Cho là không gian K-định chuẩn, với là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón chuẩn (với hằng số phổ dụng là ). Trên ta xét tô pô (cũng là tô pô )
Bổ đề
Giả sử đầy đủ theo nghĩa Weierstrass, là một ánh xạ thỏa điều kiện Lipschitz:
( ), với là ánh xạ tuyến tính, dương, liên tục, có bán kính phổ tác động trong và ( ).
Khi đó ánh xạ là một song ánh từ và là liên tục ( là ánh xạ đồng nhất).
Chứng minh:
1. Chứng minh là song ánh.
Với mỗi ta chứng tỏ tồn tại duy nhất để cho (đẳng thức này tương đương ).
Xét ánh xạ định bởi ta có:
( ),
theo hệ quả của định lý 1, ánh xạ có duy nhất điểm bất động, nghĩa là tồn tại duy nhất để cho Vậy là song ánh.
2. Chứng minh liên tục.
Giả sử là tập đóng (đối với ), ta chứng tỏ là tập đóng.
Do thỏa tiên đề đếm được thứ nhất nên ta chì cần chứng tỏ: Mọi dãy và thì dẫn đến
với ta có:
và suy ra:
với chú ý ( ) suy ra:
( ),
do nên và và do đó suy ra:
Mặt khác, do bán kính phổ nên là song ánh, như vậy là ánh xạ tuyến tính, liên tục và song ánh, do là không gian Banach nên
có ánh xạ ngược liên tục, và do đó: ( ), tức là
( ).
Bây giờ ta chứng tỏ dãy có chứa dãy con hội tụ bằng cách chỉ ra dãy con cơ bản nghĩa Weierstrass.
từ tính chất tồn tại số tự nhiên để cho:
( )
từ tính chất tồn tại số tự nhiên để cho:
( ), tổng quát, tồn tại số tự nhiên sao cho:
( ),
bằng cách thay ta có:
( ),
suy ra:
do là không gian Banach, nên chuổi hội tụ, tức là dãy
là dãy cơ bản nghĩa Weierstrass, và do là đầy đủ theo nghĩa Weierstrass nên dãy hội tụ (đối với tô pô ). Giả sử
do và là tập đóng nên
Cho trong đẳng thức với chú ý liên tục (từ điều kiện Lipschitz) ta có suy ra
Bây giờ ta phát biểu và chứng minh một kết quả là mở rộng của định lý Krasnoselski.
Định Lý
Cho là đầy đủ theo nghĩa Weierstrass, ánh xạ thỏa điều kiện Lipschitz như đã nêu trong bổ đề trước, là ánh xạ compact. Giả sử là tập lồi, đóng, bị chặn trong thỏa
Khi đó ánh xạ có điểm bất động trong Chứng minh: xét ánh xạ định bởi: ( ), ta có: ( ),
theo hệ quả của định lý 1, có duy nhất một điểm bất động, nghĩa là tồn tại duy nhất để cho (đẳng thức này tương đương
), như vậy ta xác định được ánh xạ:
định bởi: ( ).
Theo kết quả của bổ đề trên thì là song ánh nên ta có: ( ),
suy ra:
cũng theo kết quả của bổ đề liên tục và với chú ý là ánh xạ compact, ta suy ra là ánh xạ compact, theo kết quả mở rộng định lý Schauder trong không gian K-định chuẩn thì có điểm bất động trong nghĩa là tồn tại để cho khi đó suy ra
KẾT LUẬN
Vận dụng nguyên lý Banach-caccioppoli trong không gian K-metric, luận
văn đã trình bày sự mở rộng định lý Krasnoselski cho không gian K-định
chuẩn.
Hướng nghiên cứu tiếp theo là tìm cách vận dụng nguyên lý Banch- Caccioppoli trong không gian K-metric và kết quả mở rộng định lý Krasnoselski vào một số phương trình tích phân cụ thể.