NGUYÊN LÝ BANHACH – CACCIOPPOLI TRONG KHÔNG GIAN K - METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH VÕ VIẾT TRÍ NGUYÊN LÝ BANHACH – CACCIOPPOLI TRONG KHÔNG GIAN K - METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2007 MỞ ĐẦU Nguyên lý ánh xạ co cổ điển Banach-Caccioppoli đơn giản có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực toán học nói riêng khoa học kỹ thuật nói chung Nguyên lý mở rộng theo nhiều hướng khác để áp dụng cho lớp toán Cho không gian vectơ dược xếp thứ tự nón tập gọi K-metric hợp khác rỗng bất kỳ, ánh xạ thỏa tiên đề sau: (a) (b) (c) (d) gọi không gian K-metric Khi đó: Cặp Luận văn trình bày hướng mở rộng nguyên lý ánh xạ co cho ánh xạ tác động không gian K-metric dạng: thỏa mãn điều kiện ánh xạ từ Với số điều kiện đặt lên vào không gian , luận văn trình bày tồn điểm bất động ánh xạ Đây hướng nghiên cứu chưa trình bày rộng rãi Nội dung luận văn gồm chương Chương trình bày khái niệm không gian K-metric không gian K-định chuẩn đồng thời nhắc lại số kết giải tích hàm sử dụng chương Ngoài ra, với mục đích mở rộng định lý Krasnolselski không gian K-định chuẩn, chương xây dựng tô pô không gian K-định chuẩn, chứng minh kết mở rộng định lý Schauder điểm bất động toán tử không gian K-định chuẩn Nội dung nguyên lý Banach-Caccioppoli trình bày chương chương tập trung vào định lý 1, định lý 2, định lý 3, định lý nêu báo [2], luận văn trình bày chứng minh định lý cách chi tiết Chương cuối luận văn nhằm mục đích đưa vài ví dụ vận dụng nguyên lý Banach-Caccioppoli cho toán tử tương đối cụ thể, đồng thời trình bày chứng minh kết mở rộng định lý Krasnoselski cho không gian Kđịnh chuẩn Chương KHÔNG GIAN K-METRIC VÀ K-ĐỊNH CHUẨN Mục đích chương trình bày số khái niệm không gian Kmetric không gian K-định chuẩn số kết dùng chương sau Ngoài ra, nhắc lại số kết giải tích hàm, phương trình vi phân số ví dụ dùng đến chương 1.1 Nón thứ tự sinh nón 1.1.1 Khái niệm nón Định nghĩa Cho không gian tuyến tính (trên trường số thực ) tập khác rỗng gọi nón nếu: (i) ; (ii) Trong trường hợp ; không gian định chuẩn có thêm tính chất: (iii) tập đóng 1.1.2 Thứ tự sinh nón Trong không gian tuyến tính với nón , ta xét quan hệ sau: Ta thấy quan hệ có tính chất: phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Như quan hệ thứ tự Như ba ( ) không gian tuyến tính có thứ tự Các kí hiệu sử dụng thông thường Trong không gian tuyến tính có thứ tự, ta định nghĩa khái niệm phần tử nhỏ nhất, phần tử lớn nhất, cận trên, cận dưới, cận nhỏ nhất, cận lớn tập hợp khái niệm dãy tăng, dãy giảm, dãy bị chặn trên, dãy bị chặn dưới, dãy bị chặn thông thường 1.1.3 Ánh xạ đơn điệu, ánh xạ dương Định nghĩa Cho không gian tuyến tính với thứ tự sinh nón gọi đơn điệu dẫn đến , ánh xạ ( ) gọi ánh xạ dương 1.1.4 Không gian tuyến tính có thứ tự với hội tụ Cho không gian tuyến tính có thứ tự sinh nón ta qui ước hội tụ có tính chất sau đây: (a) Mỗi dãy hội tụ có giới hạn ( ta nói dãy hội tụ ký hiệu: , ký hiệu ) (b) Dãy hội tụ (c) Sự hội tụ dãy không thay đổi thêm bỏ bớt số hữu hạn phần tử dãy (d) Nếu dãy hội tụ dãy hội tụ (e) Tổng hội tụ hai dãy hội tụ , dãy (f) Tích dãy hội tụ (trong ) , dãy hội tụ hội tụ và (g) Nếu (h) (Tính chất Weierstrass) Nếu (giảm bị chặn dưới): ( Thì tồn ( dãy tăng bị chặn ) có đẳng thức ) Trong phần sau ta qui ước gọi không gian tuyến tính thứ tự gồm ba , không gian tuyến tính, theo nghĩa nón hội tụ có tính chất nói 1.1.5 Ánh xạ thỏa tính chất Fatou Định nghĩa , ánh xạ Trong không gian tuyến tính thứ tự tính chất Fatou (Fatou dưới) dãy ) ( dẫn đến: ( 1.1.6 Nón chuẩn Định nghĩa ) gọi có thỏa: Nón không gian định chuẩn gọi nón chuẩn tồn số cho: số gọi số phổ dụng Với 1.2 Không gian K-metric K-định chuẩn Giả sử không gian tuyến tính có thứ tự sinh nón 1.2.1 Không gian K-metric Định nghĩa Cho hội tụ tập hợp khác rỗng bất kỳ, ánh xạ K-metric gọi thỏa tiên đề sau: ( zero (a) ), (b) (c) (d) (bất đẳng thức tam giác) Cặp tập hợp khác rỗng K-metric gọi không gian K-metric gọi hội tụ phần tử dãy hội tụ (Ký hiệu nghĩa là: Định nghĩa Cho không gian K-metric Tập gọi tập đóng có tính chất sau: Nếu dãy Bằng cách kiểm tra tiên đề xác định tô pô, ta có: ) tô pô , gọi tô pô sinh K-metric bán kính Quả cầu tâm tập hợp: 1.2.2 Không gian K-định chuẩn Định nghĩa Cho không gian tuyến tính (trên trường số thực ) Ánh xạ gọi K-chuẩn thỏa tiên đề sau: (a) (b) (c) (d) Cặp = gọi không gian K-định chuẩn , không gian tuyến tính, K-chuẩn Mệnh đề Mỗi không gian K-định chuẩn không gian K-metric với K-metric sinh chuẩn tương ứng cho công thức: Chứng minh: Việc kiểm tra tiên đề K-metric không khó khăn, chẳng hạn ta kiểm tra bất đẳng thức tam giác với Như vậy, không gian K-định chuẩn cách viết sau nghĩa: (i) (ii) (iii) 1.2.3 Không gian K-metric đầy đủ theo nghĩa Weierstrass Kantorovich Cho không gian K-metric với K-metric Cho dãy (trong , ta ký hiệu để chuổi tương ứng hội tụ ), nghĩa dãy tổng riêng hội tụ (trong ), viết: Định nghĩa Dãy gọi dãy nghĩa Weierstrass Không gian K-metric gọi đầy đủ theo nghĩa Weierstrass, dãy nghĩa Weierstrass hội tụ gọi dãy nghĩa Kantorovich, tồn dãy Dãy cho: ( ) Không gian K-metric gọi đầy đủ theo nghĩa Kantorovich dãy nghĩa Kantorovich hội tụ 1.3 Một số ví dụ kết dùng 1.3.1 Tính chất thứ tự hội tụ Cho không gian tuyến tính thứ tự (i) (zero (ii) ( (iii) Nếu ) Cho không gian tuyến tính thứ tự theo chuẩn Weierstrass , nón Nếu ánh xạ tuyến tính, phổ dụng Chứng minh: , có thứ tự nón có tính chất hội tụ Cho không gian định chuẩn suy ) đơn điệu Cho không gian định chuẩn Từ tăng (giảm) hội tụ (iv) Nếu dãy dương , nón ) Nếu Khi hội ngoại trừ tính chất , thứ tự nón chuẩn (hằng số Áp dụng bất đẳng thức tam giác bất đẳng thức (3.13) ta có: ( Cho ) ta có ( ứng với ta suy ), tứ có bất đẳng (3.6), đặc biệt nằm cầu tâm bán kính Bây giờ, với nên theo tính chất Kantorovich chặn hàm ta suy ra: , suy ra: ( ), (3.14) từ tính chất đơn điệu, tính chất Fatou hàm tính chất tăng dãy ta suy ra: (3.15) theo tính chất Weierstrass suy ra: (3.16) cho bất đẳng thức (3.14) ta suy Vậy Chứng minh tính điểm bất động tập Giả sử điểm bất động , đặt Trước hết qui nạp theo ta chứng minh: ( ) (3.17) Thật vậy, ta có theo tính chất Kantorovich chặn thì: ) (áp dụng với suy ra: tức (3.17) với giả sử , chất Kantorovich chặn thì: hay tức bất đẳng thức (3.17) chứng minh nên theo tính Bây giờ, với điểm bất động Đặt áp dụng bất đẳng thức (3.17) ta suy ra: ( cho ) (3.18) nên: bất đẳng thức (3.18) ta suy Vậy Chương ỨNG DỤNG 4.1 Điểm bất động toán tử tích phân Volterra Cho không gian hàm liên tục đoạn nhận giá trị , số Lipschitz theo biến với hệ số Lipschitz Ta định nghĩa ánh xạ: định bởi: Khi có điểm bất động Với ký hiệu chọn ( ) ta phân hoạch đoạn sau: ( với phép toán: chuẩn thông thường: ) và ánh xạ: liên tục, Chứng minh: ( ), Khi không gian Banach , hội tụ Nón xét đến hội tụ theo chuẩn Trên ta xác định K-chuẩn sau: không gian K-định chuẩn đầy đủ theo nghĩa Weierstrass đó, (kết trình bày 1.3.3, chương 1) Ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính sau: với cho ma trận tam giác với với ta có: ta có: suy ra: ( Bán kính phổ )( ) cho công thức: ta thấy: , tức tồn số áp dụng hệ định lý ánh xạ thỏa điều kiện Lipschitz với hệ số Lipschitz ánh xạ tuyến tính ta có điều phải chứng minh Ta phát biểu kết tổng quát sau 4.2 Điểm bất động cho toán tử đưa dạng co Cho không gian Banach thực với chuẩn Mệnh đề Giả sử tập đóng không gian nhận giá trị Tồn số với số ( ) hàm liên tục ánh xạ thỏa: cho: ta có: ( đó: có điểm bất động , nữa, ), với Chứng minh: ( ) ta phân hoạch đoạn Với gian Banach thứ tự Trên với nón sử dụng ký hiệu chọn không phần ta xác định K-chuẩn sau: không gian K-định chuẩn đầy đủ theo nghĩa Weierstrass đó, (kết trình bày 1.3.3, chương 1) Ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính sau: với ký hiệu phần trên, đó: với ta có: cho ma trận tam giác ta có: với Suy ra: ( )( ) ta thấy: , tức tồn số áp dụng hệ định lý ánh xạ Lipschitz ánh xạ tuyến tính thỏa điều kiện Lipschitz với hệ số ta có điều phải chứng minh 4.3 Mở rộng định lý Krasnoselski cho không gian K-định chuẩn Cho không gian K-định chuẩn, gian Banach có thứ tự sinh nón chuẩn Trên ta xét tô pô (cũng tô pô với không (với số phổ dụng ) ) Bổ đề Giả sử đầy đủ theo nghĩa Weierstrass, thỏa điều kiện Lipschitz: ( tục, có bán kính phổ ), với ánh xạ ánh xạ tuyến tính, dương, liên tác động Khi ánh xạ song ánh từ ánh xạ đồng nhất) ( ) liên tục ( Chứng minh: Chứng minh Với song ánh ta chứng tỏ tồn (đẳng thức tương đương Xét ánh xạ ) định ta có: ( theo hệ định lý 1, ánh xạ Chứng minh ), có điểm bất động, nghĩa tồn Vậy song ánh liên tục Giả sử tập đóng (đối với Do ), ta chứng tỏ tập đóng thỏa tiên đề đếm thứ nên ta chì cần chứng tỏ: Mọi dãy thật vậy, ta có: dẫn đến ta có: với suy ra: ( với ý ) suy ra: ( ), nên và suy ra: nên Mặt khác, bán kính phổ song ánh, ánh xạ tuyến tính, liên tục song ánh, có ánh xạ ngược liên tục, đó: ( là không gian Banach nên ), tức ( ) Bây ta chứng tỏ dãy nghĩa Weierstrass có chứa dãy hội tụ cách dãy từ tính chất tồn số tự nhiên ( từ tính chất cho: để cho: ) tồn số tự nhiên để ( ), cho: tổng quát, tồn số tự nhiên ( cách thay ), ta có: ( ), suy ra: không gian Banach, nên chuổi hội tụ, tức dãy dãy nghĩa Weierstrass, Weierstrass nên dãy hội tụ (đối với tô pô Cho đầy đủ theo nghĩa ) Giả sử tập đóng nên đẳng thức với ý liên tục (từ điều suy kiện Lipschitz) ta có Bây ta phát biểu chứng minh kết mở rộng định lý Krasnoselski Định Lý Cho đầy đủ theo nghĩa Weierstrass, ánh xạ ánh xạ compact kiện Lipschitz nêu bổ đề trước, Giả sử tập lồi, đóng, bị chặn thỏa điều thỏa Khi ánh xạ có điểm bất động Chứng minh: xét ánh xạ định bởi: ( ), ta có: ( theo hệ định lý 1, ), có điểm bất động, nghĩa tồn (đẳng thức tương đương ), ta xác định ánh xạ: định bởi: ( ) Theo kết bổ đề ( song ánh nên ta có: ), suy ra: theo kết bổ đề compact, ta suy liên tục với ý ánh xạ ánh xạ compact, theo kết mở rộng định lý Schauder không gian K-định chuẩn nghĩa tồn (tức có điểm bất động ) Vậy điểm bất động suy KẾT LUẬN Vận dụng nguyên lý Banach-caccioppoli không gian K-metric, luận văn trình bày mở rộng định lý Krasnoselski cho không gian K-định chuẩn Hướng nghiên cứu tìm cách vận dụng nguyên lý BanchCaccioppoli không gian K-metric kết mở rộng định lý Krasnoselski vào số phương trình tích phân cụ thể TÀI LIỆU THAM KHẢO M.A Krasnoselski Positive solutions of operator equation P.P Zabbrejko K-metric and K-normed linear spaces: survey Collect Math 48, 4-6 (1997), 825-859 [...]... tục trên nên liên tục trên , tức là Từ (1.2) suy ra: khi , suy ra: với Suy ra: ta có ( ) với ta có Vậy trong không gian K- định chuẩn hay 1.4 Mở rộng định lý Schauder về điểm bất động trong không gian K ịnh chuẩn Cho không gian K- định chuẩn với K- chuẩn là không gian định chuẩn có thứ tự sinh bởi nón ở đây 1.4.1 Tô pô trên không gian K- định chuẩn Trong trường hợp là nón chuẩn (hằng số phổ dụng là )... gốc không chứa Với mọi 6 là không gian metric compact, là không gian định chuẩn, là ánh xạ liên tục, khi đó 7 là không gian định chuẩn, là không gian các hàm Giả sử dãy là không gian metric compact, liên tục từ vào và hội tụ đều về ánh xạ , với chuẩn thì 8 Cho và là các không gian Banach, liên tục và nếu là song ánh thì 9 liên tục là một ánh xạ tuyến tính, Cho là không gian Banach, dãy nếu chuổi hội... Nếu (mọi dãy trong đều chứa dãy con hội tụ) 3 compact thì compact theo dãy Cho là không gian tô pô thỏa tiên đề đếm được thứ nhất Khi đó: Tập con của khác rỗng là đóng khi và chỉ khi mọi dãy và thì 4 Cho là không gian tuyến tính tô pô, gốc, khi đó: 5 và là một lân cận (mở) của là lân cận (mở) của Không gian tuyến tính tô pô là không gian Hausdorff khi và chỉ khi: tồn tại lân cận của gốc không chứa Với... Mở rộng định lý Schauder cho không gian K- định chuẩn Cho là không gian K- định chuẩn, gian định chuẩn có thứ tự sinh bởi nón chuẩn Trên ta xét tô pô Định nghĩa 9 với là không (hằng số phổ dụng là ) Tập gọi là bị chặn nếu như tồn tại số sao cho Mệnh đề 6 (mở rộng định lý Brouwer) là không gian hữu hạn chiều, Giả sử và ánh xạ là tập lồi, đóng, bị chặn trong liên tục Khi đó có điểm bất động trong Chứng... tự và là không gian K- metric với K- metric Trong chương này ta trình bày sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ động trong không gian K- metric ( ở đây, là ánh xạ từ và thỏa điều kiện Lipschitz: ), vào tác (2.1) dương và liên tục tại thì dẫn đến (theo nghĩa nếu ), ta xét đến trong hai trường hợp: (i) là là ánh xạ tuyến tính (ii) là ánh xạ thỏa , đơn điệu 2.1 Điểm bất động của ánh xạ thỏa điều kiện Lipschitz... đóng, bị chặn trong và chứa là liên tục, áp dụng k t quả mệnh đề 6 cho không gian và ta có K- định chuẩn suy ra: thì tồn tại với chú ý do sao cho , nên suy ra: và là compact nên tồn tại dãy con hội tụ về cho trong bất đẳng thức: với chú ý ánh xạ và ánh xạ liên tục, suy ra: suy ra động trong và do đó Vậy có điểm bất Chương 2 NGUYÊN LÝ BANACH -CACCIOPPOLI VỚI ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ Cho khộng gian tuyến tính... các phép toán cộng và nhân ngoài và chuẩn thông thường: là không gian Banach Khi đó là một tập đóng Đặt trong và là nón chuẩn (hằng số phổ dụng ) Sự hội tụ được xét đến trong là sự hội tụ theo chuẩn Cho là không gian Banach và là một số thực dương là tập các hàm liên tục trên đoạn và nhận giá trị trong như sau Ta phân hoạch đoạn , k hiệu , như sau: Ta xác định một ánh xạ Khi đó: 1 2 là một K- chuẩn... tụ 10.(Định lý Brouwer) Cho là tập lồi, đóng, bị chặn trong không gian ( ), ánh xạ liên tục, khi đó có điểm bất động trong 11 Trên không gian tuyến tính hữu hạn chiều, chỉ có duy nhất một tô pô lồi địa phương và Hausdorff, đó là tô pô Euclide thông thường (tô pô thông thường trên ) 1.3.3 Ví dụ 1 Cho Ta có là nón trong 2 , Sự hội tụ thông thường gian tuyến tính có thứ tự và sự hội tụ là không 3 trên... Khi đó: 1 2 là một K- chuẩn trên là không gian K- định chuẩn và đầy đủ theo dãy nghĩa Weierstrass Chứng minh: Trước hết ta nhận xét: với vì là liên tục trên tập compact nên là hàm bị chặn, tức là ánh xạ là xác định 1 Việc kiểm tra các tiên đề của một K- chuẩn không mấy khó khăn, chẳng hạn ta kiểm tra bất đẳng thức tam giác Với , theo bất đẳng thức tam giác của chuẩn ( trong ta có: ) Suy ra: và do đó 2... đề 8 (mở rộng định lý Schauder) Cho và là tập lồi, đóng, bị chặn trong không gian liên tục là tập compact tương đối, khi đó có điểm bất động trong Chứng minh: Gọi là bao đóng của tập tập compact là đóng, lồi và chứa trong theo mệnh đề trước thì tồn tại tập hữu hạn và thỏa: một ánh xạ liên tục ( Đặt nên là ) là bao đóng của thì là tập lồi, đóng và bị chặn và chứa trong Gọi là không gian véc tơ sinh bởi