( ) (3.3)
và bằng qui nạp ta chứng tỏ được dãy là dãy đơn điệu tăng. (3.4)
(ở đây ký hiệu để chỉ dãy hội tụ trong ) (3.5)
(Ta viết thay cho )
Định lý 3
Cho là không gian K-metric đầy đủ theo nghĩa Weierstrass, ánh xạ và là ánh xạ Kantorovich chặn trên của tại điểm Giả sử , khi đó:
có điểm bất động nằm trong quả cầu tâm bán kính ngoài ra,
( )
và thỏa:
( ) (3.6)
Hơn nữa, điểm bất động của nếu có trong tập hợp
là duy nhất. Chứng minh: ặt 1. Chứng minh sự tồn tại Đặt: ( )(3.7) ( ) (3.8) khi đó: với ta có:
do và nên theo tính chất hàm thì (3.9) và do đó (3.10) Với , lần lượt áp dụng bất đẳng thức (3.10) ứng với ta có: ( ) ...
với chú ý ta suy ra:
( ) (3.11) Bằng qui nạp thep ta chứng minh được:
( ) (3.12) Thật vậy,
hiển nhiên mệnh đề (3.12) là đúng,
giả sử khi đó (nhờ (3.11)),
do đơn điệu và giả thiết qui nạp nên suy ra:
Từ bất đẳng thức (3.12) với chú ý và dãy tăng hội tụ về ta suy ra là dãy tăng và bị chặn trên, theo tính chất Weierstrass
thì dãy này hội tụ, tức là chuổi hội tụ.
Do là đầy đủ theo nghĩa Weierstrass nên dãy hội tụ, tức là tồn tại để
2. Chứng tỏ là điểm bất động của .
Trước hết, bằng cách qui nạp theo ta chứng tỏ được:
( )(3.13) Thật vậy, ta có (do 3.12), tức là bất đẳng thức (3.13) đúng khi , giả sử
ta có: (nhờ bất đẳng thức tam giác và (3.12)), theo tính chất Kantorovich chặn trên của hàm ta suy ra:
do đó tức là bất đẳng thức (3.13) được chứng minh.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác và bất đẳng thức (3.13) ta có:
( )
Cho ta có
( ), tứ là có bất đẳng (3.6), đặc biệt
ứng với ta suy ra nằm trong quả cầu tâm bán kính
Bây giờ, với
do và nên theo tính chất
Kantorovich chặn trên của hàm ta suy ra: và do
, suy ra:
( ), (3.14) từ tính chất đơn điệu, tính chất Fatou trên của hàm và tính chất tăng của dãy ta suy ra:
(3.15)
và theo tính chất Weierstrass thì suy ra: (3.16)
3. Chứng minh tính duy nhất của điểm bất động trên tập Giả sử là điểm bất động của , đặt
Trước hết bằng qui nạp theo ta chứng minh: ( ) (3.17) Thật vậy,
ta có
theo tính chất Kantorovich chặn trên của thì:
(áp dụng với )
suy ra:
tức là (3.17) đúng với
giả sử , và do nên theo tính
chất Kantorovich chặn trên của thì:
hay
Bây giờ, với là các điểm bất động của .
Đặt và áp dụng bất đẳng thức (3.17) và ta suy ra:
( ) (3.18)
và do nên:
Chương 4. ỨNG DỤNG