậc THCS một cách có hiệu quả.
Chơng 2
biện pháp chủ yếu bồi dỡng một số yếu tố của t duy Sáng Tạo cho hS bậc THCS khá và giỏi
thông qua dạy học giải toán cực trị hình học
2.1. Một số định hớng để xây dựng biện pháp
Trong chơng trình toán bậc THCS nói chung đều có các bài toán cực trị hình học nhng các bài toán cực trị hình học chỉ xuất hiện nhiều ở lớp 8 và 9. Việc đa ra các bài toán cực trị hình học là ứng dụng của các nội dung kiến thức
đã đợc chú ý trong một số tài liệu tham khảo. Tuy nhiên các bài toán cực trị hình học mang nội dung thực tiễn cha đợc chú ý đúng mức. Hầu hết các bài toán đều phát biểu dới dạng phát biểu trực tiếp với nội dung toán học.
Nhìn chung lại, các bài toán cực trị hình học trong chơng trình toán bậc THCS cần xây dựng và khai thác thành một tuyến xuyên suốt chơng trình SGK nhằm thực hiện bồi dỡng cho HS một số yếu tố về t duy sáng tạo. Nhằm thực hiện những yêu cầu đó tác giả đa ra một số căn cứ để xây dựng các biện pháp s phạm nh sau:
2.1.1. Dựa vào định hớng đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay
Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay là “học tập trong hoạt động và bằng hoạt động” bao hàm một loạt ý tởng lớn đặc trng cho phơng pháp học hiện đại đó là:
Xác lập vị trí chủ thể của ngời học, đảm bảo tính tự giác, tích cực, là chủ thể chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành thái độ chứ không phải là nhân vật bị động hoàn toàn làm theo lệnh của thầy giáo. Hoạt động tự giác, tích cực của ngời học thể hiện ở chỗ HS học tập những hoạt động hớng đích và gợi động cơ để biến nhu cầu xã hội thành nhu cầu nội tại của chính bản thân mình.
Dạy học dựa trên sự nghiên cứu tác động của những quan niệm và kiến thức sẵn có của ngời học. Xác định vai trò mới của ngời thầy bởi t cách là ngời thiết kế, điều khiển, uỷ thác và thể chế hoá kiến thức.
2.1.2. Bài toán cực trị hình học cần đợc xây dựng trên cơ sở thích hợpvới nội dung kiến thức quy định trong chơng trình SGK hiện hành với nội dung kiến thức quy định trong chơng trình SGK hiện hành
Bài toán cực trị hình học đa ra phải đợc giải hoàn toàn bằng kiến thức trong chơng trình toán THCS, trớc hết là kiến thức chính của nội dung bài mục đa ra bài toán đó. Làm nh vậy bài toán cực trị hình học vẫn có thể đạt đợc mục đích riêng và có thể góp phần củng cố, đào sâu kiến thức.
Có thể khai thác các bài toán cực trị hình học để góp phần củng cố, đào sâu trực tiếp các kiến thức cụ thể trong chính bài mục mà bài tập này đã đợc đa ra. Chẳng hạn nh khi HS đợc học về bất đẳng thức trong tam giác, bài tập về cực
trị đa ra ở đây có tác dụng rèn luyện kỹ năng chứng minh nh các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Ngoài ra còn giúp các em hiểu đúng hơn về bất đẳng thức trong tam giác.
2.1.3. Hệ thống bài toán cực trị hình học đa ra trên cơ sở làm rõ mốiquan hệ giữa toán học và thực tiễn, tăng cờng khả năng ứng dụng quan hệ giữa toán học và thực tiễn, tăng cờng khả năng ứng dụng
Để làm đợc điều này một trong những công việc cần làm là tăng cờng các bài toán cực trị hình học có phát triển trực tiếp mang các nội dung thực tiễn.Chẳng hạn nh các bài toán tìm vị trí để xây dựng cầu, tìm kích thớc của một hình, tìm đờng đi v.v…
Giải những bài toán dạng nh vậy sẽ góp phần rèn luyện kỹ năng giải quyết một bài toán thực tiễn bằng toán học, qua đó tăng cờng rèn luyện tốt khả năng tìm tòi, vận dụng toán học vào cuộc sống.
2.1.4. Bài toán cực trị hình học cần đợc xây dựng và khai thác trên cơsở phù hợp với đối tợng HS, phù hợp với quỹ thời gian sở phù hợp với đối tợng HS, phù hợp với quỹ thời gian
Hầu hết các bài toán cực trị hình học không phải là các nội dung chính thức đợc quy định trong chơng trình SGK, mà chỉ làm cho bài tập ứng dụng của một nội dung kiến thức nào đó. Do đó nếu bài toán đa ra không phù hợp với trình độ, năng lực của HS, không phù hợp với quỹ thời gian sẽ gây quá tải. Các bài toán cực trị hình học đợc xây dựng phải phù hợp với trình độ, năng lực của HS là điều nên làm. Vì đối tợng cần thiết HS cần bồi dỡng ở đây là khá và giỏi nên các bài tập đa ra không nên chọn quá nhiều bài tập quá khó, hoặc quá dễ, hạn chế các bài toán có lời giải tổng hợp, không mẫu mực. Làm đợc nh vậy sẽ thúc đẩy đợc t duy theo từng bớc bậc thang một cách đúng mức, phù hợp với cơ sở tâm lý, năng lực của HS trong quá trình học.
2.1.5. Dựa vào các thành tựu nghiên cứu về t duy sáng tạo của tâm lý học hiện đại và các ngành khoa học khác
Trong tâm lý học hiện đại và các ngành khoa học khác đã quan tâm nghiên cứu và đã chỉ rõ vai trò, vị trí, cơ sở khoa học của sự sáng tạo. Đề cao vai trò sự
sáng tạo của con ngời trong thời đại mới. Do đó căn cứ này chỉ đạo GV trong quá trình dạy học theo định hớng phát triển t duy sáng tạo cho HS cần có căn cứ vào những thành tựu mà các nhà khoa học đã nghiên cứu.
Trên cơ sở những thành tựu đó GV xây dựng nội dung dạy học giải bài tập cực trị hình học và đề ra phơng pháp dạy học phù hợp có tác động đến việc bồi dỡng một số yếu tố của t duy sáng tạo, dựa trên vốn trí thức đã có của các em và phù hợp với lứa tuổi của HS.
2.2. Các dạng bài tập cực trị hình học góp phần bồi dỡng một số yếutố đặc trng của t duy sáng tạo. tố đặc trng của t duy sáng tạo.
a. Bài tập có nhiều cách giải:
Cấu tạo: Bài tập có những đối tợng, những quan hệ có thể xem xét dới nhiều khía cạnh khác nhau.
Tác dụng: Rèn luyện khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, rèn luyện khả năng nhìn một đối tợng toán học dới nhiều khía cạnh khác nhau. Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những phơng pháp khác.
Ví dụ 3: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại Avà B. Một cát tuyến chung bất kỳ CBD (B nằm giữa C và D) cắt các đờng tròn (O) và (O’) tại C và D. Xác định vị trí của cát tuyến CBD để tam giác ACD có chu vi lớn nhất ?
Phân tích tìm cách giải: Cho HS thấy (O) ∩ (O’) ={ A, B} ⇒ ẳAmB = ẳ
AnB (không đổi) ⇒ ∆ACD có các góc không đổi nên chu vi tam giác lớn nhất khi một cạnh của nó lớn nhất. Chẳng hạn là cạnh AC, mà AC là dây của (O) nên nó lớn nhất ⇔AC là đờng kính.
Hoặc có thể hớng dẫn HS nhìn bài toán ở khía cạnh ∆ACD đồng dạng với một tam giác cố định, rồi lập tỉ số giữa chu vi
hai tam giác với các cạnh của chúng từ đó suy ra vị trí cát tuyến CBD n m O' O D D' C C' B A
Cách giải 1. ( Hình 6): Ta có số đo các góc của ∆ACD không đổi ⇒ ∆ ACD có chu vi lớn nhất khi một cạnh của nó, chẳng hạn là AC lớn nhất. AC là dây của (O) nên AC lớn nhất khi AC là đờng kính của (O). Khi đó AD là đờng kính của (O’), cát tuyến CBD ≡ C’BD’ và vuông góc với dây chung AB.
Cách giải 2. ( Hình 6): Ta có ∆ACD ~∆AOO’ (Cà =Oà ,àD = Oà') ⇒
AO AC P P AOO ACD =
' . Do chu vi ∆AOO’ và AO không đổi ⇒ chu vi ∆ACD lớn nhất ⇔AC lớn nhất ⇒ AC là đờng kính của đờng tròn (O). Khi đó AD là đờng kính của đờng tròn (O’), cát tuyến CBD ≡ C’BD’ và vuông góc với dây chung AB.
Nhận xét: Thông qua những bài toán dạng này rèn luyện cho HS những hoạt động trí tuệ nhằm củng cố, vận dụng những kiến thức về đờng tròn vào giải bài toán cực trị hình học.
b, Bài tập có nội dung biến đổi:
Cấu tạo: Bài tập gồm 2 phần. Phần thứ nhất là bài toán a, phần thứ hai là bài toán a nhng có biến đổi một vài yếu tố của nó. Do đó nội dung và cách giải của bài toán biến đổi hẳn đi (gọi là bài toán b)
Tác dụng: Rèn luyện khả chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác nhằm khắc phục tính ỳ của t duy.
Ví dụ 4: Cho góc nhọn xOy và điểm A nằm trong góc đó. Xác định điểm B
thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và AB + AC nhỏ nhất ?
Khai thác bài toán: Hớng dẫn HS biến đổi điều kiện của bài toán bằng cách thay góc nhọn xOy bằng góc xOy và tìm điểm B thuộc Ox và điểm C thuộc Oy sao cho chu vi ∆ABC nhỏ nhất. Ta lại có bài toán tơng tự sau:
Bài toán 1: Cho góc xOy và điểm A nằm trong đó. Xác định vị trí điểm B
thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất ? Nếu hớng dẫn HS thay đổi điều kiện của bài toán 1 để nó trở thành bài toán mà ta có thể áp dụng ngay đợc phơng pháp giải của bài toán trên và ta có bài toán tơng tự sau:
Bài toán 2: Cho tam giác nhọn ABC. Tìm các điểm M ∈ BC, N ∈ AC, P ∈ AB sao cho∆MNP có chu vi nhỏ nhất ?
Nếu tiếp tục thay đổi điều kiện của bài toán 2 bằng cách thay tam giác nhọn bằng hình chữ nhật để nó trở thành bài toán có thể áp dụng ngay đợc ph- ơng pháp giải của bài toán trên và ta lại có bài toán tơng tự nh sau:
Bài toán 3: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD. Xác định
vị trí các điểm F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất ?
c. Bài tập thuận nghịch:
Cấu tạo: Bài tập dạng này gồm một cặp bài có nội dung ngợc nhau (cái phải tìm của bài này trở thành cái đã cho của bài kia và ngợc lại)
Tác dụng: Rèn luyện tính thuận nghịch của t duy.
Ví dụ 5: a. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là điểm bất kỳ trên đoạn BC. Gọi P, Q theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Tìm vị trí M để PQ có độ dài bé nhất ?
Nhìn vào hình vẽ (Hình 7) ta có ∆
ABC vuông cân tại A⇔ Bà = Cà ⇔ M’P’ + M’Q’ = MP + MQ⇔ Các hình chữ nhật APMQ và AP’M’Q’ có cùng chu vi.
Hoạt động lật ngợc vấn đề:
Từ hình vẽ ta có hai điểm M và M’ trên cạnh huyền BC (khác B và C) của tam giác vuông cân ABC và có hình chiếu lên hai cạnh góc vuông tạo thành những hình chữ nhật tơng ứng có cùng chu vi. Lật ngợc vấn đề đi đến bài toán mới:
b. Chứng minh rằng nếu từ hai điểm bất kỳ trên cạnh BC (khác B và C) của tam giác vuông ABC có hình chiếu lên hai cạnh góc vuông tạo thành hai hình
E P P' Q Q' M M' C B A
chữ nhật tơng ứng có cùng chu vi thì tam giác vuông đó phải là tam giác vuông cân. ?
d. Bài tập có tính đặc thù:
Cấu tạo: Bài tập có số liệu cụ thể, có cách giải riêng do tính cá biệt của nó. Tác dụng: Chống suy nghĩ rập khuôn, áp dụng công thức, thuật toán một cách máy móc.
Việc giải bài tập có tính đặc thù nhằm rèn luyện cho HS thói quen biết nghiên cứu những điều kiện cụ thể của bài tập trớc khi áp dụng các thuật toán tổng quát.
Ví dụ 6: Từ một tờ giấy đủ rộng có hình dạng là một góc, bằng một nhát
kéo thẳng (chiều dài lỡi kéo bằng a) hãy cắt ra một tam giác có diện tích lớn nhất ?
Gọi ãxAy là góc đã cho. Ta chứng minh trong các tam giác ABC có đáy BC
= a không đổi thì tam giác cân ở đỉnh A có diện tích lớn nhất. Thật vậy xét ∆ABC cân ở A và ∆A’BC có àA = àA'
=α (A và A’ nằm cùng phía đối với BC) ⇒ A và A’ cùng thuộc cung chứa góc α dựng trên đoạn BC, trong đó A là điểm chính giữa của cung. Gọi d là tiếp tuyến với cung chứa góc tại A⇒ khoảng cách từ A đến BC lớn hơn khoảng cách từ A’ đến BC. Do đó SABC ≥ SA’BC . Nh vậy cắt tờ giấy thành một tam giác cân có cạnh đáy bằng a với một nhát cắt kéo ta đợc một tam giác có diện tích lớn nhất.
Nhận xét: Với ví dụ này ta vận dụng quỹ tích để giải bài toán cực trị. Ta đã cố định BC và xét sự chuyển động của điểm A, điểm A chuyển động trên cung chứa góc α dựng trên BC và nhờ sự chuyển động ấy mà xác định đợc vị trí điểm A để ∆ABC có diện tích lớn nhất.
e. Bài tập mở: a C B A' A d Hình 8
Cấu tạo: Bài tập mở là dạng bài tập trong đó điều phải tìm hoặc điều phải chứng minh không đợc nêu một cách rõ ràng, ngời học phải tự xác định điều ấy thông qua mò mẫm, dự đoán và thí nghiệm.
Tác dụng: Bài tập mở kích thích óc tò mò khoa học, đặt HS trớc một tình huống có vấn đề với những cái cha biết, những cái cần khám phá, làm cho HS thấy có nhu cầu, có hứng thú và quyết tâm huy động kiến thức, năng lực t duy sáng tạo bản thân để tìm tòi, phát hiện kết quả còn tiềm ẩn trong bài toán. Bài tập mở còn góp phần rèn luyện khả năng nhìn nhận ra vấn đề trong điều kiện quen thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối tợng quen biết, tác động rõ rệt đến tính mềm dẽo của t duy.
Ví dụ 7:
a. Cho đờng thẳng d và hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ là d. Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất ?
b. Cho đờng thẳng d và hai điểm A, B .Tìm điểm M trên d sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất ?
Bài toán a, là bài toán không có tính mở, bài toán b có tính mở vì:
Các điều kiện A, B cha xác định cụ thể là nằm ở vị trí tơng đối nào so với đờng thẳng d nên khi giải phải phân chia thành 4 trờng hợp sau:
- A và B thuộc đờng thẳng d - A hoặc B thuộc đờng thẳng d
- A và B cùng nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là d - A và B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng d
f. Bài tập không theo mẫu:
Cấu tạo: Bài tập dạng này không thể áp dụng thuật toán hoặc công thức để