Một số yếu tố hình học trong không gian lorentz minkowski luận văn thạc sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ---@&?--- TRẦN VĂN LÂM MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ – MINKOWSKI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ---@&?--- TRẦN VĂN LÂM MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ – MINKOWSKI CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC - TÔ PÔ Mã số: 60.46.10. LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Duy Bình NGHỆ AN - 2012 LỜI MỞ ĐẦU Hình học Ơclit và hình học giả Ơclit là một nội dung quan trọng của bộ môn hình học. Việc nắm vững và hiểu được những nội dung này là không đơn giản. Trên cơ sở các kiến thức cơ bản của hình học Ơclit và hình học giả Ơclit, ở đây chúng tôi trình bày các nghiên cứu bước đầu về một trường hợp riêng của hình học giả Ơclit đó là hình học trên không gian Lorentz-Minkowski. Được sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của Ts-Nguyễn Duy Bình, tôi đã nghiên cứu và hoàn thành luận văn “Một số yếu tố hình học trong không gian Lorentz- Minkowski”. Luận văn được chia làm hai chương: Chương I: Không gian giả Ơclit: Hệ thống, trình bày các khái niệm, tính chất của không gian vectơ giả Ơclit, đẳng cấu trực giao và không gian giả Ơclit, là nền tảng cho kiến thức ở chương II. Chương II: Không gian Lorentz-Minkowski: Trình bày định nghĩa không gian Lorentz-Minkowski và các vấn đề liên quan. Trong §1, trình bày các đặc trưng của các vectơ và các không gian con trong không gian Lorentz-Minkowski. Đóng góp chính của luận văn này được trình bày trong mục §2, dựa trên cơ sở là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, khai thác và trình bày một số trường hợp cụ thể của bất đẳng thức này trong không gian Lorentz-Minkowski và ứng dụng vào để xét tính cực đại và tính độ dài của đường cong tựa thời gian trong không gian Lorentz-Minkowski. Vì kiến thức còn nhiều hạn chế và thời gian có hạn nên luận văn còn có nhiều thiếu sót trong cả nội dung lẫn hình thức, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của các Thầy Cô giáo và các bạn đọc. Luận văn được thực hiện và hoàn thành 1 tại khoa Toán – Trường Đại học Vinh. Qua đây, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ts Nguyễn Duy Bình – Người đã dày công hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, các Thầy Cô giáo trong khoa và tổ Hình học, tập thể học viên khóa 17, 18 chuyên ngành Hình học đã tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này. Vinh, tháng 09 năm 2012 2 MỤC LỤC Nội dung Trang Chương I: Không gian giả Ơclit 4 §1. Không gian vectơ giả Ơclit 4 §2. Đẳng cấu trực giao 14 §3. Không gian giả Ơclit 18 Chương II: Không gian Lorentz – Minkowski 23 §1. Đặc trưng của các vectơ và các không gian con trong không gian Lorentz-Minkowski. 23 §2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Độ dài của đường thẳng tựa thời gian. 30 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 CHƯƠNG I. KHÔNG GIAN GIẢ ƠCLIT §1. KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ ƠCLIT 3 1.1. Định nghĩa Cho không gian vectơ V trên trường số thực được gọi là không gian vectơ giả Ơclit n chiều chỉ số k, kí hiệu k n E , nếu với mỗi cặp có thứ tự Vba ∈ , có ứng với mỗi số thực xác định gọi là tích vô hướng của hai vectơ ba, , kí hiệu ba. sao cho các tiên đề sau được thoã mãn: * 1 E abba = * 2 E cabacba ).( +=+ với mọi Vcba ∈ ,, * 3 E ).(.)( baba λλ = với mọi số thực λ * 4 E có n vectơ i a với ni ,1 = sao cho: 0. < ii aa với i ≤ k 0. > ii aa với i > k 0. = ji aa với i ≠ j Khi k = 0 thì không gian đó là không gian vectơ Ơclit. Ví dụ 1: Mô hình số thực của V n sẽ trở thành một mô hình của k n E nếu ta định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ), .,,();, .,,( 2121 nn bbbbaaaa là số thực: nnkkkk bababababa . 112211 +++−−−− ++ , dễ dàng kiểm tra V n không gian vectơ giả Ơclit. Ví dụ 2: Xét không gian vectơ V n , gọi RVVS nn →× : là một dạng song tuyến tính đối xứng và ),()( xxSxp = là dạng toàn phương tương ứng có hạng n chỉ số k. Khi đó, đặt ),(. baSba = thì từ tiên đề * 1 E đến * 4 E được nghiệm đúng, suy ra V n trở thành không gian vectơ giả Ơclit. 4 Trong không gian vectơ giả Ơclit k n E ta chọn một cơ sở { } n eee , .,, 21 và đặt jiij eea . = . Bây giờ, nếu 2 vectơ x và y có toạ độ lần lượt là: ( ) n xxx , .,, 21 và ( ) n yyy , .,, 21 , theo các tiên đề * 2 E , * 3 E ta có: 1 1 . 1 . n n n i i j j i j i j i j i j x y x e y e x y e e = = =     = =  ÷  ÷     ∑ ∑ ∑ r ur ur uur uruur Vậy [ ] [ ] yAxyxayx n ji jiji * 1. . . == ∑ = . (1) trong đó: A là ma trận [ ] ij a . Từ công thức (1) để tính tích vô hướng ta có các tính chất sau đây: a). 0.0 = a với mọi a . b). baba .).( −=− . c). ( ) cabacba . −=− . 1.2. Định nghĩa Hai vectơ a , b của k n E gọi là vuông góc với nhau nếu tích vô hướng của chúng bằng 0. Ta thấy rằng, có những vectơ khác vectơ 0 mà lại vuông góc với chính nó. Những vectơ như vậy gọi là vectơ đẳng hướng. Từ định nghĩa, ba. là một số thực nên uu. cũng là một số thực, vậy tích uu. có thể dương, âm, hoặc bằng 0 ta có định nghĩa sau: 1.3. Định nghĩa Môđun của vectơ u là một số sao cho: uuu . = nếu uu. ≥ 0. uuiu . −= nếu uu. < 0. Số i là số 1 − nên trong cả hai trường hợp ta đều kí hiệu uuu . = 5 Như vậy: Môđun một vectơ có thể là một số thực dương, bằng 0 hoặc một số thuần ảo. Vectơ có môđun bằng 1 và i gọi là vectơ đơn vị. Từ định nghĩa 1.2 và 1.3 ta có các tính chất sau: 1.4. Mệnh đề (Xem [1]) a). 2 2 aa = với mọi a . b). aa λλ = với mọi a và số thực λ . c). Vectơ 0 vuông góc với mọi vectơ bất kì. d). Hai vectơ a , b vuông góc với nhau khi và chỉ khi 22 baba +=+ . Chứng minh: Tính chất a, b, c là hiển nhiên đúng. Ta chứng minh tính chất d: 22 22 2 2 .2.2)( bbaabbaababa ++=++=+=+ Mà 02 222 =⇔+=+ bababa ⇔ a vuông góc với b . 1.5. Định lý (Xem [2]) Hệ trực giao với các vectơ có môđun khác 0 (do đó hệ giả trực chuẩn) là một hệ độc lập tuyến tính. Chứng minh: Cho hệ trực giao { } m aaa , .,, 21 , ta xét đẳng thức: 0 1 = ∑ = m i ii a λ với mọi j, 1 ≤ j ≤ m ta có: 00 1 == ∑ = ji m i ij aaa λ hay 0 . 2 =+ ∑ = ji jijjj aaa λλ theo giả thiết của hệ giả trực giao từ đẳng thức cuối suy ra 0 = j λ . Vậy hệ đã cho độc lập tuyến tính. 6 1.6. Định nghĩa Hệ vectơ { } n aaa , .,, 21 của k n E gọi là hệ giả trực giao nếu các vectơ của hệ đều khác 0 và hai vectơ bất kì đều vuông góc với nhau. Một hệ giả trực giao gồm toàn các vectơ đơn vị gọi là hệ giả trực chuẩn. Cơ sở e = { } n eee , .,, 21 của k n E gọi là cơ sở giả trực chuẩn nếu nó là một hệ giả trực chuẩn, toạ độ của một vectơ đối với cơ sở giả trực chuẩn gọi là hệ toạ độ giả trực chuẩn. Như vậy, điều kiện cần và đủ để hệ { } n eee , .,, 21 làm thành cơ sở giả trực chuẩn của k n E là: với i ≠ j Tức là các vectơ của hệ đều là vectơ đơn vị và vuông góc với nhau. 1.7. Định lý (Xem [2]) Mỗi không gian k n E đều có cơ sở giả trực chuẩn, trong đó có k vectơ sao cho 1 2 −= i e và 1 − n vectơ sao cho 1 2 = i e . Chứng minh: Do tiên đề * 4 E ta thấy ngay trong không gian k n E luôn có một mục tiêu giả trực chuẩn. Thật vậy, đặt: ii i i aa a e . − = với i ≤ k ii i i aa a e . = với i > k (I) trong đó: i a là các vectơ nói trong tiên đề * 4 E 7      = = 0. 1 ji i ee e 1.8. Định lý (Xem [2]) Trong k n E nếu ta có n vectơ i b với ni ,1 = sao cho i b . i b 0 ≠ với mọi i và i b . i b 0 = với ji ≠ thì ta sẽ có đúng k vectơ i b sao cho i b . i b < 0 và kn − vectơ j b , sao cho j b . j b > 0. Chứng minh: Giả sử i b . i b < 0 với tj ≤ và i b . i b > 0 với tj > ta cần chứng minh kt = . Dễ thấy, t vectơ 1 b , 2 b ,…, i b độc lập tuyến tính, bởi vậy chúng sinh ra một không gian vectơ con t chiều V 1 . Tương tự ta gọi V n-k là không gian vectơ con sinh bởi kt − vectơ độc lập tuyến tính nk aa , ., 1 + nói trong tiên đề * 4 E . Nếu kt > thì V 1 và V n-k sẽ giao nhau theo một không gian có số chiều ít nhất bằng kt − ta gọi c là một vectơ khác 0 của không gian này thì: ∑∑ +== == n ki ii i ii abe 1 1 1 1 µλ Do đó:             = ∑∑ +== n ki i i i abcc 1 1 1 1 1 1 µλ 0 1 1 2 1 <= ∑ += n ki ii aa µ Điều đó vô lý. Cũng tương tự như vậy, ta chứng minh rằng kt < cũng không xảy ra. Vậy kt = và định lý được chứng minh. Vậy đối với mọi cơ sở giả trực chuẩn bất kì ta cũng có k vectơ i e sao cho i e . i e = -1 với ki ≤ và kn − vectơ i e sao cho i e . i e =1. 8 . ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ---@&?--- TRẦN VĂN LÂM MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ – MINKOWSKI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2012. ĐẠI HỌC VINH ---@&?--- TRẦN VĂN LÂM MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ – MINKOWSKI CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC - TÔ PÔ Mã số: 60.46.10. LUẬN VĂN